VECTO ỨNG DỤNG VECTƠ để GIẢI TOÁN HÌNH học (phương pháp giải + bài tập có lời giải) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC Phương pháp chung Để giải toán tổng hợp phương pháp vectơ ta thường thực theo bước sau Bước 1: Chuyển giả thiết kết luận toán sang ngơn ngữ vectơ, chuyển tốn tổng hợp toán vectơ Bước 2: Sử dụng kiến thức vectơ để giải tốn Bước 3: Chuyển kết toán vectơ sang kết toán tổng hợp Sau số dạng toán thường gặp I CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH Phương pháp giải uuur • Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ AB uuur uuur uuur AC phương, tức tồn số thực k cho: AB = kAC • Để chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định ta chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H điểm cố định Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B Chứng minh M thuộc đường thẳng AB uuur uuu r uuu r có hai số thực a , b có tổng cho: OM = aOA + bOB Lời giải uuuu r uuur uuur uuur uuur uuu r * Nếu A, B, M thẳng hàng Þ AM = kAB Û AO + OM = k(AO + OB ) uuur uuu r uuu r Þ OM = (1- k)OA + kOB Đặt a = 1- k ; b = k Þ a + b = uuur uuu r uuu r OM = aOA + bOB uuur uuu r uuu r * Nếu OM = aOA + bOB với a + b = Þ b = - a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r Þ OM = aOA + (1 - a)OB Þ OM - OB = a(OA - OB ) Þ BM = aBA Suy M, A, B thẳng hàng Ví dụ 2: Cho góc xOy Các điểm A, B thay đổi nằm Ox, Oy cho OA + 2OB = Chứng minh trung điểm I AB thuộc đường thẳng cố định uur r uuu r uuu Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I OI = OA + OB (*) uur uuur uuur Từ ví dụ ta cần xác định hai điểm cố định A', B' cho OI = aOA ' + bOB ' với a + b = Do từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' Ox, Oy uur Ta có ( * ) Û OI = OA uuur OB uuur OA ' + OB ' từ ta cần chọn điểm cho 2OA ' 2OB ' OA OB + = Kết hợp với giả thiết OA + 2OB = ta chọn điểm A' B' 2OA ' 2OB ' cho OA ' = 3 , OB ' = Lời giải Trên Ox, Oy lấy hai điểm A', B' cho OA ' = uur r uuu r uuu Do I trung điểm AB nên OI = OA + OB = 3 , OB ' = OA uuur OB uuur OA ' + OB ' 2OA ' 2OB ' OA OB OA OB + = + = ( OA + 2OB ) = Ta có 2OA ' 2OB ' 3 2 Do điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD , I trung điểm cạnh BC E điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AE = Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng AC Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta tìm số k cho http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uur uuur uur , muốn ta phân tích vectơ DE , DI qua hai vectơ không DE = kDI uuur r uuur r r r r phương AB AD sử dụng nhận xét " ma + nb = Û m = n = với a, b hai vectơ khơng phương " từ tìm k = Lời giải (hình 1.35) uur uuur uur uuur r uuu uuur Ta có DI = DC + CI = DC + CB = AB - uuur Mặt khác theo giả thiết ta có AE = uuur AD (1) 2 uuur AC suy uuur uuu r uuur uuu r uuur DE = DA + AE = DA + AC uuur uuur uuur uuur uuur = - AD + AB + AD = AB - AD (2) 3 ( ) uuur Từ (1) (2) suy DE = Hình 1.35 uur DI Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động hai đoạn thẳng cố định BC BD ( M ¹ B, N ¹ B ) cho BC + BD = 10 BM BN Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải Dễ thấy tồn điểm I thuộc MN cho uuur uuur r r r BC uuu BD uur IM + IN = ( 1) BM BN Gọi H điểm thỏa mãn 2HC + 3HD = ( 2) H cố định uuur uuur uuur r Ta có ( 2) Û 5HB + 2BC + 3BD = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Û uuur 2BC uuur 3BD uuur BM + BN = 5BH BM BN Û r uuur 2BC uur uuu 3BD uur uur BI + IM + BI + IN = 5BH BM BN ( ) ( ) uur uuur ổ BC BD ữ ỗ + BI = BH ữ (theo (1)) ỗ ữ ỗ BN ø è BM uur uuur uur uuur Û 10BI = 5BH Û BI = BH (3) Do điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định hệ thức (3)) Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song AA1, BB1,CC đường tròn (O) Chứng minh trực tâm ba tam giác ABC 1, BCA1,CAB1 nằm đường thẳng Lời giải Gọi H 1, H 2, H trực tâm tam giác ABC 1, BCA1,CAB1 Ta có: uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuur uuur , OH = OA + OB + OC OH = OB + OC + OA1 uuur uuu r uuur uuuu r uuuu r OH = OC + OA + OB1 uuuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur Suy H 1H = OH - OH = OC - OC + OA1 - OA = C 1C + AA1 uuuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur H 1H = OH - OH = OC - OC + OB1 - OB = C 1C + BB1 Vì dây cung AA1, BB1,CC song song với uuur uuur uuur Nên ba vectơ AA1, BB1,CC có phương uuuuu r uuuuu r Do hai vectơ H 1H H 1H phương hay ba điểm H 1, H 2, H thẳng hàng Bài tập luyện tập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.101: Cho tam giác ABC điểm M trung điểm AB, N thuộc cạnh AC cho AN = AC , P điểm đối xứng với B qua C Chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài 1.102: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AB, AN = AC Gọi O giao điểm CM BN Trên đường uuu r uuur thẳng BC lấy E Đặt BE = xBC AC cho AM = Tìm x để A, O, E thẳng hàng uur uur uur uur r Bài 1.103: Cho D ABC lấy điểm I, J thoả mãn IA = 2IB , 3J A + 2J C = Chứng minh IJ qua trọng tâm G D ABC Bài 1.104: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N di động thỏa mãn uuuu r uuur uuur uuur MN = MA + MB + MC a) Chứng minh MN qua điểm cố định b) P trung điểm AN Chứng minh MP qua điểm cố định Bài 1.105: Cho hai điểm M,P hai điểm di động thỏa mãn uuur uuur uuur uuur MP = aMA + bMB + cMC Chứng minh MP qua điểm cố định Bài 1.106 Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng D qua điểm A, F điểm đối xứng tâm O hình bình hành qua điểm C K trung điểm đoạn OB Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng K trung điểm EF Bài 1.107: Cho hai tam giác ABC A1B1C ; A2.B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC Gọi G,G1,G2 trọng tâm tam giác ABC , A1B1C , A2B2C Chứng minh G,G1,G2 thẳng hàng tính GG1 GG2 Bài 1.108 Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r CA, AB cho MB = a MC , NC = bNA, PA = gPB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Tìm điều kiện α, β, γ để M, N, P thẳng hàng Bài 1.109: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh trung điểm hai đường chéo AC, BD tâm O thẳng hàng Bài 1.110: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn AB = CD = EF Về phía ngồi lục giác dựng tam giác AMB, BNC , CPD, DQE , ERF , FSA đồng dạng cân M, N, P, Q, R, S Gọi O1, O2 trọng tâm tam giác MPR NQS Chứng minh ba điểm O, O1, O2 thẳng hàng uuuu r Bài 1.101: Ta chứng minh MN = - uuur Bài 1.102: Ta có: AO = uuur MP Û M, N, P thẳng hàng uuur uuur AB + AC uuur uuur uuur AE = (1 - x)AB + xAC uuur uuur A, E, O thẳng hàng Û AE = kAO uuur uuur k uuur k uuur 36 Û (1 - x)AB + xAC = AB + AC Û k = ; x = 13 13 Vậy x = giá trị cần tìm 13 uur uur uur uur r Bài 1.103: IA = 2IB Û IA - 2IB = uur uur r uur uur uu r 3J A + 2J C = Û 3IA + 2IC = 5IJ uur uur uur uu r suu uu r Suy 2(IA + IB + IC ) = 5IJ Û 6IG = 5IJ Û I, J, G thẳng hàng Bài 1.104: a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur MN = MA + MB + MC Û MN = GA + GB + GC + 3MG = 3MG Suy M , N , G thẳng hàng hay MN qua điểm cố định G uuur b) P trung điểm AM Þ MP = r uuur uuuu uuur uuur uuur MA + MN ) = ( 2MA + MB + MC ) ( 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uur uur uur r Gọi I trung điểm BC, J trung điểm AI suy 2J A + J B + J C = uuur uuur Do MP = 2MJ suy MP qua điểm cố định J uur uur uur r uuur uuur uuuu r Bài 1.105: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC suy aIA + bIB + cIC = uuur uuur uuur uuur uuur uuu r Do MP = aMA + bMB + cMC Û MP = ( a + b + c ) MI Vậy MP qua điểm cố định I uuu r Bài 1.106: Ta có: EF = uuur uuur uuur uuur uuur AD + AB , EK = AD + AB 2 4 uuu r uuur Þ EF = 2EK Vì K trung điểm EF uuuu r Bài 1.107: Vì G , G1 trọng tâm tam giác ABC , A1B1C suy 3GG1 = GA1 +GB1 +GC uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur Û 3GG1 = GA +GB +GC + AA1 + BB1 +CC uuuu r uuur uuur uuur Û 3GG1 = AA1 + BB1 +CC uuuu r uuur uuur uuuu r Tương tự G , G2 trọng tâm tam giác ABC , A2B2C suy 3GG1 = GA1 +GB1 +GC uuuu r uuur uuuu r uuuu r Û 3GG2 = AA2 + BB2 +CC uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuuur Mặt khác AA2 + BB2 +CC = AA1 + BB1 +CC + A1A2 + B1B2 +C 1C Mà A2.B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC ( uuuu r uuuur uuuur ) ( uuur uuur uuur uuur uuur uuur + B1C + B1A +C 1A +C 1B Suy A1A2 + B1B2 +C 1C = A1B + AC ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uur uuur uuu r = 3( A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA +C 1C +CA +C 1C +CB ) Do uuur uuur uuur = 6( AA1 + BB1 +CC ) uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur AA2 + BB2 +CC = 3( AA1 + BB1 +CC ) uuuu r uuur uuur uuur Þ GG2 = AA1 + BB1 +CC uuuu r uuuu r Vậy GG2 = 3GG1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur Bài 1.108: Ta có: MB = r a uuur uuu uuur BC ; BP = AB 1- a g- uuur uuur uuur BC = (1 - a)MC ;CN = uuuu r Ta có: MN = uuur MP = (- b uuur AC ; 1- b uuur b uuur AB + ( + )AC Và 1- a 1- a 1- b a uuur a uuur )AB + AC 1- a 1- g 1- a Để M, N, P thẳng hàng ta phải có - a a 1- a 1- g 1- a = Û abg = 1 b + 1- a 1- a 1- b Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S tiếp điểm đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đường tròn tâm O Đặt SA = AP = a, BP = BQ = b, CQ = CR = c, DR = DS = d Áp dụng định lý nhím cho tứ giác ABCD ta có: uuu r uuur uuu r uur r ( a + b) OP + ( b + c ) OQ + ( c + d ) OR + ( d + a ) OS = r rư r ỉ b uuu ỉ c uuu a uuu b uuur ỗ ( a + b) ỗ OA + OB ữ + b + c OB + OC ÷ ÷ ÷ ( ) ç ç ÷ ÷ ça + b çb + c è a +b ø è b+c ø rư ỉ d uuur ỉ a uuur c uuur d uuu ÷ ç +( c + d ) ç OC + OD ÷ + d + a OD + OA ÷ ÷ ( ) ỗ ỗ ữ ữ ỗc + d ỗd + a c + d d + a è ø è ø uuu r uuur uuu r uuu r r Û ( b + d ) OA + OC + ( a + c ) OB + OD = uuur uuur r Û ( b + d ) OM + ( a + c ) ON = ( ) ( ) Suy O, M, N thẳng hàng (đpcm) Bài 1.110: Gọi M 1, N 1, P1,Q1, R1, S1 hình chiếu M , N , P ,Q, R, S lên AB, BC ,CD, DE , EF , FA Suy M 1, N 1, P1,Q1, R1, S1 trung điểm AB, BC ,CD, DE , EF , FA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur ( uuuuu r uuuur uuur uuur ) Ta có MS + RQ + PN = MM + M 1A + AS1 + S1S + uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur + RR1 + R1E + EQ1 + Q1Q + PP1 + P1C + CN + N 1N ( ) ( uuuuu r uuur uuur = MM + PP1 + RR1 ( ) ) uuuuu r uuur uuur uuuur uuur uuur r ( Vì theo định lí nhím MM + PP1 + RR1 + N 1N + Q1Q + S1S = ) Mặt khác AB = CD = EF suy uuur uuur uuur ( uuur MM RR1 PP1 = = = OM OR1 OP1 k uuu r uuu r Do MS + RQ + PN = k OM + OP + OR ) uur uuur uuur uuur uuu r uuu r Û OS + OQ + ON = ( k + 1) OM + OP + OR uuuu r uuuu r Û OO2 = ( k + 1) OO1 ( ) Hay ba điểm O, O1, O2 thẳng hàng II CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp giải uuur uuu r • Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta chứng minh AB = kCD điểm A khơng thuộc đường thẳng CD • Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh theo hai hướng sau: + Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định + Chứng minh đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng lại Các ví dụ Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ Chứng minh IJ song song với AE Lời giải (hình 1.36) Hình 1.36 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uu r uur uur uuu r uuur uur uuur Ta có 2IJ = IQ + IN = IM + MQ + IP + PN uuur uuur uuur uuur uuur = MQ + PN = AE + BD + DB 2 uuur = AE ( ) Suy IJ song song với AE Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng BC, CA, AB uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r r thỏa mãn a + b + g ¹ , bMB + gMC = gNC + aNA = aPA + bPB = AM, uuu r uuu r uuur r BN, CP đồng quy O, với O điểm xác định aOA + bOB + gOC = Lời giải uuur uuur r ( uuur uuu r ) ( uuur uuur Ta có bMB + gMC = Û b MO + OB + g MO + OC ) r =0 uuu r uuu r uuur uuur uuu r Û aOA + bOB + gOC + ( b + g ) MO = aOA uuur uuu r Û ( b + g ) MO = aOA Suy M, O, A thẳng hàng hay AM qua điểm cố định O Tương tự ta có BN, CP qua O Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy Ví dụ 3: Cho sáu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi D tam giác có ba đỉnh lấy sáu điểm D ' tam giác có ba đỉnh lại Chứng minh với cách chọn D khác đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D D ' đồng quy Định hướng Giả sử sáu điểm A, B, C, D, E, F Ta cần chứng minh tồn điểm H cố định cho với cách chọn D khác H thuộc đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D D ' Nếu D tam giác ABC D ' tam giác DEF Gọi G G' trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF uuur uuuu r H thuộc đường thẳng GG ' có số thực k cho HG = kHG ' r uuur uuur uuu k uuur uuur uuur Û (HA + HB + HC ) = (HD + HE + HF ) 3 r uuur uuur k uuur k uuur k uuur r uuu Û HA + HB + HC - HD - HE - HF = 3 3 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vì vai trò điểm A, B, C, D, E, F tốn bình đẳng nên chọn k cho - uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r k = Û k = - HA + HB + HC + HD + HE + HF = 3 Lời giải Gọi H trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r HA + HB + HC + HD + HE + HF = ( * ) Giả sử G , G ' trọng tâm hai tam giác ABC , DEF suy uuu r uuu r uuur r uuuur uuuur uuuur r GA + GB + GC = 0, G 'D + G 'E + G 'F = Suy ( *) uuur uuu r uuu r uuur uuuur uuuur uuuur uuuur Û 3HG + GA + GB + GC = 3HG ' + G 'D + G 'E + G 'F uuur uuuur Û HG = HG ' Do GG' qua điểm cố định H đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D D ' đồng quy Bài tập luyện tập Bài 1.111: Cho tứ giác ABCD , gọi K, L trọng tâm tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh hai đường thẳng KL AD song song với Bài 1.112: Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy điểm A1, B1,C cho A1B BC CA = = = k ( k > 0) Trên cạnh B1C 1,C 1AB1, A1B1 lần AC B1A C 1B lượt lấy điểm A2, B2,C cho A2B1 BC CA = = = Chứng minh tam A2C B2A1 C 2B1 k giác A2B2C có cạnh tương ứng song song với cạnh tam giác ABC Bài 1.113: Trên đường tròn cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Qua trọng tâm ba năm điểm kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng qua hai điểm lại Chứng minh mười đường thẳng nhận cắt điểm Bài 1.114 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Kẻ MM', NN', PP', QQ' vng góc http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải với CD, DA, AB, BC Chứng tỏ bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy điểm Nhận xét điểm đồng quy hai điểm I, O (I giao điểm MP NQ) Bài 1.115: Cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi D tam giác có ba đỉnh lấy năm điểm đó, hai điểm lại xác định đoạn thẳng q Chứng minh với cách chọn D khác đường thẳng nối trọng tâm tam giác D trung điểm đoạn thẳng q qua điểm cố định Bài 1.116: Cho tam giác ABC Ba đường thẳng x, y, z qua A, B, C chúng chia đôi chu vi tam giác ABC Chứng minh x, y, z đồng quy Bài 1.117: Cho tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP qua điểm, xác định điểm Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA uuu r uuu r uuur uuu r r a) Gọi G giao điểm MP NQ Chứng minh GA + GB + GC + GD = b) Gọi A1, B1,C 1, D1 trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh đường thẳng AA1, BB1, CC 1, DD1 đồng quy điểm G Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M điểm tùy ý Gọi A1, B1,C điểm đối xứng với M qua trung điểm I, J, K cạnh BC, CA, AB Chứng minh a) Các đường thẳng AA1, BB1,CC đồng quy trung điểm O đường b) M, G, O thẳng hàng MO = MG Bài 1.120: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC , CA, AB Gọi D a đường thẳng qua trung điểm PN vng góc với BC, Db đường thẳng qua trung điểm PM vng góc với AC, D c đường thẳng qua trung điểm MN vng góc với AB Chứng minh Da , Db D c đồng quy Bài 1.121: Cho hai hình bình hành ABCD AB 'C ' D ' xếp cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc cạnh AD Chứng minh đường thẳng DB ', CC ', BD ' đồng quy uuu r uuur uuur r uuu r uuur uuu r r Bài 1.111: Ta có K A + K B + K C = LB + LC + LD = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Trừ vế với vế ta uuu r uuu r uuu r r K A - LD + 2K L = Û ( uuu r uur uuu r uuu r r uuu r uuu r r K L + LA - LD + 2K L = Û DA + 3K L = Suy KL//AD ) uuuur k2 - k + uuur A C = AC , k2 - k + > A Ï AC nên A C / / AC Bài 1.112: 2 2 2 ( k + 1) Tương tự ta có B2C / / BC A2B2 / / AB Bài 1.113: Giả sử năm điểm A1, A2, A3, A4 , A5, A6 nằm đường tròn (O) Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc mười đường thẳng Gọi G trọng tâm tam giác A1A2A3 ; P trung điểm đoạn thẳng A4A5 Vì OP ^ A4A5 (do OA4 = OA5 ) nên điểm H thuộc đường thẳng qua G vng góc với đường thẳng A4A5 có số uuur uuur uuu r uuur uuur uuur thực k cho HG = kOP Mà OG = OA1 + OA2 + OA3 (vì G trọng tâm tam giác uuu r u u u r u u u r A1A2A3 ) OP = OA4 + OA5 (vì P trung điểm đoạn thẳng A4A5 ) uuur uuu r uuur uuur uuu r Do HG = kOP Û OG - OH = kOP ( ( ) ) uuur uuur uuur uuur k uuur uuur OA1 + OA2 + OA3 - OH = OA4 + OA5 uuur uuur uuur uuur k uuur k uuur Û OH = OA1 + OA2 + OA3 - OA4 - OA5 3 2 Hay ( ) ( ) Vì điểm A1, A2, A3, A4 , A5, A6 toán có vai trò bình đẳng nên chọn k cho - k = Û k =2 3 uuur Khi OH = uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA1 + OA2 + OA3 + OA4 + OA5 ( ) uuur Hay OH = OG (G trọng tâm hệ điểm { A1, A2, A3, A4, A5 } ) Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ' uuuu r uuu r Vì OP ^ CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' có số thực k cho HM = kOP Mà M P trung điểm AB CD nên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuuu r r uuur uuu r uuu uuur uuur HM = HA + HB ; OP = OC + OD 2 ( ) ( ) r uuur uuu k uuur uuur HA + HB = OC + OD 2 uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur Û HO + OA + HO + OB = k OC + OD Û 2OH = OA + OB - kOC - kOD Vì điểm uuuu r uuu r Do HM = kOP Hay ( ) ( ( ) ) A, B, C, D toán có vai trò bình đẳng nên chọn k = - uuur uuu r uuu r uuur uuu r Khi 2OH = OA + OB + OC + OD uuur uuur uur uur Hay 2OH = 4OI (Dễ thấy I trọng tâm tứ giác ABCD) Û OH = 2OI Vậy H điểm đối xứng O qua I Bài 1.115: Gọi A, B, C ba đỉnh tam giác D DE đoạn thẳng q Gọi G trọng tâm tam giác D uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r M trung điểm DE với điểm O tùy ý ta có OA + OB + OC + OD + OE = 3OG + 2IM Do GM ln qua điểm cố định O trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E Bài 1.116: Hướng dẫn : Đặt BC = a, CA = b, AB = c Giả sử đường thẳng x qua A cắt BC M ta có AB + BM = AC + MC Û c + BM = b + MC Þ c + 2BM = b + ( BM + MC ) Suy BM = a +b- c a - b+c , CM = 2 uuur uuur r Do : ( a + c - b) MB + ( a + b - c ) MC = Tương tự ta có : uuur uuu r uuu r uuu r r + ( b + c - a ) NA = ( b + c - a ) PA + ( a + c - b) PB = Do x, y, z đồng uur uur uur r quy I xác định bới ( b + c - a ) IA + ( a + c - b) IB + ( a + b - c ) IC = ( a + b - c ) NC Bài 1.117: Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC M Gọi B’,C’ tiếp điểm cạnh AB,AC với đường tròn bàng tiếp góc A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Khi AB ' = AC ' Û AB + BB ' = AC + CC ' Û c + BM = c + CM Đến tương tự 1.116 uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r Bài 1.118: a) Ta có: GA + GB + GC + GD = 2GM + MA + MB + 2GP + PC + PD = uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r r = 2(GM + GP ) + (MA + MB ) + (PC + PD ) = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) 3AA1 = AB + AC + AD ; 4AG = AB + AC + AD Þ AA1 = uuur AG uuur uuur Þ AA1; AG phương hay AA1 qua G Tương tự ta có BB1 qua G; CC1 qua G; DD1 qua G Vậy ta có AA1, BB1, CC 1, DD1 đồng quy G Bài 1.119: a) Gọi O trung điểm CC1 uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuur AA1 = AM + MA1 = AM + MB + MC = AC + MB uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur AC BM (vì hình bình hành) 2AO = AC + AC = AC + MB Þ AA1 = 2AO hay O trung điểm AA1 uuur uuur Tương tự ta có BB1 = 2BO hay O trung điểm BB1 Vậy AA1, BB1, CC đồng quy trung điểm O đường uuur uuur uuur uuur b) Ta có: 3MG = MA + MB + MC uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur 2MO = MA + MA1 = MA + MB + MC Þ 2MO = 3MG Þ M, G, O thẳng hàng uuu r MO = MG ur uur ur uur ur Bài 1.120: Đặt IM = e1, IN = e2, IP = e3 Gọi X, Y, Z trung điểm NP, PM, MN uur ur ur ur O điểm xác định 2IO = e1 + e2 + e3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uur uur Suy OX = OI + IX = - ur ur ur ur ur ur e + e + e + e + e = e ( ( 3) 3) 2 21 Suy OX ^ BC , tương tự ta có OY ^ AC , OZ ^ AB Suy D a , Db D c đồng quy O Bài 1.121: Đặt uuur AB ¢ AD ¢ = m, = n(0 < m, n < 1) Gọi I giao điểm BD' DB' AB AD uuur r uuur uuuu uuuu r uuuu r uuur uuur Ta có AC = AB + AD ; AC ¢= AB ¢+ AD ¢= mAB + nAD uuu r n uuur BA BD 1- n uuur u u u r u u u u r u u u u r uuur AD ¢ n n- = n ị D ÂA = D ÂD Þ BD ¢= = BB ¢+ nBD n AD n- 1- m 1n- u u u r u u u r u u r u u r r 1- n n(m - 1) ị IB Â+ nID = ị IB Â= ID Do ú 1- m 1- n uuuu r n(m - 1) uuur uuur uuur ¢+ AB AD m(n - 1)AB + n(m - 1)AD uur n Þ AI = = n(m - 1) mn - 1+ n- uur uuur uur uuur uuur IC = AC - AI = (m - 1)AB + (n - 1)AD ) ; ( mn - uuur uuur uuuu r uuur uuur C¢ C = AC - AC ¢= (1- m)AB + (1- n)AD uur Suy IC = r uuuu C 'C mn - Suy I, C', C thẳng hàng Þ đpcm III BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương sử dụng kết sau: r r Cho a, b hai vectơ không phương r r r r • Với vectơ x tồn số thực m, n cho x = ma + nb r r r • ma + nb = Û m = n = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải r r r ur r r r ur • Nếu c = ma + nb, c ' = m 'a + n 'b, m '.n ' ¹ c, c ' hai vectơ phương m n = m' n ' Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho AM = AB, AN = AC Gọi O giao điểm CM BN ON OM OB OC Tính tỉ số Lời giải (hình 1.37) uuur uuur uuur uuur Giả sử ON = nBN ; OM = mCM uuur uuuu r uuur uuuu r uuur Hình 1.37 Ta có AO = AM + MO = AM - mCM uuur uuur uuuu r uuuu r uuur = AM - m(AM - AC ) = (1 - m)AB + mAC ; uuur uuur uuur uuur uuur Và AO = AN + NO = AN - nBN uuur uuur uuur uuur uuur = AN - n(AN - AB ) = (1 - n)AC + nAB uuur uuur uuur Vì AO có cách biểu diễn qua AB AC suy ïìï ïï í ïï ïï ỵ (1 - m) = n Û (1 - n) = m Vậy ïìï ïï m = í ïï ïï n = ỵ ON OM = = OB OC Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD M thuộc đường chéo AC cho AM = kAC Trên cạnh AB, BC lấy điểm P, Q cho MP / / BC , MQ / / AB Gọi N giao điểm AQ CP Tính tỉ số AN CN theo k AQ CP http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải (hình 1.38) uuur uuur uuur uuu r Đặt AN = xAQ , CN = yCP , ta có: uuur uuu r uuur uuu r uuur DN = DA + AN = DA + xAQ uuu r uuur uuur = DA + x(AB + BQ ) uuu r uuur BQ uuur = DA + xDC + x BC BC Hình 1.38 uuu r uuur r BQ uuu = DA + xDC - x DA BC Vì MQ / / AB Þ uuur uuur uuu r uuur BQ AM = = k nên DN = (1- kx)DA + xDC (1) BC AC uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r Mặt khác DN = DC + CN = DC + yCP = DC + y(CB + BP ) uuur uuu r r BP uuu = DC + yDA + y BA BA Vì MP / / BC Þ BP CM CA - AM = = = 1- k nên BA CA CA uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur DN = DC + yDA - y(1 - k)DC = yDA + (1 + ky - y)DC (2) ìï k ïï x = ïìï y = - kx k2 - k + Þ íï Từ (1) (2) ta suy ra: í ïï x = + ky - y ïï 1- k ỵ ïï y = k - k +1 ïỵ Do AN k CN 1- k = = AQ k - k +1 CP k - k +1 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AB AC lấy điểm B’ C’ Gọi M' giao điểm B'C' AM Chứng minh: Lời giải (hình 1.39) AB AC AM + =2 AB ' AC ' AM ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuuu r uuur uuuur uuuu r uuuur Đặt AB = xAB ' ; AC =yAC ' ; AM = zAM ' uuuuur uuuuu r Vì M ' Î B 'C ' Þ $k : B 'M ' = kB 'C ' uuuur uuuu r uuuur uuuu r Û (AM ' - AB ') = k(AC ' - AB ') uuuur uuuu r uuuur Þ AM ' = (1- k)AB ' + kAC ' r - k uuur k uuur uuuu Û AM = AB + AC z x y Hình 1.39 11 uuur uuur - k uuur k uuur (AB + AC ) = AB + AC z2 x y 1- k k Û = = = Þ x + y = 2z 2z x y x +y Û Hay AB AC AM đpcm + =2 AB ' AC ' AM ' Bài tập luyện tập Bài 1.122 Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho AM BN = ; = Gọi I giao điểm AN CM MB NC Tính tỉ số AI CI AN IM Bài 1.123: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC BC D, E F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG song song AC Tính ED GB Bài 1.124: Cho D ABC có AB = 3, AC = Phân giác AD góc BAC cắt trung tuyến BM I Tính AD AI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.125: Cho tam giác ABC , cạnh AC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho: AM = 3MC , NC = 2NB , gọi O giao điểm AN BM Tính diện tích D ABC biết diện tích D OBN Bài 1.126: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N nằm cạnh AB, CD cho AB = 3AM , CD = 2CN , G trọng tâm tam giác MNB AG cắt BC I Tính BI BC Bài 1.127: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Qua trung điểm M AB dựng đường thẳng MO cắt CD N Biết OA = 1,OB = 2, OC = 3, OD = , tính CN ND Bài 1.128 Cho tam giác ABC M điểm nằm cạnh BC cho SABC = 3SAMC Một đường thẳng cắt cạnh AB, AM , AC B ', M ',C ' phân biệt Chứng minh AB AC AM +2 =3 AB ' AC ' AM ' Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB CD cắt M Qua trung điểm S BD kẻ SM cắt AC K Chứng minh uur uuur uur uuur uuur uuur Bài 1.122: Đặt AI = xAN ; CI = yCM uur uuur Ta có: AI = x(AB + BN ) = xAB + x uuur BC uuur x uuur uuur r x uuur 3x uuur x uuur 21x uuuu = xAB + (AC - AB ) = AB + AC = AM + AC 4 Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: Tương tự: IC 21 = IM 21 x AI x + = 1Þ x = Þ = 23 AN 23 AM AK = CK CM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải r uur r uuu r r uuur b uuu r uur r Bài 1.123: Ta đặt: CA = a;CB = b Khi CM = CE = kCA = ka Vì E nằm ngồi đoạn thẳng uuu r uur r uuu r uuu r r AC nên có số k cho CE = kCA = ka , với < k < Khi CF = kCB = kb Điểm D nằm AM EF nên có hai số x y cho: uuu r uur uuur uuu r uuu r CD = xCA + (1 - x)CM = yCE + (1- y)CF r Hay xa + r r 1- x r b = kya + k(1- y)b rr Vì hai vectơ a,b khơng phương nên x = ky uuu r r 1- x = k(1 - y) r Suy x = 2k - 1, CD = (2k - 1)a + (1 - k)b uuu r uuu r r uuu r r uuur Ta có: ED = CD - CE = (1 - k)(b - a) = (1 - k)AB uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r Chú ý CF = kCB hay AB + BG = kAB suy (1 - k)AB = GB Do ED =1 GB Bài 1.124: Ta có: uur uuu r r IB AB = = Þ 2IB + 3IM = IM AM uuur uuuu r uur Þ 2AB + 3AM = 5AI (1) uuur uuur r uuur uuur uuur DB AB = = Þ 4DB + 3DC = Þ 4AB + 3AC = 7AD (2) DC AC Từ (1) (2) suy uuur uuuu r uuur uur uuur uur r AD 10 3AC - 6AM = 7AD - 10AI Þ 7AD - 10AI = Þ = AI uuur uuu r uuur Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên: BO = xBA + ( 1- x ) BN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuuu r uuur Tương tự: AO = yAM + ( 1- y ) AB uuur uuuu r uuur uuur Þ AB = yAM + (x - y + 1)AB + (x - 1)BN uuur uuuu r uuur r uuur r (x - y)AB + yAM + (x - 1)BN = uuu r Đặt CB u r uur r ( r x y a ( ) - r r r uuuu r r uuur ) - r ỉ 1r r ÷ yb + ( x - y ) ỗ a = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ r x - r 3y r x y b ab ( ) = ìï ïï x - y = x - ï Û Từ ta có: í ïï ïï y - x = y ỵ Với x = (1) ìï ïï x = ï 10 í ïï ïï y = ỵ r Þ uuur uuu uuur BO = BA + (1)BN 10 10 10 uuur uuur uuur uuur hay uuur uuur NA Þ BO - BN = BA - BN NO = NA Þ = 10 10 10 NO ( ) Vì SONB = Þ SNAB = 10 Þ SABC = 30 Bài 1.126: Đặt uur 1r = a , CA = b , Ta có : AB = a - b; AM = - 4b; BN = - 3a Thay vào (1) ta có: ( x - y ) a - b Û hay uur uuur BI = k, k > Þ BI = kBC BC uuur uur uuur uuur uuur uuur Ta có AI = AB + BI = AB + kBC = AB + kAD Mặt khác G trọng tâm tam giác MNB suy uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3AG = AM + AN + AB = AB + ( AD + AC ) + AB u u u r u u u r u u u r u u u r 1 11uuur uuur = AB + ( 2AD + AB ) + AB = AB + AD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uur Vì AG , AI phương nên uuur 11 = Þ k= k 11 uuu r uuur uuu r Bài 1.127: Ta có OC = - 3OA, OD = - 2OA uuur uuur uuur uuur uuur Vì OM , ON cung phương nên có số thực k cho ON = kOM Þ ON = Đặt r uuu r k uuu OA +OB ) ( uuur r r uuu 2k uuu CN OA OB = k, k > , ta có ON = 1+ k k +1 ND Suy - 4k =Û k= k ( 1+ k ) k ( k + 1) uuur Bài 1.128: Ta có SABC = 3SAMC Þ BC = 3MC Þ BM = uuuu r uuur uuuur uuur uuuur uuur BC uuuu r Đặt AB ' = xAB ; AC '=yAC ; AM ' = zAM uuuuur uuuur uuuu r uuuu r uuur Ta có B 'M ' = AM ' - AB ' = zAM - xAB uuur uuur uuur uuur 2z uuur = z AB + BM - xAB = ( z - x ) AB + BC uuur 2z uuur uuur uuur 2z uuur ỉz ÷ = ( z - x ) AB + AC - AB = ỗ x AB ữ ỗ ữ + AC ỗ è3 ø ( ) ( ) uuuuu r uuuur uuuu r uuur uuur B 'C ' = AC ' - AB ' = yAC - xAB z 2z uuuuur uuuuu r - x Mặt khác B ' M ' , B 'C ' phương nên = Û = + -x y z x y Hay AB AC AM +2 =3 AB ' AC ' AM ' Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt uuuu r Ta có: MK = AK =x>0 CK uuur x uuur MA + MC (1) 1+ x 1+ x Hình 1.56 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuuu r uuur Do: MK , MS phương nên uuuu r uuur l uuur uuur MK = l.MS = MB + MD ( ) uuur ìï uuur ïï MB = - a MA ï MA Mặt khác MA.MB = MC MD = a > Þ í uuur ïï a uuur MD = MC ïï ỵ MC uuuu r Suy MK =- al uuur 2MA2 MA - al 2MC uuur MC ( 2) ìï al ïï =2 MA AM AK ï 1+ x MA Þ Þ x = Þ Từ (1) (2) suy ra: í = ïï al MC CK CM = ïï 2MC ïỵ + x ... uuur + B1C + B1A +C 1A +C 1B Suy A1A2 + B1B2 +C 1C = A1B + AC ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uur uuur uuu r = 3( A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA +C 1C +CA +C 1C +CB... liệu file word có lời giải uuur uuur uuur ( uuuuu r uuuur uuur uuur ) Ta có MS + RQ + PN = MM + M 1A + AS1 + S1S + uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur + RR1 + R1E + EQ1 + Q1Q + PP1 + P1C... + b + c OB + OC ÷ ÷ ữ ( ) ỗ ỗ ữ ữ ỗa + b çb + c è a +b ø è b+c ø rư ỉ d uuur ỉ a uuur c uuur d uuu ữ ỗ +( c + d ) ỗ OC + OD ÷ + d + a OD + OA ữ ữ ( ) ỗ ỗ ữ ữ ỗc + d ỗd + a c + d d + a è ø è ø