Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC... Đường thẳng AM cắt O tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q... Chứng minh rằng
Trang 1Đề 12 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x2 x4 4
a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A = x2()4
x f
khi x 2
Câu 2: Giải hệ phương trình
) 3 )(
7 2 ( ) 7 2 )(
3 (
) 4 )(
2 ( ) 2 (
y x y
x
y x y
x
Câu 3: Cho biểu thức
A =
1
: 1
1 1
1
x
x x
x
x x
x x
với x > 0 và x 1 a) Rút gọn A
2) Tìm giá trị của x để A = 3
Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến
PA; PB Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d Tính AH theo R và d
Câu 5: Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án
Câu 1
a) f(x) = x2 4x 4 (x 2 ) 2 x 2
Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3
8
12 10
2
10 2 10
)
(
x
x x
x x
f
Trang 2c) 2( )4 ( 2)(22)
x x
x x
x f
A
Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra 12
x A
Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra 12
x A
Câu 2
2 y
-2 x
0 4
21 6 7 2 21 7 6 2
8 4 2 2
) 3 )(
7 2 ( ) 7 2 )(
3 (
) 4 )(
2 ( ) 2 (
y x
y x
x y xy x
y xy
x y xy x xy
y x y
x
y x y
x
Câu 3a) Ta có: A =
1
: 1
1 1
1
x
x x
x
x x
x x
1 1
) 1 ( : 1
1 )
1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
x
x x
x x x
x x
x
x x x
=
1
: 1
1 1
1
x
x x x x
x x
x x
=
1
: 1
1 1
x
x x
x x
x
=
1
: 1
2
x
x x
x
1
2
x
x
2
b) A = 3 =>
x
x
2 = 3 => 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3
Câu 4
O
H E A P
Trang 3a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC)
b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
CB
CH PB
EH ; (1)
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> AHC POB
Do đó: AH PB OBCH (2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trug điểm
b) Xét tam giác vuông BAC, đường cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R -CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
)
2 (
2PB
AH.CB 2PB
AH.CB
AH 2 R
AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
d
R d
2.R 4R
) R 4(d
R d 8R
(2R) 4PB
4R.2R.PB CB
4.PB
4R.CB.PB AH
Câu 5 (1đ)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì > 0
<=> (2m - 1)2 - 4 2 (m - 1) > 0
Trang 4Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:
11 4x
1 m x x
2
1 2m x
x
2 1
2 1
2 1
11 8m -26
7 7m 4 7
4m -13 3
8m -26
7 7m x
7
4m -13 x
1 1
8m -26
7 7m 4 7
4m -13
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t
Đề 13
Câu I : Tính giá trị của biểu thức:
A = 31 5 + 51 7 + 71 9 + + 971 99
B = 35 + 335 + 3335 + +
3 99
35
3333
sè
Câu II :Phân tích thành nhân tử :
1) X2 -7X -18
2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4)
3) 1+ a5 + a10
Câu III :
1) Chứng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)
2) áp dụng : cho x+4y = 5 Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x2 + 4y2
Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M
là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ) Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q a) Chứng minh DM.AI= MP.IB
b) Tính tỉ số : MQ MP
Câu 5:
Cho P =
x
x x
1
3 4
2
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.
đáp án Câu 1 :
Trang 51) A = 31 5+ 51 7 + 71 9 + + 971 99
= 12( 5 3+ 7 5+ 9 7+ + 99 97 ) = 21( 99 3)
2) B = 35 + 335 + 3335 + +
3 99
35
3333
=33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2
= 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)
= 198 + 13( 99+999+9999+ +999 99)
198 + 13( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 +
B = 27
10
10 101 2
+165
Câu 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®) 2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3
= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3
= (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2
= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]
= (x2+5x +3)(x2+5x +7)
3) a10+a5+1
= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1
- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )
= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1)
-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)
=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)
Câu 3: 4đ
1) Ta có : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=>
a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=>
0 a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=>
0 (ad - bc)2 (đpcm )
Dấu = xãy ra khi ad=bc
2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có :
52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2)( 1 16 )=>
x2 + y2
17
25
=> 4x2 + 4y2
17
100
dấu = xãy ra khi x= 175 , y =1720 (2đ)
Câu 4 : 5đ
Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=>
Trang 6 MPD đồng dạng với ICA => DM CI MP IA => DM.IA=MP.CI hay
DM.IA=MP.IB (1)
Ta có góc ADC = góc CBA,
Góc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - góc AIM = góc BIA
Do đó DMQ đồng dạng với BIA =>
IA
MQ
BI
DM => DM.IA=MQ.IB (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra MQ MP = 1
Câu 5
Để P xác định thì : x2-4x+3 0 và 1-x >0
Từ 1-x > 0 => x < 1
Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < 1 nên ta có :
(x-1) < 0 và (x-3) < 0 từ đó suy ra tích của (x-1)(x-3) > 0
Vậy với x < 1 thì biểu thức có nghĩa
Với x < 1 Ta có :
P =
x
x x
1
3 4
2
x
x x
3 1
) 3 )(
1 (
Đề 14 Câu 1 : a Rút gọn biểu thức 2 12
1 1
1
a a
2 2
2 2 2
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
B
Câu 2 : Cho pt x2 mxm 1 0
a Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với m
b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tìm GTLN, GTNN của bt
2
3 2
2 1
2 2
2 1
2 1
x x x
x
x x P
Câu 3 : Cho x 1 , y 1 Chứng minh.
xy y
2 1
1 1
1
2 2
Câu 4 Cho đường tròn tâm o và dây AB M là điểm chuyển động trên
đường tròn, từM kẻ MH AB (H AB) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu
Trang 7vuông góc của H trên MA và MB Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với è cắt dây AB tại D
1 Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn
2 Chứng minh
BH
AD BD
AH MB
2
2
Hướng dẫn Câu 1 a Bình phương 2 vế 1
1
2
a a
a a
A (Vì a > 0)
a áp dụng câu a
100
9999 100
1 100
1
1 1 1
B
a a A
Câu 2 a : cm 0 m
B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:
1
2
1
2
1
m
x
x
m x
x
22 21
m
m
P (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn
1 1
2 2
1
1 2
1
m GTNN
m GTLN
P
Câu 3 : Chuyển vế quy đồng ta được.
1 2 1 1 2 1 0
xy y
y x
y xy
x
x y x
2 1 0
x y xy đúng vì xy 1
Câu 4: a
- Kẻ thêm đường phụ
- Chứng minh MD là đường kính của (o)
=>
b
Gọi E', F' lần lượt là hình chiếu của D trên MA và MB
Đặt HE = H1
M
o E'
E A
F F' B I
D H
Trang 8HF = H2
1
.
.
2
2 1
MB h HF
MA h HE BH
AD
BD
HEF
HF.h2 HE.h
Thay vào (1) ta có: BD AH BH AD
MB
2
2
Đề 15
ab
b a ab
b a
1
ab
ab b
a
1
2 1
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D b) Tính giá trị của D với a = 22 3
c) Tìm giá trị lớn nhất của D
Câu 2: Cho phương trình 22 3x2- mx + 22 3m2 + 4m - 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) với m = -1 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn 1 2
2 1
1
x
Câu 3: Cho tam giác ABC đường phân giác AI, biết AB = c, AC = b,
) 90
(
ˆ 0
A Chứng minh rằng AI =
c b
Cos bc
2
.
(Cho Sin2 2SinCos )
Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm N di động trên một
nửa đường tròn sao cho N AN B.Vễ vào trong đường tròn hình vuông ANMP
a) Chứng minh rằng đường thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q
b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp
c) Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1
Hãy tính giá trị của:
Trang 9B = xy z zx y xyz x
Đáp án
Câu 1: a) - Điều kiện xác định của D là
1 0 0
ab b a
- Rút gọn D
ab
a b
a
1
2
2
:
ab
ab b
a
1
D =
1
2
a
a
1
3 2 ( 2 3
2
2 3 2 1 3 2
22 3
2
c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
1 1
2 a a D
Vậy giá trị của D là 1
2
9 2
1 2 2
10 1
10 1
2
1
x
x
b) Để phương trình 1 có 2 nghiệm thì 0 8m 2 0 m41 (*)
+ Để phương trình có nghiệm khác 0
2 3 4
2 3 4
0 1 4 2
1
2 1 2
m m
m m
(*)
+
0 1
0 0
) 1 )(
( 1
1
2 1
2 1 2
1 2 1 2
1 2
x x x
x x x x
x
x
x
19 4
19 4
0 0
3 8
0
2
2
m m
m m
m
m
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta được m = 0 và m 4 19
Câu 3:
Trang 101 2
1
2 1
F
I
Q P
N
M
B A
c
b a
B
A
2
2
2
2
1 AI cSin
SABI
2
2
1 AI bSin
SAIC
2
1bcSin
SABC
AIC ABI
S
c b
bcCos c
b Sin
bcSin
AI
c b AISin
bcSin
2 2
) ( 2
) ( 2
Câu 4: a) N ˆ 1 Nˆ 2Gọi Q = NP (O)
QA QB
Suy ra Q cố định
b) Aˆ1 Mˆ1( Aˆ2)
Tứ giác ABMI nội tiếp
c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố
định
Tam giác ABF có: AQ = QB = QF
ABF vuông tại A Bˆ 45 0 A FˆB 45 0
Lại có 0 1
A PˆF A QˆF 90 0
Ta có: A PˆF A PˆM 90 0 90 0 180 0
M1,P,F Thẳng hàng
Câu 5: Biến đổi B = xyz 2 2 2
1 1
1
z y
xyz xyz
Đề 16
Bài 1: Cho biểu thức A = 4( 21) 4( 1) 1 1
1 4( 1)
x
Trang 11a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn A
Bài 2 : Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phương tình đường thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
Bài 3 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình ẩn x sau:
x2 - m2x + m + 1 = 0
có nghiệm nguyên
Bài 4 : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đường tròn tâm O qua A
và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D Đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại
E và F Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2
Bài 5 : Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 x3 + y4 Chứng minh:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2
Trang 12Đáp án Bài 1:
a) Điều kiện x thỏa mãn
2
1 0 4( 1) 0 4( 1) 0 4( 1) 0
x
1 1 1 2
x x x x
x > 1 và x 2
KL: A xác định khi 1 < x < 2 hoặc x > 2
b) Rút gọn A
A = ( 1 1)2 (2 1 1)2. 2
1 ( 2)
x x
Với 1 < x < 2 A = 1 x2
Với x > 2 A = x2 1
Kết luận
Với 1 < x < 2 thì A = 1 x2
Với x > 2 thì A = x2 1
Bài 2:
a) A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phương trình đường thẳng
AB có dạng y = ax + b
A(5; 2) AB 5a + b = 2
B(3; -4) AB 3a + b = -4
Giải hệ ta có a = 3; b = -13
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3x - 13
b) Giả sử M (x, 0) xx’ ta có
MA = (x 5) 2 (0 2) 2
MB = (x 3) 2 (0 4) 2
MAB cân MA = MB (x 5) 2 4 (x 3) 16 2
(x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16
x = 1
Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0)
Bài 3:
Phương trình có nghiệm nguyên khi = m4 - 4m - 4 là số chính phương
Trang 13Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại
m = 2 thì = 4 = 22 nhận
m 3 thì 2m(m - 2) > 5 2m2 - 4m - 5 > 0
- (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4
m4 - 2m + 1 < < m4
(m2 - 1)2 < < (m2)2
không chính phương
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
Bài 4:
a) ( 1 )
2
EAD EFD sdED (0,25)
2
FAD FDC sdFD (0,25)
mà EDA FAD EFD FDC (0,25)
EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau)
b) AD là phân giác góc BAC nên DE DF
sđACD 12sđ(AED DF ) = 12sđAE = sđADE
do đó ACD ADE và EAD DAC
DADC (g.g)
Tương tự: sđ 1 1 ( )
ADF sdAF sd AFD DF = 1( )
2 sdAFD DE sdABD
ADF ABD
do đó AFD ~ (g.g
c) Theo trên:
+ AED ~ DB
AD AC AE AD hay AD2 = AE.AC (1) + ADF ~ ABD AD AF AB AD
AD2 = AB.AF (2)
Từ (1) và (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF
Bài 5 (1đ):
Ta có (y2 - y) + 2 0 2y3 y4 + y2
(x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3)
mà x3 + y4 x2 + y3 do đó
x3 + y3 x2 + y2 (1) + Ta có: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0
x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 0
x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y 0
(x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4)
mà x2 + y3 x3 + y4
x2 + y2 x + y (2)
F E
A
B
C D
Trang 14và (x + 1)(x - 1) 0 (y - 1)(y3 -1) 0
x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1 0
(x + y) + (x2 + y3) 2 + (x3 + y4)
mà x2 + y3 x3 + y4
x + y 2
Từ (1) (2) và (3) ta có:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2