Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng Ví dụ Cho ab ≥1 Chøng minh: 1 a b Giải: Đpcm (đúng) ( a b) ( ab 1) Bài tập áp dông: ab Cho a, b, c ≥1 Chøng minh 1 3 abc 1 a 1b 1 c Cho a, b, c, d, e ≥1 Chøng minh 1 1 5 5 abcde 1 a 1b 1 c 1 d 1 e Cho Chøng minh 1 1 1 1 a ,b ,c ,d 2 2 12abcd 4ad¬ng 9Chøng b 16 c 25d a, b > 0,4 m và5 n hai số nguyên Ví dô Cho minh: (am + bm)(an + bn) ≤ 2(am+n + bm+n) ambn + anbm ≤ am+n + bm+n Giải: Cả hai BĐT tơng đơng với BĐT : (an-bn)(am-bm) (đúng) Bài tập áp dơng: Cho a, b, c d¬ng Chøng minh: 1) (a + b)(a2 + b2)(a3 + b3) ≤ 4(a6+ b6) 2) với n nguyên dơng n 3) 4) a b an bn 1 1 abc víi 3 a b abc b c abc c a abc abc ab bc =1 ac 1 VÝ dơ 3.a 5Víi b,c.a 5Chøng minh: a2+ b2+ c2 ≥ab + bc + ca b mäi ab sèb 5thùc c a, bc c ac Gi¶i: Đpcm tơng đơng với (a - b)2+(b - c)2 + (c - a)2 (đúng) Bài tập áp dơng: Víi mäi sè thùc a,b,c d¬ng chøng minh: 1) a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) 2) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Bài tập tự luyện 1) Cho ab>0, c≥ ab Chøng minh: c2 a2 2) Cho a, b, c d¬ng Chøng minh: a) b) a3 2a b a ab b ca c b c2 b2 a2 bc a bc c 4a b c a3 b3 a ab b b bc c c ca a II Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi với x1,x2,,x,xn dơng Ví dụ CMR: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta cã ( x1 x x n )( vµ 1 ) n x1 x xn Nh©n vÕ víi vÕ bất đẳng thức ta đợc x x x n n x1 x x n Đpcm Đẳng thức xảy x1= x22=,x= xnn 1 Bài tập ápdụng: n n x1 x2 xn bc ac ab 1 a 2b a c b a b c c a c 2b 2a 2b 2c x1 x x n 1) Víi mäi a,b,c d¬ng, chøng minh: ab minh: 2) Víi mäibctam gi¸cacABC, chøng a 2b a 2c b2a b2c c a c 2b dơng 1 Chó ý: Ta xem ví dụ nh kết đợc a ¸p b3 cho1 c¸c c vÝ dơ 1ë phÇn sau VÝ dơ 2: Cho a, b, c d¬ng Chøng 1) 3c a3 2b3 c a b 2c 4a b 2ac 3 b c a a b minh: 1 2 p a p b p c a b c 4b 4c (a x)(b y ) ( ab xy ) 2) (a x)(b y )(c z ) (3 abc xyz ) Gi¶i: 1)a b c b c c a a b 2 2 bab c aybx xy ( ab xy ) VP VT aab (bay bxc) xya Chó ý:b Cã c thĨ c sử a dụng a b BĐT2Bunhia để chứng minh BĐT VT abc ( abz bcx acy) ( ayz bzx cxy) xyz abc 33 ( abc) xyz 33 abc( xyz) xyz 2) áp dụng BĐT Côsi ta có Ta có BĐT tơng tự nh ( abc xyz ) VP a b đợc Đpcm c CộngVT vếvới vế ( BĐT 1) ( lại ta 1) ( 1) bc ca a b Chó ý : BĐT 9Bunhia chứng minh cách1sử dụng BĐT a b (b c) (a c) VT M (12 x)(1 y )(1 z ) a b b c c a sử dụng kết2quả BĐT 1) Bài tập áp dụng : a, b, c d¬ng chøng minh: 1) Víi P 1 1 A B C sin sin sin Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 1 2 1 x 1 y 1 z xyz Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến 2) Cho a, b, c dơng abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 3) Víi mäi tam gi¸c ABC chøng minh VÝ dơ 3: 1) Víi mäi a, b, x, y d¬ng chøng minh 2) Víi mäi a, b, c, x, y, z dơng chứng minh Giải: 1) 2) Bài tập áp dụng: 1) Cho x, y,z dơng xyz =8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2) Với tam giác ABC tìm giá trị nhỏ biểu thøc VÝ dơ : Cho x, y, z d¬ng Chứng minh Giải: Từ giả thiết áp dụng BĐT Côsi ta có: 1 y z yz 1 2 x y z y z (1 y )(1 z ) Ta có thêm 2BĐT tơng tự nh Nhân vế với vế BĐT thu gọn ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng Chứng minh xyzt 81 x Tìm y giá Ví dơ : Cho x, y d¬ng, 1 1 3 1 x 1 y 1 z 1 t trÞ nhá nhÊt cđa S x 4y Giải : áp dụng Côsi ta có : x x x x y x x x Đẳng thức xảy chØ x 4 25 4 x y 25 S 5 4y x 4y x y 1 VËy minS = P Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài x 1 1 y 1 z 1 BÊt đẳng thức cực trị hàm đa biến Ví dụ : Cho x, y, z dơng x+y+z = Tìm Giải : áp dụng BĐT C«si ta cã : x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 9 P x y 9 z 94 Đẳng thức xảy vµ chØ x y z Vậy Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dơng x+y+z = Ví dụ : Cho y4 x4 z4 yz zx xy P x2 y2 z2 trÞ lín TìmCgiá yz zx xy y x z Q y x yz x3 x x+y+z y 1= z T×m giáz trị nhỏnhất x,y,z dơng ( x y )( x z ) ( y z )( y x) ( z x)( z y ) Giải : áp dụng BĐT x y x z 3x x3 x ( x y3 y )( x z 3z ) 8 A C«si ta Ta còng y cã z :z x x y nh Công BĐT lại ta đợcx yz x = y = z = VËy minA = Bài tập áp B dụngP: y Đẳng z thức 3x biểu thức có BĐT tơng tự xảy A 6 y3 x3 z3 ( x y )( x z ) ( y z )( y x) ( z x)( z y ) 1) Cho x, y, z dơng x+y+z = Tìm giá trị nhỏ 2) Cho x, y, z dơng vàx 2xyz = y1.2 Tìm zgiá trịx nhỏ y z x yz y zx z xy VÝ dơ : Cho x, y, z d¬ng Chøng minh: A 3 x y 3 y z 3 z x Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: tơng tự nh thÕ Céng vÕ víi 3x y 3 x y 3 (3 x y ).1.1 vế đẳng thức ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : giá x y z 1) Cho x, y, z dơng xyz = Tìm Ta có 2BĐT trị nhỏ B 4 x y 4 y z 4 z x 2) Cho x, y, z dơng xy + yz + zx = xyz Chøng minh : M x y 4 3x y 4x y2 VÝ dô : Cho x 1x, y, z2dơng y y 4xx+ 4y y + 4z x 1= Tìm giá y ytrÞ 4lín9nhÊt cđa A 4 x y 2 3.3 x y 4 2 Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng 2Tµi A 2x 3y 10 18 x y Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Giải : áp dụng Côsi ta có : Ta có BĐT tơng tự nh Cộng phân thức lại ta đợc A3 Đẳng thức xảy Vậy maxA = 3 xyz Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng2 5x+5y+5z +5t= Tìm giá trị lớn 1 cña P x y z x y z VÝ dô 10 : Cho x,1 y dơng Tìm giá trị nhỏ 15 P x y z 3 x y z 4 x y z 2 15 minP x y z 2 Gi¶i : Đẳng thức xảy x = y = VËy 1 9 15 x y z 4( x y z ) 3( x y z ) 2.6 y z : Cho x, y d¬ng x y vµz x + y ≥ Chøng x y minh: z 2 ¸px dơng P x y z Bµi tËp VÝ dơ 11 : Cho x, y, z dơng Tìm giá trị nhỏ Q xy Giải : Cách : Đẳng thức xảy raMkhi sinvàA sinkhi B sin C xy VËy 1 sin A sin B sin C C¸ch 2: A x y z Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm minP = ?! Bài tập(áp B 48 x dông: 8) ( y 8) ( z 8) 33 2.x 33 y 33 z 12( x y z ) 72 1) Cho B 24x, y dơng x + y = Tìm giá trị nhỏ 2) Xác định góc tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ B x VÝ dô 12 : Cho x, y, z dơng x + y + z = Tìm giá trị nhỏ y6 z6 A B C sin sin 2 2 2 a b c d 1 1 b c d a a b c d M sin Giải : Đẳng thức xảy x = y = z = VËy minB = 24 Bài tập a áp a dông a2 5 3a b x, by , zbdơng a vàax + by + z = b bTìmagiá trị nhỏ 1) Cho 2) Với tam giác ABC tìm giá trị nhỏ Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài a3 b b3 c c3 d d3 a a b c d4 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến VÝ dơ 13 : Cho a, b, c, d d¬ng Chøng minh: Gi¶i: 5 a b Ta cã 3 b c c5 d d5 a Ta có BĐT tơng tự nh a b c d Cộng BĐT lại ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : Cho x a,1b, c, dd¬ng minh y 1Chøng z P x y z zx xy 1) yz 2) x y z x y z x y z xy yz zx x y z 2 xyz xyz x y z 14 : Cho x, y , z dơng tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P VÝ dơ x2 x2 1 P x 2x 2x 2 P Gi¶i : Mặt khác : Đẳng thức xảy vµ chØ x = y = z = Vậy Lời bình: Còn tìm đợc cách giải khác sử dụng BĐT Côsi Mời bạn thử sức! Ví dụ 15: Cho a, b,c số thực dơng thoả mÃn điều kiện a2+b2+c2+abc = Chøng minh r»ng a+ b + c ≤ Gi¶i: bc ( b )(4 c ) a Cách 1: Đây BĐT có điều kiện Một phơng pháp xử lí toán khử điều kiện từ đầu Coi điều kiện a2+b2+c2+abc = nh phơng trình bậc hai theo a, ta đợc b2 c2 (b c) Một cách tự nhiên, biểu thức trên, ta Côsi cho a áp dụng BĐT thức bc có đánh giá (b c) 4(b c) 12 (b c 2) 12 3 4 a bc bc t ®ã Từ Cách 2: Đặt , ta có = a2+ b2 + c2+ abc 2 = a2 + 2t2 + at2+(b(2+ - t2) 2 c a- )(2tb ) +c)a(bc a 2t at a (2 a )t Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài t 2 a a 1.(2 a ) a a 3 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến = Từ suy có đánh giá a b c a 2t a 2 a Cách : Từ điều kiện a2+b2+c2+abc = ta suy a, b, c (0;2) Từ áp dụng BĐT Côsi cho sè – a, – b, – c ta cã 27(2 a )(2 b)(2 c) ( a b c) 27(8 4(a b c) 2(ab bc ca) abc) (6 a b c ) y ca) a b12 c 4) (6 a b c) 27(8 4(a b Ac) x2(ab bc xy xy 27( s s 4) (61 s )x3 y x 3)( s 12s 36) 0 0 ray( s Tõ ®ã suy s 3.1 x y y x Cách : Cũng điều kiện a, b, c (0;2) đà gợi đến phép lợng giác Rõ ràng đặt a= 2cosA vµ b =2 cosB, c = cosC, víi A, B góc nhọn Khi đó, tính c theo a, b, ta đợc c (4 a )(4 b ) ab cos A cos B sin A sin B cos( A3 B) 23cos( A B) a3 b c a b c VËy c = 2cos C víi A B C .Nh thÕ ®iỊu kiƯn2 a2 2+b22 + c22 +abc = đÃ2đợc a b b c c2 a2 tham số hoá thành a = cosA, b= 2cosB, c= 2cosC , A, B, C> a víi b A B C 7( a b) 8 2( a b ) b thuộc a Yêu cầu toán trở thành bất đẳng thức quen tam giác: Đó lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thøc 2 2 P cos A cos(B cos C ) A B a1b1A B a n2bn ) (2a1C a nC)(b1 b2 n C C 1 P 2 cos cos sin 2 sin sin 2 sin 2 Bài tập áp dụng: Cho x, y, z x yz 2 b b1 dơng x2+n a1 an 2 2 y2 + z2 + 2xyz = Chøng minh Bµi tËp tù lun 1) Cho x, y d¬ng Chøng minh: 1 x 2) Cho x > y > Tìm giá trị nhỏ y 1 x A x 3) Cho x, y, z dơng Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa y 256 xy ( x y ) x y z A 3 4( x y ) 4( y z ) 4( z x ) 2 y z x 4) Cho x, y không âm x + y = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A x y y1 x minA A x y z 3 minB 5) Cho x,y9 dơng x + y < Tìm giá trị nhỏ minC 6) Cho 27 Chøng minh 1 1 M x y x 7y Ths Phạm Huy Tân2 Trờng THPT 2Lơng Tài 1 1 25 M x y 1 1 x y x y x y 2 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến 7) Cho x, y dơng x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức a) A= x2y b) B = x4y3 x y M 8) Cho a, b, c số d¬ng Chøng minh r»ng 25 9) Cho a, b số dơng Chứng minh III Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia Nội dung: 1 M x y z x y z Đẳng thức xảy Ví dụ 1: Cho x + y+ z = Tìm giá trị nhá nhÊt cña a) A= x22a+2 y2b+ z2 ab b) B= x4 + y4 + z4 2b c 2c a bc ca c) C = x8 +2ya +bz8 ab a a b 2a b ab 3ab Gi¶i : a) 3A = 3(x2 + y2 + z2 )≥ (x + y+z)2 = Vậy P b) c) Đẳng thøc x¶y 3a 4b 3b 4c 3c 4a ab bc ac a b c 1 b 2c c 2a a 2b VÝ dụ : Cho x, y dơng x + y = 1.2 Tìm giá trị nhỏ a ( a b c) Gi¶i : Ta cã b 2c a (b 2c) VT (ab 2ac ) 3VT (ab bc ca ) (a b c ) 3( ab bc ca ) 1 ab bc ac) và3(chỉ ab bc ac) thức3(xảy rakhi VT Đẳng Vậy Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dơng x + y + z = Tìm giá trị nhỏ a b c pb qc pc qa pa qb p q VÝ dô : Cho a, b, c dơng ab + bc + ca = abc Chøng minh: P x ( y z) y y 2z z y ( z x) z z 2x x z ( x y) x x 2y y Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng a bTµi p bc c a p a p b p c 3p Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Giải: Ta có Ta có BĐT tơng tự nh Cộng BĐT sử dụng giả thiết ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : Cho a, b, c dơng ab + bc + ca = abc Tìm giá trị nhá nhÊt cđa VÝ dơ : Cho a, b, c dơng Chứng minh: x Giải: Ta có y 1 y2 x yz x2 z2 yz zx x y c(a c) c(b c) ab Đẳng thức xảy vµ chØ a = b = c x 02 a b Bµi tập áp dụng: 1) Cho a,x 2b, c,y 2p,qx dơng y 2Chøng y minh: x2 2) Cho x, y, z dơng xyz = Tìm giá trị nhỏ x x x x 11 Bµi tËp tù luyÖn 2 a b c 4S 1) Cho a, b, c dơng a + b + c = Chøng minh 4 btam cgi¸c 16S 2) Víiamäi ABC chứng minh 3) Cho x, y dơng Tìm giá trị nhỏ M = x+ y 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cña S = x+ y biÕt 2x(x – 1) + 2y(y-1) ≤3 xy yz zx xyz 5) Cho x, y, z d¬ng Chøng minh 27 6) Cho a > c > 0, b > c Chøng minh: 7) Gäi x0 lµ nghiƯm cđa phơng trình x + ax + b = Chøng minh x y z x 8) Cho Chøng minh 3x + 4y 9) Giải phơng trình 10) Với tam gi¸c ABC Chøng minh 1 0; f(x) 27 a) b) IV Phơng pháp hàm số phơng pháp khác 1 2( x y z ) 4( xy yz zx ) xyz Ths Phạm27Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 27 xy yz zx xyz 27 (1 x)(1 y )(1 z ) Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Ví dụ 1: Cho x, y, z dơng x + y + z = Chứng minh Giải : Cách : Giả sư Khi ®ã ta cã y z xy yz x x 1 (1 x) zx xyz f ( x) VT xy xz ( yz xyz ) x( y z ) yz (1 x) x ( y z ) 4 Lập bảng biến thiên f(x) nửa khoảng ta đợc Cách : ( x y ) xy x y Do (1-2x)+(1-2y)+(1-2z)=1> nªn ba sè 1-2x, 1-2y, 1-2z ph¶i cã Ýt nhÊt 1 A số dơng Nếu cảx bay số dơng, áp dụng BĐT Côsi ta có : B x y3 t t 1 t (t 1) t t 1 t 1 y c¸c trêng , x hợp còn(lại t !? 1) Bất đẳng thức vÉn ®óng 1 t 2t A f (t ) x y t dụng t : Bài tập áp f (t ) f (1) 4 1) Cho x, y, z không âm 2và x + y +2 z = Chøng minh ) B ( x y )( x xy y ( x y ) xy A 16 ( xy ) 2)x Choy x, y, z không âm x + (yxy+) z =3 Chøng minh x2 + y2 + z2 +xyz ≥4 x y vµxy x y xy VÝ dô : Cho x,y khác không A Tìm giá trị lớn x y B ( x 1) y ( x 1) y y 1) 2) Giải : 1) Đặt x=ty,2 từ giả thiết suy ra2 2 Do ®ã ( x 1) y ( x 1) y y 2 y B 2 y y f ( y ) LËp b¶ng biến thiên f(t) ta đợc B ( x; y ) (0, VËy maxA = ) 1 VËy maxB ( a b =16 c)( ) 10 a Bài tập áp dụng: Cho a b b c a c 7 b a c b c a b c Tìm giá trị lớn Ví dụ 3: Tìm giá trị nhá nhÊt cña a b a b a b c a c a c c c b ( a b)(b c) 0 ab bc b ac ( ) ( ) VT 2( ) c b c c b a b c a c a 1 a a b Ths Ph¹m Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 10 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Giải: Trên mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét điểm M(-1+x;-y) vµ N(1+x;y) Ta cã OM + ON≥ MN a b c Lập bảng biến thiên f(y)1ta đợc 1 S a b c a b c VÝ dô 4: Cho a, b, c thuộc đoạn [1;2] Chứng minh a b c a b b c c a b, c ;3 Giải: BĐT tơnga,đơng với Giả sử a b c 1 Đặt b a 1 c b 1 a c b a b aab c 1 VT ?! c x ,1 x 2 a cVT c f ( x) 2( x ) b2 1 c x 1 b c Lập bảng biến thiên f(x) [1;2] ta đợc VT => Đpcm b c t Bàit tập áp,1 dụng: a, b, fc(tdơng t Cho VT ) VÝ dơ : Cho Gi¶i: Chøng minh Đpcm 2 Tìm giá trị nhỏ 2 Giả sử Đặt t2 t2 x x 2y 2y x ( x y) x2 4y2 2 2 2 x y 1 t x 2y 2 f (t ) 4t t 2 Lập bảng biến thiên f(t) đoạn [1;3] ta đợc Đpcm Ví dụ 6: Cho x2 + y2 d¬ng Chøng minh r»ng a b c 2(a b c ) Giải: Đpcm tơng đơng víi (y ≠0) ( a 2a ) (b 2b ) (c 2c ) 0 f ( a ) f (b) f (c) Đặt Đpcm tơng đơng với biến thiên f(t) ta đợc Đpcm (Khi y = BĐT đúng) Lập bảng x R VÝ dô 7: Cho a, b, c R vµ a + b + c = Chøng minh r»ng: f ( x) (8 x 16) x x x 16 ( x 2) ( x x 4) 0x Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài a 2a (8a 16) ( a 2) ( a 2a 4) 0x R a 2a 8a 16a R 11 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy a = b = c = BĐT cần chứng minh có dạng Trong f(x) = x4 2x3 Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số y=f(x) điểm có b 2b 8b 16; c 2c 8c 16 hoành độ x = alà4 y=8x b c– 16 2(a Ta b 3hy cväng ) 8(cã a sù b ®¸nh c) 48gi¸: 0 f(x)≥8x – 16 víi Ta cã VËy ta cã lêi gi¶i nh sau: Lời giải : Ta có : Tơng tự ta có Cộng BĐT lại với ta có (Đpcm) Chú ý : Vì y = 8x - 16 tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x 2x3 điểm có f(x) ax b x ( ; ) f(x) ax b x ( ; ) hoành độ x = nên ta có phân tích f(x) – (8x - 16) = (x - 2) k g(x) víi k ≥ vµ g(2)≠0 NhËn xÐt: NÕu y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm x uốn), x n x tồn khoảng A(x0 ;y0) (A xlà1 điểm n điểm x0 cho ( ; )chøa hc xi k Đẳng i thức xảy x = x0 Từ ta có : f(x1) + f(x2)+,x.+ f(xn)≥a(x1+ x2+…,x+ xn) +nb ( hc f(x1) + f(x2)+…,x.+ f(xn) ≤ a(x1+ x2+…,x+ xn) +3n, víi mäi 1 đẳng thức xảy a b c NÕu c¸c biÕn xi cã tỉng x , x , ., x n ( ; ) 4. a b b c c a a bc (k không đổi) đợc viết lại dới dạng sau f(x1) + f(x2)+…,x.+ f(xn) ≥ ak + nb hc f(x1) + f(x2)+…,x.+ f(xn) ≤ ak + nb VÝ dô : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: f ( axÐt: ) f B§T (b) fcÇn (c) chøng NhËn 4 9 1 a a 1 b b 1 c c 5x f ( x) minh x nên ta giả sử không làm tính tổng quát toán a b c a+b+c = mà Khi BĐT đà cho trở thành: , ở(đó x 1) (2 x 1) f(x) - (18x - 3) x x2 Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài a 1 a, b, c 0; 12 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Bất đẳng thức đà cho xảy dấu = số y = f(x) điểm có hoành độ x Tiếp tuyến đồ thị hàm là: y= 18x -3 Phải ta có đánh giá: (1)?! Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác thoả mÃn điều kiện a+b+c = 1, giả sử a = max{a,b,c}, ®ã 1=a+b+c>2a Do ®ã (1) Lời giải: Không làm tính tổng quát ta giả sử a+b+c = 1, BĐT trở thành Vì a, b,c độ dài ba cạnh tam giác vµ a+b+c = 5a 5b 5c 9 2 a a b b c c suy Ta cã: (3a 1) (2a 1) 5a 1 5a 1 ( 18 a ) a 18a a, b, c 2 2 a a a a a a Ta có BĐT tơng tự Cộng BĐT lại với ta có : 5a 5b 5c x¶y2 ra 18(a b c) 9 Đẳng a a thức b b c c a b c Bµi 3) Cho tËp tù luyÖn Chøng minh r»ng 1) Cho 2) Cho a, b, c 0; a 22 b 22 c 22 3 Chøng minh r»ng a, b, c 0; a b c 1.Chøng 4) Cho minh r»ng Chøng minh r»ng 5) Cho a, b, c Chøng ; a b c 1 minh r»ng 6) Cho a,b,c d¬ng Chøng minh r»ng a, b, c 0; a b c 3 7) Cho x,y,z kh¸c Chøng minh r»ng 8) Cho (§pcm) 1 1 a b c 2 a b c 1 a b c 7 a b c a b c a b c 10 a b c ab bc ca a b c giá trị lớn bc ca ab 10 b c a c a b a b c b c a c a b a b c 2 xc¶m 2y2 2z Xin chân thành ơn ! x ( y z ) 2 y ( z x) 2 z ( x y ) a, b, c 0; a b c 1 T×m x y Thứa-Lơng Tài, ngày 05 tháng 022 xynăm S x y 2009 Ths.Phạm Huy Tân - THPT Lơng Tài - ĐT: 0126.234.6595 Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 13 ... = 2cos C víi A B C .Nh thÕ ®iỊu kiƯn2 a2 2+b22 + c22 +abc = ®·2®ỵc a b b c c2 a2 tham sè hoá thành a = cosA, b= 2cosB, c= 2cosC , A, B, C> a víi b A B C 7( a b) 8 2(