Trong tam giác hoặc trên cạnh của nó, đặt xí nghiệp ở đâu để tổng khoảng cách từ xí nghiệp ra các con đường là ngắn nhất.. có các trường hợp sau: aNếu BC>CA: thì chọn MA’=MB’=0, M trùng
Trang 1BÁT ĐẲNG THỨC CÔ SI
VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
*
(Tài liệu tham khảo: Phương pháp giải các bài toán
cực trị trong hình học – NGUY6ẼN HỮU ĐIỀN)
A BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI:
Bài 1
Ba con đường cắt nhau tạo thành tam giác
Trong tam giác hoặc trên cạnh của nó, đặt xí
nghiệp ở đâu để tổng khoảng cách từ xí nghiệp
ra các con đường là ngắn nhất
B'
A'
C' M
A
Giả sử BC ≥ CA ≥ AB
S ABC S MAB S MBC S MCA
1
2
S ABC MA BC MB CA MC AB
1
2
S ABC MA MB MC BC
2 ( )
MA MB MC
BC
Tổng khoảng cách nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xảy ra
có các trường hợp sau:
a)Nếu BC>CA: thì chọn MA’=MB’=0, M trùng C
(đỉnh đối diện cạnh ngắn nhất)
b)Nếu BC=CA>AB: thì chon MC’=0, M thuộc AB
(cạnh ngắn nhất)
c)Nếu BC=CA=AB: thì M chọn bất kỳ trong tam giác
ABC hoặc trên cạnh của nó
Hệ quả:
Trong hoặc trên cạnh của tam giác đều, tổng
khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng
qua các cạnh không đổi
Bài 2:
C là vị trí thành phố A và B là 2 điểm dân cư Hãy mở con đường qua thành phố C sao cho tổng khoảng cách từ B và C tới con đường đó ngắn nhất
D
E
D
C
B A
Giả sử CA≥CB
Gọi D là đối xứng của B qua C
Con đường ta (t) cần tìm phải cắt AB (tại E) hoặc AD (tại F)
Đặt x=d(A,t) và y=d(B,t) Nếu (t) cắt AB tại E:
2S(CAB)=2S(CAE)+2S(CBE)=(x+y)CE Nếu (t) cắt AD tại E:
2S(CAD)=2S(CAF)+2S(CDF)=(x+y)CF Vậy x+y nhỏ nhất khi mà CE hoặc CF lớn nhất Điều này xảy ra khi E hay F trùng với A (địa điểm dân cư xa nhất đối với C)
Bài 3: (bài toán đẳng chu)
Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi cho trước thì hình vuông có diện tích lớn nhất
Gọi 2a là chu vi và kích thước hình chữ nhật là x và y thì a=x+y
Diện tích hình chữ nhật là S=xy
Ta có
2 2
S xy
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=a/2
Bài toán được chứng minh
Trang 2Bài 4: (bài toán cổ)
Bên cạnh một con sông (đường thẳng), người
ta làm một khu vườn hình chữ nhật có diện
tích cho trước là S Người ta muốn rào khu
vườn bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu?
Biết rằng về phí sông thì không rào
Gọi x là chiều dài cạnh khu vườn vuông góc với con
sông thì cạnh kia là S/x và độ dài hàng rào P của khu
vườn là:
2 S 2 2
x
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
S
x , suy ra cạnh còn lại
Giá trị nhỏ nhất của P là 2 2S
Bài 5:
Chứng minh rằng hình trụ nội tiếp trong hình
nón có Sxq lớn nhất khi chiều cao hình trụ
bằng nửa chiều cao hình nón
H-h
h
r R-r
r
Gọi r và h là bán kính đáy và chiều cao hình trụ
Gọi R và H là bán kính đáy và chiều cao hình nón
Ta có R H
r H h
Suy ra r R(H h)
H
Sxq của hình trụ là:
H
2
2
R h H h
H
( ) 2
Max Sxq RH khi h=H-h Tức là h=H/2 Bài toán được chứng minh
Bài 6:
Chứng minh hình trụ nội tiếp mặt cầu cho trước có Sxq lớn nhất khi chiều cao hình trụ gấp đôi bán kính đáy của nó
R
h R
2r
Gọi r và h là độ dài bán kính đáy và chiều cao hình trụ
Gọi R là bán kính mặt cầu
Ta có Sxq2rh, 4r2h2 4R2 Suy ra 2 2 2 2
4R 2 4r h 4rh Sxq
2 2
Sxq R
2 ( ) 2
Max Sxq R
Khi 4r2=h2 tức là h=2r Bài toán được chứng minh
Bài 7:
Trong các hình chữ nhật có đường chéo d cho trước Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất
Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y
Gọi S là diện tích hình chữ nhật
d x y xy S
2 ( ) 2
d Max S khi
2
d
x y
Khi đó ta có hình vuông cạnh
2
d
x y
Bài 8:
Trang 3Trong các hình chữ nhật có đường chéo d cho
trước Tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nhất
Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y
Gọi P là chu vi hình chữ nhật
2
2
x y
d x y
2 2( ) 2 2 2 2
P x y d d
( ) 2 2
2
d
x y
Khi đó ta có hình vuông cạnh 2
2
d
x y
Bài 9:
Tìm khối nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp
hình cầu bán kính r cho trước
R R
h-r
r
r r
2t
Gọi R và h là bán kính và chiều cao hình nón
Gọi 2t là góc giữa đường sinh và đáy hình nón
t là góc nhọn nhỏ hơn 450
Thể tích khối nón là: 1 2
3
V R h
.tan
tan
r
t
2
r.tan2t 2
tan 2t=
tant 1 tan
r
h R
t
Suy ra:
3
3 tan (1 tan )
r V
2
V
3 8 ( )
3
r Min V khi tan 1
2
t
Suy ra R r 2 và
2 4 1 1 2
r
Bài 10:
Nếu tổng 2 cạnh của một tam giác là k và góc giữa 2 cạnh đó là t, hãy tìm độ dài các cạnh sao cho tam giác có chu vi nhỏ nhất
Gọi x=AC, BC=kx, góc ACB=t
Chu vi P=2p=k+AB
Ta có AB2 AC2 BC2 2AC BC .cost
2 2 ( )2 2 ( ).cos
AB x k x x k x t
2 2 2 2 2 2 cos 2 cos2
AB x k kx kx t x t
2 2 2 ( )(1 cos )
AB k x k x t
2 2 ( )(1 cos )
P k k x k x t
P đạt nhỏ nhất khi tích x(k-x) lớn nhất
2 2 ( )
x k x
Khi dấu đẳng thức xảy ra thì x=k/2, tức là AC=BC=k/
2, AB=k.sin(t/2)
Bài 11:
Trong tất cả tam giác vuông có cạnh huyền c cho trước, hãy tìm tam giác vuông có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất
r r
r r
y x
x+y=c
r
y
x
A
C
Giả sử cạnh huyền AB tiếp xúc đường tròn nội tiếp tại K
Trang 4Đặt AK=x, BK=y.
Ta có AC=x+r, AB=y+r
Mà AB2=CA2+CB2 ta có:
2 ( )2 ( )2 ( )2
c x y x r y r
Suy ra 2xy2r22 (r x y )
Suy ra
2 2 2
r rc xy
r lớn nhất khi r2+rc lớn nhất khi x=y=c/2
Giải phương trình
2 2
4
c
r rc ta có
2 1
max( )
2
r c
Bài 12:
Trong một hình tứ diện có đáy là tam giác đều
cạnh a, các cạnh bên bằng b, tổng bình
phương các cạnh bằng Q Hãy tìm giá trị lớn
nhất của Sxq của tứ diện
Ta có Q=3a2+3b2
2
3 1
15 (4 15 )
4 15
3 15 4 15
2
( )
2 5
Q Max Sxq khi 2
Bài 13:
Cho diện tích S và góc A=t (cho trước) của
tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của:
a) AB+AC
b) BC
c) Chu vi tam giác
Đặt AB=x thì 2S=x.AC.sint 2
sin
S
b AC
x t
Và c2 BC2 AB2AC2 2AB AC .cost
2
2 2
2 2
4
4 cot sin
S
a) Đặt Q=AB+AC=x+b ta được:
2 sin sin
Q x
Suy ra ( ) 2 2 , 2
b)
2
2 2
2 2
4
4 cot sin
S
( ) 2 tan
2
t
sin
S x
t
c)
Chu vi tam giác là P=x+b+c
Vì x+b và c cùng nhỏ nhất khi 2
sin
S x
t
nên P cũng
đạt nhỏ nhất tại đó 2 2 2 tan
t
Bài 14:
Từ những hình hộp chữ nhật với diện tích đáy bằng Q và chiều cao hình hộp bằng đường chéo mặt đáy, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh
Gọi x là một cạnh đáy, cạnh còn lại là Q/x
Chiều cao hình hộp là 2 2
2
Q
x
2 2 2
Sxq đạt nhỏ nhất khi 2 2
2
Q x x
đạt nhỏ nhất
Trang 52 2
2 2 2 2
( ) 4 2
Min Sxq Q khi x Q
Nghĩa là đáy hình hộp là hình vuông
Bài 15:
Hãy tìm đoạn thẳng ngắn nhất chia một tam
giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau
C'
B' m y x
C
B A
Đoạn thẳng định thành tam giác AC’B’
AB’=x, AC’=y, B’C’=m, S là diện tích ABC
2 2 2 2 cos
m x y xy A
Theo giả thiết S(ABC)=2S(AB’C’)
sin
Sxy A
Suy ra 2 2 (1 cos )
2 (1 cos )
sin
A
m ngắn nhất là 2 (1 cos )
sin
m
A
khi
sin
S
x y
A
Bài 16:
(Bất đẳng thức Minkovski) Cho các điểm liên
tiếp O,A,B,C,…,Q,M Độ dài đường gấp khúc
OA+AB+BC+…+QM ≥ OM Hãy đặt tọa độ
các điểm O và A,B,C,…,Q,M để có bất đẳng
thức số
Xét trong mặt phẳng: với O(0;0), A(a1,a2),
B(a1+b1;a2+b2), …,M(a1+b1+…+m1;a2+b2+…+m2)
Ta có:
Mở rộng cho không gian n chiều:
( ) ( ) ( )
Ghi chú: có thể hiểu trên ý nghĩa của véc tơ:
1 2 n 1 2 n
a a a a a a
Bài 16:
Tam giác vuông ABC có A là góc vuông, BC+AB=k (cho trước) Hãy xác định góc B của tam giác ABC để diện tích ABC lớn nhất
x=AB thì cạnh huyền BC=kx
Suy ra AC (k x )2 x2 k k( 2 )x
Diện tích 1 ( 2 ) ( 2 )
k
S x k k x xx k x
2
S
2 ( )
6 3
k Max S khi
3
k
x
2
BC k x
Bài 17:
Tam giác vuông ABC có chu vi 2p (cho trước) Hãy xác định các cạnh của tam giác ABC để diện tích ABC lớn nhất
S p p a p b p c
3
( )( )( )
p a p b p c p
Vậy S lớn nhất là
2
3 3
p
khi a=b=c=2p/3
Bài 18:
Trang 6Trên nửa đường tròn đường kính AB=2R, hãy
tìm điểm C của sao cho AC.CD đạt lớn nhất
(CD vuông góc AB tại D)
Tam giác ABC vuông tại B có CD là đường cao
Đặt AD=x, ta có AC2=AD.AB=x.2R
CB2=4R22Rx
CD.AB=CA.CB
2
2 (4 2 )
(2 ) 2
R
AC CD Rx x R x
.
2
9
R Max AC CD
Khi x=4R/3
Bài 19:
Tam giác ABC có chu vi 2p và BC=a Định độ
dài 2 cạnh AB và AC để ABC có diện tích lờn
nhất Với giá trị nào của a thì diện tích đó lớn
nhất
Đặt AB=x thì cạnh AC=2pax
S a p p a p x a x p
( ) ( )
a p p a
p x a x p
( ) ( ( ))
2
a p p a Max S a khi
2
p
x
Khi có ( ) ( )
2
a p p a
3/ 2
2 2
3
S a aa p a
2
2 2
( )
2 2 3 3 3 3
p p p p
2
( ( ))
3 3
p
Max S a khi a=2p/3
Bài 20:
Trong một mảnh của hình tròn cắt bởi một dây cung Hãy dựng một hình chữ nhật nội tiếp mảnh này mà nó có diện tích lớn nhất
r
y
K 1
x-a
a O
K H
M
F E
D
A
Đặt OE=r, OH=a, OK=x, KF=y (như hình vẽ) Suy ra y r2 x2 (0<x<r)
Diện tích hình chữ nhật CDFE là :
2 2 2( )
S x a r x
2 ( )( )( )( ) 4
S
x a x a r x r x
Ta thêm vào 2 biến tham số u,v:
2
4
S
x a x a ur ux vr vx
4
uv
Ta chọn u,v sao cho:
u v
x a u r x v r x
2 ( ) ( 2)( )
v u
Trang 7( 2)( )
v u
x a
u
r x
2
2 ( )
v u
x a
u
r x
x a
r x
2
v u
x a
u
r x
x ax r
Giải ra 2 8 2
4
Ta chỉ nhận x>0 nên 2 8 2
4
Ta kiểm tra x<r 2 8 2
4
r
2 8 2 4
8 (r r a ) 0 (đúng)
Có x=OK dựng được CDFE
Bài 21:
Trong các hình hộp chữ nhật không có nắp và
tổng diện tích các mặt là S (cho trước), hãy tìm
khối hộp có thể tích lớn nhất
Gọi 3 kích thước là x,y,z (z là chiều cao)
S=2(x+y)z+xy=2xz+2yz+xy
3
3 4( ) 27.4
3
2
108
S
V
V đạt lớn nhất là
6 3
S S
V khi:
3
1
2 2 3
S
x y
xz yz xy
z
B BÀI LÀM THÊM:
Bài 22:
Một bình hình bán cầu, có bán kính R chứa đầy nước Nhúng hẳn vào bình nước một hình hộp chữ nhật có kích thước cạnh đáy là a,b và chiều cao x Định các kích thước ấy để thể tích nước tràn ra là nhiều nhất?
Bài 23:
Cho tứ diện DABC và điểm M trên đáy ABC Gọi P,Q,R là các hình chiếu vuông góc của M trên các mặt bên của tứ diện Định vị trí M để
tứ diện MPQR có thể tích lớn nhất
Bài 24:
CMR trong các hình hộp có cùng thể tích V thì hình lập phương có diện tích toàn phần nhỏ nhất
Bài 25:
Trong tất cả các tứ diện đỉnh S mà tổng độ dài
6 cạnh bằng k (cho trước) và 3 góc đỉnh S của các mặt bên đều vuông, hãy tìm khối tứ diện
có thể tích lớn nhất
Bài 26:
Cho 2 điểm A,B ở 2 phía của mp(P) Qua A,B hãy dựng mặt cầu cắt (P) theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất
Bài 27:
Trang 8Trong tam giác ABC (AB=c, BC=a, CA=b) cho điểm X và với x,y,z là khoảng cách từ X tới BC,CA,AB Gọi ha, hb, hc là độ dài các đường cao kẻ từ A,B,C Tìm vị trí X sao cho: a) a b c
x y z nhỏ nhất
b) h a h b h c
x y z nhỏ nhất
Bài 28:
Với một điểm bất kỳ M trong tứ diện ABCD, với h1,h2,h3,h4 là khoảng cách từ X tới các mặt của tứ diện Với vị trí nào của X thì tích số 4 khoảng cách đó lớn nhất
Bài 29:
Cho góc tam diện đỉnh O và số a Hãy tìm các điểm A,B,C trên các cạnh của tam diện sao cho OA+OB+OC=a và thể tích OABC lớn nhất
Bài 30:
Trong các khối trụ có thể tích V cho trước, hãy tìm kích thước của khối trụ để diện tích toàn phần đạt nhỏ nhất
