Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Chủ đề - BẤT ĐẲNG THỨC Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CƠ SI) Cho số thực khơng âm a, b, c ta có: a + b ≥ ab Dấu đẳng thức xảy a = b a + b + c ≥ 3 abc Dấu đẳng thức xảy a = b = c Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực khơng âm (Còn gọi bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau: 2 1 2 x + y) ( x y ≥ 1) + ≥ ; + ≥ a b a+b a + b2 a b a+b 2) 1 3 + + ≥ ≥ a b c a+b+c a + b2 + c2 3 3) a + ab + b = (a + b)2 + (a − b) ≥ (a + b) 4 4) a − ab + b = (a + b) + (a − b) ≥ (a + b) 4 5) ( a + b + c) ab + bc + ca ≤ 2 x + y + z) 6) x + y + z ≥ ( a b c a+b+c ≤ a2 + b2 + c2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 7) a + b 3 ( a + b) ≥ 8) 2(a + b ) ≥ ( a + b ) 2 ( a + b) ( a + b) ( a + b) ≥ ⇒ a + b4 ≥ = 9) Với a, b ≥ a m+ n + b m + n ≥ (a m + b m ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với (a n + b n )(a m − b m )( a n − b n ) ≥ điều hiển nhiên n a n + bn a + b ≥ ÷ Thật áp dụng (*) ta có (**) Tổng quát ta có n a n + b n a + b a n −1 + b n −1 a +b ≥ ÷ ≥ ÷ ÷ 2 10) Với a, b, c ≥ a m + n + b m + n + c m + n ≥ (a m + b m + c m )(a n + b n + c n ) (*) Thật ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (a m − b m )(a n − b n ) + (bm − c m )(b n − c n ) + (c m − a m )(c n − a n ) ≥ mà điều hiển nhiên n a n + bn + cn a + b + c Tổng quát ta có: ≥ ÷ Thật áp dụng 3 (*) ta có: a n + b n + c n a + b + c a n −1 + b n −1 + c n −1 a + b + c a n − + b n − + c n − ≥ ÷≥ ÷ ÷ ÷ 3 3 Áp dụng bất đẳng thức ta có: n n a n + n bn + n bn n a + n b + n c ≥ ÷ ÷ ⇔ 3 n a + n b + n c n a+b+c ≤ 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word n 1 1 1 + n+ n + + ÷ n Tương tự ta có: a b c ≥ a b c ÷ 3 ÷ n 1 1 Do + + ≥ suy n + n + n ≥ ÷ a b c a+b+c a b c a+b+c 11) 1 + ≥ với a, b ≥ a + b + 1 + ab 1 + ≥ Tổng quát: với a, b ≥ ta có (1 + a ) n (1 + b) n + ab ( 12) Với ≤ a, b ≤ ) n 1 + ≤ a + b + 1 + ab Tổng quát: Với a, b ∈ [ 0;1] ta có: n 1 +n ≤ 1+ a + b n + ab 13) Một số kết suy từ bất đẳng thức Cô si + ( a + b3 ) ( x + y ) ( m3 + n3 ) ≥ ( axm + byn ) (*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a3 x3 m3 + + ≥ a + b3 x + y m3 + n b3 y3 n3 + + ≥ a + b3 x + y m3 + n 3axm (a + b3 ) ( x3 + y ) ( m3 + n3 ) 3byn (a + b3 ) ( x3 + y ) ( m3 + n3 ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra: 3axm + 3byn 3≥ (a ( a + b ) ( x + y ) ( m3 + n ) ⇔ + b3 ) ( x3 + y ) ( m3 + n3 ) ≥ ( axm + byn ) + Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: (a + b3 + c ) ( x + y + z ) ( m3 + n + p ) ≥ ( axm + byn + czp ) Ví dụ 1: Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: a) a + b3 ≥ ab ( a + b ) 1 1 Với (a, b, c > 0) + 3 + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc c) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc b) d) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) e) Cho ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = Chứng minh: ab + bc + ca ≤ ( Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2015) Lời giải: 3 2 a) Ta có : a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) Suy a + b3 − ab ( a + b ) = ( a + b ) ( a − 2ab + b ) = ( a + b ) ( a − b ) ≥ suy đpcm b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có: a + b3 + abc ≥ ab ( a + b ) + abc = ab ( a + b + c ) Suy 1 ≤ Tương tự ta có: a + b + abc ab ( a + b + c ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b + c + abc 3 ≤ 1 ; ≤ Cộng ba bất bc ( a + b + c ) c + a + abc ca ( a + b + c ) đẳng thức chiều suy ra: 1 1 + 3 + ≤ Dấu xảy 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc a = b = c c) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc Cách 1: Ta có: a + b ≥ ab , b + c ≥ bc , c + a ≥ ca ⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc Cách 2: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a + b + c ≥ 3 abc , ab + bc + ca ≥ 3 a 2b 2c ⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Suy ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc ≥ 8abc Chú ý: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc biến đổi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức: d) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) Chú ý rằng: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc Áp dụng câu c ta có đpcm e) Ta ý: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc Suy ab + bc + ca = + abc a+b+c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Theo bất đẳng thức Cô si ta có: a + b + b + c + c + a ≥ 33 ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) = ⇒ a + b + c ≥ Mặt khác sử dụng: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc ⇒ abc ≤ Từ suy 1+ + abc = Dấu ‘’=’’ xảy ≤ ra: ab + bc + ca = a+b+c a = b = c = Ví dụ 2: a) Cho số thực dương a, b, c cho a + b + c + ab + bc + ca = Chứng minh rằng: a + b + c ≥ Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013 1 b) Cho số thực dương a, b cho : + = Chứng a b 1 + ≤ Trích đề tuyển 2 a + b + 2ab b + a + 2a b sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013) c) Cho số thực dương a, b cho a + b = Chứng minh: Q = a b 1 2 minh: ( a + b ) − + ÷+ + ÷ ≥ 10 b a a b d) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = 2a + bc + 2b + ac + 2c + ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014 e) Cho số thực không âm a, b cho a + b = Tìm GTLN P = ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà a+b+2 Nội 2015 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a = b = c = Ta có cách giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: a + b ≥ 2ab, b + c ≥ 2bc , c + a ≥ 2ac, a + ≥ 2a , b + ≥ 2b, c + ≥ 2c Cộng bất đẳng thúc chiều ta suy ( a + b + c ) + ≥ ( ab + bc + ca + a + b + c ) = 12 ⇒ a + b + c ≥ Dấu xảy a = b = c = b) Dự đốn a = b = bất đẳng thức xảy dấu Từ ta có cách áp dụng BĐT Cơ si sau: Ta có: a + b ≥ 2a 2b, b + a ≥ 2ab Từ suy Q≤ 1 1 + = + = Từ 2 2a b + 2ab 2b a + 2a b 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) ab ( a + b ) giả thiết 1 a +b + =2⇒ = ⇒ a + b = 2ab suy Q ≤ Do ( a + b) a b ab 1 1 + ≥ ⇒ ≤ Suy Q ≤ Dấu xảy a b a+b a +b 2 a = b = 2= c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: ( 2 ( a + b ) − 2ab − − 4ab − a + b ) − 2ab ( a + b ) − 2ab ≥ 10 Hay +9 ab a 2b 2 − 2ab − 2ab + 2 − 10 ≥ ⇔ −2a 2b2 − a 3b3 − 24ab + 12a 2b + 36 − 18ab ≥ ab ab ⇔ −2a 2b − 4a 3b3 − 24ab + 12a 2b + 36 − 18ab ≥ ⇔ 4t − 10t + 42t − 36 ≤ (*) với < t = ab ≤ ( a + b) = Ta có (*) tương đương với: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2t − 5t + 21t − 18 ≤ ⇔ ( t − 1) ( 2t − 3t + 18 ) ≤ Do 2t − 3t + 18 > t − ≤ nên ( t − 1) ( 2t − 3t + 18 ) ≤ Dấu xảy t = ⇔ a = b = d) 2a + bc = a ( a + b + c ) + bc Áp dụng bất đẳng thức Cô si ( a + b) ( a + c) ≤ a+b+a+c , tương tự ta có: 2b + ac = b ( a + b + c ) + ac ≤ 2c + ab ≤ ( b + a) ( b + c) b+a +b+c , ≤ c+a+c+b Từ suy P = 2a + bc + 2b + ac + 2c + ab ≤ 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b + + = 2(a + b + c ) 2 Dấu xảy a = b = c = Ta viết lại P = ab ⇒ Đặt a + b + = t ⇒ t > a+b+2 ⇔ a + b + 2ab = ( t − ) ⇒ 2ab = t − 2t + 2 ( a + b) = ( t − ) Ta có : 2 ( a + b ) ≥ ( a + b ) ⇒ ( a + b ) ≤ ⇔ a + b ≤ 2 ⇒ < t ≤ 2 + Ta 2 ab t − 2t + Dự đoán dấu xảy = a+b+2 t a = b = ⇒ t = 2 + nên ta chứng minh: chứng minh: P = P≤ t − 2t + ⇔ ≤ ⇔ t +1 +1 Hay t − ( ) ( ( ) ( ) +1 t2 − 2 + t + 2 + ≤ )( ) + t + ≤ ⇔ t − 2 − t − + ≤ Bất đẳng thức < t ≤ 2 + Dấu xảy t = 2 + ⇔ a = b = MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức Cô si Đối với tốn bất đẳng thức đối xứng thơng thường dấu xảy biến sở để ta phân tích số hạng cho áp dụng bất đẳng thức Cơ si dấu phải đảm bảo Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho x, y số dương thỏa mãn x + y = Chứng 2 2 minh x y ( x + y ) ≤ (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007) Lời giải: Ta dự đoán dấu xảy x = y = Khi xy = , x2 + y = Mặt khác để tận dụng giả thiết x + y = ta đưa đẳng thức ( x + y ) Vì ta phân tích tốn sau: x y ( x + y ) = xy.2 xy ( x + y ) Theo bất đẳng thức Cauchy ( x + y) xy ≤ = , xy ( x + y 2 ) xy + x + y ( x + y ) ≤ = Từ ÷ = 2 2 suy x y ( x + y ) ≤ Dấu xảy x = y = Ngoài cách làm ta giải tốn cách đưa biến: t = x + y t = xy với ý: ( x + y ) ≥ xy , ( x + y ) ≥ ( x + y ) Thật vậy: Đặt t = xy; ( x + y ) = x + y + xy 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ⇒ = x + y + 2t ⇔ x + y = − 2t Do 2 2 ( x + y) xy ≤ = ⇒ < t ≤ Ta 2 cần chứng minh: t ( − 2t ) ≤ ⇔ t − 2t + ≥ ⇔ ( t − 1) ( t − t − 1) ≤ Bất đẳng thức với giá trị < t ≤ Ví dụ 2: a) Cho a, b số không âm thỏa mãn a + b ≤ Chứng minh rằng: a 3a ( a + 2b ) + b 3b ( b + 2a ) ≤ (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009) b) Với ba số dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = , tìm giá trị lớn biểu thức: Q = x y z + + x + x + yz y + y + zx z + z + xy (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a = b = Khi 3a = a + 2b,3b = b + 2a nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức dấu Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a 3a ( a + 2b ) ≤ a 3a + a + 2b = 2a + ab , b 3b ( b + 2a ) ≤ b 3b + b + 2a = 2b + ab xy ≤ x+ y , dễ thấy Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đối với bất đẳng thức dạng f (a ) + f (b) + f (c) ≤ M Ta thường thêm bớt vào số m để tử số có dạng bình phương Ví dụ 4: Cho số thực dương a, b, c cho abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≤ a − a +1 b − b +1 c − c +1 Phân tích: Ta lấy 1 − m − ma + ma để − m − ma + ma phân tích −m= 2 a − a +1 a − a +1 thành: ( xa + y ) − m − ma + ma = có nghiệm kép Hay ∆ = m + 4m(1 − m) = ⇔ m ( − 3m ) = ⇔ m = đẳng thức thành: Ta viết lại bất 4 − + − + − ≤ −1 hay a − a +1 b − b +1 c − c +1 (2a − 1) (2b − 1) (2c − 1) + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức: a − a + b2 − b + c2 − c + x y z ( x + y + z ) ta thu được: + + ≥ A B C A+ B+C VT ≥ (a [ 2(a + b + c) − 3] 2 + b + c ) − (a + b + c ) + [ 2(a + b + c) − 3] ( a + b + c) 2 Ta cần chứng minh: ≥ ( a + b + c ) − (a + b + c) + 3 hay + 6(ab + bc + ca ) ≥ ( a + b + c ) Ta có: (ab + bc + ca) = a 2b + b c + c a + 2abc(a + b + c ) ≥ a 2bc + b ca + c ab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c ) = 3(a + b + c ) Ta quy toán chứng minh: ( a + b + c) + 3(a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) Đặt t = 3( a + b + c) ⇒ t ≥ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có bất đằng thức trở thành: t4 + 6t ≥ 3t ⇔ t − 27t + 54t ≥ ⇔ t ( t − 27t + 54 ) = t (t − 3)2 (t + 6) ≥ Điều hiển nhiên Dấu xảy a = b = c = Cho số thực dương a, b, c cho a + b2 + c = Chứng minh rằng: a b c + + ≤ a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 Một số cách thêm bớt khơng mẫu mực: Ví dụ 5: Cho số thực dương a, b, c cho a + b + c = Chứng minh: a2 b2 c2 + + ≤ 3a + 3b + 3c + 18( ab + bc + ca) Giải: a2 3a 1 a = = a− Ta có: ÷ Vì ta quy toán 3a + 3a + 3a + chứng minh: a b c + + + ≥1 3a + 3b + 3c + 6( ab + bc + ca) ( a + b + c) a ≥ = Ta có: ∑ 3a + a ( 3a + 1) + b ( 3b + 1) + c ( 3c + 1) ( a + b2 + c ) + Suy VT ≥ 1 ≥ =1 ( a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) ( a + b + c ) + 2 + Ví dụ 6: Cho số thực dương a, b, c cho a + b + c = b c a 1+ a 1+ b 1+ c + + Chứng minh: + + ÷ ≥ a b c 1− a 1− b 1− c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Giải: Do 1+ a 2a = + nên ta viết lại bất đẳng thức thành: 1− a b + c a a ab b c a a b c = + + ≥ + + + Lại có: − nên ta c b + c c (b + c) a b c b+c c+a a +b chứng minh: ∑ ab ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy c(b + c) ( ab + bc + ca ) ab a 2b =∑ ≥ Shwarz ta có: ∑ c(b + c ) abc(b + c) 2abc ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) 2abc ( a + b + c ) Ta cần chứng minh: ≥ toán quen thuộc Ví dụ 7: Cho số thực dương a, b, c cho ab + bc + ca = Chứng minh: a + b + c + ab bc ca 3 + + ≥ b+c c+a a+b Giải: ab a 2b Ta ( a + b + c ) = ab + b+c b+c viết bất đẳng thức cần chứng minh thành: Nhân vế với a + b + c ý: ( a + b + c) +1+ a 2b b2c c2a 3 + + ≥ ( a + b + c) b+c c+a a+b ( ab + bc + ca ) a 2b b2c c2a + + ≥ = Ta có: b + c c + a a + b b(b + c) + c(c + a ) + a (a + b) ( a + b + c ) − Cuối ta chứng minh: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( a + b + c) +1+ ( a + b + c) −1 ≥ 3 ( a + b + c ) Nhưng 3 ( a + b + c ) ≤ ( a + b + c ) + 3 nên ta quy về: ( a + b + c) +1+ ( a + b + c) −1 ≥ 3 ( a + b + c ) + 3 Dành cho học sinh 4) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Tùy theo toán ta chọn cách đặt ẩn phụ sau: 1 1 1) ( a, b, c ) → , , ÷ a b c ka kb kc 2) ( a, b, c ) → , , ÷ b c a kb kc ka 3) ( a, b, c ) → , , ÷ a b c ka kb kc , , 4) ( a, b, c ) → ÷ bc ac ab kbc kca kab 5) ( a, b, c ) → , , ÷ b c a Ví dụ 1: Cho số thực dương x, y, z cho xyz = Chứng minh rằng: 1 + + ≥1 x + x +1 y + y +1 z + z +1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức: X Y2 Z2 ( X +Y + Z ) + + ≥ A B C A+ B+C dấu bất đẳng thức bị ngược Để không bị ngược dấu ta thay ( x, y, z ) → bc ca ab , , ÷ bất a b c đẳng thức cần chứng minh trở thành: a4 b4 c4 + + ≥ (*) a + a 2bc + b c b + b ac + a 2c c + c ab + a 2b 2 2 X +Y + Z ) Bây áp dụng bất đẳng thức: X + Y + Z ≥ ( A B C A+ B +C có: VT ≥ (a + b2 + c ) minh: ta a + a 2bc + b c + b + b ac + a c + c + c ab + a 2b (a + b2 + c ) Ta cần chứng a + a 2bc + b c + b + b ac + a 2c + c + c 2ab + a 2b ≥1 ⇔ b c + a c + a 2b ≥ abc(a + b + c) Nhưng kết quen thuộc Ví dụ 2: Cho số thực dương x, y, z cho xyz = Chứng minh rằng: 1 1 + + ≥ ( x + 1)( x + 2) ( y + 1)( y + 2) ( z + 1)( z + 2) Phân tích: Đặt x = bc ac ab ; y = ; z = bất đẳng thức cần chứng minh trở a b c thành: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a4 ∑ ≥ Áp dụng bất đẳng thức: 2 (2a + bc)(a + bc) X Y2 Z2 ( X +Y + Z ) + + ≥ A B C A+ B+C VT ≥ ∑ ( a + b2 + c ) ta có: ∑(2a + bc)(a + bc) Ta cần chứng minh: ∑ ( a + b + c ) ≥ ∑(2 a + bc)( a + bc) ⇔ a 2b + b 2c + c a ≥ abc (a + b + c) Đây kết quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: 2x + x+ y 2y 2z + ≤3 y+z z+x Giải: Đặt x = a b c ; y = ; z = Bất đẳng thức cần chứng minh trở b c a thành: a2 b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức + + ≤ 2 a + bc b + ac c + ab Bunhiacopxki ta có: a (a + b)(a + c ) a2 b2 c2 a ∑ + + ∑ ÷ ≤ ∑ ÷ a + bc ÷ (a + b)(a + c) ÷ b + ac c + ab a + bc Mặt khác ta có: ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Mặt khác ta có: ∑ ( ab + bc + ca ) a = ≤ Ta (a + b)( a + c) (a + b)(b + c)(c + a ) 4(a + b + c ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word quy toán chứng minh: ∑ khác ta có: a( a + b)( a + c) ≤ ( a + b + c ) Mặt a + bc a (a + b)(a + c) a (b + c ) Ta quy toán =a+ a + bc a + bc chứng minh: ∑ a (b + c) ≤ a+b+c a + bc KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HĨA Ví dụ 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: 2a 2b 2c + + ≤3 a+b b+c c+a Giải: Ta có: 2a = a+b 2a ( a + c ) ⇒ ∑ ( a + b ) (a + c) 2a ( a + c ) ÷ ≤ ( a + b ) (a + c) ÷ a b c 2(a + b + c) + + ( a + b ) (a + c) ( b + c ) (b + a ) ( c + a ) (c + b) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ( a + b) ( b + c) ( c + a ) Bây ta cần chứng minh: ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ ⇔ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( a + b) ( b + c) ( c + a ) Nhưng kết quen thuộc: Ví dụ 2: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Giải: Ta có: a = a + b + 2c a ( a + 2b + c ) ⇒ ∑ ( a + b + 2c ) ( a + 2b + c ) a ( a + 2b + c ) ÷ ≤ a + b + c a + b + c ( )( ) ÷ ( ∑ a + ∑ ab ) ( ∑ a ) ∑ a ( a + 2b + c ) ∑ = ( a + b + 2c ) ( a + 2b + c ) ( a + b + 2c ) ( a + 2b + c ) (b + 2a + c ) Ta cần chứng minh: ( ∑ a + ∑ ab ) ( ∑ a ) ( a + b + 2c ) ( a + 2b + c ) (b + 2a + c) ≤ Sau khai triển thu gọn được: ( a + b3 + c ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c ) + ca (c + a ) Đây tốn quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b, c cho a + b + c = Chứng minh: ab bc ca + + ≤ ab + bc bc + ca ca + ab Giải: Ta có: ∑ ab a 2b = = a+c ab + bc a 2b ( a + b ) ( a + c) ( a + b) suy 2 ( ∑ a ) ∑ a b + abc ∑ a a 2b ( a + b ) a 2b ÷ ≤ ∑ ( a + b ) ∑ = ( a + c ) ( a + b ) ÷ ( a + b ) ( b + c ) (c + a ) ( a + c) ( a + b) Ta cần chứng minh: ( ∑ a ) ∑ a 2b + abc ∑ a ( a + b ) ( b + c ) (c + a ) ≤ ⇔ ( ∑ a ) ∑ a 2b + abc ∑ a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ≤ ( a + b + c ) ( a + b ) ( b + c ) (c + a ) Khai triển thu gọn ta quy về: ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ≥ ( a 2b + b 2c + c a ) Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo BĐT cô si: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) a b c a+b+c + + ≥ 2 b + bc + c c + ca + a c + ca + a ab + bc + ca a b c a+b+c + + ≥ 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a a + b2 + c2 (a + 3) ( b + 3) ( c + 3) ≥ ( a + b + c + 1) a 3b b3 c c 3a abc (a + b + c ) + + ≥ 2 + ab + bc + ca + abc 2 a b c với a+b+c = + + ≥1 2 a + 2b b + 2c c + 2a ab bc ca + + ≤ ( a + b + c) a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b ab bc ca a +b+c + + ≤ 2 2 2 a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 1 với + + ≥1 a+b+c = 2 2ab + 2bc + 2ca + 3a + b 3b + c 3c + a Với a, b, c độ dài cạnh tam + + ≥4 2a + c 2b + a 2c + b giác b c ab + bc + ca Với 10) a a, b, c độ dài + + + ≤ 2 b+c c+a a+b a +b +c cạnh tam giác ab bc ca biết a, b, c ≥ cho + 2 + ≥ 2 a +b b +c c +a khơng có số đồng thời a + b + c = 2(ab + bc + ca ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a b c + + ≤ biết a, b, c ≥ cho 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab khơng có số đồng thời a + b + c = 12) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP a b c a +b+c + + ≥ 2 1) b + bc + c c + ca + a c + ca + a ab + bc + ca a a2 Suy = b + bc + c ab + abc + ac Ta có: ( a + b + c) a2 ∑ ≥ ab + abc + ac ab + ac + bc + ba + 3abc Ta cần chứng minh: ( a + b + c) ab + ac + bc + ba + 3abc 2 2 ≥ a+b+c ab + bc + ca ⇔ ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) ≥ ab + ac + bc + ba + 3abc (Nhưng đẳng thức) 2) Ta có: Suy ab + bc + ca ≤ a + b + c a b c a+b+c + + ≥ 2 2 b + bc + c c + ca + a c + ca + a a + b2 + c2 2 ( b + c + 1) b + c + ( a + b + c + 1) = a + ÷ ≤ ( a + 3) 1 + 3) 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( b + c + 1) Ta chứng Từ suy ( a + b + c + 1) ≤ ( a + ) 1 + minh: 2 ( b + c + 1) ( a + 3) 1 + ≤ ( a + 3) ( b + 3) ( c + ) ⇔ 3 + ( b + c + 1) ≤ ( b + 3) ( Bất đẳng thức tương đương với: 3 + ( b + c + 1) ≤ ( b + ) ( c + 3) ⇔ 4 + b + c + 2bc + 2b + 2c ≤ 9b + 9c + 3b ⇔ ( b + c ) + 3b c − 8(b + c) − 8bc + 13 ≥ Ta viết lại bất đẳng thức thành: ( b + c ) − 2bc − 8(b + c) + + ( bc − 1) ≥ ( ) ( ) Ta có b + c ≥ 2bc, b + c ≥ ( b + c ) ⇒ b + c ≥ ( b + c ) Nên 2 ( b + c ) − 2bc − 8(b + c) + + ( bc − 1) ≥ 2(b + c) − 8(b + c) + + 2bc − 2bc + 3(bc − = ( b + c − ) + 3(bc − 1) ≥ Dấu xảy a = b = c =1 a 3b b3 c c 3a abc (a + b + c ) + + ≥ 2 4) + ab + bc + ca + abc Ta có: a 3b a 4b c Suy = + ab abc + a 2b3c a 2bc + b ac + c ab ) ( a 3b a 4b c ∑ =∑ ≥ + ab abc + a 2b3c abc + a 2b3c + bca + b 2c 3a + cab + c a 3b 2 a 2b2 c ( a + b + c ) = abc + a 2b3c + bca + b c 3a + cab + c a 3b 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta chứng minh: a 2b c ( a + b + c ) abc (a + b + c) ≥ 2 2 2 abc + a b c + bca + b c a + cab + c a b + abc ( + abc ) abc(a + b + c) ≥ abc + a 2b3c + bca + b 2c 3a + cab + c 2a 3b Đây đẳng thức.Dấu xảy a = b = c a2 a4 = 5) a + 2b a + 2a 2b 2 a2 + b2 + c2 ) ( a a Suy ∑ Ta chứng minh: =∑ ≥ a + 2b a + a 2b ∑ a + ∑ a 2b 2 (a + b2 + c ) ∑ a + ∑ a 2b Hay (a ≥1 + b2 + c ) ∑ a + 2∑a b 2 ≥ ⇔ a + b + c ≥ a + b3 + c Ta cần chứng minh: a + b + c ≥ a + b3 + c với a + b + c = Ta chứng minh: ( a + b + c ) ≥ ( a + b3 + c ) ( a + b + c ) ⇔ ( a + b + c ) ≥ ab ( a + b ) + bc ( b + c Để ý rằng: ( a + b ) = ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) ≥ 2ab ( a + b ) ⇔ a + b ≥ ab ( a + b ) Cộng ba bất đẳng thức chiều ta suy điều phải chứng minh: 6) Ta có: 1 1 1 ab ab = ≤ + + ÷⇒ ≤ + a + 3b + 2c (a + c ) + (b + c ) + 2b a + b b + c 2b a + 3b + 2c a + b b Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại thu được: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ab bc ca ab ab bc bc ca + + ≤ + + a+ + + b+ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b a + c b + c b+a c+a c+ ⇔ ab bc ca + + ≤ ( a + b + c) a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 7) Ta có ab bc ca a+b+c + + ≤ 2 2 2 2 a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b b a2 a + b) ( ab b b2 ≤ + ≤ a + 2b + c a + b + b + c a + b b + c Suy b a2 b2 c b2 c2 a a2 c2 a + b + c VT ≤ + + + + + ÷ ÷ ÷= a + b2 b2 + c2 b2 + c2 c2 + a a + b2 c + a2 1 + + ≥1 2 8) 2ab + 2bc + 2ca + Ta có: VT ≥ c2 suy = 2ab + 2ab c + c ( a + b + c) a + b + c + 2a 2b c + 2a 2bc + 2ab2 c ( a + b + c) a + b + c + 2a b c + 2a bc + 2ab c 2 2 Ta chứng minh: 2 2 ≥ ⇔ ab + bc + ca ≥ a 2b 2c + a 2bc + ab 2c ⇔ ab + bc + ca ≥ abc (a + b + c ) ⇔ abc ≤ Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: = a + b + c ≥ 3 abc = ⇒ abc ≤ điều phải chứng minh a(3 − 2m) + b − mc Ta xét: 3a + b −m = 9) 2a + c 2a + c Chọn m = để xuất hiện: 3a + b a+b−c −1 = 2a + c 2a + c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Khi ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: a+b−c b+c−a c+ a−b + + ≥1 2a + c 2b + a 2c + b Suy 10) 1− ( a + b − c + b + c − a + c + a − b) VT ≥ ( a + b + c) = ( a + b + c) 2 ∑( a + b − c )(2a + c) = Đpcm Ta viết lại bất đẳng thức thành: a b c ab + bc + ca +1− +1− ≥ + b+c c+a a + b a + b2 + c ( a + b + c) b+c−a a +c−b a +b−c ⇔ + + ≥ b+c c+a a+b ( a + b2 + c ) 4( a + b + c) ( a + b + c) = Ta có VT ≥ ∑ ( b + c − a ) ( b + c ) ( a + b2 + c ) 11) Ta có: ab ab a + b 2ab = ≥ 2 2 2 a +b a +b a +b Ta quy toán chứng minh: ( a + b) a + b2 VT ≥ ( b + c) + b2 + c2 4( a + b + c) ( c + a) + c2 + a2 ( a + b2 + c ) (a ≥ Thật ta có: 4( a + b + c) = 2ab 2bc 2ca + 2+ ≥ Hay a + b b + c c + a2 2 + b + c ) + 2ab + 2bc + 2ca = Dấu xảy a = b, c = hoán vị http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a b c Ta có: VT ≤ a + b + c + + ( ) ÷ 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab 12) a b c = 2 + + ÷ Ta chứng minh: 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab a b c + + ≤ 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab ⇔ a b c − + − + − ≥ 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab ⇔ bc ca ab + + ≥ 4a + 3bc 4b + 3ca 4c + 3ab Ta có: VT ≥ ( ab + bc + ca ) ( a b + b c + c a + 4abc ) 2 2 2 ( ab + bc + ca ) = ( a b + b c + c a + 2abc ( a + b + c ) ) 2 2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word = ... dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức Cô si Đối với tốn bất đẳng thức đối xứng thơng thường dấu xảy biến sở để ta phân tích số hạng cho áp dụng bất đẳng thức Cô si dấu phải đảm bảo Ta... + c ÷ ≥ + a + b + c = Bất đẳng thức cuối a b c hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 + a ≥ 2, =; + b ≥ 2; + c ≥ a b c Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Ví... p+m m+n Do bất đẳng thức trở thành: 2m 2n 2p ≤ ⇔ ( m + n ) ( n + p ) ( p + m ) ≥ 8mnp n+ p p+m m+n Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( m + n) ( n + p ) ( p + m) ≥ mn np pm = 8mnp Bài toán