CD22 bất ĐẲNG THỨC và cực TRỊ HÌNH học 130 139

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

Phát triển tư Hình học Chuyên đề 22 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC A Kiến thức cần nhớ  Để chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc khơng ta có thể: Dùng quan hệ góc cạnh đối diện tam giác (h22.1) ABC � C � AC  AB � B Suy tam giác tù (hoặc tam giác vng) cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vng) cạnh lớn Dùng quan hệ góc cạnh đối diện hai tam giác có hai cặp cạnh (h.22.2) Hình 22.1 ABC A ' B ' C ' có: AB  A ' B '; AC  A ' C ' � � Khi BC  B ' C ' � A  A ' Hình 22.2 Dùng quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu  AH  a; B, M �a (h.22.3) Khi đó: AM �AH (dấu “=” xảy  M H ) AM �۳ AB HM HB Hình 22.3 Dùng bất đẳng thức tam giác (h.22.4) ABC : bc  a  bc Hình 22.4 Mở rộng: Với ba điểm A, B, C có AB �AC  BC (dấu “=” xảy � C thuộc đoạn thẳng AB )  Tìm giá trị lớn độ dài đoạn thẳng AB thay đổi Ta phải chứng minh AB �a (số a không đổi) rõ dấu “=” xảy Khi giá trị lớn độ dài AB a Ta viết max AB  a “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học  Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB thay đổi Ta phải chứng minh AB �b (số b không đổi) rõ dấu “=” xảy Khi giá trị nhỏ độ dài AB b Ta viết AB  b B Một số ví dụ: � � Ví dụ Tam giác ABC có C  B Vẽ đường trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D Chứng minh AB  CD  AC  BD Giải (h.22.5) - Tìm cách giải: Để chứng minh AB  CD  AC  BD ta chứng minh AB  AC CD  BD Sau cộng vế hai bất đẳng thức - Trình bày lời giải: � � Tam giác ABC có CAB  ABC suy AB  AC (1) Xét AMB AMC có: MB  MC , AM chung, AMB  � AMC AB  AC nên � � � Suy CMD  BMD Xét CMD BMD có MB  MC , MD chung, nên CD  BD (2) Hình 22.5 Từ (1) (2), suy AB  CD  AC  BD  Nhận xét: Nếu a  b c  d a  c  b  d Ví dụ 2: Cho tam giác �  900 ABC có B Gọi O trung điểm BC Vẽ BD  AO; CE  AO ( D, E thuộc đường thẳng AO ) Chứng minh Giải (h.22.6) - Tìm cách giải: Ta có AB  AB  AD  AE AD  AE � AB  AD  AE Để chứng minh 2AB  AD  AE ta biểu diễn AB theo hai cách khác dùng tính chất cộng vế hai bất đẳng thức chiều có 2AB Hình 22.6 - Trình bày lời giải: Ta có BOD  COE (cạnh huyền – góc nhọn) � OD  OE o � Xét tam giác AOB có B �90 nên OA cạnh lớn nhất, AB  OA (*) Suy AB  AD  OD (1) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Từ (*) ta AB  AE  OE (2) Từ (1) (2) suy 2AB  AD  AE (vì OD  OE ) AD  AE AB  Vậy Ví dụ Cho đoạn thẳng AB trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Lấy o � điểm E �Ax , điểm F �By cho EOF  90 Đặt � AOE  mo Xác định giá trị m để EF có độ dài ngắn Giải (.22.7) *Tìm cách giải Vẽ EH  By Dễ thấy AF ≥ IH = AB (không đổi) Ta cần tìm giá trị m để dấu “=” xảy Khi minEF = AB *Trình bày lời giải Vẽ EH  By Theo tính chất đoạn chắn song song ta EH = AB AE = BH Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có AF ≥ IH EF ≥ AB Dấu “=” xảy F AE = BF � � � � AOE  BOF = 45� (vì AOE  BOF  90�) � Vậy EF có độ dài ngắn (bằng độ dài AB) AOE  45�, tức m = 45 Ví dụ Cho góc nhọn xOy điểm A góc Xác định điểm M tia Ox, điểm N tia Oy cho OM = ON Tổng AM + AN nhỏ giải(h.22.8) *Tìm cách giải “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Xét điểm A, M, N ta có AM + AN ≥ MN độ dài MN lại thay đổi Do khơng thể kết luận Tổng AM + AN có giá trị nhỏ độ dài MN Ta phải thay Tổng AM + AN tổng hai đoạn thẳng có tổng lớn độ dài đoạn thẳng cố định Muốn ta cần vẽ thêm hình phụ để tạo thêm điểm E cố định *Trình bày lời giải � � Trên nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa A Vẽ tia Ot cho yOt  AOx Trên tia Ot lấy điểm E cho OE = OA Như hai điểm A E cố định đoạn thẳng AE có độ dài khơng đổi Ta có VAOM VEON (c.g.c) AM = EN Do AM + AN = EN + AN Gọi F giao điểm AE với tia Oy Xét ba điểm N, A, E ta có: EN + AN ≥ AE (dấu “=” xảy tương đương N trùng F) Vậy AM + AN = AE N F Điểm M Ox cho OM = ON C Bài tập vận dụng  Quan hệ cạnh góc đối diện tam giác 22.1 Cho tam giác ABC, Chứng minh 22.2 Cho tam giác ABC, AB < AC Vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF Gọi D trung điểm BC Chứng minh DE < DF 22.3 Cho tam giác ABC, AB = Chứng minh 22.4 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh AM > góc A nhọn 22.5 Cho tam giác ABC điểm D nằm tam giác Chứng minh điểm A, B, C, D tồn điểm ba đỉnh tam giác có góc lớn  Quan hệ đường vng góc đường xiên 22.6 Cho điểm A nằm đường thẳng a lấy điểm B a Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng a C Xác định vị trí điểm B để BC có độ dài nhỏ 22.7 Cho tam giác ABC cân A, BC = a Gọi O điểm đáy BC Qua O vẽ đường thẳng song song với hai cạnh bên, cắt AB AC M N Tìm độ dài nhỏ MN 22.8 Cho tam giác ABC cạnh dài 4cm Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = CE Tính độ dài nhỏ DE 22.9 Cho tam giác ABC, AC = 52cm Điểm M nằm B C Tính giá trị lớn tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 22.10 Chứng minh tam giác có góc tổng hai cạnh kề góc 2a tam giác cân có góc đỉnh α tam giác có chu vi nhỏ  Bất đẳng thức tam giác 22.11 Cho tam giác ABC Gọi xy đường phân giác gosc ngồi đỉnh C Tìm xy điểm M cho tổng MA + MB ngắn 22.12 Cho tam giác ABC có AM = 12, AC = 16 Gọi M điểm mặt phẳng Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 7MA + 3MB + 4MC 22.13 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh tổng HA + HB + HC nhỏ chu vi tam giác ABC 22.14 Cho tam giác ABC vuông cân A, AB = a Tìm điểm M cho tam giác MAC cân M, đồng thời tổng MA + MB nhỏ Tìm giá trị nhỏ 22.15 Cho đường thẳng xy tam giác ABC có cạnh AB nằm nửa mawjt phẳng bờ xy đỉnh C di động xy Biết AB = 13cm, khoảng cách từ A B đến xy 2cm 7cm Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC 22.16 Một hộp gỗ hình lập phương cạnh dài 20cm Đáy ABCD đặt áp sát mặt bàn Nắp hộp A’B’C’D’ mở dựng đứng lên (h.22.9) Một kiến đỉnh A muốn bò tới đỉnh C’ cách vượt qua cạnh A’B’ phải bò quảng đường ngắn bao nhiêu? Hình 22.9 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page ...Phát triển tư Hình học  Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB thay đổi Ta phải chứng minh AB �b (số b không đổi) rõ dấu “=” xảy Khi giá trị nhỏ độ dài AB b Ta viết AB  b... minh 2AB  AD  AE ta biểu diễn AB theo hai cách khác dùng tính chất cộng vế hai bất đẳng thức chiều có 2AB Hình 22.6 - Trình bày lời giải: Ta có BOD  COE (cạnh huyền – góc nhọn) � OD  OE...  Bất đẳng thức tam giác 22.11 Cho tam giác ABC Gọi xy đường phân giác gosc đỉnh C Tìm xy điểm M cho tổng MA + MB ngắn 22.12 Cho tam giác ABC có AM = 12, AC = 16 Gọi M điểm mặt phẳng Tìm giá trị