BẤT ĐĂNG THỨC CHUYÊN đề bất ĐẲNG THỨC (lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải) file word

HTTP://DETHITHPT.COM LỚP 10 Chương IV Bài BẤT ĐẲNG THỨC BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM TÀI LIỆU LỚP 10 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mục lục A TÓM TẮT LÝ THUYẾT .2 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN .3 Phương pháp giải Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Bài tập luyện tập DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 14 Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi .14 Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp 18 Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa 25 Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu 28 Bài tập luyện tập .30 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 47 DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ 57 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP 68 TỔNG HỢP LẦN 68 TỔNG HỢP LẦN 74 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 BẤT ĐẲNG THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Cho a, b hai số thực Các mệnh đề " a> b", " a< b", " a³ b", " a£ b" gọi bất đẳng thức •Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức đúng(mệnh đề đúng) •Với A , B mệnh đề biến " A > B" mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến " A > B" với tất giá trị biến(thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A > B mà khơng nêu điều kiện http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực Tính chất : * a> b b> c Þ a> c * a> b Û a+ c > b+ c * a> b c > d Þ a+ c> b+ d * Nếu c> a> b Û ac> bc Nếu c< a> b Û ac < bc * a> b³ Þ a> b * a³ b³ Û a2 ³ b2 * a> b³ Þ an > bn Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối * - a £ a£ a với số thực a * x < a Û - a< x < a ( Với a> 0) éx > a * x > aÛ ê êx 0) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số khơng âm Cho a³ 0, b³ , ta có a+ b ³ ab Dấu '=' xảy a= b Hệ : * Hai số dương có tổng khơng đổi tích lớn hai số * Hai số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số b) Đối với ba số không âm Cho a³ 0, b³ 0, c ³ 0, ta có a+ b+ c ³ 3 abc Dấu '=' xảy a= b= c B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN Phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta sử dụng cách sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta chứng minh A - B ³ Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng tích biểu thức không âm Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh Các ví dụ minh họa Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức Ví dụ : Cho hai số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau ỉa+ bư ÷ b) abÊ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ứ ố a2 + b2 a) ab£ c) 3( a2 + b2 + c2 ) ³ ( a+ b+ c) 2 d) ( a+ b+ c) ³ 3( ab+ bc+ ca) Lời giải: a) Ta có a2 + b2 - 2ab= (a- b)2 ³ Þ a2 + b2 ³ 2ab Đẳng thức Û a= b ỉa+ bư ÷ b) Bt ng thc tng ng vi ỗ ữ - ab ỗ ỗ ữ ố ứ a2 + 2ab+ b2 ³ 4ab Û ( a- b) ³ (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy Û a= b 2 2 2 c) BĐT tương đương 3( a + b + c ) ³ a + b + c + 2ab+ 2bc+ 2ca 2 Û ( a- b) +( b- c) +( c- a) ³ (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy Û a= b= c 2 d) BĐT tương đương a + b + c + 2ab+ 2bc+ 2ca³ 3( ab+ bc+ ca) Û 2( a2 + b2 + c2 ) - 2( ab+ bc+ ca) ³ Û ( a- b) +( b- c) +( c- a) ³ (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy Û a= b= c Nhận xét: Các BĐT vận dụng nhiều, xem "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác Ví dụ : Cho năm số thực a, b,c,d, e Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b+ c+ d+ e) Lời giải: Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b+ c+ d+ e) = =( a2 a2 a2 a2 - ab+ b2 ) + ( - ac+ c2 ) + ( - ad+ d2 ) + ( - ae+ e2 ) 4 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d)2 + ( - e)2 ³ Þ đpcm 2 2 a Đẳng thức xảy Û b= c = d = e= Ví dụ : Cho ab³ Chứng minh : 1 + ³ a + b + 1+ ab Lời giải: Ta có 1 1 + =( ) +( ) a + b + 1+ ab a + 1+ ab b + 1+ ab ab- a2 ab- b2 a- b b a a- b b- a+ a2b- b2a = + = ( )= 1+ ab (1+ b2 )(1+ a2) (a + 1)(1+ ab) (b2 + 1)(1+ ab) 1+ ab 1+ b2 1+ a2 = a- b (a- b)(ab- 1) (a- b)2(ab- 1) = ³ (Do ab³ 1) 1+ ab (1+ b2 )(1+ a2 ) (1+ ab)(1+ b2 )(1+ a2 ) Nhận xét : Nếu - 1< b£ BĐT có chiều ngược lại : 1 + £ a + b + 1+ ab Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh a) x4 + 3³ 4x b) x4 + 5> x2 + 4x c) x12 + x4 + 1> x9 + x Lời giải: a) Bất đẳng thức tương đương với x4 - 4x + 3³ Û ( x- 1) ( x3 + x2 + x- 3) ³ Û ( x- 1) (x + 2x + 3) ³ 2é ù Û ( x- 1) ê( x + 1) + 1ú³ (đúng với số thực x ) ë û Đẳng thức xảy x= b) Bất đẳng thức tương đương với x4 - x2 - 4x + 5> Û x4 - 2x2 + 1+ x2 - 4x + 4> Û ( x2 - 1) +( x- 2) > 2 Ta có ( x2 - 1) ³ 0,( x- 2) ³ Þ ( x2 - 1) +( x- 2) ³ 2 ìï x2 - 1= Đẳng thức xảy ïí (khơng xảy ra) ïï x- = ỵ Suy ( x2 - 1) +( x- 2) > ĐPCM c) Bất đẳng thức tương đương với x12 - x9 + x4 - x + 1> http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 12 12 + Với x< : Ta có x - x + x - x + 1= x + x ( 1- x ) +( 1- x) Vì x< nên 1- x > 0, 1- x5 > x12 - x9 + x4 - x + 1> 12 9 3 + Với x³ : Ta có x - x + x - x + 1= x ( x - 1) + x( x - 1) + Vì x³ nên x3 - 1³ x12 - x9 + x4 - x + 1> Vậy ta có x12 + x4 + 1> x9 + x Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực Chứng minh a) a4 + b4 - 4ab+ 2³ b) 2( a4 + 1) +( b2 + 1) ³ 2( ab+ 1) ( ) 2 2 c) 3( a + b ) - ab+ ³ a b + 1+ b a + Lời giải: 4 2 2 a) BĐT tương đương với ( a + b - 2a b ) +( 2a b - 4ab+ 2) ³ Û ( a2 - b2) + 2( ab- 1) ³ (đúng) Đẳng thức xảy a= b= ±1 4 2 b) BĐT tương đương với 2( a + 1) +( b + 2b + 1) - 2( a b + 2ab+ 1) ³ Û ( a4 + b4 - 2a2b2 ) +( 2a2 - 4ab+ 2b2 ) +( a4 - 4a2 + 1) ³ Û (a2 - b2 )2 + 2(a- b)2 + (a2 - 1)2 ³ (đúng) Đẳng thức xảy a= b= ±1 ( ) 2 2 c) BĐT tương đương với 6( a + b ) - 2ab+ 8- a b + 1+ b a + ³ ù é2 ù 2 2 2 Û é êa - 4a b + 1+ 4( b + 1) ú+ êb - 4b a + 1+ 4( a + 1) ú+( a - 2ab+ b ) ³ ë û ë û ( ) ( ) 2 Û a- b2 + + b- a2 + +( a- b) ³ (đúng) Đẳng thức không xảy Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ³ y Chứng minh rằng; a) 4( x3 - y3) ³ ( x- y) b) x3 - 3x + ³ y3 - 3y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Bất đẳng thức tương đương 4( x- y) ( x2 + xy + y2) - ( x- y) ³ 2ù é Û ( x- y) ê4( x2 + xy + y2) - ( x- y) ú³ Û ( x- y) é 3x2 + 3xy + y2 ù ê ú³ ë û ë û éỉ 3y2 ù ú³ ữ ỗx + ữ+ 3( x- y) (ỳng vi x y ) PCM ờỗ ỳ ữ ữ ỗ ố ứ ỳ ỷ Đẳng thức xảy x = y b) Bất đẳng thức tương đương x3 - y3 ³ 3x- 3y - Theo câu a) ta có x3 - y3 ³ ( x- y) , ta cần chứng minh ( x- y) ³ 3x- 3y- (*), Thật vậy, BĐT (*) Û ( x- y) - 12( x- y) + 16³ é ù Û ( x- y - 2) ê( x- y) + 2( x- y) - 8ú³ ë û Û ( x- y - 2) ( x- y + 4) ³ (đúng với x ³ y ) Đẳng thức xảy không xảy Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại thường cho lời giải không tự nhiên ta thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh sau thng dựng ự aẻ ộ ởa ; bỷị ( a- a ) ( a- b) £ ( *) ự a, b,c ẻ ộ ởa ; bỷị ( a- a ) ( b- a ) ( c- a ) +( b - a) ( b - b) ( b - c) ³ 0( **) Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a2 + b2 + c2 < 2(ab+ bc+ ca) Lời giải: Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a+ b> c Þ ac+ bc > c2 Tương tự bc+ ba> b2 ; ca+ cb> c2 cộng ba BĐT lại với ta có đpcm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Nhận xét : * Ở toán ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT | a- b|< c bình phương hai vế ta có kết Ví dụ : Cho a, b,cỴ [0;1] Chứng minh : a2 + b2 + c2 £ 1+ a2b+ b2c+ c2a Lời gii: Cỏch 1: Vỡ a, b, c ẻ [0;1] ị (1- a2 )(1- b2 )(1- c2 ) ³ Û 1+ a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2b2c2 ³ a2 + b2 + c2 (*) Ta có : a2b2c2 ³ 0; a2b2 + b2c2 + c2a2 £ a2b+ b2c+ c2a nên từ (*) ta suy a2 + b2 + c2 £ 1+ a2b2 + b2c2 + c2a2 £ 1+ a2b+ b2c+ c2a đpcm Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a2 ( 1- b) + b2 ( 1- c) + c2 ( 1- a) £ 2 ù Mà a, b, c Ỵ é ë0;1û Þ a £ a,b £ b,c £ c a2 ( 1- b) + b2 ( 1- c) + c2 ( 1- a) £ a( 1- b) + b( 1- c) + c( 1- a) Ta cần chứng minh a( 1- b) + b( 1- c) + c( 1- a) £ ù Thật vậy: a, b, c Ỵ é ë0;1û nên theo nhận xét ( **) ta có abc+( 1- a) ( 1- b) ( 1- c) ³ Û a+ b+ c- ( ab+ bc+ ca) £ Û a( 1- b) + b( 1- c) + c( 1- a) £ BĐT ban đầu chứng minh Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = Chứng minh : 2(1+ a+ b+ c+ ab+ bc+ ca) + abc ³ Lời giải: Vỡ a2 + b2 + c2 = 1ị a,b,c ẻ [- 1;1] nên ta có : (1+ a)(1+ b)(1+ c) ³ Û 1+ a+ b+ c+ ab+ bc+ ca+ abc ³ (*) (1+ a+ b+ c)2 Mặt khác : ³ Û 1+ a+ b+ c+ ab+ bc+ ca³ (**) Cộng (*) (**) ta có đpcm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ 10: Chứng minh a³ 4, b³ 5,c ³ a2 + b2 + c2 = 90 a+ b+ c ³ 16 Lời giải: Từ giả thiết ta suy a< 9, b< 8,c £ áp dụng ( *) ta có ( a- 4) ( a- 9) £ 0,( b- 5) ( b- 8) £ 0,( c- 6) ( c- 7) £ nhân cộng BĐT chiều lại ta được: a2 + b2 + c2 - 13(a+ b+ c) + 118£ suy a+ b+ c ³ a + b2 + c2 + 118) = 16 a2 + b2 + c2 = 90 ( 13 a+ b+ c ³ 16 dấu “=” xảy a= 4,b= 5,c = ù Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc é ë- 1;1û không đồng thời không Chứng minh a4b2 + b4c2 + c4a2 + ³ a2012 + b2012 + c2012 Lời giải: 2 ù Vì ba số a, b, c thuộc é ë- 1;1û nên £ a ,b ,c £ Suy (1- b2 )(1+ b2 - a4 ) ³ Û a4 + b4 - a4b2 £ (*) ù Mặt khác a4 ³ a2012 ,b4 ³ b2012 với a, b thuộc é ë- 1;1û Suy a4 + b4 - a4b2 ³ a2012 + b2012 - a4b2 (**) Từ (*) (**) ta có a2012 + b2012 £ a4b2 + hay Tương tự ta có b4c2 + a2012 + c4a2 + b2012 + ³ ³ a2012 + b2012 + c2012 a2012 + b2012 + c2012 Cộng vế với ta Hay a4b2 + c2012 + ³ a2012 + b2012 + c2012 a4b2 + b4c2 + c4a2 + a2012 + b2012 + c2012 + ³ a2012 + b2012 + c2012 a4b2 + b4c2 + c4a2 + ³ ĐPCM a2012 + b2012 + c2012 Bài tập luyện tập Bài 4.0 Cho số thực a, b, c số thực Khẳng định sau http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) A a+ b+ c ³ ab + bc + ca B 2a+ 2b+ 2c ³ C a+ b+ c ³ ab + bc + ca D a+ b+ c ³ A a2 + b2 + 1³ ab+ 3a+ 2b B a2 + b2 + 1³ ab+ a+ b C a2 + b2 + 1³ 2ab+ a+ b D a2 + b2 + 1³ ab+ a+ b A a2 + b2 + c2 + ³ 2(a+ b+ c) B a2 + b2 + c2 + 3³ 2(a+ b+ c) C 2a2 + 2b2 + 2c2 + 3³ 2(a+ b+ c) D A a2 + b2 + c2 ³ 3(ab+ bc- ca) B a2 + b2 + c2 ³ C a2 + b2 + c2 ³ D a2 + b2 + c2 ³ 2(ab+ bc- ca) ab + bc + ca ab + bc + ca b) c) 2 a + b + c + 3³ 2(a+ b+ c) 2 d) 2(ab+ bc- ca) (ab+ bc- ca) Lời giải: Bài 4.0: a) BĐT Û ( a- b) +( b- c) +( c - a) ³ b) BĐT⇔(a- b)2 + (a- 1)2 + (b- 1)2 ³ c) BĐT ⇔(a- 1)2 + (b- 1)2 + (c- 1)2 ³ d) BĐT⇔(a- b+ c)2 ³ Bài 4.1: Cho a, b,c,d số dương Khẳng định sau nhất? a) A a a+ c a < với > b b+ c b B a a- c a < với < b b- c b C a a+ c a < với < b b+ c b D a a+ c a < với = b b+ c b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 10 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Áp dụng BĐT (*) ta có 1 9 + + ³ = đpcm a+ b+ c+ a+ b+ c+ Đẳng thức xảy Û a= b= c = b) Áp dụng BĐT (*) ta có : 1 + + ³ ab bc ca ab+ bc+ ca 1 1 + + + ³ + 2 2 ab bc ca a + b + c ab+ bc+ ca a +b +c Þ = 1 + + + 2 ab+ bc+ ca ab+ bc+ ca ab+ bc+ ca a +b +c Mặt khác : ab+ bc+ ca£ 1 (a+ b+ c)2 = Þ ³ 21 3 ab+ bc+ ca 1 + + ³ =9 2 2 ab+ bc+ ca ab+ bc+ ca a + b + c + 2(ab+ bc+ ca) a +b +c Suy : 1 1 + + + ³ 9+ 21= 30 đpcm 2 ab bc ca a +b +c Đẳng thức xảy Û a= b= c = 3 ù Ví dụ 7: Cho a, b, c số thuộc é ë0;1û thỏa mãn 4a4 + + 4b4 + + 4c4 + = Tìm giá trị lớn P = ab2c3 Lời giải: Ta chứng minh bất đẳng thức sau Với x, y thuộc [0,1] , ta ln có 1 + £ 2 (*) 4x + 4y + 4x y + Thật vậy, BĐT (*) Û ( 2x4 + 2y4 + 5) ( 4x2y2 + 5) £ ( 4x4 + 5) ( 4y4 + 5) Û 8x4y4 - 10x2y2 +( x4 + y4 ) ( 5- 4x2y2 ) ³ Û (5- 4x2y2 )(x2 - y2 )2 ³ (đúng với x, y Ỵ [0,1] ) Dấu xảy x = y Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 + £ 2 , + £ 2 4a + 4c + 4a c + 4b + 4c + 4b c + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 62 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy 1 2 + + £ 2 + 2 £ (1) 4a + 4b + 4c + 4a c + 4b c + 4abc2 + 1 + £ Và 4b + b , +5 1 + £ c +5 c 1 + + £ Suy 4b + 4c + b + 2 +5 +5 c £ +5 4 bc + (2) 4 + £ Ta lại có 4abc + bc + (3) ab2c3 +5 2 + + + £ Từ (1), (2) (3) ta có 4a + 4b + 4c + 8 Kết hợp giả thiết suy ab2c3 ³ +5 +5 Þ ab2c3 £ Dấu xảy a= b= c = Vậy max P = ab2c3 1 a= b= c = 16 Bài tập luyện tập Bài 4.50: Cho a, b, x, y ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 + x2 + b2 + y2 ³ (a+ b)2 + (x + y)2 (1) Lời giải: Bình phương vế ta được: (1) ⇔ (a2 + b2 )(x2 + y2 ) ³ ab+ xy (*) • Nếu ab+ xy < (*) hiển nhiên • Nếu ab+ xy ³ bình phương vế ta được: (*) ⇔ (bx- ay)2 ³ (đúng) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) Cho a, b ≥ thoả a+ b= Giá trị nhỏ P = 1+ a2 + 1+ b2 A B.1 C.3 D.4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 63 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A 17 B 17 a2 + 1 + b2 + b a C.1 D.54 c) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P = x2 + 1 + y2 + + z2 + x y z A 82 B 12 C.1 D.4 d) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 223+ x2 + 223+ y2 + 223+ z2 A 2010 B.2010 C.232 D.12 Lời giải: Bài 4.50: Bình phương vế ta được: (1) ⇔ (a2 + b2 )(x2 + y2 ) ³ ab+ xy (*) • Nếu ab+ xy < (*) hiển nhiên • Nếu ab+ xy ³ bình phương vế ta được: (*) ⇔ (bx- ay)2 ³ (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có: b) Sử dụng (1) P ≥ Chú ý: 1+ a2 + 1+ b2 ³ ổ 1ử ữ (a+ b) +ỗ ữ ỗ ữ ça + bø è (1+ 1)2 + (a+ b)2 = ổ4 ữ (a+ b) +ỗ ữ ỗ ữ = 17 ỗ ốa+ bứ 1 + ³ (với a, b > 0) a b a+ b c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: 1 x + + y2 + + z2 + ³ x y z 2 ỉ1 1ư (x + y + z) +ỗ ữ ỗ + + ữ ữ ữ ỗ èx y zø ≥ ỉ ÷ (x + y + z) +ỗ = 82 ữ ç ÷ ÷ ç x + y + z è ø Chú ý: 1 + + ³ (với x, y, z > 0) x y z x+ y+ z http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 64 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word d) Tương tự câu c) Ta có: P ≥ (3 223) + (x + y + z)2 = 2010 Bài 4.51: Cho a, b dương Chứng minh 1 + ³ (1) a b a+ b Áp dụng chứng minh BĐT sau: a) æ1 1 1 ữ + + 2ỗ + + ữ; vi a, b, c > ỗ ỗ ố ứ a b c a+ b b+ c c+ a÷ b) ỉ 1 1 ÷ + + 2ỗ + + ữ ỗ ữ; vi a, b, c > ỗ ố2a+ b+ c a+ 2b+ c a+ b+ 2cø a+ b b+ c c+ a c) Cho a, b, c > thoả 1 + + = Chứng minh: a b c 1 + + £1 2a+ b+ c a+ 2b+ c a+ b+ 2c d) ab bc ca a+ b+ c + + £ ; với a, b, c > a+ b b+ c c+ a e) Cho x, y, z dương thoả mãn x + 2y + 4z = 12 Chứng minh: 2xy 8yz 4xz + + £ x + 2y 2y + 4z 4z + x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: æ 1 1 1ử + + 2ỗ + + ữ ữ ç ÷ ç è p- a p- b p- c a b cø Lời giải: Bài 4.51: a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 1 1 1 + ³ ; + ³ ; + ³ a b a+ b b c b+ c c a c+ a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) c) Áp dụng a) b) ta được: d) Theo (1): ỉ 1 1 ÷ + + 4ỗ + + ữ ỗ ữ ỗ ố2a+ b+ c a+ 2b+ c a+ b+ 2cø a b c ab 1 1ỉ 1ư £ (a+ b) Ê ỗ + ữ ữ ỗ ữ ỗ è ø a+ b a+ b a b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a= x, b= 2y, c = 4z a+ b+ c = 12 ⇒ đpcm f) Nhận xét: ( p – a) +( p – b) = 2p – ( a+ b) = c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 65 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Áp dụng (1) ta được: 1 4 + ³ = p- a p- b (p- a) + (p- b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Bài 4.52: Cho a, b, c số dương Chứng minh 1 + + ³ (1) a b c a+ b+ c Áp dụng chứng minh BĐT sau: æ1 1 ö 2 ÷ + + ³ (a+ b+ c) với a, b, c dương ÷ a) (a + b + c )ỗ ỗ ữ ỗ ốa+ b b+ c c+ aø b) a b c + + £ Với a, b, c dương thoả a+ b+ c = a+ b+ c+ c) 1 + + ³ Với a, b, c dương thỏa mãn a+ b+ c £ a + 2bc b + 2ac c + 2ab d) 2009 + ³ 670 Với a, b, c dương thỏa mãn a+ b+ c = 2 ab+ bc+ ca a +b +c 2 Lời giải: ỉ 1 1ư Bài 4.52: Ta cú: (1) (a+ b+ c)ỗ + + ữ ữ ỗ ữ D dng suy t BT Cụsi ỗ ốa b a) p dng (1) ta được: ⇒ VT ≥ 1 + + ³ a+ b b+ c c+ a 2(a+ b+ c) 9(a2 + b2 + c2 ) 3(a2 + b2 + c2 ) = ³ (a+ b+ c) 2(a+ b+ c) a+ b+ c Chú ý: (a+ b+ c)2 £ 3(a2 + b2 + c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: P= æ1 x + 1- y + 1- z + 1- 1 ö ữ + + + + ữ = 3- ỗ ỗ ữ ỗ ữ x +1 y +1 z +1 ốx + y + z + 1ø Ta có: 1 9 + + ³ = Suy ra: P ≤ 3- = x +1 y +1 z +1 x + y + z + 4 c) Ta có: P ≥ 9 = ³ a + 2bc+ b + 2ca+ c + 2ab (a+ b+ c)2 2 d) Ta có 1 9 + + ³ = ³ 2 2 ab+ bc+ ca ab+ bc+ ca a + b + c + 2( ab+ bc+ ca) ( a+ b+ c) a +b +c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 66 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2007 3.2007 ³ 669 3( ab+ bc+ ca) £ ( a+ b+ c)   nên ab+ bc+ ca ³ ( a+ b+ c) Đẳng thức xảy a= b= c = Bài 4.53: Cho a, b,c³ abc= Chứng minh : ab bc ca + + £ 5 a + b + ab b + c + bc c + a5 + ac Lời giải: Bài 4.53: Ta có : a5 + b5 ³ a3b2 + b3a2 = a2b2(a+ b) Þ a5 + b5 + ab³ ab Þ ab £ a + b5 + ab Tương tự : a+ b+ c c ab c = a+ b+ c a+ b+ c ab c bc a ca b £ ; £ 5 b + c + bc a+ b+ c c + a + ac a+ b+ c Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Bài 4.54: Cho ba số thực không âm a, b, c khơng có hai số đồng thời khơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A P = a b c ab+ bc+ ca + + + 2 b+ c c+ a a+ b a + b2 + c2 C P = B P = D P = 12 Lời giải: Trước tiên, ta chứng minh kết sau: a b c a2 + b2 + c2 + + ³ (1) b+ c c+ a a+ b ab+ bc+ ca Nhân hai vế (1) với ab+ bc+ ca , để ý a a é ù= a2 + abc (ab+ bc+ ca) = a ( b + c ) + bc û b+ c b+ c ë b+ c Dễ thấy đó, (1) trở thành a + abc abc abc + b2 + + c2 + ³ a2 + b2 + c2 b+ c c+ a a+ b ỉ1 1 ÷ + + ÷³ (hiển nhiên đúng) Điều phải chứng minh Hay abcỗ ỗ ỗ ữ ốb+ c c+ a a+ bø * Quay trở lại toán, sử dụng kết trên, ta suy P³ a2 + b2 + c2 ab+ bc+ ca a2 + b2 + c2 , với + 2 = t + t = ab+ bc+ ca t a + b2 + c2 ab+ bc+ ca http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 67 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Với cách đặt trên, dễ dàng suy t ³ Vậy ta tìm giá trị nhỏ f (t) = t2 + với t ³ t Áp dụng BĐT cơsi ta có f (t) = t2 + 2 + 2 ³ 33 t2 2 2 = t t t t Đẳng thức xảy t = hay a= b> 0, c = hoán vị tương ứng Vậy P = a= b> 0, c = hoán vị tương ứng C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP TỔNG HỢP LẦN Bài Nếu a> b c > d bất đẳng thức sau đúng? A ac> bd B a- c> b- d C a- d> b- c D - ac >- bd Bài Nếu m> 0, n< bất đẳng thức sau đúng? A m>- n B n – m< C – m> – n D m– n< Bài Nếu a, b c số a> b bất đẳng sau đúng? A ac> bc Bài a b > c d B a- c> b- d B 3a> 6a D 6+ a> 3+ a C ac> bc D ac < bc Nếu a> b> , c > d> bất đẳng thức sau không đúng? B a- c> b- d C a2 > b2 D ac > bd Nếu a> b> , c > d> bất đẳng thức sau không đúng? A a+ c > b+ d Bài D a+ c > b+ d Nếu a, b, c số a< b bất đẳng thức sau ln đúng? A ac> bc Bài C ac> bd C 6- 3a> 3- 6a A 3a+ 2c < 3b+ 2c B a2 < b2 Bài D c- a> c- b Bất đẳng thức sau với số thực a? A 6a> 3a Bài C a+ c > b+ c Nếu a> b c > d bất đẳng thức sau đúng? A Bài B a2 < b2 Sắp xếp ba số B ac> bd + 13 , 19 a b C > c d + 16 a d D > b c theo thứ tự từ bé đến lớn thứ tự http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 68 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 10 A 19 , + 16 , + 13 B + 16 , 19 , + 13 C 19 , + 13 , + 16 D + 13 , + 16 , 19 Nếu a+ 2c > b+ 2c bất đẳng thức sau đúng? A - 3a>- 3b Bài 11 C 2a> 2b D < a b Nếu 2a> 2b - 3b b2 B a> c C - 3a>- 3c D a2 > c2 Một tam giác có độ dài cạnh 1,2,x x số nguyên Khi đó, x A.1 C B D KHÔNG ĐÁP ÁN Bài 13 Với số thực a bất kì, biểu thức sau nhận giá trị âm? A a2 + 2a+ Bài 14 C a2 - 2a+ D a2 + 2a- Với số thực a bất kì, biểu thức sau ln dương A a2 + 2a+ Bài 15 B a2 + a+ Trong số 3+ , B a2 + a+ C a2 - 2a+ D a2 + 2a- 15 , 2+ , A số nhỏ 15 , số lớn 2+ B số nhỏ 2+ , số lớn C số nhỏ 15 , số lớn 3+ D số nhỏ 2+ , số lớn 3+ Bài 16 Cho hai số thực a, b cho a> b Bất đẳng thức sau không đúng? A a4 > b4 a- 2> b- Bài 17 > a a B a> a C a> a D a3 > a2 Cho a, b,c,d số thực a, c¹ Nghiệm phương trình ax + b= nhỏ nghiệm phương trình cx + d = b c A < a d Bài 19 C b- a< D Nếu < a< bất đẳng thức sau ? A Bài 18 B - 2a+ 1 a d b a C > d c D b d > a c Nếu a+ b< a b- a> b bất đẳng thức sau đúng? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 69 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A ab> Bài 20 B b< a C a< b< D a> b< Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Mệnh đề sau không ? A a2 < ab+ ac B ab+ bc> b2 C b2 + c2 < a2 + 2bc D b2 + c2 > a2 + 2bc Bài 21 Cho f ( x) = x- x2 Kết luận sau đúng? A f (x) có giá trị nhỏ C f (x) có giá trị nhỏ Bài 22 Cho hàm số f ( x) = x2 + B f (x) có giá trị lớn 1 D f (x) có giá trị lớn 4 Mệnh đề sau ? A f (x) có giá trị nhỏ , giá trị lớn B f (x) khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C f (x) có giá trị nhỏ 1, giá trị lớn D f (x) khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn Bài 23 ìï x + y = Với giá trị a hệ phương trình ïí có nghiệm (x; y) ïïỵ x- y = 2a- với x.y lớn A a= Bài 24 Bài 25 Bài 26 B a= C a=- D a= Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai số a b A có giá trị nhỏ B có giá trị lớn C có giá trị lớn D khơng có giá trị lớn Cho a- b= Khi đó, tích hai số a b A có giá trị nhỏ - B có giá trị lớn - C có giá trị nhỏ a= b D khơng có giá trị nhỏ Cho x2 + y2 = , gọi S = x + y Khi ta có A S£ - B S³ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 70 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word C Bài 27 D - 1£ S £ £ S£ Cho x, y hai số thực thay đổi cho x + y = Gọi m= x2 + y2 Khi ta có: A giá trị nhỏ m C giá trị lớn m Bài 28 B giá trị nhỏ m D giá trị lớn m Với x> , biểu thức: , , , x+ , x giá trị biểu x x+ x- 2 thức nhỏ nhất? A Bài 29 x Bài 33 B - C - là: 27 C B - Cho biểu thức P =- a+ a đúng? D - 81 D C D với a³ Mệnh đề sau mệnh đề A Giá trị lớn P B Giá trị nhỏ P C Giá trị lớn P D P đạt giá trị nhỏ a= Giá trị lớn hàm số f ( x) = A Bài 34 B - x D Giá trị nhỏ củabiểu thức x − x với x∈ ¡ là: A - Bài 32 x- C Giá trị nhỏ biểu thức x + x với xỴ ¡ là: A Bài 31 x+ Giá trị nhỏ biểu thức x2 + 3x với xỴ ¡ A - Bài 30 B 11 B 11 x - 5x + C 11 D 11 Cho biểu thức f ( x) = 1- x2 Kết luận sau đúng? A Hàm số f (x) có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ B Hàm số f (x) có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn C Hàm số f (x) có giá trị nhỏ giá trị lớn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 71 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word D Hàm số f (x) khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn Bài 35 Cho a số thực bất kì, P = 2a Bất đẳng thức sau với a +1 a? A P >- Bài 36 B P > D P £ C P với a, b, c số D Q ³ với a, b, c số Bài 37 Số nguyên a lớn cho a200 < 3300 là: A Bài 38 B C Điền dấu ( >, 3( a+ b) + ab Bài 40 Cho hai số thực a, btùy ý Mệnh đề sau đúng? A a+ b = a + b B a+ b £ a + b C a+ b < a + b D a+ b > a + b Bài 41 Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng? A - ab < a b B a a > với b¹ b -b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 72 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word C Nếu a < b a2 < b2 Bài 42 Bài 43 Cho hai số thực a, b tùy ý Mệnh đề sau đúng? A a- b £ a + b B a- b = a + b C a- b = a - b D a- b > a - b Bất đẳng thức sau với số thực x ? A x > x Bài 44 D a- b > a - b B x >- x C x > x2 D x ³ x Nếu a, b số thực a £ b bất đẳng thức sau đúng? Bài 45 B C - b£ a£ b D a£ b    0 Nếu x  A x < a Bài 46 Bài 48 B 1 < x a C - x x a D x < a B C    0 với x> x Giá trị nhỏ hàm số f (x) = 2x + A Bài 50 C x < a Cho a³ 1,b³ Bất đẳng thức sau không ? A Bài 49 B - x £ x Nếu x < a bất đẳng thức sau đúng? A x x C D x    1 Giá trị nhỏ hàm số f (x) = + với x> x- http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 73 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A  2 Bài 51 2 2 C D 2 C B D    0 với x> x Giá trị nhỏ hàm số f (x) = 2x + D 2 với x> x2 C D 2 Cho a, b, c, d số dương Hãy điền dấu ( >, < b d a c C a+ b+ c ³ Bài 55 B B A Bài 54 C 2 Giá trị nhỏ hàm số f (x) = 2x + A Bài 53 x- Cho x³ Giá trị lớn hàm số f (x) = x A Bài 52 B ab + bc + ca B Nếu a c a+ b c+ d > > b d b d D ab( a + b) £ 2ab+ a+ b Điền số thích hợp vào chỗ chấm để mệnh đề A Giá trị lớn hàm số y = x- 1+ 3- x với 1£ x £ là… 2 x= ………… B Giá trị nhỏ hàm số y = 2x2 - 5x + …… - Bài 56 17 x = ……… Cho a2 + b2 + c2 = Hãy xác định tính đúng-sai mệnh đề sau: Đúng A ab+ bc+ ca³ Sai B ab+ bc+ ca³ - C ab+ bc+ ca< Sai D ab+ bc+ ca£ 1.Đúng TỔNG HỢP LẦN Bài 57 Tìm mệnh đề đúng? 1 > a b A  a< bÞ  ac < bc B a< bÞ C a< bÚ c < d Þ ac < bd D  a< bÞ  ac < bc,( c> 0) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 74 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 58 Bài 59 Suy luận sau ìï a> b ị ac> bd A ùớ ùùợ c > d ìï a> b a b Þ > B ïí ùùợ c > d c d ùỡ a> b ị a- c> b- d C ïí ïïỵ c > d ïì a> b> Þ ac> bd D ïí ïïỵ c > d> Bất đẳng thức ( m+ n) ³ 4mn tương đương với bất đẳng thức sau 2 A n( m- 1) - m( n- 1) ³ C ( m+ n) + m- n ³ Bài 60 Bài 62 D ( m- n) ³ 2mn Với a, b¹ , ta có bất đẳng thức sau đúng? A a- b< Bài 61 B m2 + n2 ³ 2mn B a2 - ab+ b2 < C a2 + ab+ b2 > D a- b> Với hai số x, y dương thoả xy = 36, bất đẳng thức sau đúng? A x + y ³ xy = 12 B x + y ³ 2xy = 72 C 4xy £ x2 + y2 D 2xy < x2 + y2 Cho hai số x, y dương thoả x + y = 12 , bất đẳng thức sau đúng? A ổx + yử ữ = 36 B xy < ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ứ ố xy Ê C 2xy < x2 + y2 Bài 63 D xy ³ Cho x, y hai số thực thỏa xy = Giá trị nhỏ A = x2 + y2 A Bài 64 Cho a> b> x = A x > y C x = y Bài 65 B C D 1+ a 1+ b , y= Mệnh đề sau ? 1+ a+ a 1+ b+ b2 B x < y D Không so sánh 1 a b a b c Cho bất đẳng thức: (I) + ³ (II) + + ³ (III) + + ³ a b c a+ b+ c b a b c a (với a, b, c > 0) Bất đẳng thức bất đẳng thức đúng? A I đúng B II C III D I, II, III http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 75 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 66 Với a, b,c> Biểu thức P = A < P < Bài 67

£ P D £ P C a+ b< D a+ b£ Cho a< b< c < d x = ( a+ b) ( c+ d) , y = ( a+ c) ( b+ d) , z = ( a+ d) ( b+ c) Mệnh đề sau đúng? A x < y < z B y < x < z Bài 69 C Cho a, b> ab> a+ b Mệnh đề sau ? A a+ b= Bài 68 B a b c + + Mệnh đề sau đúng? b+ c c+ a a+ b C z < x < y D x < z < y Với a, b, c,d> Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A a a a+ c < 1Þ < b b b+ c B a a a+ c > 1Þ > b b b+ c C a c a a+ c c < Þ > > b d b b+ c d D Có hai ba mệnh đề sai Bài 70 a2 + b2 ỉ a+ bư ÷ Hai s a, b tho bt ng thc Êỗ ữ thỡ ỗ ỗ ố ứ 2 ữ A a< b Bài 71 B a> b C a= b D a¹ b Cho x, y, z> xét ba bất đẳng thức (I) x3 + y3 + z3 ³ 3xyz (II) 1 x y z + + £ + + ³ Bất đẳng (III) x y z x+ y+ z y z x thức đúng? A Chỉ I B Chỉ I III D Cả ba C Chỉ III http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 76 ... Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 13 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(cơsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC... nói ta có bất đẳng thức A > B mà không nêu điều kiện http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word. .. MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 BẤT ĐẲNG THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Cho a, b hai số thực Các mệnh đề " a> b", " a< b", " a³ b", " a£ b" gọi bất đẳng thức •Chứng minh bất đảng thức