Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học HƯỚNG DẪN GIẢI Chuyên đề 22 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC 22.1 � � � * Nếu B C tam giác ABC cân, A 60 nên tam giác ABC Do AB = BC = CA 2 2 2 Suy AB BC CA Vậy BC AB CA 0 � � � � � Nếu B C B 60 (vì B C 120 ) 2 � � Do A B � BC AC � BC AB AC � � 2 Nếu B C , chứng minh tương tự ta BC AB CA 22.2 2 2 Theo định lý Pytago ta có BE 2AB ,CF 2AC mà AB < AC nên BE < CF, Dễ thấy ABF AEC c.g.c � BF CE Xét CBE BCF có : BC chung, CE = BF, BE < CF � � �ECB �FBC hayECD �FBD � � Xét ECD FBD có CE = BF, DC = DB ECD FBD � DE DF ( Định lý hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) 22.3 Vẽ đường trung trực BC cắt BC M, cắt AC N � � Ta có NB = NC; tam giác NBC cân � C NBC �1 � BC � � �nên tam giác cân � Tam giác BAM có BA = BM �A �M � � � � mà BAN 90 ,BMN 90 � MAN AMN � MN AN ( Quan hệ cạnh Suy đối diện tam giác) MHN ABN có BM = BA, BN chung, MN > AN � � Do MBN ABN ( định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) � � � � Suy MBN MBN ABN MBN � �C � �C B MBN ) � � � � � Do 2MBN ABC � 2C B (vì 22.4 Trên tia đối tia AM lấy điểm D cho MD = MA “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học � �D ABM DCM c.g.c � AB CD;A Do AB//CD �� BAC � DCA 1800 ( cặp góc phía) (*) AM Chứng minh mệnh đề “ Nếu góc A nhọn BC AM 2AM = BC AD = BC Nếu ABC DCA c.c.c � �BCA � DCA 1800 : 900 BC ” , trái GT BC AM 2AM < BC AD < BC Nếu BAC DCA có AB = CD; AC chung BC > AD � � Do BAC DCA � Từ (*) suy BAC 90 , trái GT BC AM Vậy góc A nhon BC AM góc A nhọn” Chứng minh mệnh đề “ Nếu 0 � � Nếu A 90 từ (*) suy DAC 90 BC BAC DCA c.g.c � BC AD hay AM , trái GT 0 � � � � Nếu A 90 từ (*) suy DCA 90 Vậy BAC DCA BAC � DCA BAC DCA có: AB = CD; AC chung � BC AM , trái GT Do BC > AD hay BC > 2AM tức BC AM góc A nhọn Vậy 22.5 � � � Vẽ đoạn thẳng DA, DB, DC Ta có ADB BDC CDA 360 Suy tồn góc có số đo nhỏ 1200 ( ba góc lớn 1200 tổng chúng lớn 3600, vơ lí) Giả sử góc góc BDC 0 � � � Xét tam giác BDC có BDC �120 , suy DBC DCB �60 Do tơn góc lớn 300 > 290 Vậy ba điểm cần tìm B, C, D 22.6 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Gọi M trung điểm BC H hình chiếu A đường thẳng a Khi AH có độ dài AM BC hayBC 2AM �2AH khơng đổi Ta có tam giác ABC vng A nên ( Quan hệ đường vng góc đường xiên) Do BC có độ dài nhỏ 2AH �M H ABH vuông cân Ta xác định điểm B sau: - Dựng AH BC; Trên đường thẳng a đặt HB = HA 22.7 Vẽ MH BC;NK BC;NI MH IN = HK IH = NK (tính chất đoạn chắn song song) � � � Ta có OM//AC � BOM C B Do MBO cân M, từ ta HB = HO a HK BC 2 Tương tự ta có KC = KO Suy MN �IN HK Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có Dấu “=” xảy �M �� I �MH � � NK MHB NKC BH CK điểm BC a Vậy MN = O trung điểm BC 22.8 OH OK a OB OC O trung Vẽ DH BC;EK BC;DF EK , ta có DF = HK ( tính chất đoạn chắn song song) 1 BH BD;CK CE �D �E 300 2 Do Các tam giác vng HBD KCE có nên 1 BD CE BD AD AB 2cm 2 Suy HK = 2cm DH �EK HBD KCE BD CE BD AD Dấu “=” xảy �E�F�� điểm AB ( Khi E trung điểm AC) Vậy độ dài nhỏ DE 2cm D E trung điểm AB AC 22.9 (h.22.20) BH CK D trung Vẽ BD AM , CE AM ( D, E �AM ) Ta có BD �BM , CE �CM (quan hệ đường vng góc đường xiên) Do BD CE �BM CM BC (Dấu " " xảy � D E trùng với M � AM BC ) Tính độ dài BC (h.22.21) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học AH AC 52 : 26(cm) � Vẽ AH BC , AHC vuông H có C 30�nên 2 2 Ta có HC AC AH 52 26 2028 � HC 45(cm) � Xét ABH vng H , có B 45�nên tam giác vuông cân � BH AH 26cm Do BC 26 45 71(cm) Vậy giá trị lớn tổng BD CE 71 cm M hình chiếu A BC 22.10 (h.22.22) � Xét ABC có A AB AC 2a Ta phải chứng minh AB AC a ABC chu vi nhỏ Thật vậy, giả sử AB AC Trên tia AB lấy điểm B ' , tia AC lấy điểm C ' cho AB ' AC ' a Khi B ' C ' điểm cố định B 'C' có đội dài khơng đổi Ta có AB AC AB ' AC ' 2a Do AB ( AC ' C 'C) (AB BB') AC ' � CC ' BB ' Vẽ BH B ' C CK B ' C ' BB ' H CC ' H (cạnh huyền, góc nhọn) � HB ' KC ' HK B ' C '.(1) Gọi M giao điểm BC B 'C' Ta có MH �MD, MK �MC � MH MK �MB MC hay HK �BC (2) Từ (1) (2) suy BC �B ' C ' Ta có chu vi ABC AB BC CA �2a B 'C' (không đổi) B ' Bvà C ' �C Dấu “=” xảy Vậy chu vi ABC nhỏ AB AC a , tức ABC cân A 22.11.(h.22.23) Vẽ AH xy , tia AH cắt đường thẳng BC D Khi BD khơng đổi CHA CHD (g.c.g) � HA HD � xy đường trung trực AD Gọi M điểm xy Ta có MA MD (Tính chất điểm nằm đường trung trực) M C) MA MB MD MB �BD (dấu “=” xảy Vậy tổng MA MB ngắn BD M �C 22.12 (h.22.24) “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ta có: S MA 3MB 4MC MA MB 3.12 4.16 100 Dấu " " xảy � M thuộc đoạn thẳng AB AC M A Vậy S 100 M �A 22.13 (h.22.25) Từ H vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC D ; đường thẳng song song với AC cắt AB E Theo tính chất đoạn thẳng song song ta có AD HE , AE HD Vì HB AC nên HB HE � HB HE (quan hệ đường vng góc đường xiên) Chứng minh tương tự ta HC HD Xét AHD có HA AD DH (bất đẳng thức tam giác) Suy ra: HA HB HC ( AD DH ) BE CD ( AD AE ) BE CD ( AD CD) ( AE BE ) AC AB (1) Chứng minh tương tự, ta được: HA HB HC AB BC HA HB HC BC CA (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 3( HA HB HC ) 2( AB BC CA) HA HB HC ( AB BC CA) Do đó: 22.14 (h.22.26) Tam giác ABC vng cân A nên theo định lý Py – ta – go ta tính BC a Tam giác MAC cân M � MA MC , M nằm đường trung trực d AC Xét tổng MA MB MC MB �BC a Dấu “ = ” xảy M �O với O giao điểm d với cạnh BC Vậy giá trị nhỏ tổng MA MB a M �O Nhận xét: Ta thấy MA MB �AB a khơng có vị trí M để dấu “ = ” xảy Vì khơng thể kết luận min( MA MB) a 22.15 (h.22.27) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Xác định vị trí C để chu vi tam giác ABC nhỏ Chu vi ABC CA CB AB Do AB cố định nên chu vi ABC nhỏ � CA CB nhỏ Vẽ AH xy Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD HA Khi BD đoạn thẳng cố định Gọi C’ điểm xy AHC ' DHC ' (c.g.c) � C 'A C'D Xét ba điểm BDC’ ta có C 'B C'D �BD (Dấu “=” xảy xy) C ' C với C giao điểm BD với Do C 'B C'D nhỏ BD C ' �C Suy C giao điểm BD với xy chu vi tam giác ABC nhỏ Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC Vẽ BK xy, BI AH ta tính HI = 7cm; IA =5cm ID = 9cm 2 2 Áp dụng định lý Py-ta-go vào IAB vuông I ta có: BI AB IA 13 144 Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông IDB ta được: BD IB2 ID 144 92 225 � BD 15(cm) Vậy giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC là: CA + CB + AB = BD + AB = 15 + 13 =28 (cm) 22.16 (h22.28) Gọi M điểm cạnh A’B’ mà kiến phải qua bò từ A đến C Mở nắp hộp A’B’C’D’ đứng lên đến vị trí A’B’C1D1 Xét ba điểm A, M, C1 ta có MA + MC1AC1 Dấu “=” xảy M trùng với giao điểm O AC1 với cạnh A’B’ A ' AM B'C1M(g.c.g) � MA ' MB' M trung điểm A’B’ 2 2 Ta có: AC1 AB BC1 20 40 2000 � AC1 2000 �44, 7cm Vậy quãng đường ngắn mà kiến phải bò 44,7 cm kiến bò qua trung điểm M cạnh A’B’ theo hành trình đoạn thẳng AM đoạn thằng MC’ “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page ... 22.6 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Gọi M trung điểm BC H hình chiếu A đường thẳng a Khi AH có độ dài AM BC hayBC 2AM �2AH khơng đổi Ta... (quan hệ đường vng góc đường xiên) Chứng minh tương tự ta HC HD Xét AHD có HA AD DH (bất đẳng thức tam giác) Suy ra: HA HB HC ( AD DH ) BE CD ( AD AE ) BE CD ( AD... Chứng minh tương tự, ta được: HA HB HC AB BC HA HB HC BC CA (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 3( HA HB HC ) 2( AB BC CA) HA HB HC ( AB BC