Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng minh r»ng: ab.[r]
(1)Bài tập bất đẳng thức
Bµi 1:
¿
Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta lu«n cã:
a a¿
2
+b2+c2≥ ab+bc+ca¿b¿( a+b)2(b+c )2≥ abc ( a+b+c )¿
Bµi 2:
Chøng minh r»ng víi mäi sè d ong a, b, c ta lu«n cã: (a+b )( b+c ) (c+ a) ≥8 abc
Bµi 3:
DÃy số u1, u2, ,unĐ ợc xác dÞnh nh sau:
un=
n (n+1) (n+2) (n+3) víi n = 1; 2; 3; k
Đặt S = u1+u2+u3+ +uk Chứng minh rằng: 18<1
S≤ 24
Bµi 4:
Chøng minh víi mäi sè d ong a, b, c ta lu«n cã:
a2 +b2
a+b + b2
+c2
b+c + c2
+a2
c +a ≤
3(a2
+b2+c2)
a+b+c
Bµi 5:
¿
Cho a+b=2 Chøng minh r»ng:
a a¿
2
+b2≥2 b¿a4+b4≥ c¿a8+b8≥2¿
Bµi 6:
Cho a+b+c +d =2 Chøng minh r»ng:
a2+b2+c2+d2≥ 1
Bµi 7:
Cho hai sè d ong a, b tho¶ m·n a+b=1 Chøng minh r»ng:
(a+1 a)
2
+(b+1
b)
2
≥25
2
Bµi 8:
Cho ba sè d o ng a, b, c tho¶ m·n: a+b+c=1 Chøng minh r»ng:
a+b ≥ 16 abc
Bµi 9:
Cho ba sè d o ng a, b, c tho¶ m·n: a+b+c=4 Chøng minh r»ng:
a+b ≥abc
Bµi 10:
Chøng minh bÊt d¼ng thøc:
a+b
ab+c2+
b+c
bc+a2+
c+a
ca +b2 ≤
a+
1
b+
1
c
Bµi 11:
Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n:
¿ a+b+c=2 a2
+b2+c2=2
¿
Chøng minh r»ng: ≤ a ,b , c ≤4
¿ ¿{¿
¿
(2)Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c∈[0;1] ta có: (1+ a+b+ c )2 4(a2+b2+c2)
Bài 13:
Chøng minh r»ng víi mäi a,b,c>0
√a+bc +√ b+c
a +√ c+a
b ≥ 2(√ c a+b+√
a b +c+√
b a+c)
Bµi 14:
Cho c¸c sè d o ng a, b, c tho¶ m·n: abc=1 Chøng minh r»ng:
a3 (1+b)(1+c)+
b3 (1+a) (1+ c)+
c3 (1+ a) (1+ b)≥
3
Bµi 15:
Cho ba sè thùc d ong a, b, c tho¶ m·n: a+b +c=6 Chøng minh r»ng: (1+1
a3)(1+
b3)(1+
c3)≥ 729 512
Bµi 16:
Cho a, b,c số d ong Chøng minh bÊt d¼ng thøc:
a2 b+c+
b2 a+c+
c2 a+b≥
a+b+c
2
Bµi 17:
¿
Cho a, b, c >0 tho¶ m·n: a+b+c=1 Chøng minh r»ng:
a a+1+√b+1+√c +1<3,5¿b¿√a+b+√b+c+√c +a<√6¿
Bµi 18:
Cho x>y, x y=1 CHøng minh r»ng:
x2
+y2
x y 22
Bài 19:
Cho sè a, b, c tho¶ m·n:
¿ a2+b2+c2=2 ab+bc+ca=1
¿
Chøng minh r»ng: |a|, |b|, |c|≤4
3
¿ ¿{¿
¿
Bµi 20:
Cho a, b≥ Chøng minh r»ng: (a+b)2
2 +
a+b
4 ≥ a√b+b√a.
Bµi 21:
Cho a, b, c >0 Chøng minh r»ng:
√b+ca +√ b c+a+√
c a+b>2
Bµi 22:
¿ a>1 Chøng minh r»ng: x
√x-1≥ ¿b¿ Cho a>1; b>1 Chøng minh r»ng:
a2 b −1+
b2 a − 1≥ 8¿
(3)Chøng minh r»ng: NÕu x, y, z >0 tho¶ m·n
x+
1
y+
1
z=4 thi
1 2x + y +z +
1
x +2 y +z+
1
x+ y+2 z≤
3
Bµi 23:
Cho ba sè d o ng x, y, z tho¶ m·n x+ y +z=1 Chøng minh r»ng:
xy+ yz+zx+
2
x2+y2+z2>14
Bµi 24:
Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n x2+4 y2=1 Chøng minh r»ng: | x+y |≤√5
2
Bµi 25:
Cho x, y hai số thực khác không Chứng minh rằng:
x2 y2+
y2
x2+4 ≥ 3(
x y+
y x)
Bµi 26:
Cho a, b, c số thực thuộc d oạn [-1; 2] thoả mÃn: a+b +c =0 Chứng minh r»ng: a2
+b2+c2≤6
Bµi 27:
Cho a, b, c lµ ba sè d o ng Chøng minh r»ng:
a b+c+
b c +a+
c a+b≥
3
Bµi 28:
Cho số x, y, z>0 x+ y+z =1 Chứng minh r»ng:
x +2y +z ≥ (1-x) (1 − y ) (1− z)
Bµi 29:
Cho a, b, c >0 vµ a+b+c ≤1 Chøng minh r»ng:
a2+2 bc+
b2+2 ca+
c2+2 ab≥ 9
Bµi 30:
Chøng minh r»ng víi mäi a, b> tho¶ m·n a+b = ta cã:
ab+
1
a2+b2≥6
Bµi 31:
Chøng minh r»ng víi mäi a, b>0 tho¶ m·n: a b = 1, ta cã:
a+
1
b+
2
a+b≥ 3
Bµi 32:
Cho a, b lµ hai sè d o ng tho¶ m·n: a2
+b2=4 Chøng minh r»ng:
a+b √a2+4≤√
3
Bài 33:
Cho a, b >0 thoả mÃn: a+b = Chøng minh r»ng:
1+a+
1
1+b≥
3
Bµi 35:
Cho x∈R tho¶ m·n: x >1 Chøng minh r»ng: x4+1 x3− x≥ 2√2
Bµi 36:
¿
Gi ¶ sö x, y ≥ tho¶ m·n: x2+y2=1
a x + y 2b Tính giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P =√1+2x+√1+2 y¿
(4)Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n 1≤ x ≤5 , ta cã:
√5-x+√x 2.
Bài 38:
Với số a, b, c >0 tho¶ m·n diỊu kiƯn abc=1 Chøng minh r»ng:
a
(ab+a+1)2+
b
(bc+b+1)2+
c
(ca+c+1)2≥
a+b +c
Bµi 39:
Cho a, b tho¶ m·n: √a+√b=1 Chøng minh r»ng: ab (a+b )2≤ 64
Bµi 40:
Cho a>0; b>0 vµ a3
+b3=a −b Chøng minh r»ng: a2+b2+ab<1
Bµi 41:
Cho a, b, c lµ ba sè d ong Chøng minh r»ng:
a b+
b c+
c a≥
a+b+c
3
√abc
Bµi 42:
Chøng minh r»ng, víi mäi sè thùc d ong a, b, c ta cã: ab
a+3b+2c+
bc
b +3 c+2 a+
ca
c +3 a+2 b≤
a+b +c
6
Bµi 43:
Chøng minh r»ng:
a2+2b2+3+
b2+2 c2+3+
c2+2 a2+3≤ dã a, b, c số thực d ong thoả mÃn: abc=1
Bài 44:
Cho số d ong a, b, c Chøng minh r»ng : (a+b)2
c +
(b+c)2
a +
(c+a)2
b ≥ ( a+b+c)
Bµi 45:
Cho x, y số thực d ong thoả mÃn: x+ y=1. Chøng minh r»ng:
x3 +y3+
1
xy ≥ +2√3
Mydocument/BAI TAP TOAN/ BAI TAP LOP 10/HOC KI II/bat dang thuc-coppy
1 Cho :x,y vµ x3+y3=x+y
c/m : x2+y2 1
2 Cho :a,b,c lµ cạnh tam giác
c/m: a4+b4+c4 < 2(a2b2+b2c2+c2a2)
3 Cho : a , b , c∈[0 ;1]∧a+b+c=2 c /m:abc ≥(1− a)(1− b)(1 −c) 4 Cho : a , b , c ≥ ;c /m: a3
+b3+c3≥3 abc
5 Cho :a,b,c>0 c/m:
a) (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)
b) (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c) 64
(5)
a+b+c
3 +
3
a+b+c¿
2
c +1/c¿2≥ 3¿ b+1 /b¿2+¿ a+1 /a¿2+¿
¿
7 Cho : 0 ≤ x ≤1 ;0 ≤ y ≤ c /m:(1 − x)(2 − y )(4 x+ y)≤2
8 Cho : x+ y+ z=1 c /m:−1
2≤ xy+yz+zx ≤ 1
9 Cho : x : y ≥ 0∧ x3
+y3=2 c /m: x2+y2≤ 2
10 Cho :x;y [0 ;1]∧ x2
+y2=x√1 − y2+y√1 − x2 c /m:(3 x+4 y )≤ 5
11 Cho : a>b>0 C/m : a+
(a −b)b≥ 3
12 Cho a;b;c;d>0 & 1+aa + b 1+b+
c
1+c+
d
1+d≤ C /m :abcd ≤ 81
13 Cho x;y;z 0∧ x (x− 1)+ y( y −1)+z(z− 1)≤4
3 C /m : x+ y+z ≤ 4
14 Cho:a;b;c>0 C/m:
a) a+b+c¿
3
a(b2+bc+c2)+b (c2+ca +a2)+c (a2+ab+b2)≤1 3¿
b) a3
b2+bc +c2+
b3
c2+ca+a2+
c3
a2+ab+b2≥
a+b+c
3
15 Cho a;b;c>0 t/m: ab+bc+ca=1
C/m: a3
b+c+ b3 c +a+
c3 a+b≥
1
16 Cho:a;b>0 C/m: (a+b)2+(1/a+1/b)2 8
17 Cho : a;b;c>0 vµ a+b+c=1 C/m
a) a2
+4 b2+9 c2≥36 49
b) ab2c3≤
432
18 Cho a;b;c>0 t/m: a+b+c=1
C/m: (2+1
a)(2+
1
b)(2+
1
c)≥ 125
19 Cho:a;b;c>0 C/m:
a) (2
a+b+c )(
2
b+c+a)(
2
c+a+b)≥ 64
b) (1
a+b+c )(
1
b+c+a)(
1
c+b+a)≥ 27 víi abc=1
20 Cho:a;b;c>0 vµ abc=1 C/m:
a) a+b
2 +
c3
3 ≥ 11
(6)b) ab1 + bc +
1 ca+
3
a+b+c≥ 4
21 Cho a;b;c>0 C/m:
C/m: b+ca +b+c
a + b c +a+
c+a b +
c a+b+
a+b c ≥
15
22 §H NNI 2000: Cho:a;b;c>0 , abc=1 t×m P min:
P= bc
a2b+a2c+ ca
b2a+b2c+ ab
c2b+c2a
23 §HQGHN 2000: Cho víi mäi a;b;c t/m a+b+c=0 C/m 8a+8b+8c≥2a+2b+2c
24 SPVinh 98: Cho x;y;z: (x-1)2+(y-2)2+(z-1)2=1 t×m x;y;z cho P max
P=(x+2y+3z-8 ) Tìm gtrị max đó
25 SPVinh 01: Cho a;b;c độ dài cạnh tam giác a+b+c=3 C/m: 3 a2+3 b2+3 c2+4 abc ≥13
26 Cho a;b;c t/m:
¿ a2
+b2+c2=2 ab+bc+ca=1
¿{
¿
c/m: −4
3≤ a ;b ;c ≤
27 HVNH HCM 01D:Cho a;b;c>0 C/m: (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
28 víi mäi a;b;cC/m: a) a2
+b2+c2≥ ab+bc+ca
b)(ab+bc+ca) ❑2≥ abc(a+b+ c) (SP TP HCM 2000) 29 ĐHĐà Nẵng96:Cho a;b;c cạnh tam giác c/m:
1)a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)
2) a2+b2+c2=1; c /m :1
2≤ab+bc +ca≤ 1
Câu Cho a, b, c số thực dương thoả mãn: a + b + c = CMR:
2
b c c a a b
a b c abc
Câu 2: Cho số thực dương x, y thoả mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu
thức:
2
2
3
4
x y
P
x y
Câu 4: Cho x, y > 0, CMR:
2
1 x y 256
x y
Câu 5: Cho a, b, c > và:
1 1
a b c
CMR:
2 2
4
a b c a b c
a bc b ca c ab
(7)Câu 8: Cho x, y, z số dương thoả mãn: x + y + z = Tìm GTLN biểu thức:
2 2
xy yz zx
P
x y z y z x z x y
Câu 9: Cho số dương x, y, z thoả mãn: xy yz zx1. Tìm GTNN:
2 2
x y z
P
x y y z z x