Sau bao năm chinh chiến tôi cũng đã thu lượm được một vài bí kíp về các môn học trong rất nhiều hoàn cảnh khác nhau , nghe có vẻ giống phim trung quốc , mỗi lần rơi xuống vực lại có một bí kíp võ công mới xuất hiện. Nhưng phải nói rằng người may mắn cũng phải có một tố chất nào đó nhất định, yếu tố đọc hiểu được đặt lên đầu tiên và yếu tố còn lại là hoàn cảnh và sự thấm nhuần khi chúng ta không còn việc nào khác để làm . Tôi thấy tài liệu này khá thú vị và phù hợp cho giáo viên cũng như học sinh, hi vọng còn có thể cung cấp hơn nữa cho các bạn.
Chủ đề BẤT ĐẲNG THỨC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Kỹ thuật chọn điểm rơi toán bất đẳng thức H BẤT ĐẲNG THỨC Mục Lục KIẾN THỨC LÍ THUYẾT Định nghĩa bất đẳng thức a b; a ≤ b; a ≥ b) bất đẳng thức Tính chất bất đẳng thức a < b ⇔ b > a a < b; b < c ⇒ a < c a < b ⇔ a + c < b + c a < b ⇔ a.c < b.c ( c > ) a < b ⇔ a.c > b.c ( c < ) Cộng vế hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều Trừ vế hai bất đẳng thức khác chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức thứ Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm, ta bất đẳng thức chiều Đặc biệt: a > b > ⇒ a > b2 ; a > b ⇒ a 2n > b2n a>b⇒a 8.Nếu n +1 >b n +1 1 < a b a>b>0 Một số bất đẳng thức hay dùng Nếu Nếu a b a, b > hai số dấu thì 1 + ≥ a b a+b Website:tailieumontoan.com (dấu = a b + ≥2 b a xảy (dấu ⇔a=b ) = xảy ⇔a=b ) 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a+b ≤ a + b (dấu a−b ≥ a − b = xảy = (dấu xảy Bất đẳng thức Cô-si a+b ≥ ab a, b ≥ a.b ≥ ) a≥b≥0 a + b ≥ ab Với hay (dấu Vài dạng khác bất đẳng thức Cô-si ≥ ab a + b ( a, b > 0) = a≤b≤0 ) xảy a =b ) ) 2 a+b 2 ÷ ≥ ab; ( a + b ) ≥ 4ab; a + b ≥ 2ab 2 a+b a +b ab ≤ ≤ ÷ Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức: Muốn chứng minh Muốn chứng minh a b, ta chứng minh Phương pháp biến đổi tương đương: a − b < a − b > A < B ⇔ A1 < B2 ⇔ A2 < B2 ⇔ … ⇔ C < D Nếu bất đẳng thức cuối bất đẳng thức đầu Phương pháp vận dụng tính chất bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức quen thuộc: Từ bất đẳng thức biết ta dùng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Phương pháp phản chứng: A < B, A≥ B Muốn chứng minh ta giả sử suy điều vơ lí (mâu thuẫn với điều cho biết), từ suy điều giả sử sai, điều phải chứng minh BÀI TẬP Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Website:tailieumontoan.com ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ ab bc ac = 8abc (đpcm) Bài 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac + bd ≤ ( a + b )( c + d ) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ac + bd ( a + b )( c + d ) = ≤ ⇒ ac + bd ≤ a c + ( a + b) ( c + d ) b d ( a + b) ( c + d ) 1 a c 1 b d 1a+b c+d + + + + = =1 2a+b c+d 2a+b c+d 2a+b c+d ( a + b )( c + d ) (đpcm) Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa Chứng minh a > c b > c c( a − c ) + c( b − c ) ≤ ab Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: c ( a − c ) + c( b − c ) ab = c ( a − c) c ( b − c) + b a a b ≤ 1c a−c 1c b−c + + + 2b a 2a b ≤ 1c c 1c c +1− + +1− = 2b a 2a b ⇒ c( a − c ) + c( b − c ) ≤ ab (đpcm) Bài 4: Cho số thực dương a, b thỏa a b − + b a − ≤ ab Hướng dẫn giải Website:tailieumontoan.com a ≥ b ≥ Chứng minh rằng: CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ( a + ab − a ) = ab 2 a b − = a ab − a ≤ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: b a −1 ≤ Tương tự: ab (1) (2) Cộng theo vế (1) (2), ta được: a b − + b a − ≤ ab (đpcm) 16ab( a − b ) ≤ ( a + b ) Bài 5: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: 16ab( a − b ) = 4.( 4ab )( a − b ) 4ab + ( a − b ) ( a + b) ≤ 4. = = ( a + b) 2 ab + Bài 6: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: (đpcm) a b + ≥ a + b +1 b a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ab + a b ab a ab b a b + = + + + + + b a 2b 2a 2b 2a ≥2 ab a ab b a b +2 +2 = a + b +1 2b 2a 2b 2a đpcm) Bài 7: Chứng minh rằng: a b + ≥ , ∀a,b > b a Hướng dẫn giải Vì a,b > nên a b > 0, >0 b a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a b a b + ≥2 =2 b a b a (đpcm) Website:tailieumontoan.com ( CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a+ Bài 8: Chứng minh rằng: ≥ , ∀a > a −1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a+ 1 = a −1+ + ≥ ( a − 1) +1 = +1 = a −1 a −1 a −1 a2 + a2 +1 Bài 9: Chứng minh rằng: (đpcm) ≥ , ∀a ∈ R Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a2 + a2 +1 = a2 +1+1 a2 +1 = a2 +1 + a2 +1 Bài 10: Chứng minh rằng: Với ∀a ≠ ≥2 a2 +1 a2 +1 =2 (đpcm) 3a ≤ , ∀a ≠ + 9a Hướng dẫn giải , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a 1 1 = = ≤ = 4 1 9a + 9a + 3a 2 3a 2 + 2 3a 3a 3a 3a (đpcm) a2 A = ( a + 1) + + , ∀a ≠ −1 a +1 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn giải Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a + 2a + A = ( a + 1) + a + ( a + 1) + 1 = ( a + 1) + a +1 2 = ( a + 1) + a + + a +1 = 2( a + 1) + ( a + 1) +2 Cauchy ≥ 2( a + 1) ( a + 1) 2( a + 1) = Dấu “=” xảy Vậy GTNN +2=2 2+2 ( a + 1) a= hay −2±4 A=2 2+2 a+ Bài 12: Chứng minh rằng: ≥ , ∀a > b > b ( a − b) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a+ 1 = b + ( a − b) + ≥ 33 b.( a − b ) =3 b( a − b ) b( a − b ) b( a − b ) Bài 13: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab bc ca ca ab ab bc + + = + + + + + a b c 2 a b 2 b c 2 c a ≥ bc ca ca ab ab bc + + = a+b+c a b b c c a Website:tailieumontoan.com bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Bài 14: Cho ba số thực abc ≠ CMR: a2 b2 c2 b c a + + ≥ + + b2 c2 a2 a b c Hướng dẫn giải Ta có: a2 b2 c2 a b2 b2 c2 c2 a + + + = + + + + b c a 2 b c c a a b ≥ a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a b c a + + = + + ≥ + + 2 2 a b c a b c b c c a a b Bài 15: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc = CMR b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c Hướng dẫn giải bc b + c c + a a + b bc ca ab ca ab + + ≥ + + = + + ÷ b c ÷ a b c a b c a bc ca ca ab ab bc = + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ b b c c a ÷ a ≥2 =2 ( bc ca +2 a b ca ab +2 b c ) ( a+ b+ c = ab bc c a ) ( a+ b+ c + a+ b+ c ) ≥ a + b + c + 33 a b c = a + b + c + Vậy b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c Bài 16: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Ta có: Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải b+c c+a a+b + + ≥6 a b c CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN b+c c+a a+b b+c c+a a+b + + = 1 + + 1 + + 1 + −3 a b c a b c a+b+c b+c+a c+a+b = + + −3 a b c 1 1 = ( a + b + c) + + − ≥ − = a b c Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên Xét toán sau: Bài 1: Cho số thực a≥2 A=a+ Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A=a+ Sai lầm thường gặp là: 1 ≥ a = a a Vậy GTNN A ⇔a= Nguyên nhân sai lầm: GTNN A thuyết a≥2 a ⇔ a =1 a vơ lý theo giả A=a+ Lời giải đúng: a 3a a 3a 3.2 = + + ≥2 + ≥ 1+ = a a 4 a 4 ⇔ Dấu “=” xảy a = hay a = a Vậy GTNN A Vì lại biết phân tích lời giải Đây kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Quay lại toán trên, dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN a=2 Khi ta nói A đạt GTNN “Điểm rơi Website:tailieumontoan.com a=2 ” Ta không CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số dấu “=” Vì ta phải tách a a a a khơng thỏa quy tắc để áp dụng bất đẳng thức AM - GM thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số a 1 , α a cho “Điểm rơi a=2 a = α a ” , ta có sơ đồ sau: a α = α a=2⇒ ⇒ = ⇒α = α 1 = a A=a+ Khi đó: a 3a = + + a 4 a ta có lời giải Lưu ý: Để giải tốn trên, ngồi cách chọn cặp số các cặp số sau: Bài 2: Cho số thực 1 αa, a a≥2 α a, a a, αa a 1 , α a A=a+ Tìm giá trị nhỏ Sơ đồ điểm rơi: a α = α a =2⇒ ⇒ = ⇒α =8 α 1 =1 a Website:tailieumontoan.com a2 ta chọn CÁC CHUN ĐỀ TỐN A= Sai lầm thường gặp là: Dấu “=” xảy ⇔a =2 Vậy GTNN A a 7a a 7a + + ≥2 + = a 8 a 7a + ≥ 2a 7.2 + = 2.2 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN A là đáp số a≥2⇒ cách giải mắc sai lầm đánh giá mẫu số: “ ≥ 2a sai” A= Lời giải đúng: Dấu “=” xảy a a 6a a a 6a 6.2 + + + ≥ 3.3 + ≥ + = 8 a 8 a 8 ⇔a =2 Vậy GTNN A Bài 1: Cho số thực dương a, b thỏa Phân tích: Ta có: a+b ab ≤ ≤ Website:tailieumontoan.com a +b ≤1 A = ab + Tìm GTNN ab 2.2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Sơ đồ điểm rơi: ab = 1 α 4α ab = ⇒ ⇒ = 4⇒α = 4α 16 1 =4 ab Giải: Ta có: a+b ab ≤ ≤ ⇒ −ab ≥ − A = 16ab + 1 17 − 15ab ≥ 16ab − 15ab ≥ − 15 = ab ab 4 ⇔ ab = Dấu “=” xảy Vậy GTNN A Bài 2: Cho số thực 1 ⇔a=b= 17 a≥6 A = a2 + Tìm GTNN Phân tích: A = a2 + Ta có : 18 9 = a2 + + a a a Website:tailieumontoan.com 18 a CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN sơ đồ điểm rơi: a=6 Ta có a 36 = α ⇒ 36 = ⇒ α = 24 a =6⇒α α 9 = = a Giải: A= Ta có: a 9 23a a 9 23a 23.36 + + + ≥ 33 + ≥ + = 39 24 a a 24 24 a a 24 24 ⇔ Dấu “=” xảy a2 = ⇔a=6 24 a Vậy GTNN A 39 Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa A= a+b+c+ Tìm GTNN a + 2b + 3c ≥ 20 + + a 2b c Phân tích: Dự đoán GTNN A đạt Sơ đồ điểm rơi: a α = α a =2⇒ ⇒ = ⇒α = α 3 = a Website:tailieumontoan.com a + 2b + 3c = 20 ,tại điểm rơi a = 2, b = 3, c = CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN b β = β 3 b =3⇒ ⇒ = ⇒β =2 β 9 =3 2b c γ = γ c=4⇒ ⇒ =1⇒ γ = γ 4 = c Giải: 3a A= + b c a b 3c + + + + + + + a 2b c 4 3a b c a + 2b + 3c +2 +2 + a 2b c ≥ + + + = 13 ≥2 Dấu “=” xảy ⇔ a = 2, b = 3, c = Vậy GTNN A 13 Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa ab ≥ 12 bc ≥ ( a + b + c ) + 2 Chứng minh rằng: 1 121 + + ≥ + ab bc ca abc 12 Phân tích: Dự đốn GTNN A đạt ab = 12 bc = Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: Website:tailieumontoan.com , điểm rơi a = 3, b = 4, c = CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a b a b + + ≥ 33 = 18 24 ab 18 24 ab a c a c + + ≥ 33 =1 ca ca b c b c + + ≥ 33 = 16 bc 16 bc a c b a c b + + + ≥ 44 = 12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13 + ≥2 ≥2 12 = 18 24 18 24 18 24 13b 13c 13b 13c 13 13 13 + ≥2 ≥2 = 48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: ( a + b + c ) + 2 1 121 + + ≥ + ab bc ca abc 12 (đpcm) Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt tâm Xét toán sau: Bài toán: A= a+b+ Cho số thực dương a, b thỏa a +b ≤1 Tìm GTNN 1 + a b A= a+b+ Sai lầm thường gặp là: Website:tailieumontoan.com 1 1 + ≥ 44 a.b = a b a b Vậy GTNN A 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ⇔a=b= Nguyên nhân sai lầm: GTNN A a +b = ≥1 1 = ⇔ a = b =1 a b Khi trái giả thuyết Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b= Sơ đồ điểm rơi: Lời giải đúng: a b α = α = 2α 1 a=b= ⇒ ⇒ = 2⇒α = 2α 1 = = a b 1 1 A = 4a + 4b + + − 3a − 3b ≥ 44 4a 4b − 3( a + b ) ≥ − = a b a b ⇔a=b= Dấu “=” xảy Vậy GTNN A a+b+c ≤ Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa A= a+b+c+ Tìm GTNN 1 + + a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c= Sơ đồ điểm rơi: Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a b c = = = 1 α α α 2α a=b=c= ⇒ ⇒ =2⇒α = 2α 1 = = = a b c Giải: 1 1 A = 4a + 4b + 4c + + + − 3a − 3b − 3c a b c 1 ≥ 66 4a.4b.4c − 3( a + b + c ) a b c 13 ≥ 12 − = 2 ⇔a=b=c= Dấu “=” xảy Vậy GTNN A 13 a+b+c ≤ Bài 2: Cho số thực dương a, b, c thỏa A = a2 + b2 + c2 + Tìm GTNN 1 + + a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c= Sơ đồ điểm rơi: a = b2 = c2 = 1 a=b=c= ⇒ ⇒ = ⇒α =8 α 1 = = = αa αb αc α Giải: Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 1 1 1 3 A = a2 + b2 + c2 + + + + + + + + + 8a 8b 8c 8a 8b 8c 4a 4b 4c 1 1 1 31 1 + + + 8a 8b 8c 8a 8b 8c a b c 9 9 27 ≥ + ≥ + ≥ + = 4 abc 4 a + b + c 4 ≥ 99 a b c ⇔a=b=c= Dấu “=” xảy Vậy GTNN A 27 A= Bài 3: Cho số thực dương a, b Tìm GTNN a+b ab + ab a+b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt Sơ đồ điểm rơi: 2a a+b = α ab αa = α a=b⇒ ⇒ = ⇒α = α ab = a = a + b 2a Giải: a+b ab 3( a + b ) a+b ab 3.2 ab A = + + ≥ + = + = ab a + b a + b 2 ab ab ab Dấu “=” xảy ⇔a=b Website:tailieumontoan.com a=b CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Vậy GTNN A Bài 4: Cho số thực dương a, b, c A= Tìm GTNN a b c b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c Sơ đồ điểm rơi: b c a b + c = c + a = a + b = 2 a=b=c⇒ ⇒ = ⇒α = α b + c = c + a = a + b = αa αb αc α Giải: b c b+c c+ a a +b 3b+c c+ a a +b a A= + + + + + + + + 4a 4b 4c a b c b+c c+ a a +b ≥ 66 a b c b+c c+a a+b 3b c c a a b + + + + + + b + c c + a a + b 4a 4b 4c 4a a b b c c b c c a a b 15 ≥ + 6.6 = + = a a b b c c 2 Dấu “=” xảy ⇔a=b=c Vậy GTNN A Bài 5: 15 Cho số thực dương a, b thỏa Website:tailieumontoan.com a +b ≤1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN A= Tìm GTNN : 1 + 2ab a +b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b= a + b = a=b= ⇒ ⇒ 2α = ⇒ α = α = 2α 2ab Sơ đồ điểm rơi: Giải: A= 1 + ≥2 2ab a +b Dấu “=” xảy ( 1 ≥ 2 = ≥4 2 a + b 2ab a + b + 2ab ( a + b ) 2 ) a + b = 2ab ⇔ ⇔a=b= a + b = Vậy GTNN A Bài 6: A= Cho số thực dương a, b thỏa 1+ a + b 2 + 2ab a +b ≤1 Tìm GTNN Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b= Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN = 2 2 1 + a + b a=b= ⇒ ⇒ = ⇒α =3 α = 2αab α Sơ đồ điểm rơi: Giải: A= 1+ a + b ≥2 ≥ ≥ + 1 + 6ab 3ab 1 + + a + b 6ab 3ab ( ) 1 + = + 2 + a + b + 6ab 3ab ( a + b ) + + 4ab 3ab 2 ( a + b ) + + 4 a + b + ≥ ≥ 2( a + b ) + + a+b 3 3( a + b ) 4 + = + 3 Dấu “=” xảy 1 + a + b = 6ab ⇔ a = b ⇔a=b= a + b = Vậy GTNN A Website:tailieumontoan.com a + b Do ab ≤ CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Bài 7: A= Cho số thực dương a, b thỏa a +b ≤1 Tìm GTNN 1 + + 4ab a +b ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b= Sơ đồ điểm rơi: a + b = a=b= ⇒ ⇒ = ⇒α = 2 α = αab α 4ab = 1 a=b= ⇒ ⇒1= ⇒ β = = β βab β Giải: 1 1 + + 4ab + + 2ab 4ab 4ab a +b 1 ≥2 + 4ab + 2 4ab 4ab a + b 2ab A= ( ≥ ) a + b + 2ab 2 +2+ = +2+ 4ab ( a + b ) 4ab ≥ +2+ 2 ( a + b) a+b 4 Website:tailieumontoan.com Do ab ≤ a + b CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ≥ ≥ ( a + b) +2 +2=7 a + b = 2ab 4ab = 1 ⇔ ⇔a=b= 4ab a = b a + b = Dấu “=” xảy Vậy GTNN A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho x≥ , chứng minh rằng: x+ a) x ≥ x + 1− Bài 2: Cho a) b) ; a,b,c ≥ b) 200 + + + + > 10 + 2 200 S= Bài 4: Chứng minh rằng: Bài 6: Cho a≥ b≥ , a,b,c ≥ ; Bài 3: Chứng minh rằng: Bài 5: Cho >2 , chứng minh rằng: ( a+ b) ( b+ c) ( c+ a) ≥ 8abc a 2b+ 3c + ≥1 2b+ 3c 4a x+ 1+ + 3+ Chứng minh rằng: thỏa mãn điều kiện Website:tailieumontoan.com + 5+ + + 79 + 80 a b− + b a− ≤ ab a> c b> c ; >4 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Chứng minh c( a− c) + c( b− c) ≤ ab Website:tailieumontoan.com