đề thi sưu tầm 10 năm đề thi chọn đội tuyển imo cac de thi hsg cua dhsphn de chon doi tuyen ninh binh de de nghi toan 11 cua hai phong de hsg tphcm 2009 de kt doi tuyen chuyen quang trung de kt do

Cho các số thực không âm a,b,c... Tìm GTNN của biểu thức:..[r]

Bài 49: (đề thi vào chuyên Toán chuyên Phan Bội Châu) Cho số thực a, b, c thoả mãn a,b≥0 ; c≥1 ; a+b+c=2 Tìm giá trị nhỏ P = (6-a2-b2-c2) (2-abc)

( Chưa có lời giải ) Bài 50: (HELLO IMO 2007)

Cho số thực không âm a,b,c Chứng minh

 2 2  

2

abc a b c   a b c Lời giải:

     

 2 2 2 2

1

2 2

2

VT VP  a b c  abc  ab bc ca  a  b c   a 

Bài 51: ( Võ Quốc Bá Cẩn )

Cho , ,a b c 0thoả mãn khơng có hai số đồng thời Chứng minh rằng:

 

2

1 2 3

3

3a bc ab bc ca

 

 





( Chưa có lời giải )

Bài 52: (Vasile Cirtoaje) Cho số thực dương a,b,c Chứng minh rằng:

 2 2 22  3 3 3 

3

a b c  a b b c c a  Lời giải:

BĐT cần chứng minh

 2 2  2 2 2 2 2 22

1

3 3 3 3 3

18 a ab ac b bc b ab bc ac c c ac bc ab a

 

                

 

BĐT cuối nên BĐT chứng minh

Bài 53: (Võ Quốc Bá Cẩn)

Cho a,b,c số thực thoả mãn a+b+c=6; 2

14

a b c 

Chứng minh 4a b 2c

Lời giải: Hướng giải: Đưa đồng bậc

2 2

4

14 14

a b c a b c

a b  c k       

 

Bài 54:Cho a, b, c số thực thỏa mãn a+b+c=4 Chứng minh rằng:

   

3 3 26 143

a  b  c   abc

Đẳng thức xảy nào?

Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

   

2 2 2 2 2 2

3 9 27 26 143

a b c  a b b c c a  a b c   abc 

Vì a b c  4 nên 24abc 6abc a(  b c)

   

     

   

2 2 2 2 2 2

2

2

3 27 26

1 16 2 26

1 3 143 143

a b c a b b c c a a b c abc

abc ab bc ca ab bc ca

abc ab bc ca

        

         

       

Do ta có đpcm

Dấu xảy a  b c 4;ab bc ca 3;abc 1

Hay a,b,c nghiệm phương trình

4

x  x  x 

Bài 55:Cho x,y,z số dương thỏa mãn: 1+x+y+z=2xyz

Tìm GTNN

1

xy P

x y



 



Lời giải:

Đặt a b c, ,  1 1; ;

x y z

 

  

 

Giả thiết viết lại thành : ab bc ca abc    2

Hay

a11b1 1(1)



Ta cần tìm ab 1a b

Theo CS ta có ab a b 9  1 a116b1

Bài 56: Cho a,b,c số thực không âm thoả a2 b2 c2 3 Chứng minh rằng:

 

2 2 2

6

a b c b c a c a b  a b c  Lời giải:

Theo CS thì, ta có:

 2   2 23

3

a b c a b b c c a    

CM tương tự ta suy

  6(1)

ab a b 



Theo CS tiếp (1)

   

2

a b c  a b c  ab a b VP

 

Đến ta có đpcm

Bài 57: Chứng minh với a,b,c dương ta có:

 2 2

2 2 2

4 2 2 2

3 13

2 2

a b c a b b c c a

ab bc ca a b b c c a

      

    

      

Lời giải: Theo AM-GM CS thì:

 

   

2 2 2

3

3

3 2 3 2

a b a b

a b a b a b

 



  

 

   

   

2

2 2 2

3 27

2

a b a b c

a ab b a b c ab bc ca

  

 

      

Đến đặt 2

;

a  b c  x ab bc ca   y

Ta chứng minh 27( ) 13

7

x x y

y x y



 



Đương nhiên tương đương với

(xy) 0

Tìm GTNN biểu thức P 2a b c    1a  b1 1c

Lời giải: Ta có:

  1 2 2 2

2 a b c a b c

a b c a b c

  

       

Ta có BĐT:   

2

2

2

2

2

a a

a a a

      

Vì 0a b c, , 2thì BĐT phụ ln nên áp dụng BĐT trên, ta có:

2 2 2

2 2 15

9

a b c a b c

a b c

         

Vậy P 9đạt a  b c

Bài 59: Cho x,y,z số dương thoả mãn xyz    x y z Chứng minh rằng:

3 2

x  y  z  xyz

Bài 60: Cho số dương a,b,c thỏa mãn ab bc ca  3 Chứng minh rằng:

2 2

1 1 1 3

1 1 1 2

a   b   c  

Lời giải:

Hướng giải: Giả sử c áp dụng BĐT 2

1

1

a  b  ab

Bài 61: Cho a,b,c số thực không âm, đôi khác Chứng minh rằng:

 

  2  2 2

1 1

4

ab bc ca

a b b c c a

 

     

  

 

 

Lời giải:

Ta có:       

2

2

2 2

3

0

ab c a b c a ab b VT VP

a b b c c a

      

 

  

  



Bài 62: Cho a,b,c thực không âm đôi khác Chứng minh rằng:

 2

9

x y

x y z x y

 

  



Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:

 

         

 

 

2 2

2

2

1

4

5

x y y z z x x y

x y z x y

x y

x y y z z x x y

x y xy

xy x y

       

          

   

   

  

    

 

Bài 63: Cho a,b,c số thực không âm Chứng minh rằng:

 3    

6 3

a b c  a b b c  ca

Lời giải: Bình phương vế giả sử c

Ta có: ac2 a2;b c 2 b2

Cần chứng minh: a b c6  27.2ab ab a b.2   2

Theo AM-GM 27.2ab ab a b.2    2  ab 6  a b c6 Vậy ta có đpcm

Bài 64: Cho a,b,c > thoả mãn

4

a  a

  .Chứng minh rằng:

2 3 1

a

a  b c 



Lời giải: Theo Cauchy-Schwarz thì:

 

     

2

3

3 2 2

a

a b c a b c

VT

a

a ab a b a ab a b

   

  

   

 

   

Cần chứng minh:  a a3

Hay    

2

4

a a  a

   ( theo BĐT Holder ) Bài 65: Chứng minh với số thực ta có BĐT:

 

2

, , 2

x y z

x

y z

 



BĐT cần chứng minh

 

     

2

3 2 2 2

2 2

3

0

x x y x z xy xyz xz y y z yz z

y x z x z y

        

 

   ln

Do BĐT chứng minh

Bài 66: Cho số dương x,y,z thoả mãn x2 y2 z2 3 Chứng minh rằng:

5

5 2 0

x x

x y z

 

 



Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2

1

x  y z  x  y z



Từ ta cần xét trương hợp: x2  y2 z2  nên bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

5

1

1

x x  



Theo AM-GM, ta có:

6

5

2

2

x x

x

x x

 

 Đặt a x b2;  y c2; z 2   a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

 2 3 

3 3

1 3

1

1 0(1)

2 2 2

3

a a a

a

a a a a a a a

a a

   



    

     

  

 

Khơng tính tổng qt giả sử: a     Xét hai trường hợp:b c a c

TH1:b c   1 a 2, lúc đó:

3 3

2a 3a 0; 2b 3b 0; 2c 3c

   

3

3

2 3

3

2

1 3

2

2 2

1

2

a a a a a a a

a

a a

a a a

a

a a a

        

   

           

   



 

  

Cần chứng minh: 3

1

2 2

b c

b b b c c c

   

     

Ta có bổ đề: Với 0 x ta có: 3   

1

4

2

x

x x x

x x x



    

  

+TH1: Nếu

2

x  , ta có điều phải chứng minh

+TH2: Nếu

2

x  ta có:

    

     

3

2

4 2

2 2 2

x x x x x

x x x x x

     

        

Ta có điều cần chứng minh Đạt tại: a b c  1

Bài 67.1: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn:abc=1 Chứng minh: 1

a b c

a b c b     c a 2

3

b c c a a b

a b c

a b c

  

     

Giải: Ta có:

2

3

2

3 3

a a b a b a

a b  b c b c  abc 

Suy ra:

3(a a b)

b b c 3(a+b+c) đpcm

(APMO 1998): Chứng minh với x,y,z dương, ta có:

3

2( )

1 x y z x y z

y z x xyz

             

 

Gợi ý : nhân bung lụa đưa BĐT : xy yz zx x3 y z xyz

    

Tiếp tục sử dụng cách giải ta có đpcm Ta có :

   2       

2

2 2 2

b c

b c

a a b c b c

a a



       

(BĐT 2(x2  y2)  (x y)2)

Suy :

 

2

b c

a b c

a

   

(1)

Tương tự :

 

2

c a

b c a

b



   (2)

 

2

a b

c a b

c

   

(3)

Mặtkhác : a  b  c 33 abc  3 (BĐT Cô-Si) hay

3

a  b  c  (4)

Kết hợp (1) ;(2) ;(3) ta có đpcm

Bài 67.2:[Russia MO] Cho a,b,c>0 thỏa mãn : a+b+c=3 Chứngminh: a  b  c ab bc ca 

 

 

2 2 2 2

2 ( ) ( )

2 ( )

a b c ab bc ca

a b c a b c a b c

a b c a b c

    

        

      

Vậycầnchứng minh:   2 2 a b c (a b c )       

Mặtkhác:

3

a  a a  a a a  a

Suyra:   2  

2 a b c (a b c )3 a b c  9

Hay   2

2 a b c (a b c )9đpcm

Bài 67.4: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh:

 5 2  5 2  5 2   3

3 3

a a  b  b c   c a b c 

Giải:

Theo BĐT Holder, ta có:

 

3 3 3 3 3

(a b c  )  1.1.a1.1.b1.1.c (1  1 a )(1  1 b )(1  1 c )

Ta chứng minh:

3

2a  a a 3

2

(a 1) (a 1)(a 1)

     (đúng)

CMTT:

2b b b 

3

2c c c  Do a,b,c dương

3

a a   ;b5 b2   ;3

3

c c   suy ra:

 5 2  5 2  5 2   3  2  2   3

3 3 2

a a  b  b c   c a  b  c   a b c 

Hay:  5 2  5 2  5 2   3

3 3

a  a b  b c   c a b c  (đpcm)

Bài 67.7: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn: abc=1 Chứng minh:

(ab b)( c c)( a) 4(a  b c 1) Giải:

3

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

3

3 3

( ) ( )

4

9

a b b c c a a b c ab bc ca

a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

         

           

   

   



3

4 ( )

4( )

9( )

ab bc ca a b c

a b c

 

  

 

Mặt khác:  

9 a b c  9abc a b c(   ) 3(ab bc ca  ) (ab bc ca  )

(vì 2

3

ab bc ca   a b c  )

Từ suy ra: (ab b)( c c)( a) 4 4(a  b c) Suy ra: (ab b)( c c)( a)4(a  b c 1)(đpcm)

Bài 68: Cho a,b,c số thực không âm, thỏa mãn a+b>0, b+c>0,c+a>0 Chứng minh rằng:

9

6

a b c ab bc ca

b c c a a b a b c

 

   

    

Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Holder

 

      

3

2

a b c a b c

a a b c

b c a b c a b c ab bc ca ab bc ca

     

  

       

 

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

9

6

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

   

 

 

 

( theo AM-GM )

Dấu xảy a  0;b  723 5 c hoán vị Bài 69: (THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội - Ngày thứ 3)

  

 

  

   

2 2

2

2 4

3

2 2

x y x y y x y x

P x y

x y y x

   

   

   

Lời giải:

  

 

  

   

  

   

  

   

2 2

2

2 2

2

2

2 4

3

2 2

2 1 1

2

2

2 2

2 2

1

2 2

x y x y y x y x

P x y

x y y x

x y x y y x y x

x y y x

x y y x

xy x y xy x y

x y y x

   

   

   

       

   

        

       

   

         

      

   

   

Bài 70: Cho x,y số thực dương Chứng minh rằng:

1

y x

x  y 

Bài 71: (Việt Nam TST 1996)

Cho a,b,c số thực Chứng minh rằng:

  4  4 4 4 4 4 4

7

a b  b c  c a  a b c

Lời giải:

Đặt x  a b y;  b c z;  c a Khi ; ;

2 2

z x y x y z y z x

a   b   c   

Suy cần chứng minh 28 x y4z4x z y 4 y z x 4  x y z4

Áp dụng đẳng thức p q  4 p q 4 2p4 q4 6p q2 2 ta có:

  4 4  4 4  2 2

2

z x y   z x y  xz y  zx y

và x y z 4 y z x4 2y4 x z4 6y2xz2

suy cần chứng minh  4 4  2 2 2  4 4

4 x  y z 24 x y y z z x 28 x  y z

tương đương với 4 2 2 2

Bài 72: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:

     

2 2 2 3

3

a ab b b bcc c caa  abc a b c

Bài 73: Cho (x+y)(z+t)+xy=88.Tìm P x2 9y2 6z2 24t2 Bài 74: Cho x>1; y>0 Chứng minh rằng:

 

3 3

1 1

3

1

x x x

y y x y

x

     

       

    