Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019

Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019 Toàn cảnh đề thi Bất đẳng thức vào lớp 10 chuyên toán 2009 2019

TỒN C NH TỐN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ VÀO 10 CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 2009-2019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Cho x, y số thực dương thỏa mãn: 4x2  4y2  17xy  5x  5y  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  17x  17y  16xy Lời giải Ta có: 4x2  4y2  17xy  5x  5y    x  y   9xy   x  y   Đặt t  x  y, t  , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: x  y xy  t2 2 2 2 2  Do đó: 4t  t  5t   t  hay x  y  5 P  17x2  17y  16xy  17  x  y   18xy Ta có:  17  x  y   x  y  18 2 25 25  2    x  y      4   1 Dấu “=” xảy x  y  Vậy giá trị nhỏ P  Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho số thực x, y thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  xy  x   y    13x2  4y2  26x  24y  46 Lời giải Ta có: P  xy  x   y    13x  4y  26x  24y  46         x  2x y  6y  13 x  2x  y  6y  46 2 2   x  1  1  y      13  x  1  1   y      46        Đặt a  x  1, b  y  , đó:        P  a  b2   13 a   b2   46  a b  9a  b   13a  13  4b  36  46 2 2 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH  4a  3b2  a b2  6 a  x 1    x  1, y  3 Dấu “=” xảy  b  y     Vậy giá trị nhỏ P Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab  bc  ca  abc  1   1 a2 b2 c2 1   2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P  a  b2  b2  c  c2  a2  1) Chứng minh rằng:       Lời giải 1) Ta có: 1   1 a2 b2 c2   b   c     a   c     b   a     a   b   c    ab  bc  ca   a  b  c   12  abc   ab  bc  ca    a  b  c     ab  bc  ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi l| tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:   x2  y   x  y  (*) 11 1     (**) xy 4x y Thật vậy: *   x  y * *    (luôn đúng) 2 xy    x  y   4xy   x  y   (luôn đúng) 4xy x  y Các bất đẳng thức (*), (**) xảy dấu “=” x = y Lần lượt áp dụng (*) (**) ta có:   a  b2   1   a  b  a  2   b  2 1 1     a  b   Tương tự:  b2  c  1 1     ; b  c    4  c2  a2  1 1     ; c  a    4 Cộng theo vế ta được: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 1 1  1 P       2a2 b2 c2 2 D}u “=” xảy a = b = c [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020] Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: Cho K  ab  4ac  4bc với a, b,c  a + b + 2c = 1 2) Tìm giá trị lớn K 1) Chứng minh rằng: K  Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2  b  2c   a  b  2c  1 4bc    2   4bc     2     Mặt khác: a, b,c   K  ab  4ac  4bc  4bc   Dấu “=” xảy a  0, b  1 ,c  Cách khác: Ta có: K  ab  4c  a  b   ab  1  a  b  a  b    ab   a  b   a  b  2b   a   b  2a  2a  Do đó: 2b2   a   b  2a  2a  K   *  Để tồn K phương trình (*) Phải có nghiệm:        a    4.2 2a  2a  K   8K  20a  17a  Vì a, b,c  a  b  2c    a  Do đó: 2a  17a  a  20  17a   a  20  17.1  3a  Do 8K  4  K   1 ,c  2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Dấu “=” xảy a  0, b   a  b  2c  a  b  2c        LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH Mặt khác: a, b,c   K  ab  4ac  4bc  ab  4ac  2ab  4ac  2a  b  2c   a  b  2c   2  Dấu “=” xảy khi: a  b  2c,a  b  2c  1, bc  0,ab   a  1 , b  0,c  [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020] Vậy giá trị lớn K Câu 5:    a, b,c  Cho số thực a, b, c thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ biểu  2a  3b  4c  thức P    a  3b  4c   b  4a  8c   c  2a  3b  1 Lời giải Ta có: P   a  3b  4c   b  4a  8c   c  2a  3b  1    a   2a   b   6b   c   4c  1    a   2a  b   2b  c 1  2c  2a 3b 4c    a   2a  b   2b  c   2c 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  a  a   2a  a 1  2a      27   Tương tự: b2   2b   1 ; c   2c   27 27 Suy ra: P  27  2a  3b  4c   81 Vậy giá trị nhỏ P 81 Dấu “=” xảy a  b  c  Câu 6: [TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng: a b  4b  4a  2  Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH Ta có: a  b  4ab   a  b    a  b  a  b  1   a  b 1 a  b   Lại có: a 4b2  a 4ab2 4ab2  a   a  ab 4b 4b2  b 4a b 4a b  b  b  a  ab 4a 4a  4a  a b ab 1 Do đó:    a  b   2ab   a  b    a  b  2 2 4b  4a  1 Dấu “=” xảy a  b  Câu 7: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] 2 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x  y  z  3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    x  1  y    z   2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1 11 1 (*)  2     2  a b   a  b 2 a b Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: P  x  1  y    1     z  3   y  x   2     z  3  64  y   x   z  5   Mặt khác:     x  z  x2  z2  3y  y  P 64  2   2y  y      3y  y 64 2  8   y      1 Dấu “=” xẩy  x, y, z   1, 2,1 Vậy giá trị nhỏ P Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: biểu thức: P  1    Tìm giá trị nhỏ a 1 b1 c 1 a3 b3 c3   a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH Lời giải Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: 1 (với x, y,z  ) (*)    x y z xyz  1 1 Thật vậy: (*)   a  b  c       a b c Áp dụng AM – GM ta được:  a  b  c   a1  b1  1c     abc 3 abc 9 Vậy bất đẳng thức (*) chứng minh, dấu “=” xảy x = y = z Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được: 1 1     abc3  abc  a 1 b1 c 1 a  bc  b3 c3 a3   Đặt Q  a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a Ta có: a  b3 b3  c c3  a3   a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a  a  b  a  ab  b2  b  c  b2  bc  c  c  a  c  ca  a    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a  a  b   b  c   c  a  PQ        0 Do đó: P = Q Mặt khác: x2  xy  y   x  xy  y  * *  Thật vậy:   2 x  xy  y  3x  3xy  3y  x  xy  y   x  y   Sử dụng (**) ta được: x2  xy  y  a  b3 b3  c c3  a3   a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a  a  b  a  ab  b2  b  c  b2  bc  c  c  a  c  ca  a    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a 1  a  b   b  c    c  a  3 2   a  b  c    3 Mà P  Q  P  PQ        Dấu “=” xảy a = b = c = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH Vậy giá trị nhỏ P Câu 9: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020] Cho số dương a, b, c dương thỏa mãn abc  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a b 2  b c 2  c  a2 Lời giải Từ abc  a  b  c    a  b  b  1 c  1   a  1 b  1   b  1 c  1   c  1 a  1  1   1 a 1 b1 c 1 Đặt  x, y, z  1  x,  y, z a 1 b1 c 1 x  y  z  Khi đó: a  Nên P  xy 1 x y  z zx  ;b  ;c  x x y z a  b2   b2  c c2  a2   1       ab bc ca   y y  x z z x      zx xy x  y y  z   y  z z  x  y y  x z x z      zx xy x  y y  z   y  z z  x  y   x  y x   z z         2  y  z z  x   z  x x  y   x  y y  z    y   y  x z   z x          2  x  y x  y   y  z y  z   z  x z  x   Dấu “=” xảy x  y  z hay a  b  c a = b = c = Câu 10: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Vậy giá trị lớn biểu thức P   Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x2  y2  z2  9x  y  z   18yz  Tìm giá trị lớn biểu thức: Q  2x  y  z yz Lời giải Ta có:   x  y  z  9x  y  z   18yz   5x  9x  y  z    y  z   28yz  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH  5x  9x  y  z    y  z   7.4yz   y  z  2  5x  9x  y  z    y  z   2  x  x  5 2 0   yz yz Đặt: t  x  t   đó: yz 5t  9t     5t  1 t     5t    t2  x 2 yz Ta có: Q  2x  y  z x    2.2   yz yz x Dấu “=” xảy y  z  Vậy giá trị lớn Q Câu 11: [TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020] Cho x, y, z không âm thỏa mãn x  y  z  Tìm GTLN GTNN biểu thức M  x2  6x  25  y2  6y  25  z2  6z  25 Lời giải Ta có: M  x  6x  25  y  6y  25  z  6z  25    x  16  3  y  16  3  z  16  abc  Đặt a   x, b   y,c   z, Khi đó:  0  a, b,c  M  a  16  b2  16  c  16 Tìm GTNN: Theo bất đẳng thức Minkowski ta có: M  a  16  b2  16  c  16  a  b  c       2 6 Đẳng thức xảy a = b = c = Tìm GTLN Sử dụng phương ph{p UCT với điều kiện  a  ta Thật vậy:  *   a  a  16  a  12 *   16   a  12   8a  24a   a  a    (đúng) LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH Ho|n to|n tương tự suy ra: M  14 Đẳng thức xảy  a, b,c    0, 3,  hóa vị Câu 12: [TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020] Cho x, y,z số dương thỏa mãn xy  yz  zx  Chứng minh rằng: y 1 2 x z       2 2  1 x 1 x 1 y 1 z 1 y  z2      (1) Lời giải Ta có:  x2  xy  yz  zx  x2   x  y  x  z  Tương tự:  y2   x  y  y  z  ;  z2   x  z  y  z  Do đó: VT1  1     x  y  z  x  y  x  z   x  y  y  z   x  z  z  y   x  y  y  z  z  x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:  x  x y y z  z     x  y  z      2    x2  y2  z   1 x 1 y 1 z     y x z  x  y  z       x  y  y  z   x  y  y  z   x  z  z  y    x  y  z  xy  yz  zx    x  y  y  z  z  x   x  y  z  x  y  y  z  z  x  Suy ra: VP1  x  y  z  x y z     x  y  y  z  z  x    x  y2  z2      Như để chứng minh bất đẳng thức cho ta cần chứng minh: x 1 x  y 1 y  z 1 z   2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x  x2  Tương tự: 1 x x       x  y  x  z   x  y x  z  x y  1 y z 1 z z     ;       y2  x  y y  z   z2  z  x y  z  y LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 163  1 1  (c (a  b)  a (b  c)  b (c  a)  2abc)       a  b b  c c  a abc   1 1   c a  b  a b  c  b c  a  2abc  ca bc ca abc  Suy điều phải chứng minh, đẳng thức xảy a = b = c 2    c  a  b  abc    Câu 261: [TS10 Chuyên Kiên Giang, 2010-2011] Tìm a, b để biểu thức: X = 2a2 + 9b2 + 2a – 18b – 6ab + 2010 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải Ta có: X = (3b)2 -2.3b.(3 + a) + + 6a + a2 + a2 – 4a + + 1997 = (3b)2 -2.3b.(3 + a) + (3 + a)2 + (a2 – 4a + 4) + 1997 = (3b – – a)2 + (a – 2)2 + 1997  1997  3b   a  3b    b  Dấu “=” xảy    a2  a2   a   Vậy với a = b = Xmax = 1997 Câu 262: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2010-2011] a) Cho số dương a v| b Chứng minh : b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn P 11 1     ab 4a b 1    2010 Tìm GTLN biểu thức: x y z 1   2x  y  z x  2y  z x  y  2z Lời giải a) Biến đổi tương đương bất đẳng thức sau 2 11 1      4ab   a  b     a  b  ab 4a b Bất đẳng thức cuối Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a  b b) Áp dụng bất đẳng thức ta LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 164 1 1  2 1         2x  y  z  x  y x  z  16  x y z  Ho|n to|n tương tự ta 1 1 1 1 1 2     ;      x  2y  z 16  x y z  x  y  2z 16  x y z  Cộng theo vế bất đẳng thức ta P 1 1  1  2010 1005         2x  y  z x  2y  z x  y  2z  x y z  Vậy giá trị lớn P 1005 Đẳng thức xẩy x  y  z  670 NĂM HỌC 2009-2010 Câu 263: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2009-2010] Giải phương trình: x   1  3   2x  5x    4x   Lời giải Ta chứng minh: a  b  1   3    c b  2c c  2a   a  2b  (*) với a > 0; b > 0; c > a  b   a  2b  (1) + Với a > 0; b > ta có:    + Do   b  a   a  b  nên + Từ (1) (2) ta có: a  b  a 3 a  2b  b  a 2 b (2) (3) (Với a > 0; b> 0; c > 0) + Áp dụng (3) ta có: a  b   1   3    với a > 0; b> 0; c > c b  2c c  2a   a  2b 1 Phương trình x    1  3   có ĐK: x  2x  5x    4x  Áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x; b = x; c = 2x - ta có: x  x    1  3    2x  5x  4x    3x LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 165  x    1  3   với x  2x  4x    5x  Dấu “ = ” xảy  x  2x   x  Vậy phương trình có nghiệm x = Câu 264: [TS10 Chuyên Hải Phòng, 2009-2010]  1 1 a) Cho số dương a, b, c tùy ý Chứng minh rằng:  a  b  c       a b c b) Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  Chứng ming rằng: 2009   670 2 a  b  c ab  bc  ca Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a  b  c  abc; 1 1   3 a b c abc  a  b  c   a1  b1  1c   Suy   Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c b) Ta có ab  bc  ca  a  b2  c a  b  c   ab  bc  ca  3 2007  669 ab  bc  ca Suy Áp dụng bất đẳng thức câu a, ta có  1    a  b2  c  2ab  2bc  2ca    2  a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca   1   1 2 a  b  c ab  bc  ca  a  b  c 2 Suy Do ta  2009   670 2 a  b  c ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Câu 265: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2009-2010] a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh rằng: abc + xyz  (a + x)(b + y)(c + z) LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 166 b) Từ suy : 3  3  3  3  23 Lời giải a) Ta có: abc  xyz  (a + x)(b + y)(c + z) (1) Lập phương vế (1) ta : abc + xyz + 3 (abc)2 xyz + 3 abc(xyz)2  (a + x)(b + y)(c + z)  abc + xyz+ 3 (abc)2 xyz + 3 abc(xyz)2  abc + xyz + abz + ayc + ayz + xbc + xyc + xbz  3 (abc)2 xyz + 3 abc(xyz)2  (abz + ayc + xbc) + (ayz + xbz + xyc) (2) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : (abz + ayc + xbc)  3 (abc)2 xyz (3) (ayz + xbz + xyc)  3 abc(xyz)2 (4) Cộng hai bất đẳng thức (3) v| (4) ta bất đẳng thức (2), (1) chứng minh b) Áp dụng BĐT (1) với a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = - 3, y = 1, z = Ta có : abc = + Từ : 3 , xyz = 3- 3 , a + x = 6, b + y = 2, c + z = 3+ 3  3- 3  6.2.2  3 (đpcm) Câu 266: [TS10 Chuyên Đ| Nẵng, 2009-2010] Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a  b2  c  4(ab  bc  ca)  Lời giải Ta có: a2 + b2  2ab ; b2 + c2  2bc ; c2 + a2  2ca  a2 + b2 + c2  ab + bc + ca (1) Lại có: a2 + b2 + c2 = a2 + b2 + c2 + (a + b + c)2  Hay a2 + b2 + c2 = 2(a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca)  (1) v| (2)  (2) a2 + b2 + c2  4(ab + bc + ca)  đpcm Câu 267: [TS10 Chuyên Bình Định, 2009-2010] Với số tự nhiên n  Chúng minh S n  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 167 Với S n   1   5 2     2n  1  n  n 1  Lời giải Với n  , ta có  2n  1  n  n 1  n 1  n n 1  n  2n  4n  4n   n 1  n  4n  4n  1 1      n  n  n n 1  n +1 - n Do ta 1 1 1  1  Sn           1  2 2 n n 1   n 1  Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 268: [TS10 Chuyên Hải Dương, 2009-2010] Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x2  4x   x2  6x  13 Lời giải Ta có: P   x  2  12   x  3  22 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy c{c điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh được: AB   x   x    1    x  2 OA  Mặt khác ta có: OA  OB  AB   12 , OB   x  2  12   25   26  x  3  x  3  22  2  26 Dấu “=” xảy A thuộc đoạn OB B thuộc đoạn OA  x2   x  Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) x3 Câu 269: [TS10 Chuyên Bình Định, 2009-2010] Chứng minh m   n n2  3  , với số nguyên m, n Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 168 Vì m, n số nguyên nên m số hữu tỉ n m  0 n số vô tỉ nên Ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1: Với m  , ta n m2  2n2  m2  2n2  hay m  2n2  Từ suy m 2n  1     2  n n n 2 2 n      n2 1 2  n  2  2   n n   + Trường hợp 2: Với  3  m  , ta n m2  2n2  m2  2n2  hay m  2n2  Từ suy 22 m m 2n  1   2  2   2  n n n n    n2      n   n2  2  n  n2 3  Vậy b|i to{n chứng minh Câu 270: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2009-2010] Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh rằng: a2  b2  c2  b  c   c  a  a  b  2 2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 169    a b c  ab bc ca     b  c  c  a  a  b          b  c  c  a   c  a  a  b   a  b  b  c   Mà ta lại có ab bc ca    b  c  c  a   c  a  a  b   a  b  b  c   ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a   a  b  b  c  c  a    a  b  b  c  c  a   1  a  b  b  c  c  a   a b c  Do bất đẳng thức trở thành     0  bc c a a  b  Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy b|i to{n chứng minh Câu 271: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] Cho biểu thức P  a2  b2  c2  d2  ac  bd , ad  bc  Chứng minh rằng: P  Lời giải Ta có  ac  bd    ad  bc  2  a c  2abcd  b2d2  a 2d2  2abcd  b2 c          a c  d2  b2 d2  c  a  b2 c  d2  Vì ad  bc  nên   ac  bd   a  b2 c  d2  (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta P  a  b2  c  d2  ac  bd  a    b2 c  d2  ac  bd Suy ta P    ac  bd   ac  bd Rõ ràng P    ac  bd   ac  bd 2 Đặt x  ac  bd , ta     P   x2  x  P2   x2  4x  x2  x2   x2  4x  x2  4x2  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 170 Hay P     x  2x   Do ta P  Vậy bất đẳng thức ad  bc   chứng minh Đẳng thức xẩy 2a  3d  c  2b   3c  d Câu 272: [TS10 Chuyên Nghệ An, 2009-2010] Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  b2  c  ab  bc  ca a b  b c  c 2a Lời giải Dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c  giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a  b2  c  ab  bc  ca 4 a b  b2 c  c 2a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có    a  b2  c   a  b  c  a  b2  c   a  b3  c  a b  b2 c  c 2a  ab  bc  ca Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a  ab2  2a b; b3  bc  2b2c; c  ca  2c 2a Suy     a  b2  c  a b  b c  c 2a  Do ta a  b2  c  ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b2  c  2 a bb cc a a  b2  c 2 Phép chứng minh hoàn tất ta a  b2  c  Hay a b c  2 ab  bc  ca 4 a  b2  c   a  b2  c  a  b2  c  4 Đặt t  a  b2  c Từ giả thiết a  b  c   a  b2  c2  , ta t  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 171 Bất đẳng thức trở thành t 9t   2t   t  8t   t   2t    2t Bất đẳng thức cuối t  Vậy b|i to{n chứng minh xong Câu 273: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] Gọi a, b, c l| độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x2 y z2 2x2  2y  2z2    a b2 c a  b2  c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với y2 2y x2 2x z2 2z      0 a a  b2  c b2 a  b2  c c a  b2  c x2 b2  c  a y a  c  b2 z2 a  b2  c  2  2  2 0 a a  b2  c b a  b2  c c a  b2  c             Do a, b, c l| độ dài cạnh tam giác nhọn nên a  b2  c ; b2  c  a ; c  a  b2 b2  c2  a  0; a  c  b2  0; a  b2  c  Nên ta Do bất đẳng thức B|i to{n chứng minh xong Câu 274: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Với a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 3a  8b  14ab 2  b2 3b  8c  14bc 2  c2 3c  8a  14ca 2  abc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 3a  8b2  14ab  3a  8b2  12ab  2ab  4a  9b2  12ab   2a  3b  Suy a2 3a  8b2  14ab  a2  2a  3b   a2 2a  3b Áp dụng tương tự ta thu LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 172 a2 3a  8b2  14ab  b2 3b2  8c  14bc  c2 3c  8a  14ca a2 b2 c2    2a  3b 2b  3c 2c  3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a  b  c   a  b  c a2 b2 c2    2a  3b 2b  3c 2c  3a  a  b  c  Do ta được: a2 3a  8b2  14ab b2  3b2  8c  14bc  c2 3c  8a  14ca  abc Vậy b|i to{n chứng minh xong Đẳng thức xẩy a  b  c Câu 275: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện  x, y, z  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: M  x4  y4  z4  12 1  x 1  y 1  z  Lời giải Đặt a  x  1; b  y  1; c  z  , ta 1  a; b; c  a  b  c  Biểu thức M viết lại thành     M  a  b4  c  a  b3  c  a  b2  c  a  b  c    12abc Để ý a  b  c  a3  b3  c3  3abc  nên biểu thức thử thành   M  a  b4  c  a  b2  c  Theo đ{nh gi{ quen thuộc a  b4  c  abc  a  b  c   a  b2  c  a  b  c   Do suy M  hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a  b  c  hay x  y  z  Mặt khác 1  a; b; c  nên ta có a ; b ; c  Từ ta có a  a  a ; b4  b2  b ; c  c  c     Suy M  a  b4  c  a  b2  c   a  b  c  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 173 Mà ta lại có a  b  c  nên ba số a, b, c có hai số âm, tức ln tồn hai số dấu Khơng tính tổng quát ta giả sử hai số l| b v| c Khi ta b  c  bc  a Đến đ}y ta có M  14 a   17 hay giá trị lớn M l| 17 Đẳng thức xẩy a  1; b  1; c  hoán vị hay x  2; y  0; z  hoán vị Câu 276: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2009-2010] a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau:  k  1  1   2   k k 1   k 1    b) Chứng minh rằng:  2010 2009  88 45 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  k  1 k  k 1 2 k k k   2k   k  k  1    k 1  k  0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT      2010 2009    1     2       2    2 2 3 2010     2009     88  21  VP   1   2010   45  45  Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Câu 277: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 2009-2010] a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a  b   b  c   c  a   ab  bc  ca  a b c 2 26 b) Cho a  0; b  Chứng minh LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2009   a b 2a  b FB TRỊNH BÌNH 174 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b   b  c   c  a  2 2 12  a  b  Hay 2 13 a  b    b  c   c  a   26 b  c  2  2007  c  a  2009 2 0 Bất đẳng thức cuối Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   a  b 2a  b Đặt c  b , b  nên ta c  , bất đẳng thức viết lại thành   a c 2a  c Theo đ{nh gi{ quen thuộc ta 2 2.4      a c 2a c 2a  c 2a  c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy 2a  b Câu 278: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho x, y, z số thực dương cho xyz  x  y  z  Chứng minh rằng: xy  yz  zx  Lời giải Giả thiết b|i to{n viết lại thành Đặt a  1    x1 y 1 z1 1 ; b ;c Khi ta a  b  c  Từ suy x1 y 1 z 1 x 1a b  c 1 b c  a 1 c a  b  ; y  ; z  a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 175 ab   b  c  c  a  bc   c  a a  b  ca  a  b  b  c  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: ab 1 b a      b  c  c  a   b  c c  a  bc 1 c b      c  a  a  b   c  a a  b  ca 1 a c      a  b  b  c   a  b b  c  Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: ab   b  c  c  a  bc   c  a a  b  ca  a  b  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Câu 279: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho số thực không âm a, b, c cho ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1   1 a 2 b 2 c 2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2   1 a  b2  c  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a  b  c   a  b  c  a2 b2 c2    1 2 2 2 a  b  c  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca  2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Câu 280: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  2y  3z  18 Chứng minh rằng: 2y  3z  3z  x  x  2y  51    1 x  2y  3z Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 176 Đặt a  x; b  2y; c  3x , giả thiết trở thành a  b  c  18 bất đẳng thức viết lại thành b  c  c  a  a  b  51    1 a 1 b 1 c Bất đẳng thức tương đương với bc5 ca5 ab5 51  1  1 1  1 a 1 b 1 c Hay  a  b  c    1 a  1 b  1 c   72   Phép chứng minh hoàn tất ta 1    1 a 1 b 1 c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 9       a  b  c  a  b  c 21 Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  hay x  6; y  3; z  Câu 281: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho số thực x, y thỏa mãn: x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x y( x  y) Lời giải Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: P  ( x  y)  y   y( x  y)  x  8y  8y  x  16 y  x4    Đẳng thức xảy      y 8 y  y ( x  y )  y  64     Vậy minP = x = y = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 177 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH ...1 TỒN C NH TỐN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ VÀO 10 CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 2009- 2019 NĂM HỌC 2019- 2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019- 2020] Cho x, y số thực dương thỏa... PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 10 Cộng theo vế bất đẳnng thức ta bất đẳng thức (2) B|i to{n chứng minh Dấu “=” xảy x  y  z  Câu 13: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 2019- 2020] Cho x, y, z số thực...    a  b  c     ab  bc  ca Đẳng thức cuối theo giả thi? ??t, phép biến đổi l| tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:   x2  y   x  y  (*) 11