Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề 22 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC A Kiến thức cần nhớ • Để chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc khơng ta có thể: Dùng quan hệ góc cạnh đối diện tam giác (h22.1) Suy Hình 22.1 tam giác tù (hoặc tam giác vng) cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vng) cạnh lớn Dùng quan hệ góc cạnh đối diện hai tam giác có hai cặp cạnh (h.22.2) có: Khi Hình 22.2 Dùng quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu (h.22.3) Khi đó: (dấu • “=” xảy ) Hình 22.3 • Dùng bất đẳng thức tam giác (h.22.4) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Hình 22.4 Page Phát triển tư Hình học Mở rộng: Với ba điểm có ) thuộc đoạn thẳng • Tìm giá trị lớn độ dài đoạn thẳng Ta phải chứng minh (số thay đổi không đổi) rõ dấu “=” xảy Khi giá trị lớn độ dài • Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng Ta phải chứng minh (số lấy điểm có Ta viết thay đổi khơng đổi) rõ dấu “=” xảy Khi giá trị nhỏ độ dài B Một số ví dụ: Ví dụ Tam giác (dấu “=” xảy Ta viết Vẽ đường trung tuyến Chứng minh Trên tia đối tia Giải (h.22.5) - Tìm cách giải: Để chứng minh ta chứng minh cộng vế hai bất đẳng thức Sau - Trình bày lời giải: Tam giác Xét có suy có: , (1) chung, nên Suy Xét có , chung, nên (2) Hình 22.5 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Từ (1) (2), suy Nhận xét: Nếu Ví dụ 2: Cho tam giác có Gọi trung điểm Vẽ thuộc đường thẳng ) Chứng minh Giải (h.22.6) - Tìm cách giải: Ta có Để chứng minh ta biểu diễn theo hai cách khác dùng tính chất cộng vế hai bất đẳng thức chiều có Hình 22.6 - Trình bày lời giải: Ta có (cạnh huyền – góc nhọn) Xét tam giác có Suy nên (vì (*) ) Ví dụ Cho đoạn thẳng cho ngắn cạnh lớn nhất, (2) Từ (1) (2) suy phẳng bờ (1) Từ (*) ta Vậy vẽ tia Đặt trung điểm Trên nửa mặt vng góc với Lấy điểm Xác định giá trị để , điểm có độ dài Giải (.22.7) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học *Tìm cách giải Vẽ EH By Dễ thấy AF ≥ IH = AB (khơng đổi) Ta cần tìm giá trị m để dấu “=” xảy Khi minEF = AB *Trình bày lời giải Vẽ EH By Theo tính chất đoạn chắn song song ta EH = AB AE = BH Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có AF ≥ IH EF ≥ AB Dấu “=” xảy F AE = BF = (vì ) Vậy EF có độ dài ngắn (bằng độ dài AB) , tức m = 45 Ví dụ Cho góc nhọn xOy điểm A góc Xác định điểm M tia Ox, điểm N tia Oy cho OM = ON Tổng AM + AN nhỏ giải(h.22.8) *Tìm cách giải Xét điểm A, M, N ta có AM + AN ≥ MN độ dài MN lại thay đổi Do khơng thể kết luận Tổng AM + AN có giá trị nhỏ độ dài MN Ta phải thay Tổng AM + AN tổng hai đoạn thẳng có tổng lớn độ dài đoạn thẳng cố định Muốn ta cần vẽ thêm hình phụ để tạo thêm điểm E cố định *Trình bày lời giải Trên nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa A Vẽ tia Ot cho Trên tia Ot lấy điểm E cho OE = OA Như hai điểm A E cố định đoạn thẳng AE có độ dài không đổi “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ta có (c.g.c) AM = EN Do AM + AN = EN + AN Gọi F giao điểm AE với tia Oy Xét ba điểm N, A, E ta có: EN + AN ≥ AE (dấu “=” xảy tương đương N trùng F) Vậy AM + AN = AE N F Điểm M Ox cho OM = ON • • • C Bài tập vận dụng Quan hệ cạnh góc đối diện tam giác 22.1 Cho tam giác ABC, Chứng minh 22.2 Cho tam giác ABC, AB < AC Vẽ ngồi tam giác tam giác vng cân A ABE ACF Gọi D trung điểm BC Chứng minh DE < DF 22.3 Cho tam giác ABC, AB = Chứng minh 22.4 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh AM > góc A nhọn 22.5 Cho tam giác ABC điểm D nằm tam giác Chứng minh điểm A, B, C, D tồn điểm ba đỉnh tam giác có góc lớn Quan hệ đường vng góc đường xiên 22.6 Cho điểm A nằm đường thẳng a lấy điểm B a Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng a C Xác định vị trí điểm B để BC có độ dài nhỏ 22.7 Cho tam giác ABC cân A, BC = a Gọi O điểm đáy BC Qua O vẽ đường thẳng song song với hai cạnh bên, cắt AB AC M N Tìm độ dài nhỏ MN 22.8 Cho tam giác ABC cạnh dài 4cm Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = CE Tính độ dài nhỏ DE 22.9 Cho tam giác ABC, AC = 52cm Điểm M nằm B C Tính giá trị lớn tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM 22.10 Chứng minh tam giác có góc tổng hai cạnh kề góc 2a tam giác cân có góc đỉnh α tam giác có chu vi nhỏ Bất đẳng thức tam giác 22.11 Cho tam giác ABC Gọi xy đường phân giác gosc đỉnh C Tìm xy điểm M cho tổng MA + MB ngắn 22.12 Cho tam giác ABC có AM = 12, AC = 16 Gọi M điểm mặt phẳng Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 7MA + 3MB + 4MC 22.13 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh tổng HA + HB + HC nhỏ chu vi tam giác ABC 22.14 Cho tam giác ABC vng cân A, AB = a Tìm điểm M cho tam giác MAC cân M, đồng thời tổng MA + MB nhỏ “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Tìm giá trị nhỏ 22.15 Cho đường thẳng xy tam giác ABC có cạnh AB nằm nửa mawjt phẳng bờ xy đỉnh C di động xy Biết AB = 13cm, khoảng cách từ A B đến xy 2cm 7cm Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC 22.16 Một hộp gỗ hình lập phương cạnh dài 20cm Đáy ABCD đặt áp sát mặt bàn Nắp hộp A’B’C’D’ mở dựng đứng lên (h.22.9) Một kiến đỉnh A muốn bò tới đỉnh C’ cách vượt qua cạnh A’B’ phải bò quảng đường ngắn bao nhiêu? Hình 22.9 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page ... triển tư Hình học Mở rộng: Với ba điểm có ) thuộc đoạn thẳng • Tìm giá trị lớn độ dài đoạn thẳng Ta phải chứng minh (số thay đổi không đổi) rõ dấu “=” xảy Khi giá trị lớn độ dài • Tìm giá trị nhỏ... Để chứng minh ta chứng minh cộng vế hai bất đẳng thức Sau - Trình bày lời giải: Tam giác Xét có suy có: , (1) chung, nên Suy Xét có , chung, nên (2) Hình 22.5 “Trên đường thành cơng khơng có... giải: Ta có Để chứng minh ta biểu diễn theo hai cách khác dùng tính chất cộng vế hai bất đẳng thức chiều có Hình 22.6 - Trình bày lời giải: Ta có (cạnh huyền – góc nhọn) Xét tam giác có Suy nên