ĐỀTHIVÀOLỚP10CHUYÊNTOÁNHƯNGYÊN NĂM HỌC 2018 - 2019 Câu 1( 2điểm): Cho biểu thức: A x ; B x 5x 8x 2025 với x x x x x x x x 1 : 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để biểu thức T = B – 2A2 đạt giá trị nhỏ Câu 2( 2điểm): a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x2 y = x – m cắt hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) cho (x1 – x2)8 +(y1–y2)8=162 b) Tìm giá trị nguyên x đề M = x4 + (x + 1)3 – 2x2 – 2x số phương Câu 3( 2điểm): a) Giải phương trình: 2x3 108x 45 x 48x 20 3x x y x y (x 1)(y 1) b) Giải hệ phương trình: x 2 y 2 1 y x Câu 4( điểm):Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường tròn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) C cắt đường thẳng AB E a) Chứng minh BE.MB = BC.OB b) Gọi N giao điểm CM với OE Chứng minh đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng OM CE vuông góc với đường thẳng BN c) Tìm giá trị nhỏ dây AB điểm M di chuyển đường d, biết R = 8cm khoảng cách từ O tới đường thẳng d 10cm Câu 5( điểm): Cho a, b hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện a > a + b ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 8a2 b b 4a - BÀI GIẢI ĐỀTHIVÀOLỚP10CHUYÊNTOÁNHƯNGYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 (GV Lưu Văn Thám thực hiện) Câu 1( 2điểm): Cho biểu thức: A x ; B x 5x 8x 2025 với x x x x x x x x 1 : 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để biểu thức T = B – 2A2 đạt giá trị nhỏ a) A x 1 x(x x 1) x(x x 1) ( x 1) x( x 1)(x x 1) ( x 1)( x 1) x 1 x(x x 1) b) Ta có : T x 5x2 8x 2025 2(x 1)2 x 7x2 4x 2023 x 8x2 16 x2 4x 2003 (x 4)2 (x 2)2 2003 2003 x (do (x2 – 4)2 ≥ 0, (x – 2)2 ≥ x) Dấu “ = “ xảy x = Vậy GTNN T 2003 x = Câu 2( 2điểm): a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x2 y = x – m cắt hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) cho (x1 – x2)8 +(y1–y2)8=162 b) Tìm giá trị nguyên x đề M = x4 + (x + 1)3 – 2x2 – 2x số phương a) Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thi hai hàm số: x2 = x – m x2 – x + m = (1) Hai hàm số cắt điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) (1) có nghiệm phân biệt = 1– m > m (*) x x y x1 m Khi theo định lý Viet ta có: Ta lại có: y1 y2 x1 x2 y x m x1x m 2 8 8 Do đó: (x1 – x2) +(y1–y2) =162 (x1 – x2) +(x1 – x2) = 162 [(x1 – x2)2]4 = 81 [x12 – x1x2 + x22]4 = 34 [(x1 + x2)2 – 4x1x2]4 = 34 [1 – 4m]4 = 34 – 4m = – 4m = – m = m = 1 So với điều kiện (*) ta giá trị m cần tìm Câu 3( 2điểm): a) Giải phương trình: 2x3 108x 45 x 48x 20 3x x y x y (x 1)(y 1) b) Giải hệ phương trình: x 2 y 2 1 y x a) 2x3 108x 45 x 48x 20 3x 2x 3x 12x 2x 12x (ĐK: x ≥ –5/12) 2x x2 (2x 3) 12x 5(3 2x) (2x 3)(x 12x 5) x 12x 2x + = x 12 (loại) 2 x 12x x 12x x 12x x 4x 4x 12x (x 2)2 (2x 3)2 (x 2x 3)(x 2x 3) x x 2x (x 1)2 x 2x (x 1) 4 (VN) x Vậy phương trình có nghiệm : 2; b) ĐKXĐ: x ≠ – , y ≠ – x y x y x y (x 1)(y 1) x(x 1) y(y 1) (x 1)(y 1) y 1 x 1 2 x 2 y 2 x y 2 x y 1 1 y x y x y x Đặt u x y , v ta có : y 1 x 1 u v u v v u v u 2 2 u v u v (u v) u 2uv v x y u x Với ta có: v y y 1 x x y u x Với ta có: v y y 0 x Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y): (1; 0), (0; 1) Câu 4( điểm):Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường tròn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) C cắt đường thẳng AB d P E M a) Chứng minh BE.MB = BC.OB b) Gọi N giao điểm CM với OE Chứng minh B đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng OM CE vng góc với đường thẳng BN I c) Tìm giá trị nhỏ dây AB điểm M di chuyển H N đường d, biết R = 8cm khoảng cách từ O tới đường thẳng d 10cm A O a) Ta có ^MAO = 90o = ^MBO (Do MA, MB tiếp tuyến (O) tứ giác MAOB nội tiếp ^BMO = ^BAO mà ^BAO = ^BCE (cùng chắn cung BC (O)) ^BMO = ^BCO (1) Ta lại có ^ABC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CB AE ^CBE = 90o = ^MBO (2) (1) (2) MBO ഗ CBE MB OB BE.MB = BC.OB (đpcm) CB EB E K C b) Gọi I, L trung điểm OM, CE Ta chứng minh IK BN Ta có ^AMO = ^CAE (cùng phụ ^MOA), ^MAO = 90o = ^ACE (cmt) MAO ഗ ACE AC MA AO MA MA AC (do O trung điểm AC) AC CE 2OC CE OC CE Kết hợp với ^MAC = 90o = ^OCE (cmt) MAC ഗ OCE ^MCA = ^OEC mà ^MCA + ^NCE = ^OCE = 90o ^OEC +^NCE = 90o ENC vuông N MNO vuông N mà NI trung tuyến (gt) NI = ½ MO Ta có BI trung tuyến tam giác vuông MBO BI = ½ MO NI = BI = ½ MO (1) Tương tự ta có NK, BK trung tuyến tam giác vuông ENC EBC NK = BK = ½ RC (2) Kết hợp với (1) IK trung trực BN IK BN (đpcm) c) Gọi P hình chiếu O d, theo đề ta có OP = 10cm, OB = R = 8cm Ta có MA = MB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau), OA = OB = R MO trung trực AB MO AB trung điểm H AB AB = 2BH (3) Áp dụng định lý Pitago cho BHO, ta có BH2 = BO2 – OH2 BH = R2 OH2 64 OH2 (4) R2 82 64 (5) OM OM OM Từ (3), (4), (5) ta có AM nhỏ BH nhỏ OH lớn OM nhò M trùng P Khi OM = OP = 10cm MBO vng B có BH đường cao OH.OM = OB2 = R2 OH OH = 64:10 = 6,4 (cm) BH = 64 6,42 4,8(cm) AB = 2BH = 2.4,8 = 9,6 (cm) Vậy AB nhỏ 9,6cm M trùng P (M hình chiếu O d) Câu 5( điểm): Cho a, b hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện a > a + b ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 8a2 b b 4a 8a b 4a a b a 4a 4a a b b b2 a b2 4a 4a 4a 2 4a 1 4a 4a 4a 1 a b b2 b b2 b 4a 4a 2 (2a 1) 1 (b ) 4a 2 2 Dấu xảy khi: a b Vậy GTNN A a b 2 A - ...BÀI GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN HƯNG YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 (GV Lưu Văn Thám thực hiện) Câu 1( 2điểm): Cho biểu thức: A x ... Giải phương trình: 2x3 108 x 45 x 48x 20 3x x y x y (x 1)(y 1) b) Giải hệ phương trình: x 2 y 2 1 y x a) 2x3 108 x 45 x 48x 20 ... có AM nhỏ BH nhỏ OH lớn OM nhò M trùng P Khi OM = OP = 10cm MBO vng B có BH đường cao OH.OM = OB2 = R2 OH OH = 64 :10 = 6,4 (cm) BH = 64 6,42 4,8(cm) AB = 2BH = 2.4,8 =