Tài liệu Bất đẳng thức và cực trị hình học

BÁT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC * (Tài liệu tham khảo: Phương pháp giải các bài toán cực trị trong hình học – NGUY6ẼN HỮU ĐIỀN) A. BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI: Bài 1 Ba con đường cắt nhau tạo thành tam giác. Trong tam giác hoặc trên cạnh của nó, đặt xí nghiệp ở đâu để tổng khoảng cách từ xí nghiệp ra các con đường là ngắn nhất. B' A' C' M C B A Giả sử BC ≥ CA ≥ AB ( ) ( ) ( ) ( )S ABC S MAB S MBC S MCA= + + ( ) 1 ( ) '. '. '. 2 S ABC MA BC MB CA MC AB= + + ( ) 1 ( ) ' ' ' 2 S ABC MA MB MC BC≤ + + 2 ( ) ' ' ' S ABC MA MB MC BC + + ≥ Tổng khoảng cách nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xảy ra. có các trường hợp sau: a)Nếu BC>CA: thì chọn MA’=MB’=0, M trùng C (đỉnh đối diện cạnh ngắn nhất) b)Nếu BC=CA>AB: thì chon MC’=0, M thuộc AB (cạnh ngắn nhất) c)Nếu BC=CA=AB: thì M chọn bất kỳ trong tam giác ABC hoặc trên cạnh của nó. Hệ quả: Trong hoặc trên cạnh của tam giác đều, tổng khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng qua các cạnh không đổi. Bài 2: C là vị trí thành phố. A và B là 2 điểm dân cư. Hãy mở con đường qua thành phố C sao cho tổng khoảng cách từ B và C tới con đường đó ngắn nhất. D E D C B A Giả sử CA≥CB. Gọi D là đối xứng của B qua C. Con đường ta (t) cần tìm phải cắt AB (tại E) hoặc AD (tại F). Đặt x=d(A,t) và y=d(B,t) Nếu (t) cắt AB tại E: 2S(CAB)=2S(CAE)+2S(CBE)=(x+y)CE Nếu (t) cắt AD tại E: 2S(CAD)=2S(CAF)+2S(CDF)=(x+y)CF Vậy x+y nhỏ nhất khi mà CE hoặc CF lớn nhất. Điều này xảy ra khi E hay F trùng với A (địa điểm dân cư xa nhất đối với C). Bài 3: (bài toán đẳng chu) Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi cho trước thì hình vuông có diện tích lớn nhất Gọi 2a là chu vi và kích thước hình chữ nhật là x và y thì a=x+y Diện tích hình chữ nhật là S=xy. Ta có 2 2 2 4 x y a S xy +   = ≤ =  ÷   Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=a/2. Bài toán được chứng minh. Bài 4: (bài toán cổ) Bên cạnh một con sông (đường thẳng), người ta làm một khu vườn hình chữ nhật có diện tích cho trước là S. Người ta muốn rào khu vườn bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu? Biết rằng về phí sông thì không rào. Gọi x là chiều dài cạnh khu vườn vuông góc với con sông thì cạnh kia là S/x và độ dài hàng rào P của khu vườn là: 2 2 2 S P x S x = + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 S x = , suy ra cạnh còn lại. Giá trị nhỏ nhất của P là 2 2S . Bài 5: Chứng minh rằng hình trụ nội tiếp trong hình nón có Sxq lớn nhất khi chiều cao hình trụ bằng nửa chiều cao hình nón. H-h h r R-r r Gọi r và h là bán kính đáy và chiều cao hình trụ. Gọi R và H là bán kính đáy và chiều cao hình nón. Ta có R H r H h = − Suy ra ( ) R r H h H = − Sxq của hình trụ là: 2 2 ( ) R Sxq rh h H h H π π = = − 2 2 2 2 R h H h Sxq RH H π π + −   ≤ =  ÷   ( ) 2Max Sxq RH π = khi h=H-h Tức là h=H/2. Bài toán được chứng minh. Bài 6: Chứng minh hình trụ nội tiếp mặt cầu cho trước có Sxq lớn nhất khi chiều cao hình trụ gấp đôi bán kính đáy của nó. R h R 2r Gọi r và h là độ dài bán kính đáy và chiều cao hình trụ. Gọi R là bán kính mặt cầu. Ta có 2Sxq rh π = , 2 2 2 4 4r h R+ = Suy ra 2 2 2 2 4 2 4 4 Sxq R r h rh π ≥ = = 2 2Sxq R π ≤ 2 ( ) 2Max Sxq R π = Khi 4r 2 =h 2 tức là h=2r. Bài toán được chứng minh. Bài 7: Trong các hình chữ nhật có đường chéo d cho trước. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y. Gọi S là diện tích hình chữ nhật. 2 2 2 2 2d x y xy S= + ≥ = 2 ( ) 2 d Max S = khi 2 d x y= = Khi đó ta có hình vuông cạnh 2 d x y= = Bài 8: Trong các hình chữ nhật có đường chéo d cho trước. Tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nhất Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y. Gọi P là chu vi hình chữ nhật. 2 2 2 2 ( ) 2 x y d x y + = + ≥ 2 2( ) 2 2 2 2P x y d d= + ≤ = ( ) 2 2Max P d= khi 2 2 d x y= = Khi đó ta có hình vuông cạnh 2 2 d x y= = Bài 9: Tìm khối nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước. R R h-r r r r 2t Gọi R và h là bán kính và chiều cao hình nón. Gọi 2t là góc giữa đường sinh và đáy hình nón. t là góc nhọn nhỏ hơn 45 0 . Thể tích khối nón là: 2 1 3 V R h π = .tan tan r r R t R t = ⇒ = 2 r.tan2t 2 tan 2t= tant 1 tan r h R t = = − Suy ra: 3 2 2 2 1 3 tan (1 tan ) r V t t π = − 2 3 3 2 2 2 2 8 3 tan 1 tan 3 r r V t t π π   ≥ =  ÷ + −   3 8 ( ) 3 r Min V π = khi 1 tan 2 t = Suy ra 2R r= và 2 4 1 1 2 r h r= = − Bài 10: Nếu tổng 2 cạnh của một tam giác là k và góc giữa 2 cạnh đó là t, hãy tìm độ dài các cạnh sao cho tam giác có chu vi nhỏ nhất Gọi x=AC, BC=k−x, góc ACB=t. Chu vi P=2p=k+AB. Ta có 2 2 2 2 . .cosAB AC BC AC BC t= + − 2 2 2 ( ) 2 .( ).cosAB x k x x k x t= + − − − 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cosAB x k kx kx t x t= + − − + 2 2 2 ( )(1 cos )AB k x k x t= − − + 2 2 ( )(1 cos )P k k x k x t= + − − + P đạt nhỏ nhất khi tích x(k-x) lớn nhất 2 2 ( ) 2 4 x k x k x k x + −   − ≤ =  ÷   Khi dấu đẳng thức xảy ra thì x=k/2, tức là AC=BC=k/2, AB=k.sin(t/2) Bài 11: Trong tất cả tam giác vuông có cạnh huyền c cho trước, hãy tìm tam giác vuông có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất r r r r y x x+y=c r y x K B A C Giả sử cạnh huyền AB tiếp xúc đường tròn nội tiếp tại K. Đặt AK=x, BK=y. Ta có AC=x+r, AB=y+r Mà AB 2 =CA 2 +CB 2 ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )c x y x r y r= + = + + + Suy ra 2 2 2 2 ( )xy r r x y= + + Suy ra 2 2 2 2 4 x y c r rc xy +   + = ≤ =  ÷   r lớn nhất khi r 2 +rc lớn nhất khi x=y=c/2 Giải phương trình 2 2 4 c r rc+ == ta có 2 1 max( ) 2 r c − = . Bài 12: Trong một hình tứ diện có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên bằng b, tổng bình phương các cạnh bằng Q. Hãy tìm giá trị lớn nhất của Sxq của tứ diện. Ta có Q=3a 2 +3b 2 . 2 2 2 2 3 3 3 2 4 2 3 4 a Q a a Sxq a b a − = − = − 2 2 3 1 15 (4 15 ) 4 15 Sxq a Q a= − 2 2 3 15 4 15 2 4 15 2 5 a Q a Q Sxq   + − ≤ =  ÷   ( ) 2 5 Q Max Sxq = khi 2 15 5 Q Q a b= = Bài 13: Cho diện tích S và góc A=t (cho trước) của tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của: a) AB+AC. b) BC c) Chu vi tam giác Đặt AB=x thì 2S=x.AC.sint 2 sin S b AC x t ⇒ = = Và 2 2 2 2 2 . .cosc BC AB AC AB AC t= = + − 2 2 2 2 2 4. 4 .cot sin S c x S t x t = + − a) Đặt Q=AB+AC=x+b ta được: 2 2 2 sin sin S S Q x x t t = + ≥ Suy ra 2 2 ( ) 2 , sin sin S S Min Q x b t t = = = b) 2 2 2 2 2 4. 4 .cot sin S c x S t x t = + − 2 4 1 cos 4 .cot 4 4 tan sin sin 2 S t t c S t S S t t −   ≥ − = =  ÷   ( ) 2 tan 2 t Min c S= , 2 sin S x t = c) Chu vi tam giác là P=x+b+c Vì x+b và c cùng nhỏ nhất khi 2 sin S x t = nên P cũng đạt nhỏ nhất tại đó 2 2 2 tan sin 2 S t P S t = + Bài 14: Từ những hình hộp chữ nhật với diện tích đáy bằng Q và chiều cao hình hộp bằng đường chéo mặt đáy, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh. Gọi x là một cạnh đáy, cạnh còn lại là Q/x. Chiều cao hình hộp là 2 2 2 Q h x x = + 2 2 2 2 2 Q Q Q Sxq x h x x x x x     = + = + +  ÷  ÷     2 2 2 2 2 2 2 2 Q Q Sxq x x Q x x    = + + +  ÷ ÷    Sxq đạt nhỏ nhất khi 2 2 2 Q x x + đạt nhỏ nhất 2 2 2 2 2 2 2 . 2 Q Q x x Q x x + ≥ = ( ) 4 2Min Sxq Q= khi x Q= Nghĩa là đáy hình hộp là hình vuông. Bài 15: Hãy tìm đoạn thẳng ngắn nhất chia một tam giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau. C' B' m y x C B A Đoạn thẳng định thành tam giác AC’B’. AB’=x, AC’=y, B’C’=m, S là diện tích ABC. 2 2 2 2 cosm x y xy A= + − Theo giả thiết S(ABC)=2S(AB’C’) sinS xy A= Suy ra 2 2 (1 cos ) 2 (1 cos ) sin S A m xy A A − ≥ − = m ngắn nhất là 2 (1 cos ) sin S A m A − = khi sin S x y A = = Bài 16: (Bất đẳng thức Minkovski). Cho các điểm liên tiếp O,A,B,C,…,Q,M. Độ dài đường gấp khúc OA+AB+BC+…+QM ≥ OM. Hãy đặt tọa độ các điểm O và A,B,C,…,Q,M để có bất đẳng thức số. Xét trong mặt phẳng: với O(0;0), A(a 1 ,a 2 ), B(a 1 +b 1 ;a 2 +b 2 ), …,M(a 1 +b 1 +…+m 1 ;a 2 +b 2 +…+m 2 ) Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . ( . ) ( . ) a a b b m m a b m a b m + + + + + + ≥ + + + + + + + Mở rộng cho không gian n chiều: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . . . . ( . ) ( . ) . ( . ) n n n n n n a a a b b b m m m a b m a b m a b m + + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + + Ghi chú: có thể hiểu trên ý nghĩa của véc tơ: 1 2 1 2 . . n n a a a a a a+ + + ≥ + + + ur uur uur ur uur uur Bài 16: Tam giác vuông ABC có A là góc vuông, BC+AB=k (cho trước). Hãy xác định góc B của tam giác ABC để diện tích ABC lớn nhất. x=AB thì cạnh huyền BC=k−x. Suy ra 2 2 ( ) ( 2 )AC k x x k k x= − − = − Diện tích 1 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 k S x k k x xx k x= − = − 3 2 2 2 3 6 3 k x x k x k S + + −   ≤ =  ÷   2 ( ) 6 3 k Max S = khi 3 k x = (khi đó 0 1 cos 60 2 AB x B B BC k x = = = ⇒ = − ) Bài 17: Tam giác vuông ABC có chu vi 2p (cho trước). Hãy xác định các cạnh của tam giác ABC để diện tích ABC lớn nhất. ( )( )( )S p p a p b p c= − − − 3 2 3 3 ( )( )( ) 3 27 S p a b c p p a p b p c p − − −   = − − − ≤ =  ÷   Vậy S lớn nhất là 2 3 3 p khi a=b=c=2p/3 Bài 18: Trên nửa đường tròn đường kính AB=2R, hãy tìm điểm C của sao cho AC.CD đạt lớn nhất. (CD vuông góc AB tại D). Tam giác ABC vuông tại B có CD là đường cao. Đặt AD=x, ta có AC 2 =AD.AB=x.2R. CB 2 =4R 2 −2Rx. CD.AB=CA.CB 2 2 (4 2 ) (2 ) 2 Rx R Rx CD x R x R − ⇒ = = − . . (4 2 )AC CD Rx x R x= − 3/ 2 2 4 2 8 3 . 3 9 x x R x R AC CD R + + −   ≤ =  ÷   2 8 3 ( . ) 9 R Max AC CD = Khi x=4R/3. Bài 19: Tam giác ABC có chu vi 2p và BC=a. Định độ dài 2 cạnh AB và AC để ABC có diện tích lờn nhất. Với giá trị nào của a thì diện tích đó lớn nhất. Đặt AB=x thì cạnh AC=2p−a−x ( ) ( )( )( )S a p p a p x a x p= − − + − ( ) ( ) ( ). 2 2 a p p a p x a x p S a p p a − − + + − ≤ − = ( ) ( ( )) 2 a p p a Max S a − = khi 2 p x = Khi có ( ) ( ) 2 a p p a S a − = 3/ 2 2 2 ( ) (2 2 ) 3 2 2 2 2 p p a a p a S a aa p a + + −   = − ≤  ÷   2 2 2 ( ) 2 2 3 3 3 3 p p p p S a ≤ = 2 ( ( )) 3 3 p Max S a khi a=2p/3 Bài 20: Trong một mảnh của hình tròn cắt bởi một dây cung. Hãy dựng một hình chữ nhật nội tiếp mảnh này mà nó có diện tích lớn nhất. r y K 1 x-a a O K H M F E D C B A Đặt OE=r, OH=a, OK=x, KF=y (như hình vẽ) Suy ra 2 2 y r x= − (0<x<r) Diện tích hình chữ nhật CDFE là : 2 2 2( )S x a r x= − − 2 ( )( )( )( ) 4 S x a x a r x r x= − − − + Ta thêm vào 2 biến tham số u,v: 2 ( )( )( )( ) 4 S x a x a ur ux vr vx uv = − − − + 4 2 (2 ) 2 4 4 S x u v a ur vr uv − + − + +   ≤  ÷   Ta chọn u,v sao cho: 2 0 ( ) ( ) u v x a u r x v r x − + =   − = − = +  2 ( ) ( 2)( ) v u x a u r x u r x = −  ⇔  − = − = − +  2 ( 2)( ) v u x a u r x x a u r x = −   −  ⇔ =  −  − = − +   2 2 ( ) v u x a u r x x a x a r x r x   = −  −  ⇔ =  −   −   − = − +   ÷ −    2 2 2 2 0 v u x a u r x x ax r = −   −  ⇔ =  −   − − =  Giải ra 2 2 8 4 a a r x ± + = Ta chỉ nhận x>0 nên 2 2 8 4 a a r x + + = Ta kiểm tra x<r 2 2 8 4 a a r r + + ⇔ < 2 2 8 4a r r a⇔ + < − 8 ( ) 0r r a⇔ − > (đúng) Có x=OK dựng được CDFE. Bài 21: Trong các hình hộp chữ nhật không có nắp và tổng diện tích các mặt là S (cho trước), hãy tìm khối hộp có thể tích lớn nhất. Gọi 3 kích thước là x,y,z (z là chiều cao) S=2(x+y)z+xy=2xz+2yz+xy 2 3 2 3 3 4( ) 27.4S xyz S V≥ ⇒ ≥ 3 2 108 S V ≤ V đạt lớn nhất là 6 3 S S V = khi: 3 2 2 1 2 2 3 S x y xz yz xy y S z  = =   = = ⇔   = =   B. BÀI LÀM THÊM: Bài 22: Một bình hình bán cầu, có bán kính R chứa đầy nước. Nhúng hẳn vào bình nước một hình hộp chữ nhật có kích thước cạnh đáy là a,b và chiều cao x. Định các kích thước ấy để thể tích nước tràn ra là nhiều nhất? Bài 23: Cho tứ diện DABC và điểm M trên đáy ABC. Gọi P,Q,R là các hình chiếu vuông góc của M trên các mặt bên của tứ diện. Định vị trí M để tứ diện MPQR có thể tích lớn nhất. Bài 24: CMR trong các hình hộp có cùng thể tích V thì hình lập phương có diện tích toàn phần nhỏ nhất. Bài 25: Trong tất cả các tứ diện đỉnh S mà tổng độ dài 6 cạnh bằng k (cho trước) và 3 góc đỉnh S của các mặt bên đều vuông, hãy tìm khối tứ diện có thể tích lớn nhất. Bài 26: Cho 2 điểm A,B ở 2 phía của mp(P). Qua A,B hãy dựng mặt cầu cắt (P) theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài 27: Trong tam giác ABC (AB=c, BC=a, CA=b) cho điểm X và với x,y,z là khoảng cách từ X tới BC,CA,AB. Gọi h a , h b , h c là độ dài các đường cao kẻ từ A,B,C. Tìm vị trí X sao cho: a) a b c x y z + + nhỏ nhất b) a b c h h h x y z + + nhỏ nhất Bài 28: Với một điểm bất kỳ M trong tứ diện ABCD, với h 1 ,h 2 ,h 3 ,h 4 là khoảng cách từ X tới các mặt của tứ diện. Với vị trí nào của X thì tích số 4 khoảng cách đó lớn nhất. Bài 29: Cho góc tam diện đỉnh O và số a. Hãy tìm các điểm A,B,C trên các cạnh của tam diện sao cho OA+OB+OC=a và thể tích OABC lớn nhất. Bài 30: Trong các khối trụ có thể tích V cho trước, hãy tìm kích thước của khối trụ để diện tích toàn phần đạt nhỏ nhất. . BÁT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC * (Tài liệu tham khảo: Phương pháp giải các bài toán cực trị trong hình học – NGUY6ẼN HỮU ĐIỀN). đẳng chu) Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi cho trước thì hình vuông có diện tích lớn nhất Gọi 2a là chu vi và kích thước hình chữ nhật là x và