Bất đẳng thức chuyên giai đoạn 2009 2019

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

18 Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 2009-2019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Cho x, y số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4x2  4y2  17xy  5x  5y �1 P  17x2  17y2  16xy Lời giải 4x2  4y2  17xy  5x  5y �1 � 4 x  y   9xy  5 x  y  �1 Ta có: Đặt t  x  y, t   x  y xy �  , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: t2 4t2  � t 5t Do đó: 2 2 2 x y � 5 hay t P  17x2  17y2  16xy  17 x  y   18xy Ta có: �17 x  y  Dấu “=” xảy  x  y  18 2 25 25 �2  �   x  y � �  6 � � 4� � � 21 x y Vậy giá trị nhỏ P  Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho số thực x, y thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  xy  x  2  y  6  13x2  4y2  26x  24y  46 Lời giải Ta có: P  xy  x  2  y  6  13x2  4y2  26x  24y  46         x2  2x y2  6y  13 x2  2x  y2  6y  46 2 2 � � 13� � 4� � y   x   y   9� 46 �x  1  1�       �� � � � � � Đặt a  x  1, b  y  , đó: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com        P  a2  b2   13 a2   b2   46  a b  9a  b   13a  13  4b  36  46 2 2 2  4a2  3b2  a2b2  �6 �a  �x  1 �� � x  1,y  3 � b  y   � � Dấu “=” xảy Vậy giá trị nhỏ P Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab  bc  ca  abc  1   1 1) Chứng minh rằng: a  b  c  P 2) Tìm giá trị nhỏ nhất:   a2  b2     b2  c2     c2  a2  Lời giải 1) Ta có: 1   1 a b c �  b  2  c  2   a  2  c  2   b  2  a  2   a  2  b  2  c  2 � ab  bc  ca  4 a  b  c  12  abc  2 ab  bc  ca  4 a  b  c  �  ab  bc  ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:   x2  y2 � x  y  (*) 1 �1 � � � � x  y �x y � (**) Thật vậy:  * �  x  y  �0 (luôn đúng) LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com x y ���  ** ۳�4xy x y  x y  x y 4xy (luôn đúng) Các bất đẳng thức (*), (**) xảy dấu “=” x = y Lần lượt áp dụng (*) (**) ta có: 1 1� 1 � �  � �  � a2  b2  a  b   a  2   b  2 �a  b  �   Tương tự: 1� 1 � � �  ; � b  c  � � b c 4  2  1� 1 � � �  ; � c  a  � � c a 4  2  Cộng theo vế ta được: 1� 1 � 1 P� �     � �a  b  c  � 2 Dâu “=” xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020] Cho K  ab  4ac  4bc với a,b,c �0 a + b + 2c = 1 K� 1) Chứng minh rằng: 2) Tìm giá trị lớn K Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 �b  2c � �a  b  2c � 1 4bc �2� �2�  � 4bc � � � � � � � a,b,c �0 � K  ab  4ac  4bc �4bc � Mặt khác: Dấu “=” xảy a  0,b  1 ,c  Cách khác: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Ta có: K  ab  4c a  b  ab  2 1 a  b  a  b   ab  2 a  b  a2  b2  2b2   a  2 b  2a  2a2 Do đó:  2b2   a  2 b  2a  2a2  K   * Để tồn K phương trình (*) Phải có nghiệm:   �  �0 �  a  2  4.2 2a  2a2  K �0 ۳ 8K 20a  17a2  b 2c Vì a,b,c �0 a � a Do đó: 2a  17a2  a 20 17a �a 20  17.1  3a �0 Do 8K 4� K Dấu “=” xảy a  0,b  1 ,c  2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: �a  b  2c � a b  2c �� � � � Mặt khác: a,b,c �0 � K  ab  4ac  4bc �ab  4ac �2ab  4ac  2a b  2c  a  b  2c � 2  Dấu “=” xảy khi: a  b  2c,a  b  2c  1,bc  0,ab  � a  1 ,b  0,c  Vậy giá trị lớn K Câu 5: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020] LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com � �0  a,b,c  � � 2a  3b  4c  Cho số thực a, b, c thỏa mãn � Tìm giá trị nhỏ P biểu thức   a 3b  4c  2 b 4a  8c  3 c 2a  3b  1 Lời giải Ta có: P   a 3b  4c  2 b 4a  8c  3 c 2a  3b  1    a 3 2a  2 b   6b  3 c 3 4c  1    a 1 2a b 1 2b c 1 2c  2a 3b2 4c   2 a  1 2a b  1 2b c2  1 2c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: �a  a  1 2a � a  1 2a �� � 27 � � 1 b2  1 2b � c2  1 2c � 27 ; 27 Tương tự: Suy ra: P �27 2a  3b  4c  81 Dấu “=” xảy a b c Vậy giá trị nhỏ P 81 Câu 6: [TS10 Chun Hòa Bình, 2019-2020] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng: a b  � 4b  4a  Lời giải Ta có: a b�4ab �� a �� b � a  b � a b 1� LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC a b 1 a b 0 FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Lại có: a 4ab2 4ab2  a  � a   a  ab 4b 4b2  4b2  b 4a2b 4a2b  b  � b   a  ab 4a 4a2  4a2  a b a b 1  � a  b  2ab   a  b    a  b � 2 4b  4a  Do đó: Dấu “=” xảy a b Câu 7: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x2  y2  z2 �3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  1   y  2   z  3 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1 �1 �  � �  �� 2 �a b �  a  b a b (*) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: P  x  1  8 64 �  � 2 �y �  z  3 � y �  z  3 � y � x   2� x   z  5� �2  1� � � � � � � � �  Mặt khác: 2 3y  y2 x  z � x2  z2 � 3y  y2 �   64 P�  � �  2y  y2 � � � � Dấu “=” xẩy   64 � �   y  2 � � � � �1  x,y,z    1,2,1 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Vậy giá trị nhỏ P Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] 1   �1 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a3 b3 c3   a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2 Lời giải Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: 1   � x y z x  y  z (với x,y,z  ) (*) �1 1� (*) �  a  b  c �   ��9 �a b c � Thật vậy: Áp dụng AM – GM ta được: 1 1�  a  b  c � �a  b  c ��3 � � abc 3 abc 9 Vậy bất đẳng thức (*) chứng minh, dấu “=” xảy x = y = z Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được: 1 1�   � � a  b  c  �9 � a  b  c �6 a b c a b c Q b3 c3 a3   a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2 Đặt Ta có: a3  b3 b3  c3 c3  a3   a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2  a  b a2  ab  b2  b  c b2  bc  c2  c  a c2  ca  a2    a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2   a  b   b  c   c  a PQ        0 Do đó: P = Q LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com x2  xy  y2 � x2  xy  y2    ** Mặt khác: Thật vậy: x2  xy  y2 � x2  xy  y2 � 3x2  3xy  3y2 �x2  xy  y2 � 2 x  y  �0   Sử dụng (**) ta được: a3  b3 b3  c3 c3  a3   a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2  a  b a2  ab  b2  b  c b2  bc  c2  c  a c2  ca  a2    a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2 PQ       1 �  a  b   b  c   c  a 3  2 a  b  c �   3 Mà P Q  P Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 9: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020] Cho số dương a, b, c dương thỏa mãn abc  a  b  c  Tìm giá trị P lớn biểu thức a2  b2  b2  c2  c2  a2 Lời giải Từ abc  a  b  c  �  a  b  b  1  c  1   a  1  b  1   b  1  c  1   c  1  a  1 � 1   1 a b c Đặt � x,y,z  1  x,  y,  z�� x  y  z  a b c � a Khi đó: x y 1 x y  z zx  ;b  ;c  x x y z LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com P a2  b2 Nên  b2  c2  c2  a2 � �1 1 �   � � � ab bc ca �  y y � x z z x �   � � z  x x y x y y  z � 2� � y z z x �  y � y x z x z �   � � z  x x y x y y  z � 2� � yz zx � � �y y �� x � x ��z z � �    � � � � � � � � 2� � �y  z z  x � �z  x x  y � �x  y y  z � � �x y ��y � z ��z x �    � � � � � � � � 2� �x  y x  y � �y  z y  z � �z  x z  x � �  Dấu “=” xảy x  y  z hay a  b  c Vậy giá trị lớn biểu thức P a = b = c = Câu 10: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho x, y,  z  x2  y2  z2  9x  y  z   18yz  Q số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức: 2x  y  z y z Lời giải Ta có:   x2  y2  z2  9x  y  z   18yz �0 � 5x2  9x  y  z   5 y  z   28yz �0 � 5x2  9x  y  z   5 y  z  �7.4yz �7 y  z  2 � 5x2  9x  y  z   2 y  z  �0 2 �x � x � 5�  �0 � yz �y  z � t Đặt: x  t  0 yz đó: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com 5t2  9t  �0 �  5t  1  t  2 �0  t ۣ x yz ۣ  5t  1 0 Q Ta có: 2x  y  z x   1�2.2  yz yz x yz Dấu “=” xảy Vậy giá trị lớn Q Câu 11: [TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020] Cho x, y, z không âm thỏa mãn thức x  y  z  Tìm GTLN GTNN biểu M  x2  6x  25  y2  6y  25  z2  6z  25 Lời giải Ta có: M  x2  6x  25  y2  6y  25  z2  6z  25  Đặt  3 x  16   3 y   16  a  3 x,b  3 y,c  3 z,  3 z   16 �a  b  c  � �a,b,c �3 � Khi đó: M  a2  16  b2  16  c2  16 Tìm GTNN: Theo bất đẳng thức Minkowski ta có: M  a2  16  b2  16  c2  16 �  a  b  c     4  2 Đẳng thức xảy a = b = c = Tìm GTLN Sử dụng phương pháp UCT với điều kiện �a �3 ta a  12 a2  16 �  * LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Chứng minh m  2� n n2  3  , với số nguyên m, n Lời giải m Vì m, n số nguyên nên n số hữu tỉ số vô tỉ nên m  �0 n Ta xét hai trường hợp sau m  + Trường hợp 1: Với n , ta   m2 2n2 m2 2n2 hay m � 2n2  Từ suy m 2n2  1  2�   2  n n n 2  n   � � � 1 n2   n2 � 2  � � � n n � �  3  m  + Trường hợp 2: Với n , ta   m2 2n2 m2 2n2 hay m � 2n2  Từ suy m m 2n2  1   2 � 2   2  n n n n  1 n2  2 n 2 2 � � � n2 n �  2 � � n � � �  3  Vậy toán chứng minh Câu 270: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2009-2010] Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh rằng: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com a2  b  c  b2  c  a  c2  a  b �2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với � �a b c � ab bc ca   �    � �b  c c  a a  b � � b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c � � � � � � � Mà ta lại có ab bc ca    b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c  ab a  b  bc b  c  ca c  a  a  b  b  c  c  a  a  b  b  c  c  a  1  a  b  b  c  c  a  �a b c � �b  c  c  a  a  b ��0 � Do bất đẳng thức trở thành � Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh Câu 271: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] 2 2 Cho biểu thức P  a  b  c  d  ac  bd , ad  bc  Chứng minh rằng: P � Lời giải Ta có  ac  bd    ad  bc 2  a2c2  2abcd  b2d2  a2d2  2abcd  b2c2        a2 c2  d2  b2 d2  c2  a2  b2 c2  d2 Vì ad  bc  nên   1  ac  bd   a2  b2 c2  d2   (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta    P  a2  b2  c2  d2  ac  bd �2 a2  b2 c2  d2  ac  bd P �2 1  ac  bd   ac  bd Suy ta LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1  ac  bd   ac  bd Rõ ràng P  FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Đặt x  ac  bd , ta  P �21۳ x2 x P Hay x2    4x x2 1 x2 x2  4x x2 4x2 P � 1 x2  2x  �3 Do ta P � Vậy bất đẳng thức � ad  bc  � �2a  3d  c � 2b   3c  d chứng minh Đẳng thức xẩy � Câu 272: [TS10 Chuyên Nghệ An, 2009-2010] Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a2  b2  c2  ab  bc  ca a b  b2c  c2a Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a  b  c  giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a2  b2  c2  ab  bc  ca �4 a b  b2c  c2a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có    a2  b2  c2   a  b  c a2  b2  c2   a  b  c  a b  b c  c2a  ab2  bc2  ca2 3 2 Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a3  ab2 �2a2b;b3  bc2 �2b2c;  c3  ca2 �2c2a Suy Do ta     a2  b2  c2 � 3 a2b  b2c  c2a  a2  b2  c2  ab  bc  ca ab  bc  ca �a2  b2  c2  2 a b b c c a a  b2  c2 Phép chứng minh hoàn tất ta a2  b2  c2  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC ab  bc  ca �4 a2  b2  c2 FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com a b c  2 Hay   a2  b2  c2  a b c 2   �4 2 Đặt t  a  b  c 2 Từ giả thiết a  b  c  � a  b  c �3 , ta t �3 Bất đẳng thức trở thành t 9 t �4 � 2t2   t �8t �  t  3  2t  3 �0 2t Bất đẳng thức cuối t �3 Vậy toán chứng minh xong Câu 273: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x2 y2 z2 2x2  2y2  2z2    a2 b2 c2 a2  b2  c2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với y2 2y2 x2 2x2 z2 2z2      0 a2 a2  b2  c2 b2 a2  b2  c2 c2 a2  b2  c2 x2 b2  c2  a2 y2 a2  c2  b2 z2 a2  b2  c2 � 2   0 a a  b2  c2 b2 a2  b2  c2 c2 a2  b2  c2             Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên a2  b2  c2 ; b2  c2  a2 ; c2  a2  b2 b2  c2  a2  0; a2  c2  b2  0; a2  b2  c2  Nên ta Do bất đẳng thức ln Bài tốn chứng minh xong Câu 274: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Với a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 3a  8b  14ab 2  b2 3b  8c  14bc 2  a b c � 3c  8a  14ca c2 2 Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 3a2  8b2  14ab  3a2  8b2  12ab  2ab �4a2  9b2  12ab   2a  3b a2 3a2  8b2  14ab Suy a2 �  2a  3b  a2 2a  3b Áp dụng tương tự ta thu a2 3a2  8b2  14ab  b2 3b2  8c2  14bc  c2 3c2  8a2  14ca a2 b2 c2 �   2a  3b 2b  3c 2c  3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta  a  b  c  a  b  c a2 b2 c2   � 2a  3b 2b  3c 2c  3a 5 a  b  c a2 Do ta được: 3a2  8b2  14ab  b2 3b2  8c2  14bc  a b c � 3c2  8a2  14ca c2 Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a b c Câu 275: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] �x, y, z �2 Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: M  x4  y4  z4  12 1 x  1 y   1 z  Lời giải a  x  1; b  y  1; c  z  1�a; b; c �1 Đặt , ta a  b  c  Biểu thức M viết lại thành     M  a4  b4  c4  a3  b3  c3  a2  b2  c2  4 a  b  c   12abc 3 Để ý a  b  c  a  b  c  3abc  nên biểu thức thử thành   M  a4  b4  c4  a2  b2  c2  Theo đánh giá quen thuộc LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com a4  b4  c4 �abc a  b  c  a2  b2  c2 �  a  b  c  Do suy M �3 hay giá trị nhỏ M x y z 1 Đẳng thức xẩy a  b  c  hay Mặt khác 1�a; b; c �1 nên ta có a ; b ; c �1 Từ ta có a4 �a2 �a ; b4 �b2 �b ; c4 �c2 �c     M  a4  b4  c4  a2  b2  c2  �7 a  b  c  Suy Mà ta lại có a  b  c  nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số b c Khi ta b  c  b c  a Đến ta có M �14 a  �17 hay giá trị lớn M 17 Đẳng thức xẩy a  1; b  1;c  x  2; y  0; z  và hoán vị hay hoán vị Câu 276: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2009-2010] a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau: �1 �  2�  �  k  1 k � k k  � b) Chứng minh rằng: 1 1 88   L   2010 2009 45 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  k  1 k  k  1 k k k  � 2k  1 k  k  1  �  k  1 k  0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com VT    1 L  2010 2009 � �1 � �1 � �  2�   � L  2� � � 2�  2� � 3� 2010 � �1 � 2009 � � � � 88  2� 1 1 �  VP � 2� 2010 � � 45 � 45 � Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Câu 277: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 2009-2010] a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a b c b) Cho 2 a  0; b   a  b �ab  bc  ca  26  b  c   c  a  2009 �  a b 2a  b Chứng minh Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a  b 2  b  c  2  c  a  12 a  b Hay 13  a  b � 26  b  c    b  c   c  a  2007 c  a 2 2009 �0 Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  � a  b 2a  b Đặt c   b , b  nên ta c  , bất đẳng thức viết lại thành  � a c 2a  c Theo đánh giá quen thuộc ta 2 2.4    �  a c 2a c 2a  c 2a  c LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy 2a   b Câu 278: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho x, y, z số thực dương cho xyz  x  y  z  Chứng minh rằng: xy  yz  � zx Lời giải 1   1 x  y  z  Giả thiết toán viết lại thành a Đặt 1 ; b ; c x y1 z  Khi ta a  b  c  Từ suy x 1 a b  c 1 b c  a 1 c a  b  ;y  ;z  a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: ab   b  c  c  a bc   c  a  a  b ca �  a  b  b  c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: ab 1� b a � � �   b  c  c  a �b  c c  a � � bc 1� c b � � �   c  a  a  b �c  a a  b � � ca 1� a c � � �   a  b  b  c �a  b b  c � � Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: ab   b  c  c  a bc   c  a  a  b ca �  a  b  b  c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Câu 279: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Cho số thực không âm a, b, c cho ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1   �1 a 2 b 2 c 2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2   �1 a2  b2  c2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta  a  b  c   a  b  c a2 b2 c2   � 1 a2  b2  c2  a2  b2  c2  a2  b2  c2  2 ab  bc  ca 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Câu 280: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  2y  3z  18 Chứng minh rằng: 2y  3z  3z  x  x  2y  51   � 1 x 1 2y 1 3z Lời giải a  x; b  2y; c  3x , giả thiết trở thành a  b  c  18 bất đẳng Đặt thức viết lại thành b  c  c  a  a  b  51   � 1 a 1 b 1 c Bất đẳng thức tương đương với b  c c a a b 51  1  1  1�  1 a 1 b 1 c Hay 1 � 72  a  b  c  6 � �1 a  1 b  1 c ��7 � � Phép chứng minh hoàn tất ta 1   � 1 a 1 b 1 c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com 1 9   �   1 a 1 b 1 c 3 a  b  c 21 Vậy toán chứng minh x  6; y  3; z  Đẳng thức xẩy a  b  c  hay Câu 281: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho số thực x, y thỏa mãn: x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ P  x y ( x  y ) biểu thức: Lời giải Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: P  ( x  y)  y  �6 y( x  y) � x  8y  8y �x  16 y �x  � � � � � � �3 � 8y  y  y � � � y( x  y) 64 � � Đẳng thức xảy � Vậy minP = x = y = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: Tailieumontoan.com FB TRỊNH BÌNH 18 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: Tailieumontoan.com FB TRỊNH BÌNH 18 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: Tailieumontoan.com FB TRỊNH BÌNH 18 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: Tailieumontoan.com FB TRỊNH BÌNH 18 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: Tailieumontoan.com FB TRỊNH BÌNH ... ca  4 a  b  c  �  ab  bc  ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:   x2  y2 � x  y  (*) 1 �1... tự: Cộng theo vế bất đẳnng thức ta bất đẳng thức (2) Bài toán chứng minh x y  z  Dấu “=” xảy Câu 13: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 2019-2020] � 0;2� Cho x, y, z số thực thuộc đoạn � � thỏa mãn... chứng minh bất đẳng thức cho ta cần chứng minh: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com x 1 x  y 1 y  z � 1 z  2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM