Cho các số thực không âm a,b,c... Tìm GTNN của biểu thức:..[r]
(1)Bài 49: (đề thi vào chuyên Toán chuyên Phan Bội Châu) Cho số thực a, b, c thoả mãn a,b≥0 ; c≥1 ; a+b+c=2 Tìm giá trị nhỏ P = (6-a2-b2-c2) (2-abc)
( Chưa có lời giải ) Bài 50: (HELLO IMO 2007)
Cho số thực không âm a,b,c Chứng minh
2 2
2
abc a b c a b c Lời giải:
2 2 2 2
1
2 2
2
VT VP a b c abc ab bc ca a b c a
Bài 51: ( Võ Quốc Bá Cẩn )
Cho , ,a b c 0thoả mãn khơng có hai số đồng thời Chứng minh rằng:
2
1 2 3
3
3a bc ab bc ca
( Chưa có lời giải )
Bài 52: (Vasile Cirtoaje) Cho số thực dương a,b,c Chứng minh rằng:
2 2 22 3 3 3
3
a b c a b b c c a Lời giải:
BĐT cần chứng minh
2 2 2 2 2 2 2 22
1
3 3 3 3 3
18 a ab ac b bc b ab bc ac c c ac bc ab a
BĐT cuối nên BĐT chứng minh
Bài 53: (Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho a,b,c số thực thoả mãn a+b+c=6; 2
14
a b c
Chứng minh 4a b 2c
Lời giải: Hướng giải: Đưa đồng bậc
2 2
4
14 14
a b c a b c
a b c k
(2)Bài 54:Cho a, b, c số thực thỏa mãn a+b+c=4 Chứng minh rằng:
3 3 26 143
a b c abc
Đẳng thức xảy nào?
Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :
2 2 2 2 2 2
3 9 27 26 143
a b c a b b c c a a b c abc
Vì a b c 4 nên 24abc 6abc a( b c)
2 2 2 2 2 2
2
2
3 27 26
1 16 2 26
1 3 143 143
a b c a b b c c a a b c abc
abc ab bc ca ab bc ca
abc ab bc ca
Do ta có đpcm
Dấu xảy a b c 4;ab bc ca 3;abc 1
Hay a,b,c nghiệm phương trình
4
x x x
Bài 55:Cho x,y,z số dương thỏa mãn: 1+x+y+z=2xyz
Tìm GTNN
1
xy P
x y
Lời giải:
Đặt a b c, , 1 1; ;
x y z
Giả thiết viết lại thành : ab bc ca abc 2
Hay
a11b1 1(1)
Ta cần tìm ab 1a b
Theo CS ta có ab a b 9 1 a116b1
(3)Bài 56: Cho a,b,c số thực không âm thoả a2 b2 c2 3 Chứng minh rằng:
2 2 2
6
a b c b c a c a b a b c Lời giải:
Theo CS thì, ta có:
2 2 23
3
a b c a b b c c a
CM tương tự ta suy
6(1)
ab a b
Theo CS tiếp (1)
2
a b c a b c ab a b VP
Đến ta có đpcm
Bài 57: Chứng minh với a,b,c dương ta có:
2 2
2 2 2
4 2 2 2
3 13
2 2
a b c a b b c c a
ab bc ca a b b c c a
Lời giải: Theo AM-GM CS thì:
2 2 2
3
3
3 2 3 2
a b a b
a b a b a b
2
2 2 2
3 27
2
a b a b c
a ab b a b c ab bc ca
Đến đặt 2
;
a b c x ab bc ca y
Ta chứng minh 27( ) 13
7
x x y
y x y
Đương nhiên tương đương với
(xy) 0
(4)Tìm GTNN biểu thức P 2a b c 1a b1 1c
Lời giải: Ta có:
1 2 2 2
2 a b c a b c
a b c a b c
Ta có BĐT:
2
2
2
2
2
a a
a a a
Vì 0a b c, , 2thì BĐT phụ ln nên áp dụng BĐT trên, ta có:
2 2 2
2 2 15
9
a b c a b c
a b c
Vậy P 9đạt a b c
Bài 59: Cho x,y,z số dương thoả mãn xyz x y z Chứng minh rằng:
3 2
x y z xyz
Bài 60: Cho số dương a,b,c thỏa mãn ab bc ca 3 Chứng minh rằng:
2 2
1 1 1 3
1 1 1 2
a b c
Lời giải:
Hướng giải: Giả sử c áp dụng BĐT 2
1
1
a b ab
Bài 61: Cho a,b,c số thực không âm, đôi khác Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1
4
ab bc ca
a b b c c a
Lời giải:
Ta có:
2
2
2 2
3
0
ab c a b c a ab b VT VP
a b b c c a
Bài 62: Cho a,b,c thực không âm đôi khác Chứng minh rằng:
2
9
x y
x y z x y
(5)Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:
2 2
2
2
1
4
5
x y y z z x x y
x y z x y
x y
x y y z z x x y
x y xy
xy x y
Bài 63: Cho a,b,c số thực không âm Chứng minh rằng:
3
6 3
a b c a b b c ca
Lời giải: Bình phương vế giả sử c
Ta có: ac2 a2;b c 2 b2
Cần chứng minh: a b c6 27.2ab ab a b.2 2
Theo AM-GM 27.2ab ab a b.2 2 ab 6 a b c6 Vậy ta có đpcm
Bài 64: Cho a,b,c > thoả mãn
4
a a
.Chứng minh rằng:
2 3 1
a
a b c
Lời giải: Theo Cauchy-Schwarz thì:
2
3
3 2 2
a
a b c a b c
VT
a
a ab a b a ab a b
Cần chứng minh: a a3
Hay
2
4
a a a
( theo BĐT Holder ) Bài 65: Chứng minh với số thực ta có BĐT:
2
, , 2
x y z
x
y z
(6)BĐT cần chứng minh
2
3 2 2 2
2 2
3
0
x x y x z xy xyz xz y y z yz z
y x z x z y
ln
Do BĐT chứng minh
Bài 66: Cho số dương x,y,z thoả mãn x2 y2 z2 3 Chứng minh rằng:
5
5 2 0
x x
x y z
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2
1
x y z x y z
Từ ta cần xét trương hợp: x2 y2 z2 nên bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
5
1
1
x x
Theo AM-GM, ta có:
6
5
2
2
x x
x
x x
Đặt a x b2; y c2; z 2 a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2 3
3 3
1 3
1
1 0(1)
2 2 2
3
a a a
a
a a a a a a a
a a
Khơng tính tổng qt giả sử: a Xét hai trường hợp:b c a c
TH1:b c 1 a 2, lúc đó:
3 3
2a 3a 0; 2b 3b 0; 2c 3c
(7)
3
3
2 3
3
2
1 3
2
2 2
1
2
a a a a a a a
a
a a
a a a
a
a a a
Cần chứng minh: 3
1
2 2
b c
b b b c c c
Ta có bổ đề: Với 0 x ta có: 3
1
4
2
x
x x x
x x x
+TH1: Nếu
2
x , ta có điều phải chứng minh
+TH2: Nếu
2
x ta có:
3
2
4 2
2 2 2
x x x x x
x x x x x
Ta có điều cần chứng minh Đạt tại: a b c 1
Bài 67.1: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn:abc=1 Chứng minh: 1
a b c
a b c b c a 2
3
b c c a a b
a b c
a b c
Giải: Ta có:
2
3
2
3 3
a a b a b a
a b b c b c abc
Suy ra:
3(a a b)
b b c 3(a+b+c) đpcm
(8)(APMO 1998): Chứng minh với x,y,z dương, ta có:
3
2( )
1 x y z x y z
y z x xyz
Gợi ý : nhân bung lụa đưa BĐT : xy yz zx x3 y z xyz
Tiếp tục sử dụng cách giải ta có đpcm Ta có :
2
2
2 2 2
b c
b c
a a b c b c
a a
(BĐT 2(x2 y2) (x y)2)
Suy :
2
b c
a b c
a
(1)
Tương tự :
2
c a
b c a
b
(2)
2
a b
c a b
c
(3)
Mặtkhác : a b c 33 abc 3 (BĐT Cô-Si) hay
3
a b c (4)
Kết hợp (1) ;(2) ;(3) ta có đpcm
Bài 67.2:[Russia MO] Cho a,b,c>0 thỏa mãn : a+b+c=3 Chứngminh: a b c ab bc ca
(9)
2 2 2 2
2 ( ) ( )
2 ( )
a b c ab bc ca
a b c a b c a b c
a b c a b c
Vậycầnchứng minh: 2 2 a b c (a b c )
Mặtkhác:
3
a a a a a a a
Suyra: 2
2 a b c (a b c )3 a b c 9
Hay 2
2 a b c (a b c )9đpcm
Bài 67.4: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh:
5 2 5 2 5 2 3
3 3
a a b b c c a b c
Giải:
Theo BĐT Holder, ta có:
3 3 3 3 3
(a b c ) 1.1.a1.1.b1.1.c (1 1 a )(1 1 b )(1 1 c )
Ta chứng minh:
3
2a a a 3
2
(a 1) (a 1)(a 1)
(đúng)
CMTT:
2b b b
3
2c c c Do a,b,c dương
3
a a ;b5 b2 ;3
3
c c suy ra:
5 2 5 2 5 2 3 2 2 3
3 3 2
a a b b c c a b c a b c
Hay: 5 2 5 2 5 2 3
3 3
a a b b c c a b c (đpcm)
Bài 67.7: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn: abc=1 Chứng minh:
(ab b)( c c)( a) 4(a b c 1) Giải:
(10)3
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
3
3 3
( ) ( )
4
9
a b b c c a a b c ab bc ca
a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
3
4 ( )
4( )
9( )
ab bc ca a b c
a b c
Mặt khác:
9 a b c 9abc a b c( ) 3(ab bc ca ) (ab bc ca )
(vì 2
3
ab bc ca a b c )
Từ suy ra: (ab b)( c c)( a) 4 4(a b c) Suy ra: (ab b)( c c)( a)4(a b c 1)(đpcm)
Bài 68: Cho a,b,c số thực không âm, thỏa mãn a+b>0, b+c>0,c+a>0 Chứng minh rằng:
9
6
a b c ab bc ca
b c c a a b a b c
Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Holder
3
2
a b c a b c
a a b c
b c a b c a b c ab bc ca ab bc ca
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
9
6
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
( theo AM-GM )
Dấu xảy a 0;b 723 5 c hoán vị Bài 69: (THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội - Ngày thứ 3)
(11)
2 2
2
2 4
3
2 2
x y x y y x y x
P x y
x y y x
Lời giải:
2 2
2
2 2
2
2
2 4
3
2 2
2 1 1
2
2
2 2
2 2
1
2 2
x y x y y x y x
P x y
x y y x
x y x y y x y x
x y y x
x y y x
xy x y xy x y
x y y x
Bài 70: Cho x,y số thực dương Chứng minh rằng:
1
y x
x y
Bài 71: (Việt Nam TST 1996)
Cho a,b,c số thực Chứng minh rằng:
4 4 4 4 4 4 4
7
a b b c c a a b c
Lời giải:
Đặt x a b y; b c z; c a Khi ; ;
2 2
z x y x y z y z x
a b c
Suy cần chứng minh 28 x y4z4x z y 4 y z x 4 x y z4
Áp dụng đẳng thức p q 4 p q 4 2p4 q4 6p q2 2 ta có:
4 4 4 4 2 2
2
z x y z x y xz y zx y
và x y z 4 y z x4 2y4 x z4 6y2xz2
suy cần chứng minh 4 4 2 2 2 4 4
4 x y z 24 x y y z z x 28 x y z
tương đương với 4 2 2 2
(12)Bài 72: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:
2 2 2 3
3
a ab b b bcc c caa abc a b c
Bài 73: Cho (x+y)(z+t)+xy=88.Tìm P x2 9y2 6z2 24t2 Bài 74: Cho x>1; y>0 Chứng minh rằng:
3 3
1 1
3
1
x x x
y y x y
x