Tuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Tuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóaTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh HóavTuyển tập đề thi vào lớp 10 Môn Toán chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi vào lớp 10 mơn tốn, giới thiệu đến thầy cô em đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi vào lớp 10 có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu toán hay thầy cô nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề toán để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập đề thi tốn vào lớp 10 chun lam sơn giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 06 tháng năm 2019 Đề số Câu I: (2,0) điểm Chứng minh rằng: 1 44 + + + = +1 + 2025 2024 + 2024 2025 45 Cho x số thực âm thỏa mãn x + = 23 Tính giá trị biểu thức: x A = x3 + x3 Câu II: (2,0 điểm) 1 Giải phương trình: + =2 x − x2  x + y − 2xy + x = Giải hệ phương trình:  2 2 ( x + y ) − x y + x = Câu III: (2,0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x − xy − x + y + = Cho biểu thức: A = ( a 2020 +b 2020 +c 2020 ) −( a 2016 +b 2016 +c 2016 ) với a,b,c số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho 30 Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường trịn ( O ) có tâm O Các đường cao  cắt cạnh BE , CF tam giác ABC cắt H Đường phân giác BHC AB, AC M , N Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác  điểm I khác A, IM cắt BE điểm P IN cắt CF điểm Q BAC Chứng minh tam giác AMN cân A Chứng minh HPIQ hình bình hành Chứng minh giao điểm hai đường thẳng HI AO thuộc đường tròn ( O ) Câu V: (1,0 điểm) Với số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = , tìm giá trị nhỏ biểu thức S = ( a+2 )( b+2 )( c+2 2) Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: …………………… Chữ khú giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: ……………… Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu I: (2,0) điểm KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 06 tháng năm 2019 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a b c + + =1 ab + a + bc + b + ca + c + Cho số thực a, b, c khác thỏa mãn 2ab + bc + 2ca = Hãy tính giá trị biểu bc ca ab thức: A = + + 8a b c Câu II: (2,0 điểm) Giải phương trình: x + x + + x − x + = 3x 1  x + y + + =  x y  Giải hệ phương trình   xy + + x + y =  xy y x  Câu III: (2,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: y + y = x +x3 +x +x Cho hai số nguyên dương x, y với x > thỏa mãn điều kiện: 2x − = y15 Chứng minh x chia hết cho 15 Câu IV: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) với AB < AC Gọi M trung điểm BC , AM cắt ( O ) điểm D khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC E khác C Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB F khác B Chứng minh hai tam giác BDF , CDE đồng dạng Chứng minh ba điểm E , M , F thẳng hàng OA ⊥ EF  cắt EF điểm N Đường phân giác CEN  cắt CN Đường phân giác BAC  cắt BN Q Chứng minh PQ song song P , đường phân giác BFN với BC Câu V: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt cho hai đường thẳng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số đường thẳng cho gọi tam giác đẹp khơng bị đường thẳng số đường thẳng lại cắt Chứng minh số tam giác đẹp khơng 674 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ khú giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUN LAM SƠN NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: TỐN CHUN Thời gian: 150 phút Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu 1 1 1  1) Tính giá trị biểu thức − =  −2    −  2018  +  + +  + + + +       3 P a − 3a + 5a − 17 = 2) Cho a, b số thực dương thỏa mãn biểu thức  b − 3b + 5b + 11 = Chứng minh a + b = Câu 1) Giải phương trình : x − x − = (1 x−) x 1− 1  x2 + y = 2) Giải hệ phương trình :   x − + y − = xy +  Câu 1) Tính tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn: x 2019 = y 2019 −y1346 −y 673 +2 2) Cho n số nguyên dương tùy ý, với số nguyên k ta đặt S k = 1k + 2k + + n k Chứng minh S 2019  S1 Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC Gọi D, E, F theo thứ tự chân đường cao kẻ từ A, B, C tam giác, P giao điểm đường BC EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt cạnh AB, AC , CF Q, R, S 1) CMR: tứ giác BQCR tứ giác nội tiếp PB DB 2) Chứng minh với D trung điểm QS = PC DC 3) Khi B, C cố định A thay đổi thù chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua điểm cố định Câu Trong giải đấu thể thao có n độ tham dự n ≥ , luật đấu sau: Hai đội đấu với trận Sau trận, đội thắng điểm, đội thua điểm hòa hai đội điểm Sau giải đấu đội xếp hạng théo thứ tự từ cao xuống thấp (bằng điểm xếp hạng) Hỏi điểm chênh lệch lớn đội xếp thứ hạng liền ? _Hết _ Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: CHUYÊN TIN Thời gian: 150 phút Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu 1: (2,0 điểm) 2x − y , biết x − y = xy y ≠ 0, x + y ≠ x+ y 1 + Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − x − 1, tính B = x1 x25 Tính giá trị biểu thức A = Câu 2: (2,0 điểm) 2  (1 + x )− = y Giải hệ phương trình  (1 + y )−2 =  x Tìm giá trị tham số m cho phương trình x − 2mx + m − = có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn ≤ x1 ≤ x2 , xác định giá trị lớn x2 Câu 3: (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + x ( y − 1) + y + y = 35 Tìm số nguyên dương a, b nguyên tố thỏa mãn a+b = 2 a +b 41 Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định đường trịn (BC khơng qua O), A điểm di động cung lớn BC cho ABC tam giác nhọn Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC tương ứng M, N Gọi Q điểm cung nhỏ BC đường (O), P giao điểm AQ BC, E giao điểm CI với MN Chứng minh tam giác BIQ cân Chứng minh bốn điểm B, I, M, E nằm đường tròn Chứng minh AI PQ = IP IQ tìm vị trí A để tích AI PQ đạt giá trị lớn Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy z + x z + y = z z4 M = Tìm giá trị lớn biểu thức: + z ( x4 + y ) Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUN LAM SƠN NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn: TỐN (Chung) Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Ngày thi :02 tháng năm 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu 1: ( điểm )  x +2 x +2  x   x +3 :  Với x ≥ ; x ≠ ; x ≠ A = 1 − − +   x −2  x − x − x + x +     1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu : ( điểm ) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ; cho ba đường thẳng (d1) : y = -5(x + 1) ; (d2) : y = 3x – 13 ; (d3) : y = mx + ( Với m tham số ) Tìm tọa độ giao điểm I hai đường (d1) (d2) với giá trị m đường thẳng (d3) qua điểm I ? Cho biểu thức: b) Giải hệ phương trình  x − + y + =  3 y + − x − = Câu : ( điểm ) a) Tìm m để phương trình (m – 1).x2 -2mx + m + = có hai nghiệm phân biệt x1 x x x2 khác thỏa mãn điều kiện + + =0? x x1 b) Giải phương trình x x − = − 5x Câu : ( điểm ) Cho đường trịn (O) với tâm O có bán kính R đường kính AB cố định, M điểm di động (O) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng với O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N đường thẳng BN cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E đường thẳng BM CN cắt F a / Chứng minh ba điểm A; E ; F thẳng hàng tứ giác MENF nội tiếp b / Chứng minh : AM AN = 2R2 c / Xác định vị trí điểm M đường trịn (O) để tam giác BNF có diện tích nhỏ Câu : ( điểm ) Cho a; b ; c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 + + >1 2ab 2bc 2ca Hết -Họ tên thí sinh : ……………………………………… SBD :…………………………… Giám thị coi thi thứ 1: ………………………… Giám thị coi thi thứ :…………… Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn: TỐN (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề số Câu 1: (2,0 điểm) 1 + + + 1.2.3 2.3.4 2016.2017.2018 b/ Cho số thức m, n, p, x, y, z thỏa mãn điều kiện: x = ny +pz; y =mx pz+; z mx = ny; +x y +z +0 ≠ 1 + + = Chứng minh rằng: 1+ m 1+ n 1+ p a/ Tính tổng A = Câu 2: (2,0 điểm) a/ Giải phương trình: x3 + x − = 5x2 −  x y + =+ −  b/ Giải hệ phương trình:  y x x y   x − xy − 9x + 12 = Câu 3: (2,0 điểm) a a 7a 5a a a) Chứng minh với số tự nhiên a biểu thức: A = + + + + 120 12 24 12 số tự nhiên b) Tìm tất số nguyên (x, y) thỏa mãn: 5x + 8y = 20412 Câu 4: (3, điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) bán kính R cố định D chân đường phân giác góc A tam giác Gọi E F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACD a) Chứng minh  AEO =  ADC tứ giác AEOF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tam giác OEF tam giác cân c) Khi B, C cố định A di động (O) (A ≡ B, A ≡ C), chứng minh tứ giác AEOF có diện tích khơng đổi Câu 5: (1, điểm) Trong mặt phẳng có nhiều đường thẳng mà đường số đường thẳng cắt 2018 đường thẳng khác? Hết -Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút ( khơng kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu I (2.0 điểm) Cho biểu thức A = x x + − 11 x (Với x ≥ 0; x ≠ ) + + 9− x x +3 x −3 a/ Rút gọn A b/ Tìm tất giá trị x để A ≥ Câu II (2.0 điểm) a/ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): y = ( m −1) x +2m (m tham số) (d2): y = x + Tìm giá trị tham số m để đường thẳng (d1) (d2) song song với b/ Cho phương trình: x − ( m − 1) x + 2m − = (với m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn ( x12 − 2mx1 + 2m − 1) ( x2 − ) ≤ Câu III (2.0 điểm) 2 x + y = a/ Giải hệ phương trình  3 x − y = b/ Giải phương trình: x + x − = ( x +4 ) x −7  < 90o , tia phân giác góc BCD  < 90o Câu IV (3.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD với BAD cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD O (Khác C), kẻ đường thẳng (d) qua A vng góc với CO Đường thẳng (d) cắt đường thẳng CB, CD M N  = ODC  a/ Chứng minh OBM b/ Chứng minh ∆OBM = ∆ODC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN c/ Gọi K giao điểm OC BD, I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh rằng: ND IB2 – IK = MB KD Câu V (1.0 điểm): Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ x ( yz + 1) y ( zx + 1) z ( xy + 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + z ( zx + 1) x ( xy + 1) y ( yz + 1) 2 Hết Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 111    1  abc =  x +   y +  xy +  = x y +x + + y + + 2 +2 x  y  xy  y x x y  Do A = Câu 2: Ta có: PT ⇔ ( x − 1)( x − )  ( x − )( x − 3)  = mx ( )( ) ⇔ x − x + x − x + = mx 6    ⇔  x + −  x + −  = m x x    6  ⇔ ( t − )( t − ) = m  t = x+  x  ⇔ t − 12t + 35 − m = (1) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt phương trình (1) có nghiệm t1 t2 phân biệt: Theo hệ thức Vi-et: t1 + t2 = 12, t1.t2 = 35 – m Ta có:   x + x = t1  x − t1x + = ( a ) ⇒  x − t x + = ( b ) x + = t  x Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình (a) x3 x4 nghiệm phương trình (b) Theo hệ thức Vi-et có:  x1 + x = t ;   x1 x = x + x = t   x x = Do đó: 1 1 x1 + x x + x t1 + t 12 + + + = + = = =2 x1 x x x x1 x x3x4 6 Câu 3: Đặt n(2n – 1) = 26q2 (1) Do VP chẵn (2n – 1) lẻ nên n chẵn hay n = 2k Do đó: (1) suy k(4k – 1) = 13q2 (2) Nhận thấy (k, 4k – 1) = nên: Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 112  k = u  k = 13u v ⇒ ( ) 4k − = 13v 4k v − =   Xét trường hợp ta có:  k = u ⇒ 4k = 13v +12v =2  4k − = 13v v + v 2+ 1⇒ 4 +v ⇒ ( mod ≡ ) ( vo ly ) Xét trường hợp ta có:  k = 13u ⇒ 4k = v + ( vo ly )  4k − = v Vậy không tồn n thỏa mãn yêu cầu đầu Câu 4: Học sinh tự vẽ hình a) Ta có góc ABH = góc HAC (cùng phụ góc BAH) suy góc IBH = góc KAH Lại có góc IHB = góc KAH = 45o Suy tam giác IHB đồng dạng KHA (g.g) b) tam giác AHB đồng dạng CAB (g.g) nên HA/HB= CA/AB kết hợp phần a) HI/HA = CA/AB nên tam giác IHK đồng dạng tam giác BAC nên góc KIH = góc MBH nên tứ giác IMBH nội tiếp góc AMN = góc IBH = 450 tam giác AMN vng cân AM = AN 2)Kẻ tia Ex cắt AC I cho góc AEI = góc ACB ( tam giác ABC nhọn nên dựng được) Ta chứng minh tứ giác DEMB; EICM; ADEI nội tiếp Do CM.CB = CE CD= CI.CA < CA2 Hay 1/2 BC2 < AC2 hay BC2 < 2AC2 Vậy BC < AC Căn(2) Câu Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: x4 ( y − 1) + 16 ( y − 1) + 16 ( y − 1) + 16 ( y − 1) ≥ 32x Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng lại theo vế ta được: P ≥ −16 ( x + y ) + 96 ≥ −16.4 + 96 = 32 Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 113 Dấu “=” xảy x = y = ĐỀ SỐ 23 Câu : − x = 17 − x − x a)Giải phương trình ( ) ⇔ x − 2 x + = 17 − x − x ⇔ x + x + − x + x − x = 17 − x − x x + 12 x − 13 = ⇔ Đặt t = x2 (t ≥ 0) Ta có phương trình; t2 + 12t – 13 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt t1=1 ; t2 = -13 (loại) t1=1 ⇒ x2 = ⇒ x= ± b)Chứng minh rằng: VT = = = Vậy : 4 17 + 12 + 17 − 12 = 2 17 + 12 + 17 − 12 + 12 + + − 12 + = 2 (3 + 2 ) ( ) 2 +1 + ( + 3−2 2 ( ) −1 ) 2 = = (2 + ) +1 + − 2 +1 2 +1+ −1 = = VP 17 + 12 + 17 − 12 = (đpcm) Câu 2: Giải phương trình : (x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x C1 * Với x = khơng phải nghiệm phương trình * Với x ≠ , chia hai vế phương trình cho x2 ta có phương trình : x2 + 5x − x2 + x − 6    = 12  x − +  x − + 1 = 12 x x x x    Đặt t = x − + x ta có phương trình : (t +2)(t – 2) = 12 t2 – =12 t2 = 16t = ± ( )( ) Với t = ta có phương trình ; x − +3= x ⇔ x2- x - = phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = ; x2= -2 Với t = - ta có phương trình x − + = −4 x Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 114 x2+7x -6 =0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1= − − 73 − + 73 ; x2 = 2 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt… Câu 3: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + x + y + y = xy + xy + (x, y ∈ z ) ⇔ x − + x − xy + y − + y − xy = ⇔ (x – 1)(x + 1) - y(x – 1) – 2y2 (x – 1) + x – = ⇔ (x-1)(x+1-y-2y2+1)=1  x =     y =   x − =  x =    y = − (0 t/m)    ( y − 1)(2 y + 3) =  − y − y + x + =  ⇔ ⇔  ⇔  x =  x = x − = −1      y = − y − y + x + = −1 ( y − 1)(2 y + 3) =     y = − (0 t/m)    Vậy cặp số nguyên thỏa mãn : (2,1) ; (0 ;1) Câu : a) A D B M E C I O Điểm M t/m MD = BD, ME = CE Dựng đường trũn tõm (O) đường trũn qua M, B C ⇒ ∆ DBO = ∆ DMO (ccc) ⇒ ∠DMO = ∠DBO C/m tương tự có ∠EMO = ∠ECO mà ∆ BAC cõn, ∆ BOC cõn ⇒ ∠ABO = ∠ACO ⇒ ∠DMO = ∠EMO mà ∠DMO + ∠EMO = 2v ⇒ ∠DMO = ∠EMO = 1v hay OM ⊥ DE ⇒ OB ⊥ AB, OC ⊥ AC ⇒ AB, AC, DE tt (O) ∠DOE = ∠ECI ( cựng ẵ cung BC) suy tứ giỏc IOCE nội tiếp Mà gúc ECO = 900 nờn gúc EIO = 900 Vậy gúc DIE vuụng b) Áp dụng phần a) ta luụn cú DI qua điểm cố định O Tõm đường trũn tiếp xỳc với AB ,AC B C Câu 5: C1 Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = 19 + + 2011(a + b ) ab a + b Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 115 19 + + 2011(a + b ) ab a + b 16 ⇒T = + + + 2011(a + b ) ab ab a + b 16   = + 6 + + 2011(a + b )  ab  2ab a + b  T= 2 ( ) a + b = a2 + b2 ≥ 2ab ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ ab ≤ 4 16 16 ≥ 16.4 ⇔ ≥ 64 dấu ⇔ a = b = ab ab * Ta cú : (a – b)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = ⇔ ⇔ * Ta lại cú : (a – b)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = ⇒ (a2 + b2 – 2ab)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = (1) ⇔ a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 – 4a3b – 4ab3 ≥ ⇔ a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 + 4a3b + 4ab3 ≥ 8a3b + 8ab3 ⇔ (a2 + b2 + 2ab)2 ≥ 8ab(a2 +b2) ⇔ [(a + b)2]2 ≥ 8ab(a2 +b2) ⇔ a + b + 2ab ≥ 2 2ab a + b (a + b )2 ⇔ 1 + ≥ = dấu ⇔ a = b = 2 2ab a + b ( ) thay a + b = ta có : * Ta lại có : (a – b)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = (2) ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab ⇔ 2(a2 + b2) ≥ a2 + b2 + 2ab ⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 1 dấu ⇔ a = b = (3) 2 Tương tự : (a2 – b2)2 ≥ ∀ a, b dấu ⇔ a = b = thay a + b = ta có : 2(a2 + b2) ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ ⇔ a4 + b4 ≥ 2a2b2 ⇔ 2(a4 + b4) ≥ a4 + b4 + 2a2b2 ⇔ a4 + b4 (a ≥ + b2 ) ≥ 1 dấu ⇔ a = b = (4) Cộng vế (1), (2), (4) ta cú T ≥ 64 + 6.4 + 2011 Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 116 ⇔ T≤ 2715 dấu ⇔ a = b = C2 Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = 19 + + 2011(a + b ) ab a + b Áp dụng bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacopxiki 16   T = + 6 + + 2011 (1 + 1)(a+4 2  ab  2ab a + b  16.4 T≥ + + 2011 .(a + b )2 2 (a + b) (a + b) 2011 2715 ≥ 64 + 24 + (a + b)2 = 8 Dấu xảy a = b = b4 ) ĐỀ SỐ 24 Câu 1: 1/ Rút gọn biểu thức: A= 15 x − 11 x + x −3 x −2 + 1− x x +3 − x +3 ( 15 x − 11 = x −1 x +3 )( x −2 + 1− x ) x +3 − x +3 (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1) A= = = 15 x − 11 ( )( x −1 x +3 ( ) + 2−3 x x +3 − x −1 x +3 ) ( ( x − 1)( x + 3) 15 x − 11 + − x )( x +3 − x +3 15 x − 11 − x + − x − x + − x ( )( x + 3) ( x − 1)( −5 x + 2) = −5 x + = ( x − 1)( x + 3) ( x + 3) x −1 2/ Chứng minh A ≤ Ta có: Do −5 x + ( x +3 ) = − x + + 17 ( x + > với ∀x ⇔ ) x +3 17 x +3 ≤ )( = = −5 + ( ) x −1 −5 x + x − )( x −1 x +3 ) 17 x +3 17 ⇔ −5+ Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 17 x +3 ≤ −5 + 17 = ∀x 3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 117 Vậy A ≤ Câu 2: (với ∀x t/m điều kiện) x đường thẳng y = mx –m + 2 1/ Tìm m để (d) cắt (P) điểm có hồnh độ x = (d) cắt (P) điểm có hồnh độ x = ⇔ pt x = mx − m + (*) có nghiệm x = ⇔ = m4 − m + ⇔ m = 2 2, x = mx − m + ⇔ x − 2mx + (2m − ) = (*) Pt có ∆’ = m2 – 2m + = (m – 1)2 + ≥ > ∀m Câu 3: 1, GHPT 2  x + y = 12 1  ĐK: x, y ≠ Đặt u = ; v , =Ta có HPT:  x y  + = 19  x y Cho parabol (P) y = 2u + 3v = 12 4u 6v 24+ = 11u 33 u =     + = 2u 3v 12 5u + 2v = 19 15u 6v 57 v+ 2= 1 Với u = => == >3 = x x 1 v = => > ==2 = y y   x = Vậy hệ pt có nghiệm nhất:  y =  2, 3x x+ =6 x2 − x > ĐK : x − > 0>=   x < −3 = = C1, x+ 3x x −9 = x x − + x = x Đặt −: t= x2 − , t >  2t  xt + x = 2t x =  =>  t +3  x2 − = t  x − = t  Thay (1) vào (2) ta có: Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 118  2t  72t 2 − = t 72t − 9t − 54t − 81 = t + 6t + 9t   − = t t + t + t +   ( ) t + 6t − 54t + 54t + 81 = ( t − 3) t + 12t + = Do t > => t + 12t + > 0 =>=t => ( t − 3) =>= − =>x=2 =9 x 2(t / m) C2, 3x Nếu x < -3 : VT = x + x2 − < => PT VN Nếu x > Ta có : x + Mà: (x − 18 3x x2 − ) 3x ≥2 x2 − ≥ 0>= x≥4 (1) (BĐT Cosi) ( ) 2.18 x−2 >9= Kết hợp (1) (2) ta có => x + 3x x2 − x2 ≥ >= x2 − 3x ≥ x2 − 18 (2) ≥ 18 = 3x  x = Dấu xảy ⇔ (1) (2) xảy dấu ⇔  x − 9>= =x  x = 18  Vậy nghiệm PT là: x = Câu 4: x y I P K O O' A C Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 B TÀI LIỆU TOÁN HỌC 119 S 1, CM: a, Tg CPKB nội tiếp đường tròn Gọi O tâm đường trịn đường trịn đương kính IC ⇒ O TĐ IC ∠IPC nt chắn đường tròn (O) ⇒ ∠IPC = 1v ⇒ ∠CPK = 1v, ∠CBK = 1v (gt) ⇒ hai điểm P B thuộc đường trịn đường kính CK tâm O’ trung điểm BP ⇒ CPKB nt (O’) b, ∠APC = ∠AIC (nt chắn cung AC) ∠AIC = ∠KCB (góc có cạnh tương ứng vng góc) ⇒ ∠APC = ∠KCB ∠CPB = ∠CKB (nt chắn cung BC) Cộng vế ta có: ∠APC + ∠CPB = ∠KCB + ∠CKB = 1v ⇔ ∠APB = 1v ⇒ ∆ APB vuông P 2, A, I, B cố định XĐ vị trí C đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) cho tg ABKI có diện tích lớn nhất? AI + BK S= AB BK CB AC.CB ∆ CBK ∆ IAC ⇒ = ⇒ BK = AC AI AI 2 Áp dụng BĐT: (AC – BC) ≥ ⇔ AC + BC - AC BC ≥ ⇔ AC2 + BC2 + AC BC ≥ AC BC ⇔ (AC + BC)2 ≥ AC BC ( AC + BC )2 = AB ⇔ AC BC ≤ 4 Dấu ⇔ AC = BC hay C trung điểm AB AC.CB AB Khi BK = = AI AI AB AI + 2 AI + BK AI AB = (4 AI + AB )AB S= AB = 2 AI Câu 5: Cho a, b, c ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P ab bc ca biết P = + + ab + 2c bc + 2a ac + 2b * Vì a + b+ c = 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) ⇒ 2c+ab = (c+a)(c+b) 1 1 a ; b ; c > nên ≥ > > áp dụng cosi ta có + a+c b+c a+c b+c 1 dấu (=) ⇔ ⇒ a + c = b + c ⇒a = b = a+c b+c (a + c)(b + c) 1 1 hay ≤ ( + ) (c + a )(c + b) c + a c + b ⇒ ⇒ ab = 2c + ab ab  ab ab  ≤  +  (1) dấu ⇔ a = b (c + a )(c + b)  c + a c + b  Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 120 bc  bc  cb ≤  +  (2) dấu ⇔ b = c bc + 2a  a + b a + c  ac  ca ca  ≤  +  (3) dấu ⇔ a = c 2b + ca  c + b b + a  cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có ab bc ca ab cb cb ab ac ac + + ) ⇒ : P= + + ≤ ( + + + ab + 2c bc + 2a ca + 2b c + a c + b b + a c + a b + a c + b  ab cb ab ac cb ac  ⇒ P ≤ ( + )+( + )+( +  c+a c+a b+c c+b a + b a + b  1  (a + c).b a.(b + c) c.(b + a )  =  = (a + b + c ) = = + +   c+a b+c a+b  ab bc ca ≤ dấu ⇔ a = b = c = ⇒ P= + + ab + 2c bc + 2a ca + 2b Vậy P = a = b = c = Tương tự: ĐỀ SỐ 25 Câu 1: 1) Ta có: x + x − 140 = ⇔ ( x −5)( x +5 x +28) =0 ⇔ ⇔ x − = ( x + x + 28 =  x +  + 87 ≥ 0, ∀x ) 2  x=5 Vậy, phơng trình có nghiệm nhất: x = 2) Với P = 70 + 4901 + 70 − 4901 ta có: P = 140 −3P ⇔ P +3P −140 =0 Do P nghiệm phơng trình: x + x − 140 = Theo ý 1, phơng trình có nghiệm nhất: x0 = Vậy P = 70 + 4901 + 70 − 4901 = Câu 2: 1) Giả sử E(0; y0) điểm trục tung 3   Do M ∈ (P) nên M  x ; 1 2 + dài x  khoảng cách từ M đến (d) là: h = x ; độ 4  1  ME = x +  x 2− y0  (dùng pitago để tính) 4  2 1  1  Từ đó: x +  x − y0  =  x +1 với ∀x 4  4  Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 121 1 ⇔ x − x y0 + y02 = x 1+với ∀x 2 1  ⇔ x  − y0  + y02 − = với ∀x 2  1  − y =0 Yêu cầu toán đợc thoả mãn khi:  2 ⇔ y0 =  y0 − = Vậy có điểm E thoả mãn toán: E(0; 1) 2) Trớc hết chứng minh: (x + y)2 ≥ 4xy với x, y Đẳng thức xảy khi: x = y áp dụng ta có: (a + b + c)2 = [a +(b + c)]2 ≥ 4a(b + c) Đẳng thức xảy khi: a = b + c ⇔ a = (*) Do a + b + c = nên bất đẳng thức suy ra: ≥ 4a(b + c) ⇔ b + c ≥ 4a(b + c)2 (do b + c không âm) Nhưng lại có (b + c)2 ≥ 4bc Đẳng thức xảy khi: b = c (**) Suy ra: b + c ≥ 16abc Từ (*) (**) có: đẳng thức xảy a = Câu 3: Ta có: x + 1 = ; b c= 1 10 10 ≥ x + −x+ y ≥ −x+ y y y 3 Suy ra: x + 10 10 + −x+ y ≥ + y+ y 3 y  x + ≥0  y Dấu "=" xảy khi:  10 − x + y ≥   (1) x + y ≥  10 (2)  −x+ y≥0 Do đó, hệ cho tơng đơng với:   82 (3)  x2 + y =   x > 0, y < (4) 10 10 Từ (1) (2) ta có: + y≥− ⇔ y2 + y + ≤ y Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 (*) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 122  10 Từ (2) có:  +  2   10 y  ≥ x2 ⇔  +    y  + y ≥ x2 +  y = 10 Từ (*) (**) suy ra: y + y +1= ⇔ y =  1 1   Từ đó, hệ cho có nghiệm:  ; −3   3; −  3 3   y2 = 82 10 + y 1+ 0≥ (**) ⇔y −3 − Câu 4: A D M K B H C 1) Nối HM MH = MA = MC suy ra:  = MCH  BCK = MHC   Theo giả thiết: KB = KC⇒ KBC= KCB  = KBC  MHC Do vậy: (1)   Mặt khác: MHC = KBC Từ (1) (2) có: + HMB (2)  = HMB  KBC ∆HBM ⇒ cân H ⇒ MH = HB 0     Giả sử HA > HB, ABH > BAH ⇒ BAH < 45 ABH > 45 0    Vì BAH + CAH = 105 nên CAH > 60   >  ⇒ AMH Tam giác AMH cân M nên AHM = HAM 60 Do HA < MH = HB (mâu thuẫn) Tơng tự, HA < HB ta gặp điều mâu thuẫn Vậy: HA = HB 60 <   2) Từ kết ý suy ∆AHB vuông cân H ⇒ BAH = ABH  ⇒ HAC = 60⇒  ACB = 300   = Vậy: ABC = 45 , ACB 30 450 = Câu 5: 4x − 1 y −1  , ta có:  y +  + [ y ] = 2  1 y −1  Mặt khác: y + = [ y ] −[ y ] ⇒[ y ] =   2 Đặt y = Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 123 Đặt t = t = −1 y −  3t + 1 3t + ⇒ = t ⇒ t ≤ < t + ⇒ t =    Từ ta có: ĐỀ SỐ 26 Câu I: ( điểm ) a) ĐK: x>0 ;x ≠  x   10 − x   − +  :  x − +  x x − x x − x + x +     A=  x − +  x ( x − ) 3.( x − 2)  A=   x + 2 : ( x −2 )( x +2  x − +  ( x − ) ( x − 2)  A=  x − + 10 − x  x + 2 x +2 :   A=  2.( x + 2) ( x x −2 )( x +2 ) − x +2 ) + 10 − x x +2 ( ( x − 2) x + ) + x −  x − + 10 − x  x + 2 x +2 :  x − x − + x − 2   x −2 x +2 : x + A=  (   A=  A= ( )( −6 x −2 )( )   x +2  x +2 : ) −1 = x −2 2− x b) với x>0 ;x ≠ ta có : A4 ⇔ − x − = − x > ⇔    3 − x > ⇔  > x > 2− x 2− x  4  − x >   Vậy với x > < x < A < Câu II (2đ) 1) Vì ∆ = 49 12− 37 = nên > phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 124 x + x = Theo hệ thức Vi-et ta có :   x1 x2 = Đặt y1 = − x1 x2 ; y=2 −2 x2 x1 ta có: y1 + y2 = x1 − x2 + x2 − x1 = x1 + x2 = y1 y2 = (2 x1 −x2 )(2 x2 −x1 ) =5 x1 x2 2( − x12 x+2 ) = x1 x2 −2[( x1 + x2 ) −2 x1 x2 ]=9x1 x2 −2( x1 + x2 ) =−9.3− 2.7 = 71 Do phương trình bậc hai cần lập là: y − y − 71 = 2)Ta có : B = ( y1 + y2 ) = y12 +2 y1 y2 +y2 =( y1 + y2 ) 2−y1 y2 2+ y1 y2 49 = 2.( − 71) − 2+71 333 = B ⇒ Câu III (1,5đ) ĐK: x ≠ ±2 y Đặt 1 ≠ = a ≠ 0,= x + 2y x − 2y b ta hệ:  a= x =  a − b =  x + y =  ⇔ ⇒ ⇔     20a + 3b = b = −  x − y−=  y =  12 Câu IV (3,5đ) (Tự vẽ hình) 1) Xét tam giác ABE tam giác IBE có: AB=IB; gócBAE= gócBIE = 900 ; BE chung suy tam giác ABE = tam giácIBE (cạnh huyền -cạnh góc vng) suy AE = IE (1) ABCD hình vng nên góc EDI = 450 suy góc DEI = 450 (vì tam giácDEI vng I) suy tam giác DEI cân I suy IE =ID (2) từ (1) (2) suy AE = DI 2) Vì EA = EI nên đường trịn (E;EA) qua I mà EI vng góc với DI suy DI tiếp tuyến đường tròn (E;EA) suy gócDAI = gócDIF (cùng chắn cung IF) suy tam giácDAI đồng dạng với tam giácDIF (G-G) suy DA/DI =DI/DF DF.DA = DI2 Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC =333 125 mà DI = IE suy DF.DA =IE2 (3) AI dây chung đương tròn (E;EA) đường tròn (B;BA=BI) nên AI vng góc với BE H Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng BEI có : IE2 = EH.EB (4) Từ (3) (4) suy DF.DA =EH.EB Câu V (1đ) Trước hết ta chưng minh: với a,b > ta có: 1 + ≥ (*) a b a+b Thật (*) ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ ( a − b ) ≥ (đúng).Dấu “=” xảy ⇔ a = b Áp dụng (*) ta có: Tương tự ta có: Suy Hay p p 4p 4p + ≥ = p −a p −b p −a + p −b c p p 4p p p 4p + ≥ ; + ≥ p −b p −c a p−c p−a b p p p 2p 2p 2p + + ≥ + + p −a p −b p −c a b c p p p a b b c c a + + ≥ 3+ +  + +  + +  p −a p −b p −c b a c b a c a b b c c a (BĐT Cauchy)  +  ≥ 2;  +  ≥ 2;  +  ≥ b a c b a c p p p Do + + ≥ (đpcm) p −a p −b p −c mà Dấu “=” xảy a = b = c tức ABC tam giác Trịnh Bình sư tầm tổng hợp word đầy đủ liên hệ 0393732038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi vào lớp 10. .. tốn, giới thi? ??u đến thầy cô em đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi vào lớp 10 có tài liệu bám sát đề thi để... tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề toán để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập đề thi tốn vào lớp 10 chuyên lam sơn giúp ích nhiều