đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn 1môn: toán chung.. Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đờng tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng c
Trang 1đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1)
môn: toán chung thời gian: 150' ( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" )
Bài I: (2 điểm )
Cho a, b,c là ba số khác nhau từng đôi một, c 0
Chứng minh rằng nếu các phơng trình: x 2 ax bc 0 và x 2 bx ca 0 có
đúng một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai của các phơng trình đó thỏa mãn phơng trình x 2 cx ab 0
Bài II: (2 điểm )
1 2 2 3 n n 1 , n N, n 1
Tìm tất cả các giá trị của n sao cho n 100 và S n có giá trị nguyên
Bài III: (2 điểm )
Giải phơng trình nghiệm nguyên: yz zx xy
3
x y z
Bài IV: ( 1 điểm )
Cho a > 0 , chứng minh
n so a
a a a a
1 4a 1
2
Bài V: ( 3 điểm )
Cho đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm tại D, E, F Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đờng tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF
đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn
môn toán chung ( Gồm 2 tờ ) Bài I: 2 điểm ( Mỗi mục tơng ứng cho 0,5 điểm )
Ta gọi x 0là nghiệm chung của hai phơng trình: x 2 ax bc 0 , 1 và
2
x bx ca 0 , 2 Và x1, x2lần lợt là các nghiệm thứ hai của 1 và 2 , với
1 2
x x Khi đó ta có:
2
2
x ax bc 0
x bx ac 0
Trang 2 x a b 0 c a b 0 a b x 0 c 0, a b x 0 c
Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho 1 và 2 ta có:
0 1
0 2
x x b.c
x x a.c
2
x b
x c 0
x a
x1 x2 a b, 3
0 2
, x0 c 2c x 1 x2 a b, 4
Kết hợp 4 với 3 ta đợc c a b Nh vậy ta có:x1 x2 c và x x1 2 a.b
x1vàx 2 là nghiệm của phơng trình x 2 cx ab 0 đpcm
Bài II: 2điểm ( Mỗi phần tơng ứng cho 0,5 điểm )
k 1 k
Suy ra S n = 2 1 3 2 n n 1 n 1 n = n 1 1
Sn nhận giá trị nguyên , khi n 1 là một số chính phơng Dạng n k 2 1
Kết hợp với điều kiện n N,1 n 100 , suy ra tập các giá trị của n thỏa mãn các yêu cầu của bài toán là: 3,8,15, 24,35, 48,63,80,99
Bài III: 2điểm ( Mỗi mục tơng ứng cho 1,0 điểm )
Với điều kiện: xyz 0
Ta có:yz zx xy
3
x y z , 1 2x y2 2 2y z2 2 2z x2 2 6xyz , 2
x y 2 2 2x yz x z 2 2 2 x z 2 2 2xyz 2 y z 2 2 y z 2 2 2xy z x y 2 2 2
6xyz 2x yz 2xy z 2xyz 2 2 2
xy xz 2 xz yz 2 yz xy 2 2xyz 1 x 1 y 1 z , 3
Nhận xét: Từ 2 xyz 0 , vì vậy 3 3 x y z 0 Phơng trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do xyz 0 suy ra các nghiệm nguyên của
ph-ơng trình 1 là:x, y, z 1,1,1 , 1, 1,1 , 1, 1, 1 , 1,1, 1
Bài IV: 1điểm ( Mỗi mục tơng ứng cho 0,5 điểm )
Ký hiệu: xn =
n so a
a a a a
, ta có xn > 0 với n 1
Ta chứng minh xn-1< xn với n > 1
+ Ta có: a < a a x1< x2
+ Giả sử với n = k - 1 > 0, ta có xk-1< xk Khi đó : x2k 1 a xk a xk 1 x2k
xk+1> xk Theo nguyên lý quy nạp suy ra: xn-1< xn
Trang 3 x2k a xk 1 a xk 2n n n 1 4a 1 n 1 4a 1
n
x
n so a
a a a a
1 4a 1
2
đpcm
Bài V: 3điểm ( Mỗi mục tơng ứng cho 1,0 điểm )
Bổ đề: Khoảng cách từ một điểm trên đờng tròn đến đờng thẳng qua
hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với đờng tròn là trung bình nhân khoảng
cách từ điểm ấy đến 2 tiếp tuyến
Hạ các đờng vuông góc MK, MH, ML xuống các tiếp tuyến AB, AC và dây EF
MEN MFH
( chắn cung MF)
MFN MEK
( - ME)
Suy ra các tam giác MEN và MFH , MFN và MEK đồng dạng Từ đó
MK ME MN
2
đề đợc chứng minh
áp dụng (1), gọi a, b, c, d, e, f lần lợt
là khoảng cách từ M đến các đờng thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE của các tam giác ABC và DEF ta đợc: 2
d b.c, e2 c.a, f2 a.b Nhân vế với vế của ba đẳng thức, suy ra điều phải chứng minh
C
O
F
M
H N K