“Rèn luyện tư duy sáng tạo trong dạy học giải bài tập chứng minh bất đẳng thức

Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, việc dạy học giải bài tập toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

Luật giáo dục năm 2005 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Cho thấy việc tích cực, chủ động trong học tập là rất cần thiết giúp rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn

Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, việc dạy học giải bài tập toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn… Bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trường THPT là rất đa dạng và phong phú; được sử dụng nhiều trong kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, các

kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Vì thế thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường phổ thông ta có thể rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo

Với những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo trong dạy học giải bài tập chứng minh Bất đẳng thức” trong chuyên

đề “Tư duy Toán học” chò bài tiểu luận của mình Nhân đây, cho tôi xin được bày tỏ sự biết ơn đến thầy giáo TS Nguyễn Văn Thuận đã nhiệt tình giảng dạy cho lớp Cao học 18 Phương pháp Tóa cũng như bản thân tôi trong thời gian qua

Vinh, tháng 04 năm 2012

Học viên: Cao Hải Vân

mà trước đó chủ thể chưa biết”

Theo Rubistein: “Tư duy – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện

1.1.2 Đặc điểm của tư duy: Tư duy có những đặc điểm chủ yếu sau:

- Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;

- Tư duy có tính khái quát;

- Tư duy có tính gián tiếp;

- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhưng cũng không đồng nhất với nhau Sự thống nhất giữ tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy;

- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác,

biểu tượng trực quan,…) X L Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy”

- Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư

duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc

Các thao tác tư duy:

 Phân tích – tổng hợp

Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thành những “bộ phận”, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ giữa chúng để nhận thức đối tượng sâu sắc hơn

Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những “bộ phận” đã được phân tích

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung cho nhau tạo thành sự thống nhất không tách rời được

 So sánh

So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức

 Trừu tượng hóa và khái quát hóa

Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố

cần thiết để tư duy Ví dụ: Khi nói đến hình chóp ta nghĩ đến hình có đáy là đa

giác, đỉnh và các mặt bên là các tam giác, ta không để ý đến các thuộc tính cụ thể như hình chóp đều, hình chóp tam giác, …

Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính chung nhất định

Cấu trúc tư duy Toán học: Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy Trong toán học có một số loại hình tư duy sau:

(1) Tư duy cụ thể;

(2) Tư duy trừu tượng;

(3) Tư duy trực giác;

(4) Tư duy hàm;

(5) Tư duy biện chứng;

(6) Tư duy sáng tạo;

(7) Các phong cách toán học của tư duy

Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể tách ra các thành phần:

- Tư duy phân tích

- Tư duy logic

- Tư duy lược đồ không gian

1.2 Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo là một hình thức tư duy, nó có tác dụng rất to lớn trong việc phát triển tư duy cho học sinh đặc biệt là đối tượng học sinh khá và giỏi Giáo viên phải biết phát huy hết khả năng tìm tòi, phát hiện những vẻ đẹp của Toán học

Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác

nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học bộ môn Toán)

G.Polya đã cho rằng: "Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo

ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn

vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta

để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả"

Tư duy sáng tạo là tích cực và tư duy độc lập, khi nói đến tư duy sáng tạo

là ta đang nói đến việc học sinh tự khám phá, tự tìm cách giải quyết một vấn đề trong giải toán Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết các mâu thuận tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, có tính hợp lý và tạo ra cho học sinh một niềm tin, sự phấn khích sau khi tìm ra được giải pháp Nói tóm lại, tư duy sáng tạo là tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới có tính độc đáo và hiệu quả giải quyết vấn đề cao

1.3 Hoạt động chứng minh

Chứng minh là một hình thức suy luận, dựa vào những phán đoán (mệnh đề)

mà tính chân thực (đúng) đã được công nhận, để khẳng định tính chân thực của một mệnh đề khác được chứng minh

Một chứng minh gồm ba bộ phận cấu thành

1) Luận đề: là mệnh đề cần phải chứng minh (trong chứng minh nó trả lời câu hỏi “Chứng minh điều gì”

2) Luận cứ: là mệnh đề được thừa nhận (định nghĩa, tiên đề, định lý, ) được lấy làm tiền đề trong mỗi suy luận Trong chứng minh nó trả lời cho câu hỏi

“Chứng minh bằng cái gì”

3) Luận chứng: là các suy luận tổng quát được vận dụng trong mỗi bước suy luận của chứng minh (Nó trả lời cho câu hỏi: Chứng minh như thế nào, dùng quy tắc suy luận gì)

Có 2 phương pháp chứng minh chủ yếu là chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp Chứng minh trực tiếp là đưa ra luận cứ và dùng quy tắc suy luận

để rút ra luận đề Sử dụng các quy tắc suy luận để đi thẳng từ giả thiết đến kết luận Một phương pháp chứng minh gián tiếp hay sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng

Phần II: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO QUA BÀI TOÁN

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

2.1 Tập luyện cho học sinh năng lực dự đoán trong chứng minh BĐT

“Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ các nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những giả định về các hiện tượng và quy luật chưa biết”

Dự đoán không những giúp ta thật sự hiểu bài toán mà trong giải bài tập còn giảm được những cách giải mày mò, mù quáng, trước những bài toán khó không vội đi vào tính toán, chứng minh ngay mà biết căn cứ vào dữ kiện và mục tiêu cần giải quyết để có những trù liệu, phán đoán Nó thuộc loại vấn đề gì? Đại thể nên bắt đầu từ đâu? Sau đó mới bắt tay vào tính toán, chứng minh Khi đạt được một kết quả nào đó thì kết hợp với mục tiêu dự đoán, cảm nhận được cách giải nào sẽ đạt được kết quả Nếu thấy có thể được thì sẽ tiếp tục phương pháp đó, nếu cảm nhận thấy không được thì phải quay lại điều kiện ban đầu để

dự đoán, tìm cách giải khác, điều chỉnh cho tới khi giải được bài toán

Ví dụ 1: Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn x  y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

y x y x

P  1 1

Đối với học sinh khá giỏi thì việc tìm ra lời giải bài toán này không quá khó khăn Tuy nhiên, học sinh chỉ giải theo một cách máy móc hoặc mắc ngay sai lầm khi giải bài toán bằng cách áp dụng ngay BĐT Cô – si GV có thể tập luyện cho HS dự đoán từ đề bài để tìm ra lời giải Chúng ta biết rằng một biểu thức đạt được GTLN hoặc NN khi tồn tại các giá trị của biến đề dấu “=” có thể xẩy

ra Đối với bài toán trên thi biểu thức điều kiện và biểu thức P đối xứng đối với

cả 2 biến x, y do đó GTNN của biểu thức có thể đạt được tại x=y= Do đó để

vận dụng ngay BDT Cô-si một cách chính xác thì phải đi tìm biểu thức phù hợp

để x, y cùng bằng ½ Khi đó chúng ta hướng cho học sinh phân tích bài toán theo hướng:

x y

y

y x x

P 4 1 4 1 3 

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có

4

1 4

1 4 2

1

x

x x

x x

1 4

1 4 1

0

; 0

y x

y x

Vậy GTNN của P là 5

Một sự tương tự như trên, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 2: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: Chứng minh rằng:

(2)(Đề thi TSĐH Khối A 2003)

Ta dự đoán được để dấu “=” xảy ra trong BDT trên khi x=y=z=1/3 Khi đó bằng cách biến đổi biểu thức và sử dụng BDT C-S ta được phép chứng minh như sau:

Vậy BDT cần chứng minh quy về chứng minh BDT:

Vậy BDT được chứng minh xong

Ví dụ 3: Từ bất đẳng thức Cô - si đối với hai số không âm: “Với mọi a 0 , b 0

ta có ab ab

2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b” và bất đẳng thức Cô - si

đối với ba số không âm: “Với mọi a 0 , b 0 , c 0 ta có 3

c b a







Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c”, bằng khái quát hóa ta có dự đoán: “Với mọi

0

, 0 ,

0 2

n n

a a a n

a a

a

2 1 2

Phép tương tự hóa là một phép dự đoán hết sức hiệu quả, trong quá trình sáng tạo học sinh thường tìm được một sự tương tự nào đó với những bài toán

mà họ đã gặp trước đó Sau đây ta sẽ xét một số bài toán mà việc dự đoán học sinh dựa trên nền tảng là sự tương tự

Ví dụ 4: Với hai số dương x và y ta có:

(1 1)

4

1 1

y x y

x   (4)

Đẳng thức xảy ra khi x =y

Bất đẳng thức (4) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất

Cách 1 Với hai số dương x và y ta có:

(x  y)2 0 (x + y)2 (1 1)

4

1 1 4

y x y x

x y

x

2 1

1 2 1 1

y x y x y

x      

Và đẳng thức xảy ra khi x =y

Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có

(1 1)

4

1 1 );

1 1 ( 4

1 1 );

1 1 ( 4

1 1

a c a c c b c

b b a b

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:

Bài toán 4.1 Cho ba số dương a, b, c, ta có:

(1 1 1)

2

1 1 1

1

c b a a c c b b

1 2

1 2

1

a c c b b a b a c a c b c b

1 2

1 2

1

c b a b a c a c b c b

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

c b a a c b b a a c b b

a           2 

2 )

2 ( ) 3 (

4 2

1 3

1

a c b b a c c b b a c c

b           2 

2 )

2 ( ) 3 (

4 2

1 3

1

b a c c b a a c c b a a

c           2 

2 )

2 ( ) 3 (

4 2

1 3

1

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (4.3)

Đẳng thức xảy ra khi: a b c

c b a a c

b a c c b

a c b b a

2 3

2 3

Kết luận: “Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya)

Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới

2.2 Tập luyện cho học sinh tìm ra nhiều cách giải và lời giải hay cho một bài toán

Tìm nhiều lời giải cho một bài toán giúp cho học sinh có cách nhìn toàn diện, biết hệ thống hóa và sử dụng các kiến thức, các kỹ năng và phương pháp giải toán một cách chắc chắn, mềm dẻo linh hoạt Đó cũng là đặc trưng của năng lực giải toán

Tập hợp nhiều cách giải và tìm được cách giải tối ưu cho bài toán là quá trình suy nghĩ đến cách giải Từ đó phát hiện ra các vấn đề mới, các bài toán mới; Dễ dàng áp dụng vào thực tiễn, vào các trường hợp riêng của bài toán hay

đi đến hướng giải tổng quát cho từng loại bài toán

Ví dụ 5: (USA MO 1998) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c

Để chứng minh BDT trên ta cần chứng minh a3b3 abab

Việc chứng minh BDT (*) có nhiều cách chứng minh khác nhau Sau đây ta sẽ

xét một số cách chứng minh BDT (*):

Cách 1: (*)  abab2 0

Cách 2: Vì vai trò của a và b trong bài toán bình đẳng nên không mất tính

tổng quát ta có thể giả sử: a  b 0 Khi đó

.

3 3 3

3 3 3 3

b a a b

a    

3

.

3 3 3

3 3 3 3

b b a

ab    

Cộng theo vế theo vế 2 BDT trên ta có điều phải chứng minh

Cách 5: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có

a3 ab2  2 a3ab2  2a2b

b a

b   

Cộng theo vế theo vé 2 BDT trên ta cũng có điều phải chứng minh

Như vậy, từ một bài toán thì GV có thể định hướng cho HS tìm tòi, phát minh ra những lời giải theo sự suy nghĩ một cách tự nhiên của các em Không nên áp đặt hay chỉ biết vẻ đường cho HS, làm như vậy sẽ làm thui chột khả năng sáng tạo của trẻ con.GV phải là người biết gợi cho các em sự sáng tạo đó Sau đây ta sẽ xét một ví dụ khác về sự phong phú trong cách tìm lời giải cho một bài toán chứng minh BDT

Ví dụ 6: (IMO 1961): Cho a, b, c là độ dài ba cạnh và S là diện tích của tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi ΔABC ta có:

Sau đây ta xét một số định hướng trong việc tìm lời giải của bài toán:

Cách 1: Sử dụng công thức Hê – rông ta có:

Cách 2: Sử dụng công thức Heron và các BDT AM-GM Và C-S ta có:

Cách 3: Sử dụng công thức lượng giác ta có:

Thật vậy, theo BDT AM-GM ta có:

Theo công thức Heron ta cần chứng minh BDT sau;

cần chứng minh BDT:

Sử dụng BDT C-S ta có:

Mặt khác theo BDT AM-GM thì

Nhân vế theo vế hai BDT nói trên rồi lấy căn bậc hai hai vế của BDT thu được

ta có ngay kết quả như trên

Bất đẳng thức nói trên còn một số cách giải nữa, tuy nhiên trong khuôn khổ cuốn tiểu luận này tôi chỉ trình bày một số phép chứng minh như trên Trong quá trình dạy học, GV nên cho học sinh tập luyện biến đổi đối tượng về những cách nhìn nhận khác nhau để tìm ra được những lờ giải khác nhau Qua đó kích thích học sinh tìm tòi và mục đích cuối cùng là nhằm phát triển tư duy cho Hs đặc biệt là tư duy sáng tạo

2.3 Phát hiện và sửa chữa một số sai lầm trong giải toán BĐT

Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông có lúc, có

chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học sinh còn hạn

chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm Một trong những nguyên nhân quan

trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán G Pôlia đã phát biểu: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” Điều quan trọng là GV phải biết tạo ra những pha dạy học , gài trong đó những tình huống mà HS có thể mắc sai lầm; cũng từ đó để HS nhận ra sai lầm và học được những tri thức mới từ chính sai lầm mình mắc phải Sau đây, chúng ta sẽ

đi xét một số sai lầm học sinh thường mắc phải trong quá trình tư duy sáng tao chứng minh BDT