Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.[r]
(1)Gv: Phạm Dỗn Lê Bình lebinh234.name.vn
ĐỀ THI VÀO LỚP 10
KHỐI THPT CHUYÊN, ĐẠI HỌC VINH NĂM HỌC 2009 — 2010
Môn : Tốn chun Câu (2,5 điểm) Giải phương trình sau :
1) √3x + −√x − =√x; 2) x4− 3x3− 2x2+ 6x + = 0
Câu (2,5 điểm)
1) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x2+ y2− 13(x − y) =
2) Chứng minh với số nguyên tố lẻ p không tồn số nguyên dương m, n thỏa mãn
p = m2 +
1 n2
Câu (2 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z = 18 Chứng minh 2y + 3z +
1 + x +
3z + x + + 2y +
x + 2y + + 3z ≥
51 Dấu đẳng thức xảy ?
Câu (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O [ACB = 45o Kẻ các
đường cao AA0 BB0 Gọi H trực tâm tam giác ABC M N tương ứng trung điểm AB CH
1) Chứng minh A0M B0N hình vng 2) Chứng minh A0B0, M N, OH đồng quy
LÊ QUỐC HÁN (GV ĐH Vinh) giới thiệu
ĐÁP ÁN Câu 1) ĐK x ≥ Ta có PT cho tương đương với
3x + = 2x − + 2px(x − 7) ⇔ x + = 2√x2− 7x ⇔ 3x2− 44x − 64 = ⇔ x = 16(vì x ≥ 7).
2) Dễ thấy x = không nghiệm PT cho Xét x 6= 0, chia hai vế PT cho x2 ta được
x2+ x2 −
x −
x
− = ⇔
x − x
2 −
x −
x
+ =
Đặt t = x −
x, PT có dạng t
2− 3t + = ⇔ t = t = 1.
• Với t = x −
x = ⇔ x
2− 2x − = ⇔ x = +√3 x = −√3.
• Với t = x −
x = ⇔ x
2− x − = ⇔ x = −1 x = 2.
Tập nghiệm S = {−1; −√3; +√3; 2} Câu 1) Ta có PT cho tương đương với
(x + y)2+ (x − y)2− 2.13(x − y) + 132 = 169 ⇔ (x + y)2+ (13 − x + y)2 = 169 = 122+ 52.
Vì x, y số nguyên dương nên dễ thấy < x + y < 13; < 13 − x + y < 13 Suy x + y = 12
13 − x + y =
x + y =
(2)Gv: Phạm Doãn Lê Bình lebinh234.name.vn
Vậy PT cho có hai nghiệm nguyên dương (x; y) (3; 2) (10; 2)
2) Giả sử tồn số nguyên tố lẻ p cho p =
1 m2 +
1 n2 ⇔ m
2n2 = p(m2 + n2)
(1) Suy m2n2 p Do p số nguyên tố nên mn p, suy m p n p Kết hợp với (1) suy ra
m2+ n2 p Do m p n p ⇒ m ≥ p, n ≥ p Khi đó
p = m2 +
1 n2 ≤
1 p2 +
1 p2 =
2
p2 ⇒ p ≤
Mâu thuẫn với giả sử
Câu Đặt P = 2y + 3z + + x +
3z + x + + 2y +
x + 2y +
1 + 3z ⇒ P + = 24
1 + x +
1 + 2y +
1 + 3z
Áp dụng BĐT quen thuộc với số dương a
2
b + c2
d ≥
(a + c)2
b + d Đẳng thức xảy a
b = c
d, suy P + ≥ 24
4
2 + x + 2y + 1 + 3z
≥ 24 ·
3 + x + 2y + 3z = 72
7 Suy P ≥ 51
7 Đẳng thức xảy
1 + x = + 2y = + 3z x + 2y + 3z = 18 ⇔ (x; y; z) = (6; 3; 2) Câu
1) Ta có M A0 = M B0 =
2AB (1), N A
0
= N B0 =
2CH (2)
Mặt khác, [BAC = 45o nên ∆CAA0 ∆BA0H vng cân Suy ∆CA0H = ∆AA0B (c.g.c), CH = AB (3)
Lại có \N A0C = \N CA0 = \M AA0 = \M A0A nên \M A0N = \AA0C = 90o
(4)
Từ (1),(2),(3),(4) suy A0M B0N hình vng
2) Do O A0 thuộc đường trung trực cạnh AC nên A0O ⊥ AC ⇒ OA0//B0H Tương tự có OB0//A0H, suy A0HB0O hình bình hành Do A0B0, OH, M N cắt trung điểm đường
