ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA N 2012 – 2013 Câu I (2,0 điểm) x y Cho a x ; b y ; c xy với số thự xy xy Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc Câu II (2 điểm) Cho phương trình (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) = mx2 (1) (m tham số) Giả sử m nhận giá trị cho phương trình có nghiệm x1; x2; x3; x4 khác Chứng minh biểu thức P Câu III (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n cho 1 1 không phụ thuộc vào m x1 x x x n(2n 1) số phương 26 Câu IV (3,0 điểm) Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi (I), (K) đường tròn nội tiếp ABH, ACH Đường thẳng KI cắt AB M, cắt AC N a) Chứng minh HI/HK = HB/HA b) Chứng minh AM = AN Câu IV.2 Cho tam giác nhọn ABC, D điểm cạnh AB (D A, D B), trung tuyến AM cắt CD E Chứng minh ^DBM + ^DEM =180o BC < AC x 1, y Tìm GTNN x y Câu V (1,0 điểm) Cho x, y số thực thỏa P x4 y4 (y 1)3 (x 1)3 - BÀI GIẢI MƠN TỐN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN LAM SƠN – THANH HÓA N 2012 – 2013 Câu I (2,0 điểm) 1 Cho a x ; b y ; c xy với số thự xy x y xy Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc 1 1 1 Ta có A = (x ) (y ) (xy ) (x )(y )(xy ) x y xy x y xy 1 1 1 x y x y 2 x y x y 2 =4 x y x y y x x y Câu II (2 điểm) Cho phương trình (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) = mx2 (1) (m tham số) Giả sử m nhận giá trị cho phương trình có nghiệm x1; x2; x3; x4 khác 1 1 Chứng minh biểu thức P không phụ thuộc vào m x1 x x x Ta có (1) (x – 1)(x – 6)(x – 2)(x – 3) = mx2 (x2 – 7x + 6)(x2 – 5x + 6) = mx2 6 x x m (do x = khơng thỏa (1)) Đặt t = x phương trình thành: x x x (t – 7)(t – 5) = m t – 12t + 35 – m =0 (2) (1) có nghiệm (2) có nghiệm, theo hệ thức Vi – et ta có: x x t1 x t1x (3) t1 t 12 x t x (4) t1.t 35 m x t x Vai trò x1; x2; x3; x4 P nên khơng tính tổng qt ta giả sử x1; x2 nghiệm (3) x3; x4 nghiệm (4), theo hệ thức Vi-et ta lại có: x3 x t x1 x t1 , x1x x3x 1 1 x1 x x x t1 t t1 t 12 2 x1 x x x x1x x3x 6 6 Câu III (2,0 điểm) n(2n 1) Tìm số nguyên dương n cho số phương 26 Nhận xét : số phươn gkho6ng thể chia cho dư (chứng minh dễ dàng) n(2n 1) Nếu = p2 n(2n – 1) = 26p2 (1) 26p2 chẵn 2n – lẻ n chẵn n = 2k 26 2k(4k – 1) = 26p2 k(4k – 1) = 13p2 (2) mà (k, 4k – 1) = k u k 13u 2 4k 13v 4k v k u Nếu 4k = 13v2 + = 12v2 + v2 + v2 + v2 chia dư (vô lý) 4k 13v k 13u Nếu 4k = v2 + v2 chia dư (vô lý) 4k v Vậy khơng có số n thỏa đề Do P Câu IV (3,0 điểm) Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi (I), (K) đường tròn nội tiếp ABH, ACH Đường thẳng KI cắt AB M, cắt AC N a) Chứng minh HI/HK = HB/HA A b) Chứng minh AM = AN a) Ta có ^ABH = ^HAC (cùng phụ ^BAH) N ^IBH = ^KAH (BI, AK phân giác K I ^ABH , ^HAC) M o mà ^IHB = ^KHA = 45 IHB ~ KAH H C B (g.g.) HI/HK = HB/HA (đpcm) b) Ta có AHB ~ CAB (g.g) HA/HB = CA/CB mà HI/HK = HB/HA HI/HK = AB/AC mà ^IHK = ^BAC = 90o IHK ~ BAC ^KIH = ^ABC = ^MBH tức giác IMBH nội tiếp ^AMN = ^BMI = 45o AMN vuông cân AM = AN (đpcm) Câu IV.2 Cho tam giác nhọn ABC, D điểm cạnh AB (D A, D B), trung tuyến AM cắt CD E Chứng minh ^DBM + ^DEM =180o A BC < AC Kẻ tia Ex cắt AC I cho ^AEI = ^ACB I (ln dựng ^AEC = ^DEM > 900, ^ACB 900, ^ACB