SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2015 – 2016 Mơn thi : Tốn ( Dành cho học sinh thi chuyên Toán) Bài I: ( điểm ) 1) Giải phương trình : x x x x2 y 2) Giải hệ phương trình: 3 x y 10 x 10 y Bài II (2,5 điểm) 1) Cho số nguyên dương n thoả mãn (n,10) = Chứng minh n 40 2) Tìm tất số nguyên tố p số nguyên dương x, y thoả mãn: p x( x 2) p 1 y y 2 3) Tìm tất số nguyên dương n cho tồn số nguyên dương x, y, z thoả mãn: x3 y3 z nx2 y z Bài III (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn: a b b c c a Chứng minh ab ac bc Bài IV (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H Gọi Q điểm cung nhỏ BC Gọi E, F điểm đối xứng Q qua AB, AC 1) Chứng minh rằng: MH.MA = MP.MN 2) Chứng minh : E, F, H thẳng hàng 3) Gọi J giao điểm QE AB Gọi I giao điểm QF AC Tìm vị trí Q cung nhỏ BC để AB AC nhỏ QJ QI Bài V (1,0 điểm) Chứng minh tồn số nguyên a,b,c cho a b c - 1000 BÀI GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TP HÀ NỘI NĂM 2015-2016 (GV Lưu Văn Thám Thực hiện) Bài I ( điểm ) 1) Giải phương trình : x x x (1) ( x 1)2 (1) (x x 1) (x x 9) ( x 1) ( x 3) ( x 3) x Thử lại thấy thỏa mãn, nên phương trình cho có nghiệm x=9 2 2 x y 2) Giải hệ phương trình: 3 x y 10 x 10 y Thay phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta x3+2y3 = 2(x − y)(x2+y2)⇔x3−4y3+2xy2−2x2y = 0⇔(x−2y)(x2+2y2)=0 Do x2+2y2 = 5+y2>0 nên x =2y ⇒ 5y2 =5 ⇒y = ±1⇒ x = ±2 Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình cho, nên hệ có hai nghiệm (x,y)=(2,1);(−2,−1) Bài II (2,5 điểm) 1) Cho số nguyên dương n thoả mãn (n,10) = Chứng minh n 40 Theo giả thiết (n,10) = ⇒ (n,5) = n số lẻ Mặt khác n4−1=(n−1)(n+1)(n2+1) từ ta suy số n−1, n+1, n2+1 số chẵn, n4−1 chia hết cho Vì số phương chia cho dư 4, suy n2 −1 chia hết cho n 2+1 chia hết cho 5, n4−1 chia hết cho Kết hợp với (5,8)=1 nên n4−1 chia hết cho 40 (đpcm) p x( x 2) p 1 y y 2 2) Tìm tất số nguyên tố p số nguyên dương x, y thoả mãn: Từ giả thiết ta suy 0