BẤT ĐĂNG THỨC bất PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI (lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải) file word

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI.. http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải B.CÁC DẠNG TOÁN

Trang 2

§6 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 3

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 3

1 Tam thức bậc hai 3

2 Dấu của tam thức bậc hai 3

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4

 DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI 4

1 Phương pháp giải 4

2 Các ví dụ minh họa 4

3 Bài tập luyện tập 9

 DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU 16

§7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 21

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 21

1 Định nghĩa và cách giải 21

2 Ứng dụng 21

 DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 21

 DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 29

3 Bài tập luyện tập 34

 DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC 38

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 1

Trang 3

 DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT, NHỎ NHẤT 46

1 Phương pháp giải 46

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN 54

TỔNG HỢP LẦN 1 54

TỔNG HỢP LẦN 2 65

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 2

Trang 4

§6 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

2 Dấu của tam thức bậc hai

D u c a tam th c b c hai đ c th hi n trong b ng sauấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau ủa tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau ức bậc hai được thể hiện trong bảng sau ậc hai được thể hiện trong bảng sau ược thể hiện trong bảng sau ể hiện trong bảng sau ện trong bảng sau ảng sau

f x =ax +bx+c a¹0

Trang 5

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI.

1 Phương pháp giải.

Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó

* Đối với đa thức bậc cao ( )P x ta làm như sau

 Phân tích đa thức P x thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc ( )nhất)

 Lập bảng xét dấu củaP x Từ đó suy ra dấu của nó ( )

* Đối với phân thức ( )

( )

P x

Q x (trong đó P x Q x là các đa thức) ta làm như sau( ), ( )

 Phân tích đa thức P x Q x thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức ( ), ( )bậc nhất)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải B.

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

4

Trang 6

5

Trang 7

ê ê

=-B ng xét d uảng sau ấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

x

- ¥ 4

3

- 2+¥

Nhận xét:

Cho tam thức bậc hai 2

ax +bx+ Xét nghiệm của tam thức, nếu:c

* Vô nghiệm khi đó tam thức bậc hai f x( )=ax2+bx+ cùng dấu với c a với mọi x

* Nghiệm kép khi đó tam thức bậc hai f x( )=ax2+bx+ cùng dấu với c a với mọi

Ví dụ 2: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của các biểu thức

6

Trang 8

x - x+ âm khi và chỉ khi x Î - -( 1 2; 1- + 2)

D x3- 5x+ dương khi và chỉ khi 2 x Î - -( 1 2; 1- + 2)È(2;+¥ )

- + + dương khi và chỉ khi x Î -( 2; 1- ) (È 4;+¥ )

7

Trang 9

B

2 2

- + + dương khi và chỉ khi x Î (4;+¥ )

C

2 2

- + + âm khi và chỉ khi x Î - ¥ -( ; 2) (È 3; 4)

D

2 2

- + + âm khi và chỉ khi x Î - ¥ -( ; 2) (È - 1;1) (È 3; 4)

8

Trang 10

- 0 + || - 0 + 0 - || + Suy ra

2 2

- + + dương khi và chỉ khi x Î -( 2; 1- ) ( ) (È 1; 3 È 4;+¥ ,)

9

Trang 11

c) Tam thức ( )g x có a =- 2>0, có D =- <7 0 Þ g x( )< (cùng dấu với a) 0 " Îx R

Bài 4.85: Xét dấu các biểu thức sau

a) f x( )=(x2- 5x+4)(2 5- x+2 )x2

A.

x - ¥ 1

2 1 2 4 +¥

10

Trang 12

x - ¥ 1

2 1 2 4 +¥

11

Trang 13

12

Trang 14

-http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải B.

13

Trang 15

D 5 22 2 3 0 1; 3 ( )1; 2

52

-http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải B.

14

Trang 16

Bài 4.87: Tùy theo giá trị của tham số m g x( )=(m- 1)x2+2(m- 1)+ -m 3, Khẳng định nào sau đây đúng là sai?

Vì tam thức 9m2+8m+ có 4 a = > m 9 0,D =-'m 20< nên 0 9m2+8m+ > với mọi 4 0 m

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

15

Trang 17

Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm

m m

é >

êê

ê ê

- < < thì biểu thức f x luôn âm.( )

b) Với m =4 thì g x =-( ) 1< thỏa mãn yêu cầu bài toán0

Với m ¹ 4 thì g x( ) (= m- 4)x2+(2m- 8)x+ - là tam thức bậc hai dó đóm 5

( )

4 00,

4

4 0

m

m m

ì <

ïï

Û íï - <ïî Û <

Vậy với m £ 4 thì biểu thức g x luôn âm.( )

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương

16

Trang 18

m <- thì biểu thức h x luôn dương.( )

b) Biểu thức k x luôn dương ( ) 2

m > thì biểu thức k x luôn dương.( )

Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m a) (2 2 1) 2 4 2

mx y

Suy ra với mọi m ta có f x( )=2x2- 2(m+1)x+m2+ ³1 0, " Î ¡ (1)x

17

Trang 19

Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì

a) Phương trình x2- 2(m+2)x- (m+ = luôn có nghiệm3) 0

m + m+ có a = > m 1 0,D =- < nên 'm 2 0 x=- 4, x= với mọi 0 m

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3m 2 8 m 1 5m 4 3m 4

-Vì tam thức - 5m2- 4 3m- 4 có a =- m 5< D < nên 0, 'm 0 - 5m2- 4 3m- 4< với mọi0

m Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m

Bài 4.89: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm

- < < thì biểu thức f x luôn âm.( )

b) Với m =0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

18

Trang 20

Vậy với m <- 1 thì biểu thức g x luôn âm.( )

Bài 4.90: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m a) y= m x2 2- 4mx+m2- 2m+ 5

Với m =0 thì điều kiện (*) đúng với mọi x

Với m ¹ 0 xét tam thức bậc hai ( ) 2 2 2

19

Trang 21

Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Hàm số có nghĩa với mọi x

Û íï

ïî(1) đúng " Îx ¡ Û -1 m³ 0Û m£1

f x > f x < f x ³ f x £ , trong đó ( )f x là một tam thức bậc hai.

Cách giải Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

2 Ứng dụng

Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

20

Trang 22

= - ¥çç ÷÷÷

1S6

b) Tam thức f x( )=x2+ -x 12 có a = >1 0 và có hai nghiệm x =-1 4; x =2 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

21

Trang 23

( ( )f x trái dấu với hệ số a).

é >

ê

ê ë

Vậy với m Î - ¥ -( ; 2] [6;È +¥ thì phương trình có nghiệm)

b) Với m =- 1 phương trình trở thành 2x- 2= Û0 x=1 suy ra m =- 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m ¹ - 1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D ³ 0

Trang 24

Vậy với - £2 m£ 0 thì phương trình có nghiệm

Ví dụ 3: Tìm m để mọi xÎ -ë û đều là nghiệm của bất phương trìnhé 1;1ù

3

m m

71

m

m m

ì - ³ +ïï

é- ù êÌ + úÛ í

-ë û êë ú ï £û ïïî3

31

m

m m

Trang 25

Kết hợp với điều kiện 1

11

Trang 26

æ ö÷ç- ¥ ÷

è ø D (2; +¥ )e) 2

Trang 27

m m

é ³ê

ê

11

m m

é ³ê

ê

44

m m

é ³ê

ê ë

Trang 28

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời

giải Bài 4.96: Cho hàm số với Giải bất phương trình

27

Trang 29

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vì

nên và Phương trình có hai nghiệm

28

Trang 30

13

x x

32

x x

é >

ê

Û ê £ -ë

29

Trang 31

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = - ¥ -( ; 2] (3;È +¥ )

-http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vì

30

Trang 32

ì - - £ïï

00

31

Trang 33

Ta đi giải bài toán phủ định là: tìm m để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S

Tức là bất phương trình f x( )=mx2- 2 2( m+1)x+5m+ < (2) đúng với mọi 3 0 x SÎ .

x x

32

Trang 34

m m

33

Trang 35

m m

é <

êê

ê >

ê

34

Trang 36

m m

Lời giải:

Bài 4.100: Đặt f x( )=2x2- (2m+1)x+m2- 2m+ , có 2 =- 4m2+20m- 15

35

Trang 37

 

5 1020

5 102

7 2

m m

x

m m

x

m

ìïï - £ï

36

Trang 38

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1< < 1 x2

A 1<m B m <2 C 1< <m 2 D 1

2

m m

Kết luận: với mÎ éë1;+¥ ) thì phương trình (1) có nghiệm x ³ 1.

b) Để phương trình (1) có nghiệm x £1 Û phương trình (2) có nghiệm t £0

TH1: Phương trình (2) có nghiệm tt1£ £0 P2 Û £ Ûm0 m2- 3 + £ Û £2 0 m1 £ 2

TH2: Phương trình (2) có nghiệm 1 2 2

1 0' 0

Kết luận: với mÎ ë û thì phương trình (1) có nghiệm é ù1; 2 x £1.

c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1< <1 x2 Û phương trình (2) có 2 nghiệm:

tt1< < Û0 m2 m2- 3 + < Û < < 2 0 m1 2

Kết luận: với 1< <m 2 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1< <1 x2

d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1<x2< Û phương trình (2) có 2 nghiệm: 1

37

Trang 39

1 2 2

1 0' 0

Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm x1<x2< 1

DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC.

-2

2

+ +¥

1 2x- - | - 0 + | +

38

Trang 40

+ +¥

39

Trang 41

40

Trang 42

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

41

Trang 43

( 2 )( 2 )2

Dựa vào bảng xét dấu và đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

1; 0 [1; 3)

S= -éë ùûÈ

Nhận xét: Ở câu b chúng ta phải đặt điều kiện thì khi đó các phép biến đổi trên mới đảm

bảo là phép biến đổi tương đươc

é ê

42

Trang 44

43

Trang 45

-

-³+ -

44

Trang 46

luôn cùng dấu với B Khi đó ta sẽ có D £ 0.

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho hai số thực x y, Chứng minh rằng 3x2+5y2- 2x- 2xy+ > 1 0

45

Trang 47

Lời giải:

Viết bất đẳng thức lại dưới dạng 3x2- 2(y+1)x+5y2+ >1 0

Đặt f x( )=3x2- 2(y+1)x+5y2+ xem 1 y là tham số khi đó f x là tam thức bậc hai ẩn( )

46

Trang 48

Ví dụ 3: Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x y z, , thỏa mãn:

47

Trang 49

y y

é

ê êê

48

Trang 50

Đẳng thức xảy ra Û x= = = hoặc ( ; ; ) (2;2;0)y z 1 x y z = và các hoán vị.

Bài 4.106: Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng:

xzy+ x +y +z + ³ x + + (THTT). y z

Lời giải:

Bài 4.106: Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn

hơn 1 Ta giả sử hai số đó là x và y Khi đó ta có:

Bài 4.107: Cho các số thực x y, thỏa mãn bất phương trình5x2+5y2- 5x- 15y+ £ 8 0Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= +x 3 y

49

Trang 51

Biến đổi tương đương ta thu được 2

-http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vì

50

Trang 52

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai thì bài toán được chứng minh.

51

Trang 53

Bài 4.111: Cho a và b là các số thực thỏa mãn 2 2

-Theo giả thiết ta có 9a2+8ab+7b2£ nên 6 7a+5b+12ab£ 9.

Bài 4.112: Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x+ + = Tìm giá trị lớn nhất y z 1của: P=9xy+10yz+11zx.

48

x1

8

x14

52

Trang 54

y=x - x- nhận giá trị dương khi và chỉ khi

A x <–3 hoặc x >–1.B x <–1 hoặc x >3 C x <–2 hoặc x >6 D.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải C.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

53

Trang 55

Câu 10 Tập nghiệm của bất phương trình 2

Câu 18 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?

54

Trang 56

55

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	5,04 MB