Đề thi và Đáp án Vào lớp 10 Môn Toán Hà Nội Năm 2017

tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón đó. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân c[r]

(1)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page -MỤC LỤC -

Ôn tập 1: Kiến thức lớp – 10 trang Ôn tập 2: Kiến thức lớp 11 trang - Ôn tập 3: Kiến thức lớp 12 trang Các dạng tập trang Loại 1: thể tích lăng trụ trang – 16 Dạng 1: khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Dạng 2: lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Dạng 3: lăng trụ đứng có góc hai mặt phẳng Dạng 4: khối lăng trụ xiên Loại 2: thể tích khối chóp trang 16 – 27 Dạng 1: khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Dạng 2: khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Dạng 3: khối chóp Dạng 4: khối chóp phương pháp tỉ số thể tích Dạng 5: tổng hợp khối chóp lăng trụ Loại 3: thể tích khối trịn trang 27 – 37 Dạng 1: hình trụ Dạng 2: hình nón Dạng 3: hình cầu Dạng 4: tổ hợp khối tròn Bài tập ôn tập trang 37 – 41 Đề thi cao đẳng năm trang 41 Đề thi đại học năm trang 42 – 43 Phụ lục trang 44 – 48

(2)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP – 10

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh , , ; độ dài đường trung tuyến , , ; bán kính đường trịn ngoại tiếp ; bán kính đường trịn nội tiếp ; chu vi

1 Hệ thức lượng tam giác vng: Cho ∆ vng , ta có:

a) = +

b) = ; =

c) = +

d) =

e) sin = ; cos = ; tan = ; cot = f) = sin = cos ; = sin = cos ;

= tan = cot

2 Hệ thức lượng tam giác thường: a) Định lý hàm số Cosin:

= + − cos ; = + − cos ; = + − cos

b) Định lý hàm số Sin: = = =

c) Công thức độ dài trung tuyến: = − ; = − ; = −

3 Các cơng thức tính diện tích:

a) Cơng thức tính diện tích tam giác:

= = = = = ( − )( − )( − ) với =

Đặc biệt:

 Nếu ∆ vuông =  Nếu ∆ = √

b) Diện tích hình vng: = cạnh cạnh c) Diện tích hình chữ nhật: = dài rộng

d) Diện tích hình thoi: = (chéo dài chéo ngắn)

e) Diện tích hình thang: = (đáy lớn đáy nhỏ) chiều cao f) Diện tích hình bình hành: = đáy chiều cao = g) Diện tích hình trịn: =

(3)

ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11

A QUAN HỆ SONG SONG:

§1 – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1 Định nghĩa:

Đường thẳng mặt phẳng gọi song song, chúng khơng có điểm

nào chung ∥( ) ⇔ ∩ ( ) = ∅

2 Các định lý:

ĐL1: Nếu đường thẳng không nằm mp ( ) song song với đường thẳng nằm mp ( ) đường thẳng song song với mp ( )

⊄ ( )

∥ ⊂ ( )

⇒ ∥( )

ĐL2: Nếu đường thẳng song song với mp ( ) mp ( ) chứa mà cắt mp ( ) theo giao tuyến song song với

∥( ) ⊂ ( ) ( ) ∩ ( ) =

⇒ ∥

ĐL3: Nếu hai mp cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng

( ) ∩ ( ) =

∥( )

⇒ ∥

§2 – HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Hai mặt phẳng gọi song song,

nếu chúng khơng có điểm chung ( ) ∥ ( ) ⇔ ( ) ∩ ( ) = ∅

ĐL1: Nếu mp ( ) chứa đường thẳng , cắt song song với mp ( ) ( ) ( ) song song với

, ⊂ ( ) ∩ = ∥ ( ); ∥ ( )

⇒ ( ) ∥ ( )

ĐL2: Nếu đường thẳng thuộc hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng

( ) ∥ ( )

⊂ ( ) ⇒ ∥ ( )

ĐL3: Nếu hai mp ( ) ( ) song song mặt phẳng ( ) cắt ( ) phải cắt ( ) giao tuyến chúng song song

(4)

CHỨNG MINH QUAN HỆ SONG SONG

1 Chứng minh hai đường thẳng song song: ta sử dụng cách sau:

 Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (tính chất đường trung bình, định lý Talets đảo,…)

 Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba  Áp dụng định lý giao tuyến song song

2 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

để chứng minh ( ) ∥ ( ), ta chứng minh ( ) ∉ ( )

( ) ∥ ( ′) với ( ′) ∈ ( )

3 Chứng minh hai mặt phẳng song song:

Ta chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau, song song với hai đường thẳng mặt phẳng

B QUAN HỆ VNG GĨC:

§1 – ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG

Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng

⊥ ( ) ⇔ ⊥ ; ∀ ⊂ ( )

ĐL1: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mp ( ) đường thẳng vng góc với mp ( )

⊥ ; ⊥

; ⊂ ( ) ∩ ≠ ∅

⇒ ⊥ ( )

ĐL2: (ba đường vng góc) Cho đường thẳng khơng vng góc với mp ( ) đường thẳng nằm ( ) Khi đó, điều kiện cần đủ để vng góc với vng góc với hình chiếu ’ ( )

a  ( );P b( );P baba'

§2 – HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90 2 Các định lý:

ĐL1: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với

(5)

ĐL2: Nếu hai mặt phẳng ( ) ( ) vng góc với bất đường thẳng nằm ( ), vng góc với giao tuyến ( ) ( ) vng góc với mặt phẳng ( )

( ) ⊥ ( ) ( ) ∩ ( ) =

⊂ ( ); ⊥

⇒ ⊥ ( )

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng ( ) ( ) vng góc với điểm ( ) đường thẳng qua điểm vng góc với ( ) nằm ( )

( ) ⊥ ( ) ∈ ( ) ∈ ⊥ ( )

⇒ ⊂ ( )

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba

( ) ∩ ( ) = ( ) ⊥ ( ) ( ) ⊥ ( )

⇒ ⊥ ( )

CHỨNG MINH QUAN HỆ VNG GĨC

1 Chứng minh hai đường thẳng vng góc: để chứng minh ⊥ ta sử dụng cách sau:

 Chứng minh góc 90

 Chứng minh hai véctơ phương vng góc với  Chứng minh ⊥ mà ∥

 Chứng minh ⊥ ( )và ∈ ( )  Sử dụng định lý ba đường vng góc

 Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lý pi-ta-go,…)

2 Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng: để chứng minh ⊥ ( ) ta sử dụng cách sau:

 Chứng minh vng góc với hai đường thẳng cắt nằm ( )  Chứng minh ∥ mà ⊥ ( )

 Chứng minh ⊥ ( ) mà ( ) ∥ ( )

 Chứng minh ⊂ ( ) với ( ) ⊥ ( ) ( ) ∩ ( ) = ⊥  Chứng minh = ( ) ∩ ( ), với ( ) ⊥ ( ) ( ) ⊥ ( )

3 Chứng minh hai mặt phẳng vng góc: để chứng minh ( ) ⊥ ( ) ta sử dụng cách sau:

 Chứng minh ⊂ ( ) ⊥ ( )  Chứng minh ( ); ( ) = 90

§3 – KHOẢNG CÁCH

(6)

Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: khoảng cách đường thẳng a mp

( ) song song với khoảng cách từ điểm a đến mp ( )

, ( ) =

Khoảng cách hai mặt phẳng song song:

khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

( ), ( ) =

Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

( , ) =

§4 – GĨC

Góc hai đường thẳng : góc hai đường thẳng ’ ’ qua điểm phương với hai đường thẳng

Góc đường thẳng mặt phẳng ( ): góc hình chiếu ’ lên mp ( )

Góc hai mặt phẳng: góc hai đường thẳng vng góc với hai mp

Hoặc góc hai đường thẳng nằm hai mp vng góc với giao tuyến điểm

Diện tích hình chiếu: gọi diện tích đa giác ( ) mp ( ) ’ diện tích hình chiếu ( ’) ( ) lên mp ( ’)

=

Trong góc hai mp ( ) ( ’)

(7)

ƠN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12

Thể tích khối lăng trụ: = .

Với: diện tích đáy, ℎ chiều cao  Thể tích khối hộp chữ nhật: =

Với , , độ dài ba cạnh  Thể tích khối lập phương: =

Với độ dài cạnh

Thể tích khối chóp: = .

Với: diện tích đáy, ℎ chiều cao

Tỉ số thể tích tứ diện: cho tứ diện ’, ’, ’ điểm tùy ý thuộc

, , Ta có:

= . .

Thể tích khối chóp cụt:

= + + √

Với: , ’ diện tích hai đáy, ℎ chiều cao

Khối cầu Khối trụ Khối nón

= =

= + đáy

=

= + đáy

= = =

Chú ý:

 Đường chéo hình vng cạnh a = √2  Đường chéo hình lập phương cạnh a = √3

 Đường chéo hình chữ nhật có cạnh a, b, c = √ + +  Đường cao tam giác ℎ = √

 Hình chóp hình chóp đáy đa giác cạnh bên (hoặc đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy)

 Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác

 Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên

 Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy

D

C B

A S

C' B' A'

D

B A

S

C' B'

A' C

(8)

LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Dạng 1: khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ tam giác vuông cân , có cạnh = √2 ′ = Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ′ ′ ′ ′ có cạnh bên đường chéo Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ tam giác cạnh = 4, biết diện tích tam giác ′ Tính thể tích khối lăng trụ

(9)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng, có đáy hình thoi cạnh có góc nhọn 60 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích lăng trụ

Giải:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác đều, biết tất cạnh lăng trụ Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ Đáp số: = √ ; = Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy tứ giác cạnh , biết = √6 Tính thể tích

khối lăng trụ Đáp số: =

3 Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo , biết chu vi hai đáy hai lần chiều dài hình trụ Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ

Đáp số: = 240 ; = 248

4 Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37 , 13 , 30 biết tổng diện tích mặt

bên 480 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = 1080

5 Cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ có đáy tam giác vuông cân , biết chiều cao lăng trụ mặt bên ′ ′ có đường chéo Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = 24

6 Cho lăng trụ đứng tứ giác đều, có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ

bằng 96 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = 64

7 Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 19 , 20 , 37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = 2888

8 Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 Tính thể tích khối lập phương

Đáp số: =

9 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước tỉ lệ thuận với 3, 4, Biết độ dài đường chéo hình

hộp Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đáp số: = 0,4

10 Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt có độ dài √5; √10; √13 Tính

(10)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 10

Dạng 2: lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ có đáy ∆ vuông cân , với = = hợp với ( ) góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 2: cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ tam giác vuông , với = , = 60 ′ hợp với ( ) góc 30 Tính ′ thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy hình vng cạnh đường chéo ′ lăng trụ hợp với đáy ( ) góc 30 Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ

(11)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 11 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ′ ′ ′ ′ có đáy hình thoi cạnh = 60 , ′ hợp với đáy ( ) góc 30 Tính thể tích khối hộp

Giải:

1 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy vng cân , biết = hợp với mặt bên

( ′ ′ ) góc 30 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = √

2 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy vng , biết = = ′ hợp với đáy ( )

một góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ Đáp số: = √

3 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh biết ′ hợp với mặt bên ( ′ ′) góc 30 Tính độ dài ′ thể tích khối lăng trụ Đáp số: ′ = √3; = √ Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy vng , biết = = 60 , ′ hợp với mặt

bên ( ′ ′ ) góc 30 Tính thể tích lăng trụ diện tích Đáp số: = √6; = √ Cho lăng trụ tam giác ′ ′ ′ có khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ′ ) a ′ hợp

với mặt phẳng ( ′ ) góc 30 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: =

6 Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có đường chéo = ′ hợp với mặt phẳng ( ) góc 30 ( ′ ′) góc 45 Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đáp số: = √ Cho hình hộp đứng ′ ′ ′ ′ có đáy hình vng Gọi tâm = Tính thể

tích khối hộp

a) ′ ′ ′ ′ khối lập phương b) hợp với đáy ( ) góc 60 c) hợp với ( ′ ′) góc 30 Đáp số: ) = √

; ) = √ ; ) = √ Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy hình vng = Tính thể tích lăng trụ

a) hợp với đáy góc 60

b) hợp với mặt bên ( ′ ′ ) góc 30 Đáp số: ) = √ ; ) = √ Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc hai đường chéo xuất phát từ đỉnh hai mặt

bên kề 60 Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng trụ

(12)

10 Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có = ; = ; ′ = = = =

√ + +

a) Chứng minh ′ ′ ′ ′ hộp chữ nhật

b) Gọi ; ; góc hợp đường chéo ba mặt qua đỉnh thuộc đường chéo Chứng minh rằng: sin + sin + sin =

Dạng 3: lăng trụ đứng có góc hai mặt phẳng

Ví dụ 1: cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ có đáy tam giác vuông cân , với = = ( ) hợp với ( ) góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 2: cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ có đáy tam giác , mặt phẳng ( ′ ) hợp với đáy góc 30 diện tích tam giác ′ Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ′ ′ ′ ′ có cạnh đáy mặt phẳng ( ′) hợp với đáy ( ) góc 60 Tính thể tích khối hộp chữ nhật

(13)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 13 Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có cạnh ′ = , mặt phẳng ( ) hợp với đáy ( ) góc 60 , hợp với đáy ( ) góc 30 Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Giải:

1 Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có cạnh ′ = , biết đường chéo hợp với đáy ( ) góc 30 , mặt phẳng ( ) hợp với đáy ( ) góc 60 Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Đáp số: = √ Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy hình vng cạnh bên , mặt phẳng

( ′ ′) hợp với đáy góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ Đáp số: = 3 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy tam giác vng cân , = mặt phẳng

( ′ ) hợp với đáy góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ Đáp số: = √2 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy vng cân , biết = = = 120 , mặt

phẳng ( ) hợp với đáy góc 45 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = √ Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy tam giác vuông , ′ = = ℎ biết mặt

phẳng ( ) hợp với đáy góc 60 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = √ Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy tam giác đều, cạnh bên = Tính thể tích lăng trụ

khi:

a) Mặt phẳng ( ′ ) hợp với đáy góc 60

b) hợp với đáy góc 45 Đáp số: ) = √3; ) = √ ; ) = √3 c) Chiều cao kẻ từ tam giác ′ độ dài cạnh đáy hình trụ

7 Cho lăng trụ tứ giác ′ ′ ′ ′ có cạnh bên = Tính thể tích lăng trụ khi: a) mp ( ′) hợp với đáy góc 45

b) ′ hợp với đáy góc 60

c) Khoảng cách từ đến mp ( ′) Đáp số: ) = 16 ; ) = 12 ; ) = Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy hình vng cạnh Tính thể tích lăng trụ khi:

a) Mặt phẳng ( ′) hợp với đáy ( ) góc 60 b) Tam giác ′

c) ′ hợp với đáy ( ) góc 45

(14)

9 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy hình thoi cạnh = 60 Tính thể tích lăng trụ khi: a) Mặt phẳng ( ′) hợp với đáy ( ) góc 60

b) Khoảng cách từ đến ( ′) c) ′ hợp với đáy ( ) góc 45

Đáp số: ) = √ ; ) = √ ; ) = 10 Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có = ; = Tính thể tích lăng trụ khi:

a) =

b) hợp với mặt phẳng ( ′ ′ ) góc 30 c) Mặt phẳng ( ) hợp với đáy ( ) góc 30

Đáp số: ) = √2; ) = √11; ) = 16 Dạng 4: khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: cho lăng trụ xiên tam giác ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh biết cạnh bên √3 hợp với đáy ( ) góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 2: cho lăng trụ xiên tam giác ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh hình chiếu ′ xuống mặt phẳng ( ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ′ hợp với đáy góc 60 Chứng minh ′ ′ hình chữ nhật tính thể tích lăng trụ

Giải:

(15)

Giải:

1 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có cạnh đáy 13; 14; 15 biết cạnh bên hợp với đáy ( )

một góc 45 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = √2

2 Cho lăng trụ ′ ′ ′ ′ có đáy hình vng cạnh , cạnh bên 8, hợp với đáy

góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ Đáp số: = √3

3 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ có = ; = ; ′ = = 30 Cạnh bên ′ hợp với đáy

một góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ Đáp số: = √

4 Cho lăng trụ tam giác ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh , điểm ′ cách , ,

= √ Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = √

5 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh , đỉnh ′ có hình chiếu lên mặt phẳng ( ) nằm đường cao tam giác mặt bên ( ′ ) hợp với đáy góc 60

a) Chứng minh ′ ′ hình chữ nhật

b) Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = √

6 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy tam giác tâm , cạnh bên = hợp với đáy góc 60 ′ có hình chiếu lên trùng với

a) Chứng minh ′ ′ hình chữ nhật, tính diện tích

b) Tính thể tích lăng trụ Đáp số: ) = √ ; ) = √

7 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh , biết chân đường vng góc hạ từ ′ trùng với trung điểm =

a) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ

b) Tính thể tích lăng trụ Đáp số: ) = 60 ; ) = √

8 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ có mặt hình thoi cạnh , hình chiếu vng góc ′ ( ) nằm hình thoi, cạnh xuất phát từ hợp đôi tạo với góc 60

a) Chứng minh nằm đường chéo ( ) b) Tính diện tích mặt chéo ( ′ ′) ( ′ ′)

(16)

9 Cho lăng trụ xiên ′ ′ ′ có đáy tam giác tâm hình chiếu ( ) Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ đến ′ a hai mặt bên ′ ′ ′ ′ vng góc

Đáp số: =

√

10 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ có đáy hình thoi cạnh = 60 , chân đường vng góc hạ từ ′ xuống trùng với giao điểm hai đường chéo đáy, biết =

a) Tìm góc hợp cạnh bên đáy

b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp Đáp số: ) = 60 ; ) = ; = √15

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

Dạng 1: khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp có = = = = hai mặt ( ) ( ) vuông góc với ( ) Tính thể tích hình chóp

Giải:

Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân , với = Biết vng góc với đáy hợp với đáy góc 45

a) Chứng minh mặt bên tam giác vuông b) Tính thể tích hình chóp

(17)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 17 Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh , biết vng góc với đáy ( ) hợp với đáy góc 60 Tính thể tích hình chóp

Giải:

Ví dụ 4: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , vng góc với đáy mặt bên ( ) hợp với đáy góc 60 Tính thể tích hình chóp khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) Giải:

1 Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân với = = , biết vng góc với đáy hợp với ( ) góc 30 Tính thể tích hình chóp Đáp số: = √ Cho khối chóp có vng góc với đáy = ℎ, biết tam giác mặt ( )

hợp với đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp Đáp số: = √ Cho hình chóp có đáy tam giác vng vng góc với đáy , =

hợp với ( ) góc 30 ( ) hợp với ( ) góc 60 Chứng minh = +

+ Tính thể tích hình chóp Đáp số: = √

4 Cho tứ diện có ⊥ ( ), biết = = ; = ; = a) Tính thể tích tứ diện

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) Đáp số: ) = ; ) =

√

(18)

6 Cho hình chóp có đáy hình vng, biết ⊥ ( ), = hợp với đáy

một góc 60 Tính thể tích hình chóp Đáp số: = √

7 Cho khối chóp có đáy hình chữ nhật, biết ⊥ ( ), hợp với đáy góc

45 = ; = Tính thể tích khối chóp Đáp số: = 20

8 Cho khối chóp có đáy hình thoi cạnh = 60 Biết ⊥ ( ) khoảng cách từ đến Tính thể tích khối chóp Đáp số: = √ Cho khối chóp có đáy hình thang vng , Biết = = , =

⊥ ( ) ( ) hợp với đáy góc 60 Tính thể tích Đáp số: = √ 10 Cho khối chóp có đáy lục giác nội tiếp đường trịn đường kính

= , biết mặt phẳng ( ) hợp với đáy góc 45 Tính thể tích Đáp số: = Dạng 2: khối chóp có mặt bên vng góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy mặt bên ( ) hợp với đáy góc 60 Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh tính thể tích hình chóp

Giải:

Ví dụ 2: Cho tứ diện có đáy tam giác đều, tam giác vuông cân Biết ( ) ⊥ ( ) hợp với ( ) góc 60 Tính thể tích tứ diện

(19)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 19 Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân = Mặt bên ( ) vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với đáy góc 45 Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh tính thể tích hình chóp

Giải:

1 Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh Tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy

a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh

b) Tính thể tích hình chóp Đáp số: ) = √

2 Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân = = Tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt phẳng ( ) hợp với ( ) góc 45

Tính thể tích hình chóp Đáp số: =

3 Cho hình chóp có = 90 ; = 30 tam giác cạnh , ( ) ⊥ ( )

Tính thể tích hình chóp Đáp số: = √

4 Cho hình chóp có đáy tam giác đều, tam giác có đường cao = ℎ ( ) ⊥ ( ), biết hợp với mặt ( ) hợp góc 30 tính thể tích Đáp số: = √ Cho tứ diện có hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với nhau,

biết = Tính thể tích tứ diện Đáp số: = √

6 Cho hình chóp có đáy hình vng, mặt bên SAB tam giác có đường cao SH=h, nằm mặt phẳng vng góc với đáy

a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh

b) Tính thể tích hình chóp Đáp số: =

7 Cho khối chóp có đáy hình chữ nhật, biết ∆ cạnh nằm mặt phẳng vng góc đáy Biết ( ) hợp với đáy góc 30 Tính thể tích Đáp số: = √ Cho khối chóp có đáy hình chữ nhật có = , = Biết ( ) ⊥ ( )

và hai mặt bên ( ) ( ) hợp với đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp

(20)

9 Cho khối chóp có đáy hình thoi, Biết = = tam giác vuông cân , nằm mặt phẳng vng góc đáy Tính thể tích Đáp số: = √ 10 Cho khối chóp có đáy hình thang vng , = = ; = Biết

∆ nằm mặt phẳng vng góc đáy Tính thể tích Đáp số: = √ Dạng 3: khối chóp

Ví dụ 1: Cho khối chóp có cạnh đáy , cạnh bên Chứng minh chân đường cao kẻ từ hình chóp tâm tam giác Tính thể tích khối chóp

Giải:

Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh độ dài a a) Chứng minh S.ABCD khối chóp tứ giác

b) Tính thể tích tứ diện

Giải:

Ví dụ 3: Cho tứ diện có cạnh , trung điểm a) Tính thể tích tứ diện

(21)

Giải:

1 Cho hình chóp có cạnh bên hợp với đáy góc 60 Tính thể tích hình chóp Đáp số: = Cho hình chóp có cạnh bên , góc đáy mặt bên 45

a) Tính độ dài chiều cao hình chóp

b) Tính thể tích hình chóp Đáp số: ) =

√ ; ) =

3 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy , mặt bên hợp với đáy góc 60 Tính thể tích

hình chóp Đáp số: = √

4 Cho hình chóp tam giác có đường cao ℎ, hợp với mặt bên góc 30 Tính thể tích hình chóp

Đáp số: = √ Cho hình chóp tam giác có đường cao ℎ, mặt bên có góc đỉnh 60 Tính thể tích hình chóp

Đáp số: = √ Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy = 60

a) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp

b) Tính thể tích hình chóp Đáp số: ) = √ ; ) = √

7 Cho hình chóp tứ giác có đường cao ℎ, mặt bên có góc đỉnh 60 Tính thể tích hình chóp Đáp số: =

8 Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45 , khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt bên Tính thể tích hình chóp

(22)

9 Cho hình chóp tứ giác cạnh bên hợp với đáy góc 60 Tính thể tích hình chóp Đáp số: = √ 10 Cho hình chóp có tất cạnh

a) Chứng minh rằng, khối chóp tứ giác

b) Tính cạnh hình chóp biết thể tích khối chóp = √ Đáp số: Dạng 4: khối chóp phương pháp tỉ số thể tích

Ví dụ 1: Cho khối chóp có tam giác vng cân , = √2 = , ⊥ a) Tính thể tích khối chóp

b) Gọi trọng tâm tam giác , mặt phẳng ( ) qua song song với cắt , , Tính thể tích khối chóp

Giải:

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân , = đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng ( ) lấy điểm cho = Mặt phẳng qua vng góc với , cắt

a) Tính thể tích tứ diện b) Chứng minh ⊥ ( )

c) Tính thể tích tứ diện

(23)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 23 Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác Một mặt phẳng ( ) qua , trung điểm Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp phân chia mặt phẳng

Giải:

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác , đáy hình vng cạnh , cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi trung điểm , mặt phẳng qua song song với , cắt

a) Hãy xác định mặt phẳng b) Tính thể tích khối chóp c) Tính thể tích khối chóp

Giải:

Ví dụ 5: Cho khối chóp có đáy hình vng cạnh ⊥ = √2 gọi ′, ′ hình chiếu lên , Mặt phẳng ( ′ ′) cắt ′

a) Tính thể tích khối chóp b) Chứng minh ⊥ ( ′ ′)

(24)

Giải:

1 Cho tứ diện gọi ′ ′ trung điểm Tính tỉ số thể tích khối tứ diện

′ ′ khối tứ diện Đáp số: =

2 Cho tứ diện tích , , , lấy điểm ′, ′, ′ cho = ′; = ′; = ′ Tính thể tích tứ diện ′ ′ ′ Đáp số: = Cho tứ diện tích 12 , gọi ; trung điểm ; Lấy

sao cho = Tính thể tích tứ diện Đáp số: =

4 Cho tứ diện có cạnh , Lấy ′; ′ ; cho = ; = Tính thể tích tứ

diện ′ ′ Đáp số: = √

5 Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh √3, đường cao = Mặt phẳng qua vng góc , cắt Tính thể tích hình chóp Đáp số: = √ Cho hình chóp tích 27 , Lấy ′ cho = ′ mp qua ′ song song với

đáy hình chóp cắt , , ′, ′, ′ Tính thể tích ′ ′ ′ ′ Đáp số: =

7 Cho hình chóp tích , hình bình hành, Lấy cho = Mặt phẳng ( ) cắt Tính thể tích khối đa diện Đáp số: =

8 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , chiều cao = ℎ Gọi trung điểm , mp chứa song song với cắt , Tính thể tích hình chóp

Đáp số: =

9 Cho hình chóp có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần Tính tỉ số thể tích hai hình Đáp số: = 10 Cho hình chóp có đáy ABCD hình bình hành, Lấy điểm M SA cho = Tìm X

(25)

Dạng 5: tổng hợp khối chóp lăng trụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp có hình vng cạnh , = √2 ⊥ Góc đáy 60 trung điểm

a) Tính thể tích khối chóp b) Tính thể tích khối chóp

Giải:

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác có = ; = ; = Các mặt bên ( ), ( ), ( ) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp

Giải:

Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có = √3; = ; = giao điểm

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp ′ ′ ′ ′ b) Tính thể tích khối chóp ′ ′

(26)

Giải:

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ′ ′ ′ ′ có cạnh Tính thể tích khối chóp ′ ′

Giải:

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a) Tính thể tích khối chóp ′ ′

b) trung điểm cạnh , mặt phẳng ( ′ ′ ) cắt Tính thể tích khối chóp ′ ′

(27)

1 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có tam giác vng, = = ; = √2 trung điểm

′ Tính thể tích lăng trụ ′ ′ Đáp số: = √

2 Cho hình chóp có tam giác vng , ⊥ ( ); = 60 ; = ; = √3,

trung điểm Tính thể tích tứ diện Đáp số: =

3 Cho hình chóp có đáy hình thang với đáy lớn = 2, = 90 Các tam giác

và có cạnh √3 Tính thể tích khối chóp Đáp số: = √

4 Tính thể tích hình chóp tam giác trường hợp: a) Cạnh đáy = 60

b) = 1; = Đáp số: ) =√ ; ) =√

5 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có độ dài cạnh bên , ∆ vng , = , = √3 hình chiếu vng góc ′ lên mp( ) trung điểm Tính thể tích ′ Đáp số: =

6 Cho hình chóp có đáy ABCD hình bình hành = √3 góc hai đường chéo 60 , cạnh bên nghiêng với đáy góc 45 Tính thể tích hình chóp Đáp số: = √ Cho hình chóp có = = = = 60 ; = 90 ; = 120 Chứng minh

tam giác vuông tính thể tích khối đa diện Đáp số: = √ Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh , = ; = √3 mp ( ) vng góc

với đáy Gọi ; trung điểm ; Tính thể tích Đáp số: = √ Cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′, có cạnh đáy cạnh bên Gọi , ,

là trung điểm ; ′; ′ ′ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ mp( ) tạo

Đáp số: = 10 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , mặt bên ( ) tam giác nằm

trong mặt phẳng vng góc với đáy Gọi , , trung điểm cạnh , , Chứng minh vng góc với tính thể tích tứ diện Đáp số: = √

LOẠI 3: THỂ TÍCH KHỐI TRỊN

Dạng 1: hình trụ

Ví dụ 1: Cho hình trụ có hai đáy hai đường tròn tâm ′, bán kính , chiều cao hình trụ √2 Tính thể tích diện tích xung quanh hình trụ

(28)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 28 Ví dụ 2: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm ′, bán kính , đường trịn tâm lấy hai điểm , cho = Biết thể tích tứ diện ′ Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ

Giải:

Ví dụ 3: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm ′, bán kính , đường trịn tâm lấy điểm cho ′ hợp với đáy góc 60 Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ

Giải:

Ví dụ 4: Một hình trụ có bán kính chiều cao √3

a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ

c) Cho hai điểm , nằm hai đường tròn đáy cho hợp với trục hình trụ góc 30 Tính khoảng cách trục hình trụ

(29)

1 Một khối trụ có chiều cao 20 có bán kính đáy 10 Kẻ hai bán kính ′ ′ hai đáy cho chúng hợp với góc 30 Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng

′ song song trục khối trụ Hãy tính diện tích thiết diện Một hình trụ có bán kính đáy có thiết diện qua trục hình vng

a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ

3 Cho hình trụ có bán kính đáy , chiều cao ′ = ℎ, hai điểm thay đổi hai đường trịn đáy cho độ dài = khơng đổi ℎ < < √ℎ +

a) Chứng minh góc hai đường thẳng ′ khơng đổi b) Chứng minh khoảng cách ′ không đổi

4 Trong khơng gian cho hình vng cạnh , gọi , trung điểm cạnh Khi quay hình vng quanh trục ta hình trụ trịn xoay

a) Tính diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay tạo nên b) Tính thể tích khối trụ tạo nên từ hình trụ trịn xoay

5 Cho hình chữ nhật với = , = , đường thẳng ∆ nằm mp( ), ∆ song song với cách khoảng , ∆ khơng có điểm chung với hình chữ nhật

a) Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên quay hình chữ nhật quanh ∆

b) Xác định để thể tích nói gấp lần thể tích hình cầu có bán kính cạnh

6 Cho hình trụ bán kính đáy , trục ′ = ′ hai bán kính hai đường trịn đáy tâm ′ cho góc ′ 30

a) Tính độ dài đoạn thẳng ′

b) Tính tan( ; ′) d( ; ′)

7 Cho hình trụ bán kính đáy , chiều cao ℎ Gọi , hai điểm hai đường tròn tâm ′ cho ′ hợp với góc , hai đường thẳng ′ hợp với góc

a) Tính bán kính theo ℎ, , b) Tính ; theo ℎ, ,

8 Một khối trụ có đáy hai hình trịn tâm ′, bán kính có đường cao ℎ = √2 Gọi , hai điểm hai đường trịn tâm ′ cho vng góc ′

a) Chứng minh mặt bên tứ diện ′ tam giác vng Tính tỉ số thể tích khối tứ diện ′ khối trụ

b) Gọi ( ) mặt phẳng qua song song ′ Tính khoảng cách trục ′ ( ) c) Chứng minh ( ) tiếp diện mặt trụ có trục ′ bán kính đáy √ Một hình trụ tích khơng đổi Tính bán kính đáy chiều cao hình trụ để:

a) Diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ

b) Diện tích xung quanh cộng diện tích đáy đạt giá trị nhỏ

10 Trên đường tròn đáy hình trụ có chiều cao ℎ bán kính đáy , người ta lấy thứ tự điểm , Xác định khoảng cách đường thẳng trục hình trụ trường hợp:

(30)

Dạng 2: khối nón

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác ′ ′ ′ có cạnh đáy , chiều cao Biết ′ tâm ′ ′ ′ đường tròn ( ) nội tiếp đáy Tính thể tích khối nón có đỉnh ′ đáy ( )

Giải:

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tứ giác ′ ′ ′ ′ có cạnh đáy , chiều cao Biết ′ tâm ′ ′ ′ ′ đường trịn ( ) nội tiếp đáy Tính thể tích khối nón có đỉnh ′ đáy ( ) Giải:

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy , cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi ( ) đường trịn ngoại tiếp đáy Tính thể tích khối nón có đỉnh đáy (C)

(31)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 31 Ví dụ 4: Thiết diện qua trục khối nón tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể

tích khối nón diện tích xung quanh hình nón cho

Giải:

1 Trong không gian cho tam giác vuông góc I, = 30 ; = Khi quay tam giác quanh cạnh góc vng đường gấp khúc tạo thành hình nón trịn xoay Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón

2 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón

b) Tính thể tích khối nón

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 60 Tính diện tích thiết diện

3 Cho hình nón đỉnh , đường cao , hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ đến , = 30 ; = 60 Tính độ dài đường sinh hình nón theo

4 Cho hình chóp tam giác có cạnh bên , góc mặt bên mặt đáy Một hình nón đỉnh có đường trịn đáy nội tiếp ∆ Tính diện tích xung quanh hình nón theo Một hình nón có độ dài đường sinh va góc đường sinh đáy

a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón

b) Gọi điểm đường cao hình nón cho = (0 < < 1) Tính diện tích thiết diện qua vng góc với trục

6 Một mp( ) qua đỉnh hình nón cắt đường trịn đáy theo cung có số đo ( < ) Biết ( ) hợp với mặt đáy góc va khoảng cách từ tâm đáy tới ( ) Tính thể tích khối nón theo , ,

7 Cho tam giác vuông , = , = , Tính thể tích khối trịn xoay sinh tam giác quay quanh

8 Cho hình nón có bán kính đường cao ℎ

a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón b) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón

9 a) Tìm hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính cho trước b) Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính cho trước 10 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy mặt bên có góc đáy

a) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón nội tiếp hình chóp b) Chứng minh chiều cao hình chóp cho bằng:

(32)

11 Cho hình chóp tứ giác có chiều cao ℎ, = a) Tính diện tích xung quanh hình chóp

b) Chứng minh diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp bằng: √

12 Cho tam giác vuông , = , = Gọi ; ; thể tích khối trịn xoay sinh tam giác (kể điểm trong) quay quanh , ,

a) Tính ; ; theo , b) Chứng minh rằng: = +

13 Cho hình nón có đường cao = ℎ, bán kính đáy Gọi điểm , đặt = (0 < < ℎ) a) Tính diện tích thiết diện vng góc với trục

b) Tính thể tích hình nón đỉnh đáy thiết diện câu a) theo , ℎ, Xác định cho đạt giá trị nhỏ

Dạng 3: khối cầu

Ví dụ 1: Cho tứ diện cạnh

a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu

Giải:

Ví dụ 2: Cho hình chóp , có đường cao = , đáy tam giác cạnh Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải:

(33)

Giải:

1 Cho tứ diện có tam giác cạnh , = √2 a) Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp

b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu

2 Cho hình chóp có đáy tam giác vng ⊥ ( )

a) Gọi trung điểm Chứng minh = = = , từ suy bốn điểm , , , nằm mặt cầu tâm bán kính =

b) Cho = = = √2 Tính bán kính mặt cầu nói

3 Trong mp( ), cho đường thẳng điểm nằm ngồi Một góc di động quanh , cắt Trên đường thẳng qua vng góc với ( ) lấy điểm , gọi , hình chiếu vng góc lên

,

a) Chứng minh , , , , thuộc mặt cầu

b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết = 2, = 3, = 60

4 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , = √3 ⊥ ( ), gọi tâm hình chiếu lên

a) Chứng minh ba điểm , , nhìn đoạn góc vng Suy năm điểm , , , , nằm mặt cầu đường kính

b) Xác định tâm bán kính mặt cầu nói

5 Cho hình chóp tam giác , có cạnh đáy góc hợp mặt bên đáy 60 Gọi tâm tam giác , tam giác dựng đường trung trực cạnh , cắt

a) Tính ,

b) Chứng minh ∆ ~ ∆ ( trung điểm ), suy

c) Chứng minh hình chóp hình chóp đều, suy = + d) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

6 Trong mặt phẳng ( ), cho đường trịn đường kính = điểm di động đường trịn, vng góc với , với = (0 < < ) Dựng đường thẳng vuông góc với ( ) , lấy =

(34)

7 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , = √7 ⊥ ( ), Một mp( ) qua vng góc , cắt , , , ,

a) Chứng minh điểm , , , , , , nằm mặt cầu b) Xác định tâm bán kính mặt cầu

8 Cho mặt cầu đường kính Cắt mặt cầu mặt phẳng vng góc với cho = (0 < < ), thiết diện đường trịn ( ) Gọi hình vng nội tiếp đường trịn ( ) a) Tính theo bán kính đường trịn ( ), cạnh hình vng đoạn thẳng , b) Tính thể tích khối đa diện tạo hình chóp Tính để thể tích đạt giá

trị lớn

9 Cho mặt cầu ( ) tâm , đường kính = Cắt ( ) mặt phẳng ( ) vng góc với ′ ( ≠ ), giao tuyến đường tròn ( ) Đặt = ℎ, điểm cố định ( ), đường kính lưu động ( ) Đường thẳng vng góc với ( ) cắt ( )

a) Tính theo ℎ Chứng minh hình tứ diện có tổng bình phương cặp cạnh đối số

b) Xác định vị trí để thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn c) Tìm tập hợp hình chiếu vng góc lên đường thẳng

d) Chứng minh tam giác có diện tích lớn khối tứ diện tích lớn Khi đó, tính diện tích tam giác thể tích khối tứ diện biết ℎ = 10 Cho tam giac tâm , có ′, ′, ′ trung điểm cạnh , , Đặt ′ =

Mặt cầu ( ) tâm bán kính tiếp xúc với mp( ) a) Chứng minh: = √3

b) Chứng minh mặt phẳng qua tiếp xúc với ( ) cắt đường thẳng mặt phẳng qua , tiếp xúc với ( ) qua

c) Tìm điều kiện để ba điểm , , thẳng hàng theo thứ tự d) Đặt = ℎ Chứng minh: ℎ + − ℎ =

e) Tính theo để = 90 Dạng 4: Tổ hợp khối trịn

Ví dụ 1: Tìm hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính cho trước

(35)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 35 Ví dụ 2: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính cho trước

Giải:

Ví dụ 3: Trong tất khối nón ngoại tiếp khối trụ chiều cao h, bán kính đáy R Xác định khối nón

tích nhỏ

Giải:

Ví dụ 4: Trong tất khối trụ nội tiếp khối nón chiều cao h, bán kính đáy R Hãy xác định khối trụ có

thể tích lớn

(36)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 36 Ví dụ 5: Đường cao hình nón gấp hai lần bán kính Tính tỉ số thể tích hình cầu ngoại tiếp

nội tiếp hình nón

Giải:

1 Cho tam giác ABC cạnh a (P) mặt phẳng qua BC vuông góc với mp(ABC) Gọi (C) đường trịn đường kính BC nằm mp(P)

a) Tính bán kính mặt cầu qua đường tròn (C) điểm A

b) Xét hình nón ngoại tiếp mặt cầu nói cho tiếp điểm hình nón mặt cầu đường trịn (C) Tính thể tích khối nón

2 Một hình cầu nội tiếp hình nón, biết thể tích hình nón lần thể tích hình cầu Tính tỉ số diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu

3 Một hình nón có bán kính đáy R chiều cao 4R

a) Tính diện tích tồn phần hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ r b) Tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp hình nón để diện tích tồn phần hình trụ

đạt giá trị lớn

4 Cho hình cầu bán kính R, hình nón nội tiếp hình cầu có chiều cao x(0<x<2R) a) Tính thể tích V, diện tích xung quanh S hình nón

b) Tìm hệ thức liên hệ giữaV,S,R độc lập với x c) Với giá trị x V lớn

5 Một hình nón có đường sinh a, diện tích xung quanh a) Tính diện tích tồn phần S thể tích V hình nón

b) Trong hình nón cho có mặt cầu nội tiếp Tính diện tích S' mặt cầu nội tiếp thể tích V' hình cầu xác định mặt cầu nói So sánh tỉ số

6 Cho hình nón có bán kính đáy R góc đỉnh Trong hình nón có hình trụ nội tiếp Tính bán kính đáy chiều cao hình trụ, biết thiết diện qua trục hình trụ hình vng

7 Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH=h đường sinh l đường kính đáy Một hình cầu có tâm trung điểm O đường cao SH tiếp xúc với đáy hình nón

a) Xác định giao tuyến mặt nón mặt cầu

(37)

8 Hiệu đường sinh bán kính đáy hình nón a, góc xen đường sinh mặt đáy Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón

9 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' nội tiếp hình trụ cho trước, góc đường thẳng B'D mp(ABB'A') 30 Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt ABB'A' Tính thể tích hình hộp cho thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường kính đáy hình trụ 5a

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác có đáy hình vuông cạnh , cạnh bên = √5 mp ( ) qua vng góc với mp( ), cắt ′ ′ tính thể tích khối đa diện

′ ′ Đáp số: = √

Bài 2: Cho hình chóp có = ; = ; cạnh cịn lại Tính .

Đáp số: = − −

Bài 3: Cho tứ diện có cạnh = = ; = = ; = = Tính thể tích tứ diện

Đáp số: =√ ( + − )( + − )( + − )

Bài 4: Cho hình vng cạnh , đường thẳng , vng góc ( ) phía mặt phẳng , lần lược lấy , gọi = , = Tính theo ,

Bài 5: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật với = , = √2, ⊥ ( ) Gọi , trung điểm , giao điểm Chứng minh ⊥ ( ) tính thể tích hình chóp

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy , = a) Tính diện tích xung quanh hình chóp

b) Chứng minh đường cao hình chóp cot −

c) Tính thể tích hình chóp Đáp số: = cot ; = cot −

Bài 7: Cho hình chóp có hai mặt bên ( ) ( ) vng góc đáy Đáy tam giác cân đỉnh Trung tuyến = Cạnh bên tạo với đáy góc tạo với mp( ) góc

a) Xác định góc ;

b) Chứng minh: = + +

c) Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp Đáp số: ) = ; = ;

(38)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 38 Bài 8: Cho hình chóp , đáy hình vng cạnh Mặt bên tam giác và vng góc với đáy Gọi trung điểm điểm di động đường thẳng

a) Chứng minh ⊥ ( ) Tính thể tích khối chóp

b) Tìm tập hợp hình chiếu lên

c) Tìm khoảng cách từ đến theo =

Đáp số: b) thuộc đường trịn đường kính ) =

Bài 9: Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình vuông cạnh , ta lấy điểm với = gọi ′, ′ hình chiếu lên , Mặt phẳng ( ′ ′) cắt ′ Tính thể tích khối

chóp ′ ′ Đáp số: =

Bài 10: Cho hình chóp , đáy hình bình hành Một mặt phẳng ( ) cắt , , , ′, ′, ′, ′ Chứng minh: + = +

Bài 11: Cho tứ diện có cạnh Dựng đường cao a) Chứng minh ⊥

b) Tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp

c) Gọi trung điểm Chứng minh , , đơi vng góc với

Đáp số: ) = √ ; ) = √

Bài 12: Cho hình chóp tứ giác , có chiều cao = ℎ góc đáy mặt bên a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối chóp theo ; ℎ

b) Cho điểm di động cạnh Tìm tập hợp hình chiếu xuống mp( )

Đáp số: = ; =

( )

Bài 13: Trên cạnh hình vng cạnh , ta lấy điểm với = (0 ≤ ≤ ) nửa đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình vng, ta lấy điểm với = ( > 0)

a) Chứng minh hai mặt phẳng ( ) ( ) vng góc b) Tính khoảng cách từ điểm đến mp( )

c) Tính thể tích khối chóp

d) Với giả thuyết + = Tìm giá trị lớn tích hình chóp

e) trung điểm Tìm quỹ tích hình chiếu xuống di động

Đáp số: ) = √ ; ) = ( + 1); ) = √3

(39)

a) Chứng minh: =

cos2 −sin2

b) Tính thể tích khối chóp Đáp số: =

(cos2 −sin2 )

Bài 15: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Cạnh bên = vng góc với mặt phẳng đáy

a) Tính diện tích tồn phần hình chóp

b) Hạ ⊥ , ⊥ Chứng minh ⊥ ( )

Bài 16: Cho hình chóp tứ giác có đáy hình vng cạnh , = = = = Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp

Bài 17: Cho hình chóp tứ giác có đáy hình thang vng , = = , = Cạnh bên ⊥ ( ) =

a) Chứng minh ∆ vng Tính diện tích ∆ b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( )

Bài 18: Cho hình chóp tứ giác có đáy hình thang vng , = = , = Cạnh bên ⊥ ( ) = √3 Từ trung điểm dựng ⊥ ( ∈ ) Tính thể tích khối chóp theo chứng minh ⊥ ( )

Bài 19: Cho hình chóp tứ giác có đáy hình thang vng , = , = = ( > 0) Cạnh bên = vng góc với đáy Tính diện tích tam giác thể tích tứ diện theo

Bài 20: Cho hình chóp có đáy ∆ vuông Cạnh vuông với đáy Từ kẻ đoạn thẳng

⊥ ; ⊥ Biết = , = , =

a) Tính thể tích khối chóp

b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( )

Bài 21: Cho lăng trụ tam giác ′ ′ ′, cạnh đáy , đường chéo mặt bên ′ ′ hợp với mặt bên ′ ′ góc Xác định góc chứng minh thể tích lăng trụ là:

Bài 22: Cho lăng trụ tứ giác ′ ′ ′ ′, chiều cao ℎ Mặt phẳng ( ′ ) hợp với mặt bên ′ ′ góc Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ

Đáp số: = ℎ √tan − 1; = 4ℎ √tan −

Bài 23: Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′, đáy vuông Khoảng cách từ ′ đến mặt bên ′ ′ , mp( ′) cách khoảng hợp với đáy góc

a) Dựng ⊥ , ⊥ Chứng minh: = , ′ = , =

(40)

c) Cho = khơng đổi, cịn thay đổi Định để thể tích lăng trụ nhỏ Đáp số: ) =

√ ) tan =

√

Bài 24: Cho lăng trụ ′ ′ ′ ′ cạnh đáy , Góc đường chéo ′ đáy 60 Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ Đáp số: = √6; = √6

Bài 25: Cho lăng trụ tứ giác đều, cạnh bên ℎ Từ đỉnh, vẽ hai đường chéo hai mặt bên kề nhau, góc hai đường chéo Tính diện tích xung quanh lăng trụ

Đáp số: = 4ℎ

Bài 26: Cho lăng trụ tam giác ′ ′ ′, cạnh đáy mp( ′) hợp với mp( ′ ′) góc Gọi , hình chiếu lên ′ Chứng minh = , tính thể tích, diện tích xung quanh hình lăng trụ

Đáp số: =

√ ; =

Bài 27: Cho lăng trụ xiên ′ ′ ′, đáy tam giác cạnh , ′ = ′ = ′ = a) Xác định đường cao lăng trụ vẽ từ ′ Chứng minh mặt bên ′ ′ hình chữ nhật b) Định theo , để mặt bên ′ ′ hợp với đáy góc 60

c) Tính thể tích diện tích tồn phần theo vừa tìm

Đáp số: = ; = 7√3 + √21

Bài 28: Cho lăng trụ xiên ′ ′ ′, đáy tam giác vuông cân đỉnh Mặt bên ′ ′ hình thoi cạnh , nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt bên ′ ′ hợp với đáy góc (0 < < 90 )

a) Chứng minh: ′ = Tính thể tích lăng trụ

b) Xác định thiết diện mặt phẳng qua Tính diện tích xung quanh lăng trụ

c) Gọi góc nhọn mà mp( ′ ′) hợp với mp đáy Chứng minh: tan = √2 tan

Đáp số: = sin ; = + sin + √1 + sin

Bài 29: Cho lăng trụ xiên ′ ′ ′ đáy ∆ cạnh Hình chiếu ′ lên mp( ) trùng với tâm đường trịn ( ), cho ′ = 45 Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ

Đáp số: = √ ; = +√

Bài 30: Cho lăng trụ xiên ′ ′ ′, đáy tam giác nội tiếp đường trịn tâm Hình chiếu ′ lên mp( ) Khoảng cách ′ số đo nhị diện cạnh ′

(41)

b) Gọi góc hai mp( ′ ′) mp( ) (0 < < 90 ) Tính , biết + = 90

Đáp số: = ; tan = ; tan = √

Bài 34: Cho lăng trụ xiên ′ ′ ′, có đáy tam giác vng , = ; = Mặt bên ′ ′ hình thoi, mặt bên ′ ′ nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt hợp với góc

a) Tính khoảng cách từ đến mp( ′ ′) định góc b) Tính thể tích lăng trụ

Đáp số: = √ ; = ; = cot

Bài 31: Cho hình hộp đứng ′ ′ ′ ′, đáy hình thoi Diện tích hai mặt chéo ′ ′, ′ ′ ; Tính diện tích xung quanh hình hộp biết ′ = 90 , tính thể tích hình hộp

Đáp số: = + ; = √

Bài 32: Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′, đường chéo ′ = hợp với đáy góc , hợp với mặt bên ′ ′ góc

a) Chứng minh ′ = ; ′ =

b) Chứng minh thể tích hình hộp là: = sin sin cos( + ) cos( − )

c) Tìm hệ thức liên hệ để ′ ′ hình vng Cho khơng đổi, thay đổi mà ′ ′ ln hình vng, định ; để thể tích lớn

Đáp số: 2(cos − sin ) = 1; = √ ( = = 30 )

Bài 33: Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ có đáy hình thoi cạnh , = 60 Chân đường vng góc hạ từ ′ xuống đáy trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho ′ =

a) Tính góc cạnh bên đáy

b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp Đáp số: = 60 ; = ; = √15

Bài 34: Cho hình hộp xiên ′ ′ ′ ′, đáy hình thoi cạnh = 60 ; = = ′ cạnh bên hợp với đáy góc

a) Xác định chân đường cao hình hộp vẽ từ ′ góc Tính thể tích hình hộp b) Tính diện tích tứ giác ′ ′, ′ ′

c) Đặt = ; Tính biết + =

Đáp số: a) Chân đường cao tâm tam giác

b) = √ ; = tan c) tan = √

(42)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 42 Bài 1: ( − − − ) Cho hình chóp , đáy hình vng cạnh , mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy, = , góc đường thẳng đáy 45 Tính theo thể tích khối chóp

Đáp số: = √

Bài 2: ( − − − ) Cho hình chóp tứ giác có = , = √2 gọi , trung điểm , Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng tính theo

thể tích Đáp số: = √

Bài 3: ( − − − ) Cho hình chóp có đáy hình thang = = 90 , = = , = SA vng góc với đáy = , gọi , trung điểm , Chứng minh hình chữ nhật tính thể tích theo

Đáp số: =

Bài 1: ( − ) Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Gọi , trung điểm ; giao điểm với , biết ⊥ ( ); = √3 Tính thể tích khối

chóp ( , ) Đáp số: = √ ; = √

√

Bài 2: ( − ) Cho lăng trụ tam giác ′ ′ ′ có = , ( ′ ); ( ) = 60 , gọi trọng tâm tam giác ′ Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

theo Đáp số: = √ ; =

Bài 3: ( − ) Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh bên = , hình chiếu vng góc lên ( ) điểm thuộc cho = Gọi đường cao ∆ Chứng minh trung điểm tính thể tích khối tứ diện theo Đáp số: = √

Bài 4: ( − ) Cho hình chóp có đáy hình thang vuông = = , = góc hai mp( ) mp( ) 60 Gọi trung điểm , biết hai mặt phẳng ( ) ( ) vng góc với mp( ), tính thể tích theo Đáp số: = √

(43)

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 43 Bài 6: ( − ) Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy tam giác vng = ; = , ′ = Gọi trung điểm ′ ′, giao điểm ′ Tính theo thể tích tính

( , ( )) Đáp số: = ; = √

Bài 7: ( − ) Cho lăng trụ ′ ′ ′ có độ dài cạnh bên , đáy tam giác vuông = , = √3 Hình chiếu vng góc ′ lên ( ) trung điểm Tính theo thể tích khối

chóp cos ; ′ ′ Đáp số: = ; cos ; ′ ′ =

Bài 8: ( − ) Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh , = ; = √3 ( ) vng góc với đáy Gọi , trung điểm , Tính theo

cos ; Đáp số: =√ ; cos ; ′ ′ =√

Bài 9: ( − ) Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy tam giác vng = = ; = √2, = Tính theo thể tích lăng trụ tính ( , ) Đáp số: = √ ; ( , ) = √

Bài 10: ( − ) Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi , , trung điểm , , Chứng minh

⊥ tính Đáp số: =√

Bài 11: ( − ) Cho hình chóp tứ giác có đáy hình vng cạnh , điểm đối xứng qua trung điểm , trung điểm , trung điểm Chứng minh ⊥

tính ( , ) Đáp số: = √

Bài 12: ( − ) Cho hình chóp có đáy hình thang với = = 90 = = , = , ⊥ ( ), = √2 gọi hình chiếu lên Chứng minh ∆ vng

và tính ; ( ) Đáp số: =

Bài 13: ( − ) Cho hình trụ có đáy hình trịn tâm , bán kính đáy chiều cao Trên hai đường trịn lấy hai điểm , cho = Tính Đáp số: = √

Bài 14: ( − ) Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật với = ; = √2; = ; ⊥ ( ) Gọi , trung điểm , giao điểm Chứng minh ( ⊥ )

và tính Đáp số: = √

Bài 15: ( − ) Cho hình chóp đáy ∆ cạnh ; = ⊥ ( ) gọi , lần

(44)

D'

C' B'

A'

D

C B

A I LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH LĂNG TRỤ:

1 Định nghĩa: Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt phẳng song song gọi hai đáy tất cạnh không thuộc hai đáy song song với

 Hình lăng trụ ′ ′ ′ ′ ′ có:

 ; : đáy

 ; ; …: mặt bên

 ′; ′; …: cạnh bên

 ′ ′; ′ ′; …: mặt chéo

 Tùy theo đa giác đáy, ta có: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,… 2 Tính chất: hình lăng trụ

 Các cạnh bên song song

 Các cạnh bên mặt chéo hình bình hành

 Hai đáy đa giác có cạnh tương song song 3 Hình hộp:

 Hình lăng trụ có đáy hình bình hành, gọi hình hộp

 Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình chữ nhật, gọi hình hộp chữ nhật  Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình vng, gọi hình lập phương

 Trong hình hộp ′ ′ ′ ′ đường chéo ′, ′ ′, ′, ′ cắt trung điểm đường

 Tất đường chéo hình hộp chữ nhật

4 Lăng trụ đứng – – xiên:

a) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy, lăng trụ đứng:  Các cạnh bên đường cao

 Các mặt bên hình chữ nhật, nằm mặt phẳng vng góc với đáy

b) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy đa giác mặt bên hình chữ nhật

c) Lăng trụ xiên: Là lăng trụ đa dạng khó xác định yếu tố

 Xác định đường cao lăng trụ vẽ từ đỉnh đòi hỏi vận dụng phương pháp khác để dựng đoạn vng góc từ điểm đến mặt (như sử dụng quan hệ song song, tính chất cách đều, mặt phẳng vng góc,…) trình bày phần ơn tập

E' D'

C' B' A'

E

(45)

 Khi đường cao, chẳng hạn ′ xác định, thì:  ′ góc mà cạnh bên hợp với đáy

 ′ , với hình chiếu lên góc mặt bên ( ′ ′ ) hợp với đáy

5 Cơng thức: Ngồi cơng thức trên, ta cịn dùng: a) Diện tích xung quanh lăng trụ: =

Trong đó: chu vi thiết diện thẳng (thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với cạnh bên), độ dài cạnh bên

b) Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật có cạnh , , : = 2( + + ) II LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH CHĨP:

1) Hình chóp: a) Định nghĩa:

 Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác cịn mặt khác tam giác có chung đỉnh

 Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên b) Cơng thức: Ngồi cơng thức trên, ta dùng:

ℎ = − ; =1

6 ℎ; =

2 ; =

2 ( + ′)

Trong đó: số cạnh, độ dài cạnh đáy, độ dài trung đoạn đáy (là độ dài đoạn thẳng nối vng góc từ tâm đáy đến cạnh hình chóp), độ dài trung đoạn hình chóp (là độ dài đoạn thẳng hạ vng góc từ đỉnh xuống cạnh hình chóp), chiều cao

c) Các dạng hình chóp thường gặp:  Hình chóp đều:

 Hình chiếu đỉnh xuống đáy trùng với tâm đáy  Các mặt bên tam giác cân

 Các cạnh bên hợp với mặt đáy góc  Các mặt bên hợp với mặt đáy góc

 Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy: giả sử hình chóp S.ABCD có ⊥ ( ), ta có:  SA đường cao hình chóp

 ( ) ⊥ ( ); ( ) ⊥ ( )

 hình chiếu A lên CD, nên = ( ); ( )  Với dạng đặc biệt: ⊥ ; ⊥ ; ⊥ ta có: =

Với , , ba cạnh góc vng

 Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy: giả sử hình chóp S.ABCD có ( ) ⊥ ( ), ta dựng đường cao SH tam giác SAD, SH đường cao hình chóp

C

C'

B

B'

A

A'

(46)

2) Hình tứ diện:

 Tứ diện hình chóp tam giác Đó hình chóp mà mặt lấy làm đáy  Ngồi cơng thức trên, ta tính thể tích tứ diện theo cơng thức sau:

=1

6 sin

Trong đó: , độ dài hai cạnh đối, khoảng cách góc hai cạnh đối

 Trong tứ diện bất kỳ, đoạn thẳng sau đay đồng quy điểm gọi trọng tâm tứ diện

 đoạn nối đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện  đoạn nối trung điểm cạnh đối

 Gọi M N trung điểm CD AB, A' B' trọng tâm tam giác BCD ACD Ta có: GM=GN, GA=3GA' AA' gọi trọng tuyến tứ diện

 Tứ diện trực tâm tứ diện có cặp cạnh đối diện đơi vng góc với  Tứ diện gần tứ diện có cạnh đối diện đơi

3) Hình chóp cụt: a) Định nghĩa:

 Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên

 Hình chóp cụt cắt từ hình chóp gọi hình chóp cụt b) Cơng thức: Ngồi cơng thức trên, ta dùng:

= ℎ + ( − ) ; =ℎ

6 + + ;

=

2( + ′) ; =

2 [( + ) + + ]

Trong đó: số cạnh đáy, ; độ dài hai cạnh đáy, ; độ dài trung đoạn hai đáy, độ dài trung đoạn hình chóp cụt (là độ dài đoạn thẳng vng góc chung hai cạnh hai đáy), chiều cao

c) Tính chất: Trong hình chóp cụt

 Đoạn thẳng nối tâm hai đáy đường cao hình chóp cụt  Các mặt bên hình thang cân

S S

H

C B A

D

A B

C D

H d'

d

H O

D C

B A

S

C

B A

(47)

 Các cạnh bên hợp với mặt đáy góc  Các mặt bên hợp với mặt đáy góc

III LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH TRỤ:

1 Định nghĩa: Hình trụ trịn xoay (hình trụ) hình sinh hình chữ nhật quay vịng quanh cạnh

2 Thiết diện:

 Các thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật  Thiết diện vng góc với trục hình trụ hình trịn hình trịn đáy IV LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH NĨN:

1 Định nghĩa: Hình nón trịn xoay (hình nón) hình sinh tam giác vng quay quanh cạnh góc vng

2 Thiết diện:

 Các thiết diện qua trục hình trụ tam giác cân  Thiết diện vng góc với trục hình trụ đường trịn

3 Hình nón cụt:

 Hình nón cụt phần hình nón giới hạn mặt đáy thiết diện song song với đáy  Hình nón cụt tạo thành hình thang quay vịng quanh cạnh góc vuông  Các công thức:

= ℎ + ( − ′) ; = ( + ′) ; =

3 ℎ( + + )

Trong đó: ; bán kính đáy lớn, đáy nhỏ, chiều cao, đường sinh

V LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH CẦU:

1 Định nghĩa: Cho điểm O cố định số dương R

 Tập hợp điểm không gian thỏa mãn hệ thức = gọi mặt cầu tâm bán kính ( , ) = { / = }

 Tập hợp điểm không gian thỏa mãn điều kiện ≤ gọi hình cầu tâm bán kính ( , ) = { / ≤ }

2 Thiết diện: Một mặt phẳng ( ) cách tâm mặt cầu S(O,R) đoạn d, với d<R cắt mặt cầu theo đường tròn C(I,r), thỏa: = − r hình chiếu O lên mp( ) đặc biệt:

 = ⇒ =

≡ Ta gọi C(O,R) đường tròn lớn mặt cầu

 = ⇒ =

∈ Ta có ( ) tiếp xúc với mặt cầu I 3 Tính chất:

 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mặt cầu chứa tất đỉnh hình chóp

 Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy có đường trịn ngoại tiếp

(48)

 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách tất đỉnh đoạn R

 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp giao trục đường tròn ngoại tiếp đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên

4 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC: Ta thường gặp trường hợp sau: a) Trường hợp 1: SA=SB=SC=a

 Dựng đường cao ⊥ ( )

 Trong tam giác SAO, đường trung trực SA cắt SO

 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có tâm bán kính = = = b) Trường hợp 2: ⊥ ( )

 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Mặt cầu ( , ) ngoại tiếp tứ diện SABC xác định bởi:

⃗ = ⃗

= +

Trong đó: ℎ = , bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Trường hợp 3: = = 90

Hình cầu ngoại tiếp SABC có tâm trung điểm AB bán kính = 5 Mặt cầu nội tiếp hình chóp:

 Mặt cầu nội tiếp hình chóp mặt cầu nằm bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt hình chóp

 Điều kiện cần đủ để hình chóp đỉnh S có hình cầu nội tiếp tâm I mặt đáy có điểm M cách tất mặt bên hình chóp I nằm đoạn SM

 Tâm hình cầu nội tiếp cách tất mặt hình chóp nằm mặt phân giác góc nhị diện tạo bỏi mặt kề hình chóp

 Nếu khối đa diện có hình cầu nội tiếp bán kính tính theo cơng thức: = Trong đó: V thể tích khối đa diện, diện tích toàn phần khối đa diện

VI TỔ HỢP KHỐI TRỊN:

 Một hình cầu gọi nội tiếp hình trụ mặt cầu hình cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình trụ tiếp xúc với hai đáy hình trụ

 Một hình cầu gọi nội tiếp hình nón có mặt cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón tiếp xúc với đáy hình nón

 Một hình cầu gọi ngoại tiếp hình trụ có mặt cầu chứa hai đường trịn đáy hình trụ  Một hình cầu gọi ngoại tiếp hình nón có mặt cầu chứa đỉnh đường trịn đáy hình

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	1,55 MB