Bất phơng trình một ẩn A. Kiến thức cần nhớ: I. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng 1. Nhắc lại về thứ tự trên tập hợp số: - Trên tập hợp các số thực, khi song song hai số a và b, xảy ra một trong ba trờng hợp sau: . a = b . a < b . a > b. - Khi biểu diễn số thực trên trục số (vẽ theo phơng nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn. - Số a không nhỏ hơn số b (a b) a > b hoặc a = b a lớn hơn hoặc bằng b. - Số a không lớn hơn số b (a b) a < b hoặc a = b a bé hơn hoặc bằng b. 2. Bất đẳng thức: Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a b, a b) là bất đẳng thức và a gọi là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Tính chất: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Với ba số a; b và c, ta có: Nếu a < b thì a + c < b + c Nếu a > b thì a + c > b + c Nếu a b thì a + c b + c Nếu a b thì a + c b + c 4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dơng: Tính chất: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dơng ta đợc một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Với ba số a; b và c mà c > 0 ta có: Nếu a < b thì a c < b c Nếu a > b thì a c > b c Nếu a b thì a c b c Nếu a b thì a c b c 5. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm: Tính chất: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta đợc một bất đẳng thức mới ngợc chiều với bất đẳng thức đã cho. Với ba số a; b và c mà c < 0 ta có: Nếu a < b thì a c > b c Nếu a > b thì a c < b c Nếu a b thì a c b c Nếu a b thì a c b c 6.Tính chất bắc cầu của thứ tự: Với ba số a, b và c, nếu a < b và b < c thì a < c. Tơng tự, các thứ tự >, , cũng có tính chất bắc cầu. 1 Ngày tháng năm 2006 Bất đẳng thức A. Mục tiêu: - HS nắm vững các tính chất của bất đẳng thức. - Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn đạt các dạng toán so sánh, chứng minh bất đẳng thức. - Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS. B. Chuẩn bị: - GV: + Giáo án. + Bảng phụ. - HS: Ôn tập về bất đẳng thức. C. tiến trình dạy học: I. Lí thuyết : (GV nêu từng câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV uốn nắn, củng cố và hệ thống lại kiến thức) 1. Nhắc lại về thứ tự trên tập hợp số: - H? Khi so sánh hai số thực a và b, xảy ra những trờng hợp nào? - Trả lời: - Trên tập hợp các số thực, khi song song hai số a và b, xảy ra một trong ba trờng hợp sau: . a = b . a < b . a > b. - H? Nêu thứ tự vị trí của các điểm trên trục số. - Trả lời: Khi biểu diễn số thực trên trục số (vẽ theo phơng nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn. - H? Nói: "Số a không nhỏ hơn số b", "Số a không lớn hơn số b" nghĩa là gì? Trả lời: . Số a không nhỏ hơn số b (a b) a > b hoặc a = b a lớn hơn hoặc bằng b. . Số a không lớn hơn số b (a b) a < b hoặc a = b a bé hơn hoặc bằng b. 2. Bất đẳng thức: - H? Nêu định nghĩa bất đẳng thức. - Trả lời: Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a b, a b) là bất đẳng thức và a gọi là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: - H? Nêu tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng. - Trả lời: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Với ba số a; b và c, ta có: Nếu a < b thì a + c < b + c Nếu a > b thì a + c > b + c 2 Nếu a b thì a + c b + c Nếu a b thì a + c b + c 4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dơng: - H? Nêu tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dơng. - Trả lời: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dơng ta đợc một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Với ba số a; b và c mà c > 0 ta có: Nếu a < b thì a c < b c Nếu a > b thì a c > b c Nếu a b thì a c b c Nếu a b thì a c b c 5. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm: - H? Nêu tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm. - Trả lời: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta đợc một bất đẳng thức mới ngợc chiều với bất đẳng thức đã cho. Với ba số a; b và c mà c < 0 ta có: Nếu a < b thì a c > b c Nếu a > b thì a c < b c Nếu a b thì a c b c Nếu a b thì a c b c 6.Tính chất bắc cầu của thứ tự: - H? Nêu tính chất bắc cầu của thứ tự. - Trả lời: Với ba số a, b và c, nếu a < b và b < c thì a < c. Tơng tự, các thứ tự >, , cũng có tính chất bắc cầu. II. Bài tập: Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm tại chỗ, (nếu bài nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm. II. Bất phơng trình một ẩn 1.Tập nghiệm của bất phơng trình Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phơng trình đợc gọi là tập nghiệm của bất ph- ơng trình. 2. Bất phơng trình tơng đơng: Hai bất phơng trình có cùng một tập nghiệm gọi là hai bất phơng trình tơng đơng (kí hiệu " ") III. Bất phơng trình bậc nhất một ẩn. 1. Định nghĩa: Bất phơng trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a 0, đợc gọi là bất phơng trình bậc nhất một ẩn. 2. Hai qui tắc biến đổi bất phơng trình a. Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phơng trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó. b. Qui tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của bất phơng trình với cùng một số khác 0, ta phải: - Giữ nguyên chiều bất phơng trình nếu số đó dơng. 3 - Đổi chiều bất phơng trình nếu số đó âm. IV. Bất phơng trình tích, bất phơng trình thơng Lâp bảng, xétdấu, V.Phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối. 1. Định nghĩa gía trị tuyệt đối: a = a nếu a 0 a = - a nếu a < 0 2. Cách giải phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối: Cách 1: Xét khoảng. Cách 2: Biến đổi tơng đơng. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x g x = = Cách 3: nhận xét gía trị hai vế II. Bài tập: Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm tại chỗ, (nếu bài nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm. Giải bất phơng trình 1 1 1 2( ) x a x b x c bc ac ab a b c + + > + + (abc > 0) (1) h ớng dẫn: (1) x ( 1 1 1 ab ac bc + + ) > 1 1 1 2( ) a b c bc ac ab a b c + + + + + 2 ( )a b c a b c x abc abc + + + + > x (a + b + c)> (a + b + c) 2 (Do abc > 0 ) _ Nếu a + b + c > 0 thì x > a + b + c _ Nếu a + b + c = 0 thì bất phơng trình vô nghiệm. _ Nếu a + b + c < 0 thì x < a + b + c. Giải bất phơng trình 2 2 3 2 1 4 1 2 1 2 2 2 2 2 1 x x a xa a a a a a a < + + + + + (1) h ớng dẫn: Xoá ở hai vế. - Nếu > 0 a < -1 hoặc a > 0 thì x < 0,25a - Nếu - 1 < a < 0 thì x > 0,25a. Giải bất phơng trình x + < - (a - 2)x (1) h ớng dẫn: 4 (1) (a - 2)x + x < - (Không nên nhân hai vế với a vì nh thế phảI xét hai trờng hợp) (a - 1)x < - Nếu a > 1 thì x < - Nếu a < 1; a 0 thì x > - Nếu a = 1 thì (1) 0x < 2. Phơng trình nghiệm đúng với mọi x. Tìm a để hai bất phơng trình (a - 1)x - a + 3 > 0 (1) và (a + 1)x - a + 2 > 0 (2) tơng đơng h ớng dẫn: Giải (1); (2). Xét các trờng hợp a = 1; a 2 - 1 < 0 (Loại) Trờng hợp (a - 1) (a + 1) > 0: để S 1 = S 2 thì = a = 5 (Thuộc khoảng đang xét) Tìm m để hai bất phơng trình sau chỉ có một nhiệm chung: m(x - 2) + 4 x (1) m (x - 1) x - 2 (2) (1) h ớng dẫn: Giải (1) và (2) ta có m = 2 Tìm a để phơng trình 4 - a = 1+ 2 x có nghiệm dơng. (1) h ớng dẫn: ĐKXĐ: x - 1 Với x - 1 thì (1) (4 - a)x = a - 2 có nghiệm x = khi a 4 Để (1) có nghiệm dơng thì (a - 2) (4 - a) > 0 2 < a < 4 Giải bất phơng trình (x 2 + 4x + 10) 2 - 7(x 2 + 4x + 11) + 7 < 0 (1) h ớng dẫn: Đặt x 2 + 4x + 10 = y (y > 0) ta có (1) y 2 - 7y < 0 0 < y < 7 x 2 + 4x + 10 < 7 - 3 < x < - 1 Giải bất phơng trình > (1) h ớng dẫn: Đa về bất phơng trình thơng rồi lập bảng xét dấu (1) x < - 0,25 hoặc 0,3 < x < 2/3 Giải bất phơng trình x 2 - 4x + 4 < 25 (1) h ớng dẫn: Cách 1: (1) (x + 3) (x - 7) < 0 - 3 < x < 7 5 C¸ch 2: (1) ⇔ 2 5x − < Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh + > + (1) h íng dÉn: (1) ⇔ (+ 1) + (+ 1) > (+ 1) + (+ 1) ⇔ (x + 91) (+ - - ) > 0 ⇔ x < - 91 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 35 - 2x 2 - 3x > 0 (1) h íng dÉn: (1) ⇔ (x + 5) (7 - 2x) > 0 ⇔ - 5 < x < 3,5. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh < (1) h íng dÉn: §a vÒ bÊt ph¬ng tr×nh th¬ng råi lËp b¶ng xÐt dÊu. (1) ⇔ x < - 4 hoÆc x > 2. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 4x 2 - 2 (2x + 1) + 5 < 0 (1) h íng dÉn: (1) ⇔ (2x - 1) 2 + 2 < 0 BÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (1) h íng dÉn: (1) ⇔ 6 . đạt các dạng toán so sánh, chứng minh bất đẳng thức. - Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS. B. Chuẩn bị: - GV: + Giáo án. + Bảng phụ chất: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Với ba số a; b và c, ta có: Nếu