VECTO ỨNG DỤNG VECTƠ để GIẢI TOÁN HÌNH học (phương pháp giải + bài tập có lời giải) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC Phương pháp chung Để giải toán tổng hợp phương pháp vectơ ta thường thực theo bước sau Bước 1: Chuyển giả thiết kết luận toán sang ngơn ngữ vectơ, chuyển tốn tổng hợp toán vectơ Bước 2: Sử dụng kiến thức vectơ để giải tốn Bước 3: Chuyển kết toán vectơ sang kết toán tổng hợp Sau số dạng toán thường gặp I CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH Phương pháp giải uuur uuur A A B • Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ C uuur uuur phương, tức tồn số thực k cho: A B = kA C • Để chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định ta chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H điểm cố định Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B Chứng minh M thuộc đường thẳng AB uuur uuur uuur có hai số thực a , b có tổng cho: OM = a OA + bOB Lời giải uuuur uuur uuur uuur uuur uuur * Nếu A, B, M thẳng hàng Þ A M = kA B Û A O + OM = k (A O + OB ) uuur uuur uuur Þ OM = (1 - k )OA + kOB Đặt a = - k ; b = k Þ a + b = uuur uuur uuur OM = a OA + bOB uuur uuur uuur * Nếu OM = a OA + bOB với a + b = Þ b = - a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Þ OM = a OA + (1 - a )OB Þ OM - OB = a (OA - OB ) Þ BM = a BA Suy M, A, B thẳng hàng Ví dụ 2: Cho góc xOy Các điểm A, B thay đổi nằm Ox, Oy cho OA + 2OB = Chứng minh trung điểm I AB thuộc đường thẳng cố định uur uuur uuur Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I OI = OA + OB (*) 2 uur uuur uuur Từ ví dụ ta cần xác định hai điểm cố định A', B' cho OI = a OA ' + bOB ' với a + b = Do từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' Ox, Oy uur Ta có (* ) Û OI = OA uuur OB uuur OA ' + OB ' từ ta cần chọn điểm cho 2OA ' 2OB ' OA OB + = Kết hợp với giả thiết OA + 2OB = ta chọn điểm A' B' cho 2OA ' 2OB ' 3 , OB ' = OA ' = Lời giải Trên Ox, Oy lấy hai điểm A', B' cho OA ' = uur Do I trung điểm AB nên OI = Ta có 3 , OB ' = uuur uuur OA uuur OB uuur OA + OB = OA ' + OB ' 2 2OA ' 2OB ' OA OB OA OB + = + = (OA + 2OB ) = 2OA ' 2OB ' 3 2 Do điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định Ví dụ 3: Cho hình bình hành A BCD , I trung điểm cạnh BC E điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AE = Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng AC Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta tìm số k cho http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uur uuur uur DE = kDI , muốn ta phân tích vectơ DE , DI qua hai vectơ không phương uuur uuur r r r r r A B A D sử dụng nhận xét " ma + nb = Û m = n = với a, b hai vectơ không phương " từ tìm k = Lời giải (hình 1.35) uur uuur uur uuur Ta có DI = DC + CI = DC + uuur uuur uuur CB = A B - A D (1) 2 uuur Mặt khác theo giả thiết ta có A E = uuur A C suy A B uuur uuur uuur uuur uuur DE = DA + A E = DA + A C I E D uuur uuur uuur uuur uuur = - AD + A B + A D = A B - A D (2) 3 ( ) uuur C Hình 1.35 uur DI Từ (1) (2) suy DE = Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động hai đoạn thẳng cố định BC BD ( M ¹ B , N ¹ B ) cho BC BD + = 10 BM BN Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải Dễ thấy tồn điểm I thuộc MN cho uuur uuur r Gọi H điểm thỏa mãn 2HC + 3HD = uuur uuur uuur r BC uuur BD uur IM + IN = (1 ) BM BN r Ta có (2 ) Û 5HB + 2BC + 3BD = (2 ) H cố định http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Û uuur 2BC uuur 3BD uuur BM + BN = 5BH BM BN Û uuur 2BC uur uuur 3BD uur uur BI + IM + BI + IN = 5BH BM BN ( ) ( ) uur uuur ỉ BC BD ữ (theo (1)) ỗỗ2 + BI = BH ữ ữ ỗố BM BN ứ uur uuur uur uuur Û 10BI = 5BH Û BI = BH (3) Do điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định hệ thức (3)) Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song A A1, BB 1,CC đường tròn (O) Chứng minh trực tâm ba tam giác A BC 1, BCA1,CA B nằm đường thẳng Lời giải Gọi H 1, H , H trực tâm tam giác A BC 1, BCA1,CA B Ta có: uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur OH = OA + OB + OC , OH = OB + OC + OA1 uuuur uuur uuur uuur OH = OC + OA + OB uuuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur Suy H 1H = OH - OH = OC - OC + OA1 - OA = C 1C + A A1 uuuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur H 1H = OH - OH = OC - OC + OB - OB = C 1C + BB Vì dây cung A A1, BB 1,CC song song với uuur uuur uuur Nên ba vectơ A A1, BB 1,CC có phương uuuuur uuuuur Do hai vectơ H 1H H 1H phương hay ba điểm H 1, H , H thẳng hàng Bài tập luyện tập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.101: Cho tam giác A BC điểm M trung điểm AB, N thuộc cạnh AC cho AN = A C , P điểm đối xứng với B qua C Chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài 1.102: Cho tam giác A BC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho A B , A N = A C Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng BC lấy E uuur uuur Đặt BE = xBC AM = Tìm x để A, O, E thẳng hàng uur uur uur uur r Bài 1.103: Cho D A B C lấy điểm I, J thoả mãn IA = 2IB , 3JA + 2JC = Chứng minh IJ qua trọng tâm G D A B C uuuur uuur uuur uuur Bài 1.104: Cho tam giác A BC Hai điểm M, N di động thỏa mãn MN = MA + MB + MC a) Chứng minh MN qua điểm cố định b) P trung điểm AN Chứng minh MP qua điểm cố định uuur uuur uuur uuur Bài 1.105: Cho hai điểm M,P hai điểm di động thỏa mãn MP = aMA + bMB + cMC Chứng minh MP qua điểm cố định Bài 1.106 Cho hình bình hành A BCD Gọi E điểm đối xứng D qua điểm A, F điểm đối xứng tâm O hình bình hành qua điểm C K trung điểm đoạn OB Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng K trung điểm EF Bài 1.107: Cho hai tam giác A BC A1B 1C ; A2 B , C trọng tâm tam giác BCA1, CA B 1, A BC Gọi G , G 1, G trọng tâm tam giác A BC , A1B 1C , A 2B 2C Chứng minh G , G 1, G thẳng hàng tính GG GG Bài 1.108 Cho tam giác A BC Các điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur MB = a MC , NC = b NA , PA = g PB cho Tìm điều kiện , ,  để M, N, P thẳng hàng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.109: Cho tứ giác A BCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh trung điểm hai đường chéo AC, BD tâm O thẳng hàng Bài 1.110: Cho lục giác A BCDEF nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn A B = CD = EF Về phía ngồi lục giác dựng tam giác A MB , BNC , CPD, DQE , ERF , FSA đồng dạng cân M, N, P, Q, R, S Gọi O1, O trọng tâm tam giác MPR NQS Chứng minh ba điểm O , O1, O thẳng hàng uuuur Bài 1.101: Ta chứng minh MN = - uuur MP Û M, N, P thẳng hàng uuur uuur uuur Bài 1.102: Ta có: A O = A B + A C uuur uuur uuur A E = (1 - x )A B + x A C uuur uuur A, E, O thẳng hàng Û A E = kA O uuur uuur k uuur k uuur 36 Û (1 - x )A B + xA C = A B + A C Û k = ; x = 13 13 Vậy x = giá trị cần tìm 13 uur uur uur uur r Bài 1.103: IA = 2IB Û IA - 2IB = uur uur r uur uur uur 3JA + 2JC = Û 3IA + 2IC = 5IJ uur uur uur uur suu uur Suy 2(IA + IB + IC ) = 5IJ Û 6IG = 5IJ Û I, J, G thẳng hàng Bài 1.104: a) Gọi G trọng tâm tam giác A BC suy uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur MN = MA + MB + MC Û MN = GA + GB + GC + 3MG = 3MG Suy M , N , G thẳng hàng hay MN qua điểm cố định G uuur b) P trung điểm AM Þ MP = uuur uuuur uuur uuur uuur MA + MN ) = (2MA + MB + MC ) ( 2 uur uur uur r Gọi I trung điểm BC, J trung điểm AI suy 2JA + JB + JC = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur Do MP = 2MJ suy MP qua điểm cố định J uur uur uur r Bài 1.105: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác A BC suy aIA + bIB + cIC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do MP = aMA + bMB + cMC Û MP = (a + b + c )MI Vậy MP qua điểm cố định I uuur Bài 1.106: Ta có: EF = uuur uuur uuur uuur uuur A D + A B , EK = A D + A B 2 4 uuur uuur Þ EF = 2EK Vì K trung điểm EF uuuur uuur uuur uuuur Bài 1.107: Vì G , G1 trọng tâm tam giác A BC , A1B 1C suy 3GG1 = GA1 + GB + GC uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Û 3GG = GA + GB + GC + A A1 + BB + CC uuuur uuur uuur uuur Û 3GG = A A1 + BB + CC uuuur uuur uuur uuuur Tương tự G , G2 trọng tâm tam giác A BC , A2B 2C suy 3GG1 = GA1 + GB + GC uuuur uuur uuuur uuuur Û 3GG2 = A A2 + BB + CC uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur Mặt khác A A2 + BB + CC = A A1 + BB + CC + A1A2 + B 1B + C 1C Mà A2 B , C trọng tâm tam giác BCA1, CA B 1, A BC ( uuuur uuuur uuuur ) ( uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy A1A2 + B 1B + C 1C = A1B + A1C + B 1C + B 1A + C 1A + C 1B ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur = (A1A + A B + A1A + A C + B 1B + BC + B 1B + BA + C 1C + CA + C 1C + CB ) Do uuur uuur uuur = (A A1 + BB + CC ) uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur A A2 + BB + CC = (A A1 + BB + CC ) uuuur uuur uuur uuur Þ GG2 = A A1 + BB1 + CC uuuur uuuur Vậy GG = 3GG1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur Bài 1.108: Ta có: MB = a uuur uuur uuur BC ; BP = AB 1- a g- uuur uuur uuur BC = (1 - a )MC ;CN = uuuur Ta có: MN = - uuur MP = (- b uuur AC; 1- b uuur b uuur AB + ( + )A C Và 1- a 1- a 1- b a uuur a uuur )A B + AC 1- a 1- g 1- a Để M, N, P thẳng hàng ta phải có - a a 1- a 1- g 1- a = Û a bg = 1 b + 1- a 1- a 1- b Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S tiếp điểm đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đường tròn tâm O Đặt SA = AP = a, BP = BQ = b, CQ = CR = c, DR = DS = d Áp dụng định lý nhím cho tứ giác A BCD ta có: uuur uuur uuur uur r a + b OP + b + c OQ + c + d OR + d + a OS = ( ) ( ) ( ) ( ) uuu r uuur uuur ỉ b uuur ổ a ỗỗ c OB + b OC ữ (a + b )ỗỗ OA + OB ÷ + b + c ÷ ÷ ( ) ÷ çèa + b a+b b+ c ø èçb + c ø÷ ỉ d uuur ỉ a uuur c uuur ữ d uuur ửữ ỗỗ + (c + d )ỗỗ OC + OD ÷ + d + a OD + OA ữ ( ) ữ ỗốc + d d+a ứ uuur uuur ốỗd +r a ứữ uuur uuur c + d ( ) ( ) Û (b + d ) OA + OC + (a + c ) OB + OD = uuur uuur r Û (b + d )OM + (a + c )ON = Suy O, M, N thẳng hàng (đpcm) Bài 1.110: Gọi M 1, N 1, P1, Q1, R 1, S hình chiếu M , N , P ,Q, R , S lên A B , BC ,CD, DE , EF , FA Suy M 1, N 1, P1,Q1, R 1, S trung điểm A B , BC ,CD, DE , EF , FA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur Ta có MS + R Q + PN = uuuuur (MM uuuur uuur uuur + M 1A + A S + S 1S + ) uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur + R R + R 1E + EQ1 + Q1Q + PP1 + P1C + CN + N 1N ( ) ( uuuuur uuur uuur = MM + PP1 + R R ( ) ) uuuuur uuur uuur uuuur uuur uuur r ( Vì theo định lí nhím MM + PP1 + RR1 + N 1N + Q1Q + S 1S = ) Mặt khác A B = CD = EF suy uuur uuur uuur ( uuur MM R R1 PP1 = = = OM OR OP1 k uuur uuur Do MS + R Q + PN = k OM + OP + OR ) uur uuur uuur uuur uuur uuur Û OS + OQ + ON = (k + ) OM + OP + OR uuuur uuuur Û OO2 = (k + )OO1 ( ) Hay ba điểm O , O1, O thẳng hàng II CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp giải uuur uuur • Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta chứng minh A B = kCD điểm A khơng thuộc đường thẳng CD • Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh theo hai hướng sau: + Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định + Chứng minh đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng lại Các ví dụ Ví dụ 1: Cho ngũ giác A BCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ Chứng minh IJ song song với AE A B M I N C J P E Q D Hình 1.36 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải (hình 1.36) uur uur uur uuur uuur uur uuur Ta có 2IJ = IQ + IN = IM + MQ + IP + PN uuur uuur uuur uuur uuur = MQ + PN = A E + BD + DB 2 uuur = AE ( ) Suy IJ song song với AE Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn uuur uuur uuur uuur uuur uuur r a + b + g ¹ , b MB + g MC = g NC + a NA = a PA + b PB = AM, BN, CP đồng uuur uuur uuur r quy O, với O điểm xác định a OA + bOB + gOC = Lời giải uuur uuur r ( uuur uuur ) ( uuur uuur Ta có b MB + g MC = Û b MO + OB + g MO + OC ) r = uuur uuur uuur uuur uuur Û a OA + bOB + gOC + (b + g )MO = a OA uuur uuur Û ( b + g )MO = a OA Suy M, O, A thẳng hàng hay AM qua điểm cố định O Tương tự ta có BN, CP qua O Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy Ví dụ 3: Cho sáu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi D tam giác có ba đỉnh lấy sáu điểm D ' tam giác có ba đỉnh lại Chứng minh với cách chọn D khác đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D D ' đồng quy Định hướng Giả sử sáu điểm A, B, C, D, E, F Ta cần chứng minh tồn điểm H cố định cho với cách chọn D khác H thuộc đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D D ' Nếu D tam giác ABC D ' tam giác DEF Gọi G G' trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF uuur uuuur H thuộc đường thẳng GG ' có số thực k cho HG = kHG ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuur k uuur (HA + HB + HC ) = (HD + 3 uuu r uuu r uuu r 1 k uuur Û HA + HB + HC - HD 3 3 Û uuur uuur HE + HF ) r k uuur k uuur HE - HF = 3 Vì vai trò điểm A, B, C, D, E, F tốn bình đẳng nên chọn k cho uuur uuur uuur uuur uuur uuur r k - = Û k = - HA + HB + HC + HD + HE + HF = 3 Lời giải Gọi H trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F uuur uuur uuur uuur uuur uuur r HA + HB + HC + HD + HE + HF = (* ) Giả sử G , G ' trọng tâm hai tam giác A BC , DEF suy uuur uuur uuur r uuuur uuuur uuuur r GA + GB + GC = 0, G ' D + G ' E + G ' F = Suy uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur (* ) Û 3HG + GA + GB + GC = 3HG ' + G ' D + G ' E + G ' F uuur uuuur Û HG = HG ' Do GG' qua điểm cố định H đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D D ' đồng quy Bài tập luyện tập Bài 1.111: Cho tứ giác A BCD , gọi K, L trọng tâm tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh hai đường thẳng KL AD song song với Bài 1.112: Trên cạnh BC, CA, AB tam giác A BC lấy điểm A1, B 1,C cho A1B BC CA = = = k (k > ) Trên cạnh B 1C 1, C 1A B 1, A1B lấy điểm A1C B 1A C 1B A2 , B , C cho A2B BC CA = = = Chứng minh tam giác A 2B 2C có cạnh A2C B 2A1 C 2B k tương ứng song song với cạnh tam giác A BC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.113: Trên đường tròn cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Qua trọng tâm ba năm điểm kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng qua hai điểm lại Chứng minh mười đường thẳng nhận cắt điểm Bài 1.114 Cho tứ giác A BCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Kẻ MM', NN', PP', QQ' vng góc với CD, DA, AB, BC Chứng tỏ bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy điểm Nhận xét điểm đồng quy hai điểm I, O (I giao điểm MP NQ) Bài 1.115: Cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi D tam giác có ba đỉnh lấy năm điểm đó, hai điểm lại xác định đoạn thẳng q Chứng minh với cách chọn D khác đường thẳng nối trọng tâm tam giác D trung điểm đoạn thẳng q qua điểm cố định Bài 1.116: Cho tam giác A BC Ba đường thẳng x, y, z qua A, B, C chúng chia đôi chu vi tam giác A BC Chứng minh x, y, z đồng quy Bài 1.117: Cho tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP qua điểm, xác định điểm Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA uuur uuur uuur uuur r a) Gọi G giao điểm MP NQ Chứng minh GA + GB + GC + GD = b) Gọi A1, B 1,C 1, D1 trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh đường thẳng A A1, BB 1, CC 1, DD1 đồng quy điểm G Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M điểm tùy ý Gọi A1, B 1,C điểm đối xứng với M qua trung điểm I, J, K cạnh BC, CA, AB Chứng minh a) Các đường thẳng A A1, BB 1,CC đồng quy trung điểm O đường b) M, G, O thẳng hàng MO = MG Bài 1.120: Cho tam giác A BC Gọi M, N, P tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác A BC với cạnh BC , CA , A B Gọi D a đường thẳng qua trung điểm PN vng góc với BC, D b đường thẳng qua trung điểm PM vng góc với AC, D c đường thẳng qua trung điểm MN vng góc với AB Chứng minh D a , D b D c đồng quy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.121: Cho hai hình bình hành A BCD A B 'C ' D ' xếp cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc cạnh AD Chứng minh đường thẳng DB ', CC ', BD ' đồng quy uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r Bài 1.111: Ta có KA + KB + KC = LB + LC + LD = Trừ vế với vế ta uuur uuur uuur r KA - LD + 2KL = Û uuuur Bài 1.112: A2C = uuur uur uuur uuur r uuur uuur r KL + LA - LD + 2KL = Û DA + 3KL = Suy KL//AD ( ) k - k + uuur A C , k - k + > A2 Ï A C nên A2C / / A C (k + 1) Tương tự ta có B 2C / / BC A2B / / A B Bài 1.113: Giả sử năm điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 nằm đường tròn (O) Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc mười đường thẳng Gọi G trọng tâm tam giác A1A2A3 ; P trung điểm đoạn thẳng A4A5 Vì OP ^ A4A5 (do OA4 = OA5 ) nên điểm H thuộc đường thẳng qua G vng góc với đường thẳng A4A5 có số uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA1 + OA2 + OA (vì G trọng tâm tam giác thực k cho HG = kOP Mà OG = uuur uuur uuur OA + OA5 (vì P trung điểm đoạn thẳng A4A5 ) A1A2A3 ) OP = uuur uuur uuur uuur uuur Do HG = kOP Û OG - OH = kOP ( ( ) uuur uuur uuur uuur k uuur OA1 + OA2 + OA3 - OH = OA + uuur uuur uuur uuur k uuur Û OH = OA1 + OA2 + OA - OA 3 Hay ( ) ) ( uuur OA5 ) k uuur OA Vì điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 tốn có vai trò bình đẳng nên chọn k cho - k = Û k = 3 uuur Khi OH = uuur Hay OH = uuur uuur uuur uuur uuur OA1 + OA2 + OA + OA + OA5 ( ) uuur OG (G trọng tâm hệ điểm {A1, A2, A3, A4, A5 }) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ' uuuur uuur Vì OP ^ CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' có số thực k cho HM = kOP Mà M P trung điểm AB CD nên uuuur uuur uuur uuur uuur uuur HM = HA + HB ; OP = OC + OD 2 ( ) ( ) uuur uuur k uuur uuur HA + HB = OC + OD 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Û HO + OA + HO + OB = k OC + OD Û 2OH = OA + OB - kOC - kOD Vì điểm uuuur uuur Do HM = kOP Hay ( ) ( ( ) ) A, B, C, D tốn có vai trò bình đẳng nên chọn k = - uuur uuur uuur uuur uuur Khi 2OH = OA + OB + OC + OD uuur uuur uur uur Hay 2OH = 4OI (Dễ thấy I trọng tâm tứ giác ABCD) Û OH = 2OI Vậy H điểm đối xứng O qua I Bài 1.115: Gọi A, B, C ba đỉnh tam giác D DE đoạn thẳng q Gọi G trọng tâm tam giác D uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur M trung điểm DE với điểm O tùy ý ta có OA + OB + OC + OD + OE = 3OG + 2IM Do GM qua điểm cố định O trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E Bài 1.116: Hướng dẫn : Đặt BC = a, CA = b, A B = c Giả sử đường thẳng x qua A cắt BC M ta có AB + BM = AC + MC Û c + BM = b + MC Þ c + 2BM = b + (BM + MC ) Suy BM = a + b- c a- b+ c , CM = 2 uuur uuur r Do : (a + c - b )MB + (a + b - c )MC = Tương tự ta có : uuur uuur uuur uuur r (a + b - c )NC + (b + c - a )NA = (b + c - a )PA + (a + c - b )PB = Do x, y, z đồng uur uur uur r quy I xác định bới (b + c - a )IA + (a + c - b )IB + (a + b - c )IC = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.117: Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC M Gọi B’,C’ tiếp điểm cạnh AB,AC với đường tròn bàng tiếp góc A Khi AB ' = AC ' Û AB + BB ' = AC + CC ' Û c + BM = c + CM Đến tương tự 1.116 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 1.118: a) Ta có: GA + GB + GC + GD = 2GM + MA + MB + 2GP + PC + PD = uuur uuur uuur uuur uuur uuur r = 2(GM + GP ) + (MA + MB ) + (PC + PD ) = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) 3A A1 = A B + A C + A D ; 4A G = A B + A C + A D Þ A A1 = uuur AG uuur uuur Þ A A1; A G phương hay AA1 qua G Tương tự ta có BB1 qua G; CC1 qua G; DD1 qua G Vậy ta có AA1 , BB1 , CC , DD1 đồng quy G Bài 1.119: a) Gọi O trung điểm CC1 uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur A A1 = A M + MA1 = A M + MB + MC = A C + MB uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 2A O = A C + A C = A C + MB (vì A C 1BM hình bình hành) Þ A A1 = 2A O hay O trung điểm AA1 uuur uuur Tương tự ta có BB = 2BO hay O trung điểm BB1 Vậy A A1 , BB , CC đồng quy trung điểm O đường uuur uuur uuur uuur b) Ta có: 3MG = MA + MB + MC uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 2MO = MA + MA1 = MA + MB + MC Þ 2MO = 3MG Þ M, G, O thẳng hàng uuur MO = MG ur uur ur uur ur Bài 1.120: Đặt IM = e1 , IN = e2 , IP = e3 Gọi X, Y, Z trung điểm NP, PM, MN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uur ur ur ur O điểm xác định 2IO = e1 + e2 + e3 uuur uur uur Suy OX = OI + IX = - ur ur ur ur ur ur e1 + e2 + e ) + (e2 + e ) = - e1 ( 2 Suy OX ^ BC , tương tự ta có OY ^ A C , OZ ^ A B Suy D a , D b D c đồng quy O Bài 1.121: Đặt uuur AB ¢ AD¢ = m, = n (0 < m , n < 1) Gọi I giao điểm BD' DB' AB AD uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur Ta có A C = A B + A D ; A C ¢= A B ¢+ A D ¢= m A B + nA D uuur n uuur BA BD uuur uuuu r uuuu r uuur AD¢ n - n uuur n- = n ị D ÂA = D ÂD ị BD ¢= = BB ¢+ n BD n AD n- 1- m 1n- uuu r uuu r uu r uu r r 1- n n (m - 1) Do ú ị IB Â+ n ID = ị IB ¢= ID 1- m 1- n uuuur n (m - 1) uuur uuur uuur A B ¢+ A D m (n - 1)A B + n (m - 1)A D uur n Þ AI = = n (m - 1) mn - 1+ n- uur uuur uur uuur uuur IC = A C - A I = (m - 1)A B + (n - 1)A D ) ; ( mn - uuur uuur uuuur uuur uuur C ¢C = A C - A C ¢= (1 - m )A B + (1 - n )A D uur Suy IC = uuuur C 'C mn - Suy I, C', C thẳng hàng Þ đpcm III BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương sử dụng kết sau: r r Cho a, b hai vectơ khơng phương http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải r r r r • Với vectơ x tồn số thực m , n cho x = ma + nb r r r • ma + nb = Û m = n = r r r ur r r ur r • Nếu c = ma + nb, c ' = m ' a + n ' b, m '.n ' ¹ c, c ' hai vectơ phương m n = m' n' Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác A BC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho AM = A B , A N = A C Gọi O giao điểm CM BN Tính tỉ số OM ON OB OC A M Lời giải (hình 1.37) N uuur uuur uuur uuur Giả sử ON = n BN ; OM = mCM O B uuur uuuur uuur uuuur uuur Ta có A O = A M + MO = A M - mCM Hình 1.37 uuur uuur uuuur uuuur uuur = A M - m (A M - A C ) = (1 - m )A B + m A C ; uuur uuur uuur uuur uuur Và A O = A N + NO = A N - nBN uuur uuur uuur uuur uuur = A N - n (A N - A B ) = (1 - n )A C + nA B uuur uuur uuur Vì A O có cách biểu diễn qua A B A C suy ìï ïï ï í ïï ïï ỵ ìï ïï m = (1 - m ) = n Û ïí ïï (1 - n ) = m ïï n = ỵ Vậy OM ON = = OB OC C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 2: Cho hình bình hành A BCD M thuộc đường chéo AC cho A M = kA C Trên cạnh AB, BC lấy điểm P, Q cho MP / / BC , MQ / / A B Gọi N giao điểm AQ CP Tính tỉ số CN AN theo k CP AQ Lời giải (hình 1.38) uuur uuur uuur uuur Đặt A N = xA Q , CN = yCP , ta có: P A uuur uuur uuur uuur uuur DN = DA + A N = DA + xA Q uuur uuur uuur = DA + x (A B + BQ ) B N Q M D uuur uuur BQ uuur = DA + xDC + x BC BC Hình 1.38 C uuur uuur BQ uuur = DA + xDC - x DA BC Vì MQ / / A B Þ uuur uuur uuur uuur BQ AM = = k nên DN = (1 - kx )DA + xDC (1) BC AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mặt khác DN = DC + CN = DC + yCP = DC + y (CB + BP ) uuur uuur BP uuur = DC + yDA + y BA BA Vì MP / / BC Þ BP CM CA - A M = = = - k nên BA CA CA uuur uuur uuur uuur uuur uuur DN = DC + yDA - y (1 - k )DC = yDA + (1 + ky - y )DC ìï k ïï x = ìï y = - kx ï k - k + Þ í Từ (1) (2) ta suy ra: ïí ïï x = + ky - y ïï 1- k ỵ ïï y = k - k+ ïỵ (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Do CN 1- k AN k = = CP k - k+ AQ k - k+1 Ví dụ 3: Cho tam giác A BC có trung tuyến AM Trên cạnh AB AC lấy điểm B’ C’ Gọi M' giao điểm B'C' AM Chứng minh: AB AC AM + = AB ' AC ' AM ' Lời giải (hình 1.39) uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur Đặt A B = x A B ' ; A C = yA C ' ; A M = zA M ' uuuuur A uuuuur Vì M ' Î B 'C ' Þ $ k : B ' M ' = kB 'C ' B' uuuur uuuur uuuur uuuur Û (A M ' - A B ') = k (A C ' - A B ') uuuur uuuur uuuur Þ A M ' = (1 - k )A B ' + kA C ' C' M' B uuuur - k uuur k uuur Û AM = AB + AC z x y M C Hình 1.39 1 uuur uuur - k uuur k uuur (A B + A C ) = AB + AC z2 x y 1- k k Û = = = Þ x + y = 2z 2z x y x+ y Û Hay AB AC AM + = đpcm AB ' AC ' AM ' Bài tập luyện tập Bài 1.122 Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho AM BN = ; = Gọi I giao điểm AN CM MB NC Tính tỉ số AI CI IM AN Bài 1.123: Cho tam giác A BC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC BC D, E F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG song song AC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Tính ED GB Bài 1.124: Cho D A B C có A B = 3, A C = Phân giác AD góc BA C cắt trung tuyến BM I Tính AD AI Bài 1.125: Cho tam giác A BC , cạnh AC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho: A M = 3MC , NC = 2NB , gọi O giao điểm AN BM Tính diện tích D A B C biết diện tích D OBN Bài 1.126: Cho hình bình hành A BCD Gọi M, N nằm cạnh AB, CD cho A B = 3A M , CD = 2CN , G trọng tâm tam giác MNB AG cắt BC I Tính BI BC Bài 1.127: Cho tứ giác A BCD có hai đường chéo cắt O Qua trung điểm M AB dựng đường thẳng MO cắt CD N Biết OA = 1,OB = 2, OC = 3, OD = , tính CN ND Bài 1.128 Cho tam giác A BC M điểm nằm cạnh BC cho S A BC = 3S A MC Một đường thẳng cắt cạnh A B , A M , A C B ', M ',C ' phân biệt Chứng minh AB AC AM + = AB ' AC ' AM ' Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB CD cắt M Qua trung điểm S BD kẻ SM cắt AC K Chứng minh uur uuur uur AM AK = CK CM uuur Bài 1.122: Đặt A I = x A N ; CI = yCM uur uuur uuur uuur Ta có: A I = x (A B + BN ) = xA B + x uuur BC uuur x uuur uuur 3x uuur x uuur 21x uuuur x uuur = xA B + (A C - A B ) = AB + AC = AM + AC 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: Tương tự: 21 x AI x + = 1Þ x = Þ = 23 AN 23 IC 21 = IM r uuur uur r uur r uuur r b uuur Bài 1.123: Ta đặt: CA = a ;CB = b Khi CM = CE = kCA = ka Vì E nằm đoạn thẳng uuur uuur uuur uur r r AC nên có số k cho CE = kCA = ka , với < k < Khi CF = kCB = kb Điểm D nằm AM EF nên có hai số x y cho: uuur uur uuur uuur uuur CD = xCA + (1 - x )CM = yCE + (1 - y )CF r Hay xa + r r 1- x r b = kya + k (1 - y )b r r Vì hai vectơ a, b khơng phương nên x = ky 1- x = k (1 - y ) uuur r r Suy x = 2k - , CD = (2k - 1)a + (1 - k )b uuur uuur r uuur r uuur Ta có: ED = CD - CE = (1 - k )(b - a ) = (1 - k )A B uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Chú ý CF = kCB hay A B + BG = kA B suy (1 - k )A B = GB Do ED = GB Bài 1.124: Ta có: uur uuur r IB AB = = Þ 2IB + 3IM = IM AM uuur uuuur uur Þ 2A B + 3A M = 5A I (1) uuur uuur r uuur uuur uuur DB AB = = Þ 4DB + 3DC = Þ 4A B + 3A C = 7A D (2) DC AC Từ (1) (2) suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuuur uuur uur uuur uur r A D 10 3A C - 6A M = 7A D - 10A I Þ 7A D - 10A I = Þ = AI uuur uuur uuur Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên: BO = xBA + (1 - x )BN uuur uuuur uuur Tương tự: A O = yA M + (1 - y )A B uuur uuuur uuur uuur Þ A B = y A M + (x - y + 1)A B + (x - 1)BN uuur uuuur uuur hay r (x - y )A B + y A M + (x - 1)BN = (1) uuur r r uuuur uuur ur uur r r uuur 1r Đặt CB = a , CA = b , Ta có : A B = a - b; A M = - b; BN = - a ( r Thay vào (1) ta có: (x - y ) a Û r x y a ( ) - r ) - b - ỉ 1rư r r yb + (x - y )ỗỗ- a ữ ữ ữ= ỗố ứ r x - r 3y r x y b = ab ( ) ìï ìï ïï x - y = x - ïï x = ï Từ ta có: í Û ïí ïï ïï ïï y - x = y ïï y = ỵ ỵ Với x = 10 uuur uuur 1 uuur BA + (1 )BN Þ BO = 10 10 10 uuur uuur uuur uuur uuur uuur NA BA - BN hay NO = NA Þ = 10 Þ BO - BN = 10 10 NO ( ) Vì S ONB = Þ S NA B = 10 Þ S A BC = 30 Bài 1.126: Đặt uur uur uuur BI = k , k > Þ BI = kBC BC uuur uur uuur uuur uuur uuur Ta có A I = A B + BI = A B + kBC = A B + kA D Mặt khác G trọng tâm tam giác MNB suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3A G = A M + A N + A B = A B + (A D + A C ) + A B uuu r uuu r uuu r uuu r 1 11 uuur uuur = A B + (2A D + A B ) + A B = AB + AD uuur uur Vì A G , A I phương nên uuur 11 = Þ k= k 11 uuur uuur uuur Bài 1.127: Ta có OC = - 3OA , OD = - 2OA uuur uuur uuur uuur uuur Vì OM , ON cung phương nên có số thực k cho ON = kOM Þ ON = Đặt uuur uuur 2k uuur CN OA OB = k , k > , ta có ON = 1+ k k+1 ND Suy - 4k = Û k= k (1 + k ) k (k + ) uuur Bài 1.128: Ta có S A BC = 3S A MC Þ BC = 3MC Þ BM = uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur BC uuuur Đặt A B ' = x A B ; A C '= yA C ; A M ' = zA M uuuuur uuuur uuuur uuuur uuur Ta có B ' M ' = A M ' - A B ' = zA M - xA B uuur uuur uuur uuur 2z uuur = z A B + BM - x A B = (z - x )A B + BC uuur 2z uuur uuur ỉz uuur 2z uuur = (z - x )A B + A C - A B = ỗỗ - x ữ AB + AC ữ ữ ỗố 3 ứ ( ) ( ) uuuuur uuuur uuuur uuur uuur B 'C ' = A C ' - A B ' = yA C - xA B z 2z - x uuuuur uuuuur = Û = + Mặt khác B ' M ' , B 'C ' phương nên -x y z x y Hay AB AC AM + = AB ' AC ' AM ' k uuur uuur (OA + OB ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt uuuur Ta có: MK = AK = x> CK C uuur x uuur MA + MC (1) 1+ x 1+ x M K S A uuuur uuur Do: MK , MS phương nên D uuuur uuur uuur l uuur MK = l MS = MB + MD ( B Hình 1.56 ) uuur ìï uuur ïï MB = - a MA MA Mặt khác MA MB = MC MD = a > Þ ïí uuur ïï a uuur MD = MC ïï ỵ MC uuuur Suy MK = - al uuur 2MA MA - al uuur 2MC MC (2 ) ìï al ïï = MA AM AK ï + x MA = Þ x= Þ Từ (1) (2) suy ra: Þ í 2 ïï CK al CM MC = ïï 2MC ïỵ + x ... b uuur b uuur AB + ( + )A C Và 1- a 1- a 1- b a uuur a uuur )A B + AC 1- a 1- g 1- a Để M, N, P thẳng hàng ta phải có - a a 1- a 1- g 1- a = Û a bg = 1 b + 1- a 1- a 1- b Bài 1.109: Gọi P, Q,... file word có lời giải uuur uuur uuur Ta có MS + R Q + PN = uuuuur (MM uuuur uuur uuur + M 1A + A S + S 1S + ) uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur + R R + R 1E + EQ1 + Q1Q + PP1 + P1C +. .. A1A2 + B 1B + C 1C = A1B + A1C + B 1C + B 1A + C 1A + C 1B ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur = (A1A + A B + A1A + A C + B 1B + BC + B 1B + BA + C 1C + CA + C 1C + CB