Đề thi và đáp án môn toán vào lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQG Hà Nội năm 2012

Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ tại điểm N khác M.. CMR P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN..[r]

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00 Trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 NĂM HỌC 2011-2012

Thời gian làm 120 phút

ĐỀ BÀI

Câu I

1) Giải phương trình: x 9 2012 x 6 2012 x9x6

2) Giải hệ phương trình:

2

2

2

x y y

x y xy

   



   

Câu II

1) Tìm tất cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn đẳng thức: x y 1xy x y 5 29xy 2) Giả sử x, y số thực nguyên dương thỏa mãn điều kiện:

 x1xy x y 5 29xy

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

x y

P

y x

 

Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M điểm cung nhỏ BC ( M khác B, C AM không qua O) Giả sử P điểm thuộc đoạn thẳng AM cho đường trịn đường kính MP cắt cung nhỏ điểm N khác M

1) Gọi D điểm đối xứng với điểm M qua O CMR điểm N, P, D thẳng hàng

2) Đường trịn đường kính MP cắt MD điểm Q khác M CMR P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN

Câu IV Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn c b 1,a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

     

2

1 1

ab a b c ab Q

a b c

   



  

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00

ĐÁP ÁN

Câu I

1) Điều kiện x 6 Phương trình cho tương đương với  x 9 2012 x  6 1

Giải x 9 2012  0 x 20122 9 4048135

Giải x     6 x

Vậy PT có nghiệm x4048135 x 5

2) Cách 1: Hệ cho tương đương với  

   

2

1

1

x y

x y x y

   

 

    



Đặt     2  2   2   2

1 , 1 2

u x y vx y x  y   x y  x y u  v Thu

 

2 3,

2

2 15

5, 10

u v

u v

u u u u

u v u v                      

Giải:    

1

2,

1

x y x y

x y x y                 

Giải:     10 x y x y        

 ( vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1) (2;0) Câu II

1) PT   x y 1xy x y 2 x     y 1 x y 1xy   x y 2

1

x y

    nghiệm

+ Giải 1

2

x y x y

xy x y xy

    

 



      

  ( vô nghiệm)

+ Giải 1

2 1

x y x y x

xy x y xy y

       

  

 

         

  

+ Giải

2 1

x y x y x

xy x y xy y

     

  

 

        

  

+ Giải

2

x y x y

xy x y xy

      

 

        

  ( vô nghiệm)

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00 2) Ta có  x1 y  1 xy x y 3 Theo BĐT côsi

1

3" "

2

x y x y

xy x y        x y

Theo BĐT Côsi 2 2 2 x y x y y

P x y

y x y x x                

Vậy giá trị nhỏ P x = y = Câu III

1) Vì D đối xứng M qua O nên MD đường kính (O) Suy DH song song với MN N thuộc đường trịn đường kính MP nên NPMN Từ DN trùng với NP hay N, P, D thẳng hàng Ta có điều phải chứng minh

2) Do MD đường kính (O) nên PAD 90 Q thuộc đường trịn đường kính MP nên

 90

PQD  Từ từ giác APQD nội tiếp Vậy ta có góc nội tiếp

  

NAPNDM PQA PQNPMN ADNAQP Vậy AP phân giác góc NAP QP phân giác góc NQA Vậy P tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ANQ Ta có điều phải chứng minh

Câu IV Ta có      

 1 1 1

abc ab ac a abc bc ba b abc ca cb c Q

a b c

          



  

            

1 1 1

;

1 1 1

a b c b c a c a b a b c

Q Q

a b c a b c

       

   

     

Ta chứng minh

1 1 1 12

a b c

ab c    

     

BĐT tương đương với

3

0

1 1 1

c b a

c b a

        

           

     

3  3 4 1    2 3 1

12 1 1

b c a b

c b c

b c b a

   

    

   

   1

2

a b c a

   



Vì    

  

3

3, " 0(1)

12 1

b c

c b c

b c

 

    

 

Vì    

  

2

1" , " 0(2)

6 1

a b

b c a b b c

b a

 

     

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00 Vì ,    1 0(3)

2

a b c a a b c

a

      

 Từ (1), (2) (3) suy đpcm

Vậy giá trị nhỏ Q