Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các số bị ràng buộc với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn:.. Nếu có hệ thức thì có thể đặt [r]
(1)PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp thường sử dụng toán chứng minh bất đẳng thức mà số bị ràng buộc với điều kiện định chẳng hạn:
Nếu có hệ thức đặt x = cosa; y = sina
Nếu có hệ thức xy=1 đặt: x = tana; y = cota;
Ghi chú: Ở khơng ngoại trừ tốn sử dụng hệ thức lượng tam giác với quan hệ lượng giác
BÀI TẬP ÁP DỤNG. BÀI TẬP 1.
Cho bốn số thực x, y, u, v thoả mãn: CMR:
GIẢI.
Đặt:
Khi : u(x – y) + v(x + y) = cosb(cosa-sina)+sinb(cosa+sina) = cos(a-b)+sin(b-a) = √2cos (b − a −π
4) Do
bài tốn chưa thấy yếu tố để ta chuyển dạng lượng giác, cần qua q trình biến đổi đặt ẩn phụ thích hợp chuyển dạng lượng giác thuận lợi cho q trình giải Ví dụ :
BÀI TẬP 2.
Cho số dương a, b, c, d CMR: (1)
GIẢI
Với ta sử dụng BĐT BunhiaCopski với số , nhiên dùng phương pháp lượng giác để giải
Các yếu tố để chuyển dạng lượng giác chưa xuất Chúng ta cần biến đổi để làm xuất yếu tố
Ta có : (1) tương đương với √ab
(a+d )(b+c)+√ cd
(a+d )(b+c)≤ 1<=>√
1 (1+d
a)(1+ c b)
+
√cdab(1+d a)(1+
c b)
≤1
Đặt tan2x=d
a;tan
2y=c
b
(2)Nếu so sánh với cách giải với cách dùng BĐT cổ điển thật cách dài phức tạp Tuy nhiên cho ta hướng để nhìn nhận tốn
BÀI TOÁN 3.
Cho a,b,c số dương thỏa mãn
CMR
GIẢI
Giả thiết tương đương với
6 bc+3 ac+2ab=36 abc⇔ bc+3 ac+2 ab
√abc = 36 abc
√abc ⇔6√ bc
a +3√ ac
b +2√ ab
c =6√ bc
a 3√ ac
b 2√ ab
c Trong tam giác ta có: cot A
2+cot B 2+cot
C 2=cot
A cot
B cot
C
Đặt 2√ab
c =cot C
2;3√ ca
b =cot B
2; từ giả thiết suy 6√ bc
a =cot A
2
Với A,B,C góc tam giác ABC
Vậy VT = 1+cot2A
2
1+cot2B
2
√1+cot12C
2
BÀI TẬP 4.
Cho a,b,c, dương 2009ac+ab+bc=2009
Tìm Max P= a2+1−
2 b2 b2+20092+
3 c2+1
GIẢI.
Từ giả thiết ta có: ac+a b 2009+
b
(3)Đặt a=tan A ;
b
2009=tan B
2 với A; B( 0;)thay vào giả thiết ta có c=tan C
2 với A,B,C góc tam giác ABC Nên
P=
1+tan2 A
−
1+ tan2B
2
+
1+tan2C
=2cos2 A
2 − sin
2B
2+3 cos
2C
2
cos A+cos B+3 (1− sin2C 2)=3+
1 3cos
2 A − B
2 −(√3 sin C 2−
1
√3cos A − B
2 )
2
≤10
BÀI TẬP 5.
cho x,y thay đổi thoả mãn
Tìm Max ,Min Z=y-2x+5
GIẢI
Đặt x=√5
6 sin a từ giả thiết ta có y=
√5
4 cos a Nên Z =√5
6 sin a−
√5
2 cos a+5⇔
√5
6 sin a −
√5
2 cos a=Z − 5 (*) Phương trình (*) có nghiệm (Z −5)2≤
36 + 4=
49 36 ⇔
23 ≤ Z ≤
37
BÀI TẬP 6.
CMR
Với a,b thỏa mãn
GIẢI
Đặt a=sinx; b=siny
Ta có sin x sin y −√(1− sin
2
x)(1− sin2y) sin√1 − sin2y +sin y√1− sin2x +√3¿
VT=¿
TH1 cosx ≥ cosy ≥ ta co VT=|sin(x + y )−√3 cos (x + y)|=|2 sin(x + y −π 3)|≤ 2
BÀI TẬP 7.
Chứng minh rằng:
GIẢI
Đặt a=tanx; b=tany ta có
VT =|(tan x − tan y )(1 − tan x tan y )
(1+tan2x)(1+tan2y) |=|sin (x − y)cos(x − y )|=|
2sin2( x − y )|≤
(4)Chứng minh rằng:
GIẢI.
Đặt a=tanx; b=tany; c=tanz: BĐT tương đương với
|tan x − tan y|
√1+tan2x √1+tan2y+
|tan y − tan z|
√1+tan2y √1+tan2z≥
|tan x − tan z|
√1+tan2x √1+tan2z |sin (x − y)|+|sin( y − z )|≥|sin (x − z )|
Thật |sin(x − y )|+|sin ( y − z)|≥|sin(x − y )+sin( y − z)|≥|sin( x − z )| đfcm
BÀI TẬP 9.
Cho a, b, c dương, thỏa mãn a.b+bc+ca=1 Chứng minh a
1+a2+ b 1+b2+
c 1+c2≥
3√3
GIẢI.
Đặt a=tan A
2 ;b=tan B
2 từ giả thiết suy c=tan C
2 ; với A, B, C góc tam giác nhọn ABC
BĐT tương đương với
2(tan A +tan B+tan C)≥ 3√3
2
BÀI TẬP 10.
Cho a, b, c>0 abc+c+2b=2a Chứng minh
√1+a1 2+√ b2 1+b2+√
c2 4+c2≤
3
GIẢI.
Đặt a=tanA; 1b=tan B Từ giả thiết suy
c=tan C Với A,B,C góc tam giác nhọn ABC Nên BĐT tương đương với cos A+cos B+cos C ≤3
2 Luôn
BÀI TẬP 11
Cho a, b, c thuộc (0;1) Ch ứng minh
GIẢI