Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
18 Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 2009-2019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Cho x, y số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4x2 + 4y2 + 17xy + 5x + 5y ≥ P = 17x2 + 17y2 + 16xy Lời giải 4x2 + 4y2 + 17xy + 5x + 5y ≥ ⇔ 4( x + y ) + 9xy + 5( x + y ) ≥ Ta có: Đặt t = x + y, t > ( x + y) xy ≤ = t2 , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: Do đó: 2− 4t2 + t2 + 5t ≥ 1⇒ t ≥ x+ y ≥ hay 2− P = 17x2 + 17y2 + 16xy = 17( x + y ) − 18xy Ta có: ≥ 17( x + y ) ( x + y) − 18 2 25 25 2 − = ( x + y) ≥ ÷ = 6− 4 ÷ 2−1 x= y= Dấu “=” xảy Vậy giá trị nhỏ P 6− Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho số thực x, y thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = xy ( x − 2) ( y + 6) + 13x2 + 4y2 − 26x + 24y + 46 Lời giải Ta có: P = xy ( x − 2) ( y + 6) + 13x2 + 4y2 − 26x + 24y + 46 ( )( ) ( ) ( ) = x2 − 2x y2 + 6y + 13 x2 − 2x + y2 + 6y + 46 = ( x − 1) − 1 ( y + 3) − 9 + 13( x − 1) − 1 + 4( y + 3) − 9 + 46 2 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com a = x − 1, b = y + Đặt , đó: 2 P = a − b − + 13 a2 − + b2 − + 46 ( )( ) ( ) ( ) = a2b2 − 9a2 − b2 + + 13a2 − 13 + 4b2 − 36 + 46 = 4a2 + 3b2 + a2b2 + ≥6 a = x − 1= ⇔ ⇔ x = 1,y = −3 b = y + = Dấu “=” xảy Vậy giá trị nhỏ P Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] ab + bc + ca + abc = Cho a, b, c dương thỏa mãn: 1 + + =1 a+ b+ c+ 1) Chứng minh rằng: 1 P= + + 2 2 2 a +b +4 b +c +4 c +a +4 2) Tìm giá trị nhỏ nhất: Lời giải 1) Ta có: 1 + + =1 a+ b+ c+ ⇔ ( b + 2) ( c + 2) + ( a + 2) ( c + 2) + ( b + 2) ( a + 2) = ( a + 2) ( b + 2) ( c + 2) ( ) ( ) ( ) ⇔ ab + bc + ca + 4( a + b + c) + 12 = abc + 2( ab + bc + ca) + 4( a + b + c) + ⇔ = ab + bc + ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức: ( ) x2 + y2 ≥ ( x + y ) ≤ x+ y 1 1 + ÷ 4 x y (*) (**) Thật vậy: ( *) ⇔ ( x − y ) ( **) ⇔ ≥0 (luôn đúng) 2 x+ y ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ 4xy ⇔ ( x − y ) ≥ 4xy x + y (luôn đúng) Các bất đẳng thức (*), (**) xảy dấu “=” x = y Lần lượt áp dụng (*) (**) ta có: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com 1 1 1 = ≤ + ÷ a2 + b2 + a + b + ( a + 2) + ( b + 2) a + b + ( ≤ ) Tương tự: 1 1 ≤ + ÷; b + c + b +c +4 ( 2 ) ( ) c +a +4 2 ≤ 1 1 + ; 4 c + a + 2÷ Cộng theo vế ta được: 1 1 1 P≤ + + = = ÷ 2 a+ b + c + 2 2 Dâu “=” xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020] a,b,c ≥ K = ab + 4ac − 4bc Cho với a + b + 2c = 1 K≥ 1) Chứng minh rằng: 2) Tìm giá trị lớn K Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 b + 2c a + b + 2c 1 4bc ≤ 2 ≤ 2 = ⇒ −4bc ≥ − ÷ ÷ 2 a,b,c ≥ ⇒ K = ab + 4ac − 4bc ≥ −4bc ≥ − Mặt khác: a = 0,b = 1 ,c = Dấu “=” xảy Cách khác: Ta có: K = ab + 4c( a − b) = ab + 2( 1− a − b) ( a − b) ( = ab + 2( a − b) − a2 − b2 = 2b + ( a − 2) b + 2a − 2a ) 2b2 + ( a − 2) b + 2a − 2a2 − K = ( *) Do đó: Để tồn K phương trình (*) Phải có nghiệm: ( ) ⇔ ∆ ≥ ⇔ ( a − 2) − 4.2 2a − 2a2 − K ≥ ⇔ 8K ≥ 20a − 17a2 − LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com a,b,c ≥ a + b + 2c = 1⇒ ≤ a ≤ Vì Do đó: 2a − 17a = a( 20 − 17a) ≥ a( 20 − 17.1) = 3a ≥ 8K ≥ −4 ⇒ K ≥ − Do a = 0,b = 1 ,c = Dấu “=” xảy 2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a + b + 2c a( b + 2c) ≤ ÷ = Mặt khác: a,b,c ≥ ⇒ K = ab + 4ac − 4bc ≥ ab + 4ac ≤ 2ab + 4ac = 2a( b + 2c) ( a + b + 2c) ≤ 2 = Dấu “=” xảy khi: a = b + 2c,a + b + 2c = 1,bc = 0,ab = ⇒ a = 1 ,b = 0,c = Vậy giá trị lớn K Câu 5: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020] < a,b,c < 2a + 3b + 4c = Cho số thực a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ P= + + a( 3b + 4c − 2) b( 4a + 8c − 3) c ( 2a + 3b − 1) biểu thức Lời giải Ta có: P= + + a( 3b + 4c − 2) b( 4a + 8c − 3) c( 2a + 3b − 1) = + + a( 3− 2a − 2) b ( − 6b − 3) c( 3− 4c − 1) = + + a( 1− 2a) b( 1− 2b) c( 1− 2c) 2a 3b2 4c = + + a ( 1− 2a) b ( 1− 2b) c ( 1− 2c) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com a + a + 1− 2a a ( 1− 2a) ≤ = ÷ 27 b2 ( 1− 2b) ≤ 27 c2 ( 1− 2c) ≤ Tương tự: ; P ≥ 27( 2a + 3b + 4c) = 81 Suy ra: a= b= c= 27 Dấu “=” xảy Vậy giá trị nhỏ P 81 Câu 6: [TS10 Chuyên Hòa Bình, 2019-2020] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng: a b + ≥ 4b + 4a + Lời giải Ta có: a + b = 4ab ≤ ( a + b) ⇔ ( a + b) a + b − 1 ≥ ⇔ a + b ≥1( a + b > 0) Lại có: a 4ab2 4ab2 = a − ≥ a − = a − ab 4b 4b2 + 4b2 + b 4a2b 4a2b = b− ≥ b− = a − ab 4a 4a2 + 4a + a b a+ b 1 + ≥ ( a + b) − 2ab = ( a + b) − = ( a + b) ≥ 2 4b + 4a + Do đó: a= b= Dấu “=” xảy Câu 7: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] x2 + y2 + z2 ≤ 3y Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= + + 2 ( x + 1) ( y + 2) ( z + 3) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1 1 1 + 2≥ + ÷ ≥ 2 a b ( a + b) a b (*) LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: 1 8 64 P= + + ≥ + ≥ 2 2 2 x + z + z + y y y ( ) ( ) x+ + ( ) + 1÷ ÷ x + + z + 5÷ Mặt khác: ( x+ z ≤ x + z P≥ 2 ) ≤ 2( 3y − y ) 64 2 + 2y − y ÷ = 2+ 3y − y2 ≤ 64 2 8 − ( y − 2) ≥1 ( x,y,z ) = ( 1,2,1) Dấu “=” xẩy Vậy giá trị nhỏ P Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: P= 1 + + ≤ a+ b+ c+ Tìm giá trị a3 b3 c3 + + a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 nhỏ biểu thức: Lời giải Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: 1 + + ≥ x,y,z > x y z x+ y + z (với ) (*) 1 1 (*) ⇔ ( a + b + c) + + ÷ ≥ a b c Thật vậy: Áp dụng AM – GM ta được: ( a + b + c) a1 + b1 + 1c ÷≥ 33 abc 3 = abc Vậy bất đẳng thức (*) chứng minh, dấu “=” xảy x = y = z Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được: 1 1≥ + + ≥ ⇔ a+ b + c+ 3≥ ⇔ a+ b + c ≥ a+ b+ c+ a+ b+ c+ Q= b3 c3 a3 + + a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 Đặt Ta có: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com a3 − b3 b3 − c3 c3 − a3 + + a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 ( a − b) a2 + ab + b2 ( b − c) b2 + bc + c2 ( c − a) c2 + ca + a2 = + + a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 = ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) P−Q = ( ) ( ) ( ) =0 Do đó: P = Q x2 − xy + y2 ≥ x + xy + y2 ( ) ( **) Mặt khác: Thật vậy: x2 − xy + y2 ≥ 2 x + xy + y2 ⇔ 3x2 − 3xy + 3y2 ≥ x2 + xy + y2 ⇔ 2( x − y ) ≥ ( ) Sử dụng (**) ta được: a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 P+Q = + + a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 ( a + b) a2 − ab + b2 ( b + c) b2 − bc + c2 ( c + a) c2 − ca + a2 = + + a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 ( ≥ = ) ( ) ( ) 1 a + b) + ( b + c) + ( c + a) ( 3 2 a + b + c) ≥ = ( 3 P=Q⇒P≥2 Mà Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 9: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020] abc = a + b + c + Cho số dương a, b, c dương thỏa mãn Tìm giá trị P= a +b 2 + b +c 2 + c + a2 lớn biểu thức Lời giải abc = a + b + c + Từ ⇔ ( a + b) ( b + 1) ( c + 1) = ( a + 1) ( b + 1) + ( b + 1) ( c + 1) + ( c + 1) ( a + 1) ⇔ 1 + + =1 a+ b+ c+ LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Đặt x,y,z > 1 = x, = y, = z⇒ a+ b+ c+ x + y + z = a= Khi đó: P= Nên x+ y 1− x y + z z+x = ;b = ;c = x x y z a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≤ 1 + + ÷ ab bc ca = y y x z z x + + ÷ z + x x+ y x+ y y + z ÷ y + z z + x = y y x z x z + + ÷ z + x x+ y x+ y y + z ÷ y + z z + x ≤ y x y x z z + + + ÷+ ÷+ ÷ 2 y + z z + x z + x x + y x + y y + z = y y x z z x + + + ÷+ ÷+ ÷ = 2 x + y x + y y + z y + z z + x z + x Dấu “=” xảy x= y = z hay a= b= c Vậy giá trị lớn biểu thức P a = b = c = Câu 10: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho x, y, ( z ) x2 + y2 + z2 − 9x ( y + z ) − 18yz = Q= số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức: 2x − y − z y+ z Lời giải Ta có: x2 + y2 + z2 − 9x ( y + z ) − 18yz ≤ ( ) ⇔ 5x2 − 9x ( y + z ) + 5( y + z ) − 28yz ≤ ⇔ 5x2 − 9x( y + z ) + 5( y + z ) ≤ 7.4yz ≤ 7( y + z ) 2 ⇔ 5x2 − 9x( y + z ) − 2( y + z ) ≤ 2 x x ⇔ 5 − 2≤ ÷ − y+z y+z LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com t= x ( t > 0) y+z Đặt: đó: 5t − 9t − ≤ ⇔ ( 5t + 1) ( t − 2) ≤ ⇔ t≤ ( 5t + 1> 0) x ≤2 y+z ⇔ 2x − y − z x = − 1≤ 2.2− = y+z y+z Q= Ta có: x y=z= Dấu “=” xảy Vậy giá trị lớn Q Câu 11: [TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020] Cho x, y, z không âm thỏa mãn thức x + y + z = Tìm GTLN GTNN biểu M = x2 − 6x + 25 + y2 − 6y + 25 + z2 − 6z + 25 Lời giải Ta có: M = x2 − 6x + 25 + y2 − 6y + 25 + z2 − 6z + 25 = Đặt ( 3− x) + 16 + ( 3− y ) + 16 + a = 3− x,b = 3− y,c = 3− z, ( 3− z ) + 16 a+ b+ c = 0 ≤ a,b,c ≤ Khi đó: M = a2 + 16 + b2 + 16 + c2 + 16 Tìm GTNN: Theo bất đẳng thức Minkowski ta có: M = a2 + 16 + b2 + 16 + c2 + 16 ≥ ( a + b + c) + ( 4+ 4+ 4) Đẳng thức xảy a = b = c = Tìm GTLN Sử dụng a2 + 16 ≤ phương pháp UCT với điều kiện =6 0≤ a ≤ ta a + 12 ( *) Thật vậy: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com ( *) ⇔ 9( a ) + 16 ≤ ( a + 12) ⇔ 8a2 − 24a ≤ ⇔ a( a − 3) ≤ M ≤ 14 (đúng) Hoàn toàn tương tự suy ra: ( a,b,c) = ( 0,3,3) Đẳng thức xảy hóa vị Câu 12: [TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020] xy + yz + zx = Cho x, y,z số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: y 1 x z ÷ + + ≥ + + 1+ x2 1+ y2 1+ z2 1+ x2 1+ y2 1+ z2 ÷ Lời giải 1+ x2 = xy + yz + zx + x2 = ( x + y ) ( x + z ) Ta có: 1+ y2 = ( x + y ) ( y + z ) ;1+ z2 = ( x + z ) ( y + z ) Tương tự: Do đó: VT( 1) = 1 + + = (1) 2( x + y + z ) ( x + y ) ( x + z ) ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) ( z + y ) ( x + y ) ( y + z ) ( z + x) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: x x y y z z ÷ ≤ ( x + y + z) + + + + 2 ÷ 1+ x2 1+ y2 1+ z2 ÷ 1+ x 1+ y 1+ z y x z = ( x + y + z) + + ( x + y ) ( y + z ) ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) ( z + y ) 2( x + y + z ) ( xy + yz + zx) = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x) = 2( x + y + z ) ( x + y) ( y + z ) ( z + x) Suy ra: VP( 1) ≤ 4( x + y + z ) x y z + + 3( x + y ) ( y + z ) ( z + x) 1+ x2 1+ y 1+ z2 ÷ ÷ Như để chứng minh bất đẳng thức cho ta cần chứng minh: y x z + + ≤ ( 2) 2 2 1+ x 1+ y 1+ z Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com m − 2≥ n n2 Chứng minh ( 3+ ) , với số nguyên m, n Lời giải Vì m, n số nguyên nên m − 2≠ n m n số hữu tỉ số vô tỉ nên Ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1: Với m > n , ta m2 > 2n2 ⇒ m2 ≥ 2n2 + hay m ≥ 2n2 + Từ suy m 2n2 + 1 − 2≥ − = 2+ − n n n 2+ − n = = ≥ 1 n2 + + n2 2+ + ÷ ÷ n n + Trường hợp 2: Với m < n ( 3+ ) , ta m2 < 2n2 ⇒ m2 ≤ 2n2 − hay m ≤ 2n2 − Từ suy m m 2n − − = 2− ≥ 2− = n n n = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC n2 1 n2 − 2− = n + 2− n 1 ≥ 1 n 3+ 2 + 2− ÷ n ÷ 2− 2+ ( ) FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Vậy tốn chứng minh Câu 270: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2009-2010] Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh rằng: a2 ( b − c) + b2 ( c − a) + c2 ( a − b) ≥2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c ab bc ca + + b − c + c − a + a − b ÷ ≥ + 2 ( b − c) ( c − a) ( c − a) ( a − b) ( a − b) ( b − c) ÷ ÷ Mà ta lại có ab bc ca + + ( b − c) ( c − a) ( c − a) ( a − b) ( a − b) ( b − c) = ab( a − b) + bc( b − c) + ca( c − a) ( a − b) ( b − c) ( c − a) = ( a − b) ( b − c) ( c − a) = −1 ( a − b) ( b − c) ( c − a) Do bất đẳng thức trở thành a b c b− c + c− a + a− b ÷ ≥ Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh Câu 271: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd Chứng minh rằng: , ad − bc = P≥ Lời giải Ta có ( ac + bd ) + ( ad − bc) 2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 − 2abcd + b2c2 ( ) ( ) ( )( = a2 c2 + d2 + b2 d2 + c2 = a2 + b2 c2 + d2 Vì ad − bc = nên ( )( 1+ ( ac + bd ) = a2 + b2 c2 + d2 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC ) ) (1) FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( )( ) P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd ≥ a2 + b2 c2 + d2 + ac + bd P ≥ 1+ ( ac + bd ) + ac + bd Suy ta Đặt x = ac + bd Rõ ràng P>0 1+ ( ac + bd ) > ac + bd , ta ( ) ( ) P ≥ 1+ x2 + x ⇔ P ≥ 1+ x2 + 4x 1+ x2 + x2 = 1+ x2 + 4x 1+ x2 + 4x2 + P2 ≥ Hay ( ) 1+ x2 + 2x + ≥ Do ta P≥ Vậy bất đẳng thức ad − bc = 2a = 3d − c 2b = − 3c − d chứng minh Đẳng thức xẩy Câu 272: [TS10 Chuyên Nghệ An, 2009-2010] Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn nhỏ biểu thức: P = a2 + b2 + c2 + a+ b+ c = Tìm giá trị ab + bc + ca a b + b2c + c2a Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a= b= c= giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ≥4 a b + b2c + c2a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có ( ) ( a2 + b2 + c2 = ( a + b + c) a2 + b2 + c2 ) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a3 + ab2 ≥ 2a2b;b3 + bc2 ≥ 2b2c; c3 + ca2 ≥ 2c2a LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com ( ) ( ) a2 + b2 + c2 ≥ 3 a2b + b2c + c2a > Suy a2 + b2 + c2 + Do ta ab + bc + ca ab + bc + ca ≥ a2 + b2 + c2 + 2 a b+ b c+ c a a + b2 + c2 Phép chứng minh hoàn tất ta a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ≥4 a2 + b2 + c2 a +b +c + 2 Đặt ( a +b +c Hay t = a2 + b2 + c2 ( − a2 + b2 + c2 2 ) ) ≥4 a + b + c = ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ Từ giả thiết , ta t≥ Bất đẳng thức trở thành t+ 9− t ≥ ⇔ 2t2 + − t ≥ 8t ⇔ ( t − 3) ( 2t − 3) ≥ 2t Bất đẳng thức cuối t≥ Vậy toán chứng minh xong Câu 273: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x2 y2 z2 2x2 + 2y2 + 2z2 + + > a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với y2 2y2 x2 2x2 z2 2z2 − + − + − >0 a2 a2 + b2 + c2 b2 a2 + b2 + c2 c2 a2 + b2 + c2 x2 b2 + c2 − a2 y2 a2 + c2 − b2 z2 a2 + b2 − c2 ⇔ 2 + + >0 a a + b2 + c2 b2 a2 + b2 + c2 c2 a2 + b2 + c2 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com a2 + b2 > c2 ; b2 + c2 > a2 ; c2 + a2 > b2 b2 + c2 − a2 > 0; a2 + c2 − b2 > 0; a2 + b2 − c2 > Nên ta Do bất đẳng thức Bài toán chứng minh xong Câu 274: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Với a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 3a2 + 8b2 + 14ab + b2 3b2 + 8c2 + 14bc c2 + 3c2 + 8a2 + 14ca ≥ a+ b+ c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 3a2 + 8b2 + 14ab = 3a2 + 8b2 + 12ab + 2ab ≤ 4a2 + 9b2 + 12ab = ( 2a + 3b) a2 3a2 + 8b2 + 14ab ≥ Suy a2 ( 2a + 3b) 2 a2 = 2a + 3b Áp dụng tương tự ta thu a2 3a2 + 8b2 + 14ab + b2 3b2 + 8c2 + 14bc + c2 3c2 + 8a2 + 14ca a2 b2 c2 ≥ + + 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( a + b + c) = a + b + c a2 b2 c2 + + ≥ 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a 5( a + b + c) a2 Do ta được: 3a2 + 8b2 + 14ab + b2 3b2 + 8c2 + 14bc + c2 3c2 + 8a2 + 14ca ≥ a+ b+ c Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a= b= c Câu 275: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] ≤ x, y, z ≤ Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x+ y + z = Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com M = x4 + y4 + z4 + 12( 1− x) ( 1− y ) ( 1− z ) Lời giải a = x − 1; b = y − 1; c = z − Đặt Biểu thức M viết lại thành ( , ta −1≤ a; b; c ≤ ) ( a+ b+ c = ) M = a4 + b4 + c4 + a3 + b3 + c3 + a2 + b2 + c2 + 4( a + b + c) + − 12abc Để ý a+ b+ c = a3 + b3 + c3 − 3abc = ( nên biểu thức thử thành ) M = a4 + b4 + c4 + a2 + b2 + c2 + Theo đánh giá quen thuộc a4 + b4 + c4 ≥ abc( a + b + c) = a2 + b2 + c2 ≥ Do suy M ≥3 hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy Mặt khác a + b + c) = ( −1≤ a; b; c ≤ a= b= c= x= y= z=1 hay a; b; c ≤1 nên ta có Từ ta có a4 ≤ a2 ≤ a ; b4 ≤ b2 ≤ b ; c4 ≤ c2 ≤ c ( ) ( ) M = a4 + b4 + c4 + a2 + b2 + c2 + ≤ a + b + c + Suy a+ b+ c = Mà ta lại có nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Không tính tổng qt ta giả sử hai số b c Khi ta b + c = b+ c = a M ≤ 14 a + ≤ 17 Đến ta có hay giá trị lớn M 17 Đẳng thức xẩy a = 1; b = −1;c = x = 2; y = 0; z = và hoán vị hay hoán vị LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Câu 276: [TS10 Chun Thái Bình, 2009-2010] a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 < 2 − ÷ ( k + 1) k k k + b) Chứng minh rằng: 1 1 88 + + +L + < 2010 2009 45 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( k + 1) k < k + 1− k k k + ⇔ 2k + 1− k ( k + 1) > ⇔ ( k + 1− k ) >0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT = + + 1 +L + 2010 2009 1 < 2 − − − ÷+ L + 2 ÷ ÷+ 2 2 3 2010 2009 88 = 2 1− = VP ÷ < 2 1− ÷ = 2010 45 45 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Câu 277: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 2009-2010] a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a +b +c b) Cho 2 a > 0; b < ( a − b) ≥ ab + bc + ca + 26 Chứng minh ( b − c) + ( c − a) + 2009 ≥ + a b 2a − b Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com ( a − b) 2 ( b − c) + 2 ( c − a) + 12( a − b) 13 Hay ( a − b) ≥ 26 ( b − c) + + ( b − c) + ( c − a) + 2007( c − a) 2 2009 ≥0 Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh Đẳng thức xẩy a= b= c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với + ≥ a − b 2a − b Đặt lại thành c = −b , b< nên ta c> , bất đẳng thức viết + ≥ a c 2a + c Theo đánh giá quen thuộc ta 2 2.4 + = + ≥ = a c 2a c 2a + c 2a + c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy 2a = − b Câu 278: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho x, y, z số thực dương cho xyz = x + y + z + Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≤ Lời giải 1 + + =1 x+ y + z + Giả thiết toán viết lại thành LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com a= Đặt 1 ; b= ; c= x+ y+1 z+1 x= a+ b+ c = Từ suy Khi ta 1− a b + c 1− b c + a 1− c a + b = ;y= = ;z= = a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: ab + ( b + c) ( c + a) bc + ( c + a) ( a + b) ca ≤ ( a + b) ( b + c) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: ab 1 b a ≤ + ( b + c) ( c + a) b + c c + a ÷ bc 1 c b ≤ + ( c + a) ( a + b) c + a a + b ÷ ca 1 a c ≤ + ( a + b) ( b + c) a + b b + c ÷ Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: ab + ( b + c) ( c + a) bc + ( c + a) ( a + b) ca ≤ ( a + b) ( b + c) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a= b= c= Câu 279: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho số thực không âm a, b, c cho ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1 + + ≤1 a +2 b +2 c +2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 + + ≥1 a2 + b2 + c2 + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com ( a + b + c) = ( a + b + c) a2 b2 c2 + + ≥ =1 2 2 2 a + b + c + a + b + c + a + b + c2 + 2( ab + bc + ca) 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a= b= c= Câu 280: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + 2y + 3z = 18 Chứng minh rằng: 2y + 3z + 3z + x + x + 2y + 51 + + ≥ 1+ x 1+ 2y 1+ 3z Lời giải a = x; b = 2y; c = 3x Đặt thức viết lại thành , giả thiết trở thành a + b + c = 18 bất đẳng b + c + c + a + a + b + 51 + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c Bất đẳng thức tương đương với b + c+ c+ a+ a+ b+ 51 + 1+ + 1+ + 1≥ + 1+ a 1+ b 1+ c Hay ( a + b + c + 6) 1+1a + 1+1b + 1+1c ÷ ≥ 72 Phép chứng minh hoàn tất ta 1 + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 9 + + ≥ = = 1+ a 1+ b 1+ c 3+ a + b + c 21 Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a= b= c= hay x = 6; y = 3; z = Câu 281: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com Cho số thực x, y thỏa mãn: x > y > P = x+ biểu thức: Hãy tìm giá trị nhỏ y(x − y) Lời giải Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: P = ( x − y) + y + ≥ y( x − y) Đẳng thức xảy Vậy minP = x −8y = 8y x = 16 y x=4 ⇔ ⇔ 8 y = y ( x − y ) y = 64 y = x = y = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website: Tailieumontoan.com LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH ... ca) + 4( a + b + c) + ⇔ = ab + bc + ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức: ( ) x2 + y2 ≥ ( x + y ) ≤ x+ y 1... ÷ ÷ Như để chứng minh bất đẳng thức cho ta cần chứng minh: y x z + + ≤ ( 2) 2 2 1+ x 1+ y 1+ z Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 18 Website:... được: ( a + b + c) a1 + b1 + 1c ÷≥ 33 abc 3 = abc Vậy bất đẳng thức (*) chứng minh, dấu “=” xảy x = y = z Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được: 1 1≥ + + ≥ ⇔ a+ b + c+ 3≥ ⇔ a+ b + c ≥ a+ b+