Các chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toán

Các chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toánCác chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toán

Website: Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chƣơng 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai số thực a số thực x cho x  a  Cho số thực a không }m Căn bậc hai số học a kí hiệu a số thực khơng âm x m| bình phương a:  x  a     ax x  a  a  b ab  Với hai số thực không âm a, b ta có:  Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: + A0 A A2  A   A0  A + A2 B  A B  A B với A, B  ; A2 B  A B   A B với A  0; B  + + A  B A.B  B2 M M A với A  ;(Đ}y gọi phép khử thức  A A mẫu) + A.B với AB  0, B  B   M A B M  với A, B  0, A  B (Đ}y gọi phép A B A B trục thức mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website:  Căn bậc số a kí hiệu  Cho a  R; a  x  x3   Mỗi số thực a có bậc  Nếu a  a   Nếu a  a 0  Nếu a  a   a  a 3a với b   b 3b  ab  a b với a, b  ab a  b  A B  A3 B    3 A  B A  B 3 3 a số x cho x3  a a AB với B  B A B3  A3 B A2 AB  B với A   B A B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a  R, n  N ; n  Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n  2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất:  k 1 a  x  x2 k 1  a , a  k 1 a  , a  k 1 k 1 a  , a  a 0 Trường hợp n số chẵn: n  2k , k  N Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi l| bậc 2k số học a ) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: Căn bậc chẵn âm kí hiệu 2k a , 2k a  x  x  x 2k  a ; 2k a  x  x  x 2k  a Mọi số thực a  khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P  x4  b) P  8x3  3 c) P  x4  x2  Lời giải:    x  a) P   x   x    x  x   x   b) P   x       2x    3x  c) P   x  1  x   x  x  1 x  x  1 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A  x  x  x  x  b) B  x  x   x  x  x  c) C     10  Lời giải: 1  a) A  x  x  x   x   x    x  2  + Nếu x 1  x  + Nếu x 1   x  x x 1  x   A 2 x 1  x   A2 x  2 b) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: B  x  x   x  x   x   x 1   x 1  x 1  Hay B      4x 1 1   4x 1   4x 1 1  4x 1  4x 1 1  x 1  + Nếu 4x 1 1   x 1   x  4x 1 1  x 1 1 suy B  x  + Nếu 4x 1 1   4x 1   1  x  4 x     x   suy B   c) Để ý rằng:      74  2 Suy C     10(2  3)    28 10  9 5 5   Hay C    5(5  3)   25     Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     số nguyên b) B   84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào  1 9 lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG H| Nội 2006) c) Chứng minh rằng: x  a  a a  8a  a  8a   a với 3 3 số tự nhiên Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website:  d) Tính x  y biết x  x  2015  y   y  2015  2015 Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó A2   72  72          14  2.5  Suy A  2 b) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v3  3uv  u  v  Ta có: 3   84 84  84 84 84 84    1  B3     1 1  3  1   9  9 9       84 84   1  Hay  1  9     84  84  84 3 B3   3 1    .B  B   3  B  B   B  B  B      81  1    B  1  B  B    mà B  B    B     suy B  2  2 Vậy B số nguyên c) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v3  3uv  u  v  Ta có x3  2a  1  2a  x  x3   2a  1 x  2a    x  1  x  x  2a   Xét đa thức bậc hai x2  x  2a với    8a  + Khi a  1 ta có x    8 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: + Khi a  , ta có    8a }m nên đa thức (1) có nghiệm x  Vậy với a  ta có: x  a  a  8a  a  8a   a  số tự nhiên 3 3 d) Nhận xét:  x  2015  x   x  2015  x  x  2015  x  2015 x  2015  x  y  2015  y Kết hợp với giả thiết ta suy  y  2015  y  x2  2015  x  x2  2015  x  y  2015  y  x  y  Ví dụ 4) a) Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: P x  x3  x  x  12 x  x  12 b) Cho x   Tính giá trị biểu thức B  x4  x4  x3  3x2  1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG H| Nội năm 2015-2016) c) Cho x    Tính giá trị biểu thức: P  x5  x4  x3  x2  x  2015 Giải: a) Ta có:   x    10    10      10   10     x2        1 82 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038   1      1 Website:  x   Từ ta suy  x  1   x  x  x Ta biến đổi: P   x    x  x   12 x  x  12  42  3.4  12   12 b) Ta có x     x  1   x3  3x  3x   Ta biến đổi biểu thức P thành: P  x ( x3  3x  3x  3)  x  x3  3x  3x  3   x3  3x  3x  3  1945  1945 c) Để ý rằng: x  22   ta nhân thêm vế với  để tận dụng đẳng thức: a3  b3   a  b   a  ab  b2  Khi ta có:   1   1    1 x   x  x   x  1 x  3 3 3   x  1  x3  3x  3x   Ta biến đổi: P  x5  x  x3  x  x  2015   x  x  1 x3  3x  3x  1  2016  2016 Ví dụ 5) Cho x, y, z  xy  yz  zx  a) Tính giá trị biểu thức: 1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  Px 2  x2 2 1 y2 1 z2 b) Chứng minh rằng: x y z    2 1 x 1 y 1 z2 xy 1  x 1  y 1  z  2 Lời giải: a) Để ý rằng:  x2  x2  xy  yz  zx  ( x  y)( x  z ) Tương tự  y ;1  z ta có: 1  y 1  z   x  y  x  y  z  z  x  z  y   x y  z   x  x2  x  y  x  z  Suy P  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: b) Tương tự c}u a) Ta có: x y z x y z      2 1 x 1 y 1 z  x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  z  x   x  y  z   y  z  x  z  x  y xy    x  y  y  z  z  x   x  y  y  z  z  x  xy 1  x 1  y 1  z  2 Ví dụ 6) a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: x12  12  x2  22   n xn  n2  x1  x2   xn   4n  4n  với n nguyên dương Tính 2n   2n  b) Cho f (n)  f (1)  f (2)   f (40) Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với:    x12  12    x2  22     xn  n2  n  0 Hay x1  2, x2  2.22 , , xn  2.n2  x  y  4n  b) Đặt x  2n  1, y  2n    xy  4n   x2  y   Suy f ( n)  x  xy  y x3  y 3    x  y3   x y x y 2   2n 1   2n  1 3  Áp dụng vào tốn ta có: f 1  f     f  40      1     33  13   53  33     813  793   813  13  364 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Website: Ví dụ 7) a) Chứng minh rằng: 1     Đề 1 3 79  80 thi chuyên ĐHSP 2011 b) Chứng minh rằng: 1 1        1   2 3 n n 1 n 1   c) Chứng minh: n   1 1       n 1 n với số nguyên dương n  Lời giải: a) Xét A  B 1 ,    1 3 79  80 1    2 4 80  81 Dễ thấy A  B Ta có A B  1 1      1 2 3 79  80 80  81 Mặt khác ta có: Suy A  B   k  k 1   2    3  k 1  k      81  k 1  k  k 1  k   k 1  k  80  81   Do A  B suy A  A  B   A  b) Để ý rằng: 1 1 với    k k 1 2k k  k (k  1) k   k   k nguyên dương Suy   1       VT  1          1     2 2  3 n 1  n 1    n  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: đường cao Ta có, FD2  FN FC Suy FD2  FS hay F trung điểm SD Câu 5) Từ phương trình hệ ta suy x, y  Xét phương trình: x3  y   x  y  xy  8xy  x  y  Ta có: x3  y3   x  y  xy   x  y   x  y  xy    x  y   x  y   xy    Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:  x  y   xy  2 x3  y   x  y  xy  xy  x  y   x  y   x  y   xy  x  x  y  x  y xy Suy  xy  x  y  Ta có  y  xy Suy x3  y   x  y  xy  8xy  x  y  Dấu xảy x  y Thay v|o phương trình (2) ta thu được: x  x    x  x   x   x  3  Suy x  hoặc: x   x   x  3 2x   x   x  3 Do x  nên pt vô nghiệm 2 Tóm lại: Hệ có nghiệm: x  y  ĐÁP ÁN ĐỀ Câu 1) Giải: Điều kiện: x  3 Ta có: (1)  x2  3x  x x   x    (2) Đặt t  x  x  Do (2)  t  4t     t  1 t  3   t  1; t  Với t  , ta giải phương trình x  x    x    x  x  x  1  x       2  x   1  x  x   1 2x  x  x  3x    Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 45 Website: x     x   17  x   17   2     x   17   Với t  , ta giải phương trình x  x    x    x x     x   x   x   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   17 , x  Câu 2) Lời giải: Đặt x  a , y  b , z  c x2  y  z  x  y  z  Suy  xy  yz  zx    x  y  z    x  y  z   22   2  xy  yz  zx  Do đó:  a  xy  yz  zx  x   x  y  x  z  ;  b  xy  yz  zx  y   y  z  y  x  ;  c  xy  yz  zx  z   z  x  z  y  Vì a b c x y z       a  b  c  x  y  x  z   y  z  y  x   z  x  z  y    x  y  z  y  z  x  z  x  y   xy  yz  zx    x  y  y  z  z  x   x  y  y  z  z  x  1  a 1  b 1  c  n n    n   n   3   3  Câu 3) Ta có an                 2 2          Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 45 Website: n n  1   1  Xét dãy Sn   , ta chứng minh bn số          nguyên Xét x1  1 1 ta có , x2  2  x1  x2  suy x1 , x2 hai nghiệm   x1.x2  phương trình: x2  x   Ta có Sn1  x1n1  x2 n1   x1n  x2 n   x1  x2   x1 x2  x1n1  x2 n1  hay Sn1  Sn  Sn1 Ta có S1  1, S2   x1  x2   x1 x2  3, S3  S2  S1  Từ phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh S n số nguyên Suy an   Sn  số phương A P Câu 4) a) Ta có AEF  OAE    ABC  1800  AOC  900 Q G E F H Suy OA EF O M N b) Việc chứng minh B trực tiếp AK qua trung điểm DE C D L l| tương đối khó Để ý đến chi tiết CH cắt đường K tròn (O) điểm G ta thấy G, H đối xứng qua AB , hay F l| trung điểm GH Như ta cần tìm mối quan hệ điểm F v| điểm M thông qua c{c tam gi{c đồng dạng Xét tam giác DFH tam giác DAE : Ta thấy DFH  DBH  DAE , Ta có AED  1800  ABD  FHD suy DFH ” DAE  HF HD HF HD HG HD      hay EA ED EA ED EA ED Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 45 Website: HG HD Từ suy HGD” EAM   EA EM EAM  HGD  CAK  AM  AK c) Giả sử BH cắt đường tròn (O) điểm P khác B Tương tự câu a ta có: P đối xứng với H qua AC Suy AG  AH  AP GP  OA  EF suy EF / / MN / /GP , giả sử AL cắt GP Q Ta có: MNA  AQP  AGQ  QAG  APG  QAG  AKG  GKL  AKL suy tứ giác MKNL nội tiếp Câu 5) Để ý rằng: 2xy  x2  y Ta lại có:  2bc  a   b  c   ;  2ca  b2   c  a   0; 2  2ab  c   a  b   Nên a2 b2 c2 a2 b2 c2       2bc  2ca  2ab  b  c  c  a  a  b a2 b2 c2 1       3     2 2 2  1 a  b  c  2a 2b 2c  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta thu được: 1 9     Từ suy ra: 2 2 2 2a 2b 2c 6a b c a2 b2 c2    3   Chứng minh hoàn tất đẳng  2bc  2ca  2ab 5 thức xảy a  b  c   Câu 6) Vì số ngun dương m lẻ khơng vượt 2015 , ta xây dựng tập Am gồm số dạng 2k m , k  2k.m  2016 Kí hiệu Am  2k.m | k  , 2k.m  2016 Với cách xây dựng trên, m  1009 Am có phần tử m Vì có 1008 số lẻ khơng vượt q 2016 nên có 1008 tập Am Nhận thấy với Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 45 Website: n nguyên dương bất kỳ,  n  2016 , ta viết n  2k.m với m số nguyên lẻ, điều cho thấy số nguyên từ đến 2016 thuộc vào 1008 tập Am Nhưng tập M có 1009 phần tử, chắn có hai phần tử M giả sử a, b  a  b  thuộc tập Am n|o Khi a  p.m b  2q.m với p  q , suy b  2q  p hay b bội a a ĐỀ SỐ Câu 1) Viết lại phương trình cho th|nh: x  x  1  x  x  17  Đặt t  x  x  17  Ta có x2  x   t  16 v| phương trình cho viết thành:  t  16   t     t    t   t    1  Phương trình   t   có nghiệm t  hay x2  x    x  1 Phương trình  t  4 t  4   vô nghiệm t  Vậy phương tình có nghiệm x  1 Câu 2) Ta có 62015  (5  1)2015  1(mod5)  62015  5k  với k  Z  Suy A  265m1  26  265  Mặt kh{c để ý rằng: m  a  b  a5  5a 4b  10a3b2  10a 2b3  5ab4  b5 Nếu a 25   a  b   b5 (mod125) suy 265  1(mod125)  A  26(mod125)  A  125m  26 Dễ thấy A suy 125m  26  m chẵn  m  2r  A  250r  26  248r  24  2(r  1)  r chia cho dư  r  p  Hay A  250  p  3  26  1000 p  776 Vậy chữ số tận A 776 Câu 3) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 45 Website: a) Ta viết lại phương trình th|nh:  x  y   3xy( x  y)  xy  x  y  a (a, b  Z ) Ta có a3  3ab  b   a3   b(3a  1) Đặt   xy  b  a3  (3a  1)  27  a3  8 3a    27a3  1  215 3a   215 3a  Mặt khác ta có 215  5.43 suy 3a 1  1; 5; 43; 215 Cuối ta thay c{c trường hợp để tìm a, b  x  2; y  x  0; y  2 b) Ta có 3 26  15     26  15         Do     Đặt a   3 80   80 ta có: a3  18  3a  a3  3a 18   a3  27  3a     a  3  a  3a     a  (vì a  3a   ) Vậy 2016   80   80  Suy x  Khi P   3x3  x  1 Câu 4) Ph}n tích định hướng giải: S A A T L K Q P O O F M B H C B E N C D Ta dễ chứng T minh tính chất sau: Tam giác ABC nội tiếp (O) , R tiếp tuyến B C cắt T , AT cắt (O) D , OT cắt BC H Khi AHC  ABD BAT  HAC (Xem thêm phần tính chất cát tuyến, tiếp tuyến) Trở lại toán: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 45 Website: + Áp dụng kết tốn ta có: ABK # EBC + Từ kết ABK # EBC ý rằng: KP, CM trung tuyến tam giác ABK , EBC nên suy BCM  BKP (1) , tương tự CBN  CLQ (2) + Ta có PLK  QBC  PQB (do KLBC nội tiếp PQ / / BC ) Từ suy tứ giác PQKL nội tiếp nên ta có: BKP  CLQ (3) Từ (1), (2), (3) ta có: BCM  CBN Câu 5) a) Ta có: x12  x22  x23   xn2  n3   2n  1 x1  x2   xn   n2   xn2   2n  1 xn  n2  n    x22   2n  1 x2  n2  n     xn2   2n  1 xn  n2  n    x1  n  x1  n  1   x2  n  x2  n  1    xn  n  xn1  n  1  Mặt khác  xk  n   xk   n  1 tích hai số ngun liên tiếp nên khơng }m, xk  n xk  n  Do n  nên xk số nguyên dương b) Vì xk n; n  1 nên n  n  1  x1  x2   xn  n2 Do n2   n2   n  x1  x2   xn  n2  n    n  1 Suy x1  x2   xn   n nằm hai số phương liên tiếp nên khơng số phương ĐỀ SỐ Câu 1) Điều kiện x  Phương trình tương đương với: x9  x 2x 9x 1 2x    0 x 1 x 1 x 1 x 1 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 46 Website:  2x  8x 2x        1  x 1 x 1  x 1   2x   x  x   x  (thỏa mãn) x 1 Câu 2) Ta có: x3  y  y  11   x3  3  y  1   8  x  2 (1) x2  y  x2  3  y    x  y  1   y  1  y  x2   2y   2  x  (2) Từ (1) (2) suy x  2 , y2 1 y  Do x3  y  7 Câu 3) Giả sử số tự nhiên n thỏa mãn đề b|i Khi tồn số nguyên dương k cho 22012  22015  2n  k  9.22012  2n  k   k  3.21006  k  3.21006   2n k  3.21006  2a  Suy k  3.21006  2b  2a  2b  3.21007 hay 2b1  2a b  1  3.21006  a, b  , a  b  n  b   1006 b  1007   n  2016 Suy  a b a  1009     Câu 4) A O G F I E C M T a) Ta có : Tứ giác AOMT nội tiếp nên : BAOT  AMT suy EOD AMC (cùng bù với góc nhau) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 D 46 Website: b) Ta thấy rằng: AMC# EOD ( g g) suy AC MC 2MC BC suy EAD# ABC nên EAD ABC , tam    ED OD 2OD AD giác ABC nhọn suy O nằm tam giác suy ABC  ADC (cùng chắn cung AC ) Từ suy EAD ADC suy AE / /CD suy AE  AC c) Từ chứng minh ta có: FAE  T AC  900  DAC Suy FGT  FAE  DAC  DBC  FBT hay tứ giác FGBT nội tiếp nên TGB  TFB  EGA suy GO phân giác góc AGB Gọi I giao điểm GO với (O) Ta có OA  OB nên AGBO nội tiếp Mặt khác OA  OB  OI nên I tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABG Chú ý: Trong phần chứng minh ta sử dụng bổ đề sau: ‘’Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , ngoại tiếp ( I ) Đường thẳng AI cắt (O) D DI DB  DC ’’ Phần chứng minh dành cho em học sinh Câu 5) Nhận xét tập hợp X có 34 phần tử, phần tử có dạng 3n  với n  0,1, 2, ,33 Trước hết, ta tìm cặp hai phần tử phân biệt X 3n  1,3m  cho 3n   3m   104  m  n  34 Với n  m  34  33 Với n  17 m  17 suy hai phần tử Loại trừ hai phần tử trên, 32 phần tử lại cho ta 16 cặp hai phần tử phân biệt 3n  1,3m  thỏa mãn n  m  34 l|  4;100 ,  7;97  , 10;94  , ,  49;55 (*) Nếu ta lấy 19 số từ tập X xảy trường hợp ‚xấu‛ 16 số mà số thuộc vào 16 cặp (*) thỏa mãn n  m  34 Vì tập A có 19 phần tử nên thỏa mãn tốn (đpcm) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 46 Website: ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Câu 1) Ta có x2   y 2 y   3z ; y   z  y  3z  ; 2 3z   x 2 Suy z 15  3x  3z  x  x 1 y2   x  y  y  z  z 15  3x2  x   y 2 y   3z 3z   x    Điều n|y tương đương với 2  1 y2  x 1  y  x    hệ:   3z  y  2  z  y Cộng theo vế ba đẳng thức  5  x  3z 2    x  3z ta P  x2  y  3z  Câu 2) Trước hết ta có nhận xét: Với số nguyên n  n  n 1   Áp dụng vào tốn ta có: n n 1  n   1 1 2      A 3 20162  20162    2   1 1 2      A Mặt khác ta 2 20162   20162   1  n   n từ suy có: n  n 1  20162    20162    1 1 2      1 3 20142  20162    2   1 1 2      1 2 20162   20162   1 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038  46  Website: Do    20162    A     20162   4030  A  4031  A  4030 Câu 3) a) Từ phương trình ( 2) ta có: x3  3xy  3x  y     x  y  x  y  1 Hay x3  3xy  x  y  x  y     x  y  x  y  1  8x3  y3  xy  x  y   x3  y3  3xy  x  y    x  y  1 x  y     x  y    x  y  1  x  y  x  y   x  Thay v|o phương 3 trình đầu tìm nghiệm hệ là:  x; y   1;1 , 1; 4  a  dx  b) Giả sử  a, b   d  b  dy  x, y    Theo giả thiết ta có: ab  a  b  xy  x  y  d Z   Z Mặt khác ta dễ 2 a  ab  b x  xy  y dàng chứng minh được: x  xy  y , x   1;  x  xy  y , y   1;  x  xy  y , x  y   1;  y , x   suy d x2  xy  y  d  x  xy  y  a  b  d x  y  d 3  d  x  xy  y   d xy  ab hay a  b  ab A Câu 4) Ph}n tích định hướng giải a) Từ giả thiết PC QC PC QC    PA QP PA  PC QP  QC  P Q PC QC   PC  CA.CQ AC PC S B R C Mặt khác tứ giác AQRB nội T Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 46 D Website: tiếp nên CACQ  CR.CB Từ suy PC  CR.CB Hay PC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác PBR b) Từ chứng minh ta suy APB  PRB ,Ta có ABP  1800  BAP  APB  BRQ  BRP  PRQ ASP  ABP  PRQ  PSQ nên SP phân giác góc ASQ Dựng đường thẳng qua SP cắt AC T ST phân giác ngồi góc ASQ Ta có TQ PQ CQ PQ  CQ CP TQ  CQ TC       suy TA PA CP PA  CP AC TA  CP CT  AP CP  CT  AP   CT AC  CT ( AP  PC )  CP AP  CT AP  CP  CT hay C l| trung điểm PT Vậy tam giác CSP cân C c) Ta có CS  CP2  CQ.CA  CR.CB suy SRC  BSC  BSD  DSC  BAP  APS  1800  BDS Hay BDS  1800  SRC  SRB Vậy tứ giác BSRD nội tiếp Suy điều phải chứng minh Câu 6) Với k  * , ta có  n  k  n  k  1  n2  n  k  k  n  n  1 Lấy tích từ k  đến m ta  n  m !  n  m nm    n  m ! (1) Ta có n  k  2k , với k  1, 2, , m Lấy tích từ k  đến m , ta  n  m !  2m.m! n! Mặt khác n  m  nên n!   n  m ! suy Do  n  m !  2m.m  n  m !  n  m !   n  m ! n!  n  m ! (2) Từ (1) v| (2) ta có đpcm ĐỀ SỐ 10 Câu 1) Đặt y  x  5, z  45  x ta có y  0, z  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 46 Website:  y  35  z Từ phương trình cho ta có hệ phương trình:  (*)  z  35  y Trừ vế hai phương trình hệ ta y  z  y  z  y  z   y  z  y  z      y  z Với y  z thay v|o phương trình đầu hệ (*) ta được: y  y  y  35   y  1  36    y  7 Vì y  nên y  suy x  10 thỏa mãn phương trình cho Với y  z   z   y , thay v|o phương trình đầu hệ (*) ta y  35   y   y  1  32  y   2 Vì y  nên y   suy z    Do hệ (*) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  10 n1 Câu 2) Để ý ta thấy: A  22 n1 A  22   22.4  ta có 4n  3k  nên suy ra: n   22.4   22(3k 1)   4.64k  n 64k   63  1  1 mod   A   mod  Mặt khác ta có: k n1 A  22.4   28   Suy A  22 n  hợp số Câu 3) Vì    A nên theo tính chất c) ta có:  2   A  5  A Mặt khác theo tính chất a) có  5  A nên  5     A Khi      A  6   A    Ta có   A , suy 6       A Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 46 Website: Do 3   A (đpcm) 2 Câu 4) A E M L N G P O D F H B  a) Ta có FCB  FEB C BCD suy CF phân giác góc BCD CF  BD Nên HCD  HCB  HED nên tứ giác CHDE nội tiếp b) Vì tứ giác CHDE nội tiếp nên HEB  HDC  HBC  O   C  cắt theo dây cung BE nên suy B, E đối xứng qua OC suy BDC  CBD  LEC suy tứ giác CELD nội tiếp nên điểm C, E, L, D, H nằm đường trịn ( x) Ta có: HLG  HEC CBE CFE suy HGLF nội tiếp đường tròn ( y ) c) Ta thấy điểm H trực tâm tam giác BCL LH trục đẳng phương hai đường tròn ( x), ( y) nên LH cắt EF P PG.PF PD.PE suy PG PD Mặt khác GM / / DN / / PL nên  PE PF Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 46 Website: suy bình hành Tứ ứ ó nên tứ giác s u y hình r a Câu 5) Ta có Suy ba sứ tứn tứi hai sứ có tích khơng âm Khơng mứt tính tứng qt, giứ sứ D o B ứ T , suy ứ ó hay C a u c h y Sứ dứng , ta có: ứ ứng thứ c xứy chứkhi HẾT Liên hệtài liệu word toán zalo: 039.373.2038 46 ... Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  y  z  z  x2  (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP H| Nội 2014) Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho... (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG H| Nội năm 2015-2016) c) Cho x    Tính giá trị biểu thức: P  x5  x4  x3  x2  x  2015 Giải: a) Ta có:   x    10    10  ...     10( 2  3)    28 ? ?10  9 5 5   Hay C    5(5  3)   25     Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     số nguyên b) B   84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào  1 9 lớp 10 chuyên Trường