Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến

Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 11 ĐẲNG THỨC, CỰCTHƯỜNG TRỊ HÀM ĐƯỢC NHIỀU BIẾN Bài CÁCBẤT BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG  ① Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) • ∀ a, b ≥ 0, thì: a + b ≥ a.b Dấu " = " xảy khi: a = b • ∀ a, b, c ≥ 0, thì: Dấu " = " xảy khi: a = b = c a  b  c  3.3 a.b.c a+b a+b  a + b + c 3 2 ab Nhiều trường hợp đánh giá dạng: = ⇔ a.b ≤   a.b.c ≤   ⋅     ② Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki) a b • ∀ a, b, x, y (a.x + b.y)2 ≤ (a2 + b2 )(x2 + y2 ) Dấu " = " xảy khi: = ⋅ ∈ ℝ, thì: x y • ∀ a, b, c, x, y, z ∈ ℝ, thì: (a.x + b.y + c.z)2 ≤ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y2 + z2 ) a b c Dấu " = " xảy khi: = = ⋅ x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x + b.y (a2 + b2 )(x2 + y2 ) ≤ Hệ Nếu a, b, c số thực x, y, z số dương thì: (a + a2 + 2b + c2  (a + b + : bất đẳng thức cộng mẫu số b2 a + c)2 b)2 y z x+y+z ③xBấty đẳng x + ythức x → → → → véctơ Xét véctơ: u = (a; b), v = (x; y) Ta ln có: u + v ≥ u + v ⇔ a2  b2  x2  y2  (a  x)2  (b  y)2 Dấu " = " xảy u v hướng ④ Một số biến đổi đẳng thức thường gặp • x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) • x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) • x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 − 3(x + y)(y + z)(z + x) • x + y + z = 3xyz + (x + y + z)  x2 + y + z − (xy + yz + zx) • • (a − b)(b − c)(c − a) = ab2 + bc2 + ca2 − (a2b + b2c + c2a) (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc • α + 2 3 − ab − bc − ca)2(a = + b + c ) − 6abc ⋅ a+b+c (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 = 3(a − b)(b − c)(c − a) (a b) − + c)(b − • • 2 + a)(c − = +b + 2(a c 2α − β (a − b)2 − (a2 + b2 ) − = ⋅ (a b) (a ab b) (a ⑤ Một số đánh giá bất đẳng thức phụ β +β b ab) = 2α + + + - Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Các đánh giá thường sử dụng (không cần chứng minh lại) a ∀ x; y; z ≥0 b ∀ x; y; z ≥0 c ∀ x; y; z ∈ℝ d ∀ x; y; z >0 e ∀ x; y; z ≥0  suy ra → x + y + z ≥ xy + yz + zx suy ra → (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz suy ra → 3(x2 + y + z ) ≥ (x + y + z)2 suy ra → (x + y + z)(x + y + z ) ≥ 3(x y + y z + z x) suy ra → (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) f ∀ x; y; z ≥  suy ra → x y + y z + z x ≥ xyz(x + y + z)  suy ra → (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) g ∀ x; y; z ≥ suy ra → 3(x2 y + y z + z x ) ≥ (xy + yz + zx) s uy r a h ∀ x; y; z ∈    → (x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ (x + y)(y + z)(z + x) ℝ Các bất đẳng thức phụ thường sử dụng i ∀ x; y; z ∈ (chứng minh lại áp dụng) ℝ j ∀ suy ra → x + y ≥ (x + y)3 x; y≥ k ∀ xy ≥1 s  uy r a → + 1+x ≥ vàs ∀uyxy ≤1   ra→ 1+x + 2 ≤ 1+y ⋅ + xy + y2 + xy Suy ra:s ∀ xy ≥ 1a  uy r → + ≥ ∀ xy ≤ suy ra→ xy + y + 1+x l ∀ sx; uyy ≥  r a → m ∀ x; y ∈ 0; 1 1 s  + + ≤ ⋅ uy r  a  x2  →  y2 n x, ∀y ≥ suy r a   − x 1 →  + x y  > 1  xy     − ≥ −   x  +y y  ⋅  Chứng minh đánh giá a Chứng minh: ∀ x; y; z ≥  suy ra → x + y + z ≥ xy + yz + zx x2 + y2 ≥ x2 y2 = 2xy  = 2yz  z2 Cauchy: y2  Áp dụngy2BĐT + z2 ≥ z2 x2 ⋅ 1+x 1+y + xy 1 + ≥ ⋅ (1 + x)2 (1 + y)2 + xy ≤ xy ⊕ D " = " ⇒ x2 + y2 ấ x = y = z + z ≥ xy u + yz + zx 2 z + x ≥ = 2zx b Chứng minh: ∀ x; y; z ≥ suy ra → (x + y)(y + z) (z + x) ≥ 8xyz x + y ≥ nhân ⇒(x + y) (y + z)(z + x) ≥ = 8xyz Dấu " = " x = y = z Áp dụng BĐT Cauchy y + z ≥   x2 d Chứng minh: ∀ x; y; z > suy ra → (x + y + z)(x + y + z ) ≥ 3(x y + y z + z x) Ta có: (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) = (x3 + xy2 ) + (y3 + yz2 ) + (z3 + zx2 ) + x2 y + y2 z + z x  Áp dụng BĐT Cauchy cho dấu (…) ta được: (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) ≥ 2x2 y + 2y z + z2 x + x2 y + y z + z2x = 3(x2 y + y2 z + z2x) Dấu " = " x = y = z e Chứng minh: ∀ x; y; z ≥ suy ra → (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) Ta có: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) ≥ 3(xy + yz + zx) Dấu " = " x = y = z f Chứng minh: ∀ x; y; z ≥ suy ra → x y + y z + z x2 ≥ x2 y2 z2 yz + y + z)  xyz(x Đặt: a = xy; b = yz; c = zx bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca : theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.) zx c Chứng minh: ∀ x; y; z ∈ ℝ suy ra → 3(x2 + y + z ) ≥ (x + y + z)2 Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số, ta được: 2 z (x2 + y2 + y z2 ) x2 + y2 + z2 = + + ≥ ⇒ 3(x2 + y2 + z2 ) ≥ (x + y + z)2 Dấu " = " x = y = z 1 Dấu đẳng thức x = y y = z = x = =z y=0 z = x = g Chứng minh: ∀ x; y; z ≥ suy ra → (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) Đặt: a = xy; b = yz; c = zx bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) : theo BĐT e Dấu y = z z = x = đẳng = thức x=y=0 x=y=z h Chứng minh: ∀ x; y; z ∈ ℝ suy r a → 3(x2 y + y z + z x ) ≥ (xy + yz + zx) (xy)2 ( Cauchy −Schwarz y (zx)  z )2 Ta có: 3(x2 y2 + y2 z2 + z x2 ) = ⋅   + + ≥ (xy + yz + zx)2  1  Dấu đẳng thức xảy x = y = z i Chứng minh: ∀ x; y; z ∈ℝ Ta có: (x + y) (y + z) (z + x) + suy ra → (x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ (x + y)(y + z)(z + x) Ca uc hy x y zx = 8xyz ≥ yz Mặt khác: (x + y + z)(xy + yz + zx) = xyz + (x + y)(y + z)(z + x) Suy ra:   (x + y + z)(xy + (x + + (  y)(y yz + zx) z)(z x) = + x ≤ + y )(  y + z )( z + x ) Dấu đẳng thức xảy khi: x = y = z Chứng minh bất đẳng thức phụ j Ch suy ra → x + y ứn g ≥ (x + y)3 mi nh : ∀ x; y≥ Ta có: C  x + (x + x3 + a y  y)3 u y3 = c (x +3 (x + y) = Dấu " = " (x + h y)+ ⋅khi x = y y)3 + y≥3. 3x.y(  x + y) + y2 +     Bất đẳng thức (1) tương đương với:  −  + x + xy  xy   ≥0 + − + y2 + xy    k Ch 11 ứn xy xy − y2 x(y−−xx) + y (0x⇔ − y) g + + ∀ ⇔ ≥ ≤ + mn ≥ xy ⋅ h: ≤ 1s ≥0 ∀ uy xy ≥ (1 + x2 )(1 + xy) (1 +  r 1s a 2 y )(1 + xy) (1 + x )(1 + xy) (1 + uy →  y )(1 + xy) r a x(1 + y2 ) − y(1 + x2 ) → 1 (x − y) + xy(y− x) 1 y − x) ⋅ 1 ( C ≥ 0⇔ (y ) h ⋅ − x) ứ n ≥ + x+2(1 )y2 (1 g )(1 + xy) m in (1 + x2 )(1 + y )(1 h: + xy) ∀ x y ≥ ⇒ ⇔ + ≥ (y − x)2 (1 += x ) (1 + y2 ) (1 + xy) Chứng minh: ∀xy ≤1⇒ + ≤ xy (2) + x2 + y2 + xy + x (xy − 1) ≥ ∀ ≥ xy 1." = xy= Dấu "y x Ta làm tương tự dấu đẳng thức xảy x = y xy = 1 Suy ra: ∀xy ≥ ⇒ + ≥ 1 ∀xy ≤ ⇒ + ≤ ⋅ + x xy1 1+x 1+y 1+ + y + Mở rộng: ∀ x; y; z ≥ 1 + + ≥ (3) + x + y + z + x y z Chứng minh: Ghép cặp xoay vòng, cộng lại Dấu " = " khi: x = y = z = l Chứng minh: ∀ x; y ≥ suy ra → 1 + ≥ 2 + T a c ó : (1 + x)2 ⇔ (y − x)2 (1 + x) (1 +⋅ x)2 (1 + y)2 + xy 1  1 ≥ ⇔ −  + (1 + y)2 + xy 1 +x 1+y + xy − x − y + 1)(y − 1) ≥ − ≥ − ≥0 (1 + x)(1 + y)1 + xy (y − x)2 ⇔ ∀ + ≥ (x 0 : x, y (1 + x)2 (1 + y)2 (1 + x)(1 + y) (1 + xy) (1 + x)(1 + y)(1 + xy) (1 + y) Dấu đẳng thức xảy x = y = 1 m Ch ∀ x; y  s ứn ∈  0;  g  1 uy mi  r nh:  + ≤ ⋅ a  x2  y2  y2 →  xy Ta có:1 1. ≤ 12  12  x21  y2 + 1 + x2 + ≤ Mặt khác ∀x, y ∈(0; 1),   1 Thật vậy: (2) − ⇔ 2+ 1+x x y    Cauchy −Schwarz (1) (2) + x2 + y2 + xy x y − x  + − + y2 + xy  xy − y2 + ≤ ≤00 ⇔ (1 + x2 )(1 + xy)(1 + y2 ) (1 + xy)  x(y − x) ⇔ + y(x − y) (y − x)2 ⇔ ≤ ∀ xy ≤ (xy − 1) § BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ ≤ (1 + x2 )(1 + xy) (1 + y )(1 + xy) (1 + x2 )(1 + y2 )(1 + xy) Từ (1), (2), suy ra:  1x2  y2 + ≤ , ∀x; y ∈  0;1 Dấu đẳng thức  I Bài toán hai biến có tính đối xứng VD (CĐ – 2008) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: xy x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ  m i n  xảy khi: x = y n C h ứ n g m i n h : ∀ x, y≥  x + y > s  u  y r  a → 1  P    − −  1≥    1     x⋅ y + y −  4 ( x −1 − ≥ y ) Ta 1 ⇔ − − ≥ có : ⇔1 −4 B+ − ⇔ Đ T =   − x k h i x (x ≥ y)2− = y xy x y (x + y)2 x+y x y ( x = xy( x+ y) + biểu thức: P = 2(x + y ) − 3xy ⋅ 3 3 − ĐS:  y ) ± xy (x + y)2 x y x+y ⇔ (x − y)2 (1 − x − y) ≥ : với x + y < dấu " = " khi: x = y ∓ max P = kh ; y= i x =  2 VD Cho x, y thay đổi hai số thực thỏa mãn điều x + y + = 3xy Tìm dương kiện: giá trị lớn 3x(y + 1) x biểu y + thức: P = y(x 3x − + 1) − : Đm S ⋅ ax P = x = y = y2 VD (D – 2009) Cho x, y ≥ thỏa mãn điều kiện: x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ  191 2 c ủ2 + a3y) (4y b i2 ể u t h ứ c : P = ( x + 3x) + 25 xy Đ S:  k  mh i i nx P= = ; y 4 ⋅ =   2 (x; y; z) = (0; 0; 1) VD 111 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: z biểu y + (z thức: P = ⋅ + (x x) x + y) x2 + y2 + z2 = Hãy tìm giá trị nhỏ ĐS: P= x = y = z = + (y + z)2 VD 112 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 Hãy tìm giá + z2 = trị nhỏ 1 ≤ + + ≤ ⋅ biểu thức: P = + + ⋅ ĐS: P = x = y = z = ⋅ − x − y − z2 VD 113 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 4y của: P= 4x z + ⋅ y2 − z2 − 2y + 2z + + ĐS: x = y = z = P= VD 114 Cho số thực dương x, y, z x2 + y2 Hãy tìm giá trị thỏa điều + z2 = lớn của: kiện: x5 − 2x3 + x y5 − 2y3 + y z5 − 2z3 + z P= + + ⋅ ĐS: max P = x = y=z = ⋅ y2 + z2 z x2 + y2 + x x, y, z thỏa x2 + y2 + z2 = Hãy mãn điều tìm giá trị lớn kiện: x2 + xy y2 + yz z2 + zx biểu thức: P = + + ⋅ ĐS: max P = x = y=z = ⋅ − z2 − x2 − y2 Đ S: m a x P = k hi x = y = z = − xy − yz − zx VD 118 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = Chứng minh rằng: 1 3 3 x2 + y2 + z2 = Hãy tìm giá trị nhỏ + x2 − 2x + VD 115 Cho số thực dương VD 116 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 8x + 8y + 8z = Hãy tìm giá trị nhỏ biểu 4 thức: P = + + ⋅ ĐS: P= x = y = z = Vx, Dy, 1z 1th 7ỏa m Cãn hđi oều c ki áện c: s ố th ự c d n g x4 + y4 + z4 = Hãy tìm giá trị lớn nhấ t + biểu ⋅ thức: = + 30 − a2 + a + b2 + b + c2 + c + 13 Bài tốn có giả thiết tích biến số P có dạng P= f(a).f(b).f (c) VD 119 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz = Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + x 1x y 1y + ⋅ z ĐS x = y = z 1z = : mi n P = 2 VD 120 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: biểu thức: P = (1 + x2 )(1 + y2 )(1 + z2 ) x+y+z= ⋅ Hãy tìm giá trị nhỏ ĐS: x = y = z = ⋅ P= 125 64 VD 121 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = (1 + x2 )(1 + y2 )(1 + z2 ) Đkhi x = y = Sz = ⋅ : m i n P = 0 VD 122 Cho số thực dương 729 x, y, z thỏa Hãy tìm mãn điều giá trị lớn kiện: 4(x + y + z) = c ĐS: max P = y2 z ủx + a + x = y = : 1) 1) + z= ⋅ P (y (z ) + = + ( x + VD 123 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 4(x + y + z) − = Hãy tìm giá trị lớn c y2 z ĐS: x = y = ủx ma z = ⋅ + a + y z xP : 1) 1) + = 44 (y (z P )x + = + ( x + VD 124 Cho số xyz = Hãy tìm thực dương x, y, z giá trị nhỏ thỏa mãn điều kiện: biểu thức: P = + + ⋅ ĐS: Pa2 = khib2 x = y =c2 z = 1 + bc + ac + ab VD 125 Cho số thực dương a, b, c Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: a3 − b3 b3 − c3 c3 − a3 ĐS: a = b = c = P = + + ⋅ a+ 3b b + 3c c + 3a a4 VD 126 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: b4 c4 a33 +b +c + ⋅ + ≥ điều 4x + 3y + 4z = 22 Tìm giá trị k z = 0; kiện nhỏ hx = y = : i ⋅ biểu thức: P = x + x = 1, 2 y+z+ + + ⋅ y = 2, z = VD 129 T 25 Cho x, y, x2 + ì ĐS: P = z ≥ thỏa 2y2 m 3x y z mãn điều + kiện: x ≤ y 4z2 g VD 131 Cho số thực dương x, y, i ≤z = z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 2 12 Tìm giá trị nhỏ biểu nP= a b c IV Đánh giá dồn biến f(a) f(b) f(c), xét hàm VD 128 Cho số không âm th ức : P = x2 + y2 + x, y, z thỏa điều kiện: thức: P= 2(x2 + y2 + z2 ) − 4xyz − 9x + 2015 Đkhi x = S:1; y = z m= in P = 0 x, y, z thỏa điều kiện: x + y + z = Hãy tìm giá trị nhỏ biểu z + ⋅ c ủ a   x = Đ S : m i + n h ấ t x Tìm giá trị + nhỏ y biểu + z= ĐS: P = x 1 = , y= , z= ⋅ l n VD 127 Cho số thực không âm thức: P= t r ị 2(2 x+ 1)2 3+ 9y 6+ 36z VD x, y, z 132 thỏa Cho mãn số thực điều kiện: + biể +4− zx u yx y thứ z z c: P − xy y + y VD 130 Cho Đ S: m ax P = 11 x, y, z số thực dương thỏa − x, y, x + Tìm giá z∈ y + trị lớn 1; 2z = 4 biểu thức: P = x3 + y3 + 5z3 ĐS: max P = 137 x = y = 1, z =  VD 133 y (B – 2012) x, y, z = thỏa z Cho số điều = thực kiện: lớn biểu thức: P x+ y+z =0 x2 + Tìm y2 + giá trị z2 = = x + y + z5 ĐS: ma xP 36 z −1 ,x y VD 134 (HSG Vĩnh Phúc 2013) Cho số thực x, y, z thỏa: bi ểu th ức : P = + + z + x x = z Đ S : x =y= z = m a x P = t h ỏ a ề u ki ệ n: Tìm giá + trị lớn + = biểu  3 thức: P= 2x + y +z Đ S : m a x P = k h i  = 10  x2 x, y, z ≥ = x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị 3x2  y 5y  5z lớn V D 13 Ch o = , y = ⋅  2y  2z = = V Xét hàm biến xét hàm đại diện cho ba biến VD 136 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x, y, z ∈ 1; 3 Hãy tìm giá trị nhỏ 36x 2y z biểu thức: P = + + ⋅ ĐS: P = x = 1; y = z = yz xz xy VD 137 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều dương kiện: biểu thức: P = + + ⋅ x, y, z ∈ 1; Tìm giá trị nhỏ 2 ĐS: P = x = y = z = x − xy + y − yz + z − zx + 4 VD 138 (A – 2011) Cho số thực x, y, z ∈ 1; 4 thỏa điều kiện: x ≥ y; x ≥ z Tìm giá trị nhỏ y x z biểu thức: P = + + ⋅ ĐS: P = x = 4; y = 1; z = 34 2x + 3y y + z z + x 33 VD 139 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + 2y − z ≥ Tìm giá trị nhỏ y x + 2y x biểu thức: P = + + ⋅ ĐS: P = z = 2x = 4y 10y + z x + y + z 2x + 3y VD 140 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều xyz + x + z = Tìm giá trị lớn dương kiện: y 2 10 biểu thức: P = − + ĐS: max P = x = , y= 2, z ⋅ = ⋅ 2 x +1 y +1 z +  xy z y − z zx y VD 141 Cho x, y, z1  + + ⋅ ∈ ;của: 1 P Tìm giá trị lớn x =  2 − 22 1 ĐS: max P = x = 1, y , z= ⋅ = 2 VD 142 Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều a, b, c ∈ Tìm giá trị lớn dương kiện: 1; 2  ab  bc  ca ĐS: max P = a = b = c = + (b + + biểu thức: P (a + (c + c)a = b)c ⋅ a)b BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT 37 Cho ba số thực không âm thỏa: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = xy + yz + zx + ⋅ x+y+z BT 38 Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = xy + yz + zx + ⋅ xy + yz + zx + BT 39 Cho x, y, z > thỏa điều kiện: 2(x2 + y2 + z2 ) = xy + yz + zx + Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x2 + y2 + z2 − ⋅ x+y +z+3 BT 40 Cho x, y, z ≥ thỏa điều kiện: 3(x2 + y2 + z2 ) + xy + yz + zx = 12 x2 + y2 + z2 Tìm gía trị lớn giá trị nhỏ của: P =zx x + y + +z xy + yz + BT 41 Cho số x, y, z ∈ 0; 2 x + y + z = Tìm giá trị lớn nhỏ thực biểu thỏa: x2 + y2 + z2 thức: P =− zx xy + yz −+xy x + y + z = Tìm giá trị nhỏ zx − yz BT 42 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn biểu điều kiện: 2 xy + yz + zx thức: P =x + +z + y x ⋅ + y2 + z2 + BT 43 Cho số thực dương x, y, z Hãy Tìm giá trị lớn biểu thức sau: (x + y + z + 3)2 P= − ⋅ 2 x + y + z + 3(x + 1)(y + 1)(z + 1) BT 44 Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x2 + 2y2 + 5z2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: P = (xy + yz + zx) ⋅ 1 + − (x2 + 2y2 + 5z2 )  ⋅    BT 45 Cho số thực dương x, y, x + y + z = xyz = z thỏa biểu thức: P = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x4 + y4 + z4 BT 46 Cho x, y, z > Chứng minh rằng: (x + y + z)2 + x yz + y xy xz  4+ z3xyz(x  y  z) BT 47 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x3 + y3 + z3 − 3xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 + y2 + z2 BT 48 Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x(x + y + z) = 3yz, ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3 BT 49 Cho số thực x, y, z phân biệt xy + yz = 2z2 2x ≤ z Tìm giá trị lớn dương thỏa: y x z biểu thức: P = + + ⋅ x−y y −z z−x BT 50 Cho số thực x, y, z thỏa điều xyz = (1 − x)(1 − y)(1 − z) Tìm giá trị nhỏ ∈(0;1) kiện: biểu thức: P = x2 + y2 + z2 BT 51 Cho số thực x, y, z thỏa điều xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu dương kiện: 324 2 2 thức: P = + (x + y + z ) y2 ≥ z2 ≥ xy Tìm giá trị nhỏ x+y+z xz BT 52 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: biểu thức: P = x y + + 2014z ⋅ x+y y+z z+x BT 53 Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 1 − ⋅ x + 6xy + 4yz xyz BT 54 Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= xyz − ⋅ 9(x + y + z) 6xy z  xyz3  8zx y BT 55 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều không âm kiện: P= xyz + x2 + y2 + z2 biểu thức: P = + + ⋅ + y2 + z + x2 x + y + z = Tìm giá trị lớn BT 56 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x, y, z ∈(0; 1) Tìm giá trị lớn biểu điều kiện: x3 + y3 + z3 + thức: P + ⋅ + + = 2 y z +2 x +2 BT 57 x, y, z ≥ thỏa mãn điều kiện: x ≥ 3xy + 5yz + 7zx Tìm giá trị nhỏ Cho y≥z ≤ 32 1 biểu thức: P = + + ⋅ (x − y)4 (y − z)4 (z − x)4 BT 58 Cho số không âm x, y, z phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:  2 1  P = (x + + z )  + + ⋅ y − 2 (x y) (y − z) (z − x)  BT 59 Cho số dương x, y, z thỏa điều kiện: x2 + y2 + z2 + xy − 2yz − 2zx Tìm giá trị nhỏ = xy z z biểu thức: P= + + ⋅ (x + y − z)2 x2 + y2 x+y B x, T y, z thỏ 0a điề u C kiệ h n: o c c x , y , z ∈  Tìm giá trị nhỏ biểu ;  s ố t h ự c p h â n b i ệ t thức: P= + + ⋅ (x − y)2 xyz ⋅ x + y z (y − z)2 (z − x)2 BT 61 x Tìm giá  x2trị nhỏ  y2 Cho số1 + thực y dương x, + y, z thỏa z biểu mãn điều = kiện: thức: =+ y + z x 1z + xyz = Tìm giá trị lớn thỏa mãn biểu thức: điều kiện: = + BT x t 64 , h y ỏ Ch  1  o , a z xy ề + BT 66 BT 67 Ch o số thự c khô ng âm thỏa điều 2) kiện: x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu BT 69 Cho số thực x, y, z Chứng minh: 6(x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) ≤ 27 xyz + 10 (x2 + y2 + z2 )3 P z + x y (x + Tìm y)2 + giá (y + trị z)2 + lớn ⋅ x (z + x) ≤ u biểu ≥ + ki 18 ệ y n: (x + y + 4y + z) 4x 4z t h ứ z c : BT 62 x2 Tìm Cho số + giá trị P thực = y nhỏ dương x, = + y, z thỏa z2 của: mãn điều + + kiện: 1 + 2z3 − y3 x3 P= x3  (y  z)2 ⋅ y3  (z  x)3 108 + BT 65 Cho x, y, z ≥ + thỏa mãn ⋅ điều kiện: 27 5(x2 + y2 + z2 ) BT 63 Cho x, y, z = 6(xy + yz + số thực dương zx) Tìm giá thỏa mãn điều kiện: x trị lớn + y + z = Tìm giá trị biểu lớn biểu thức: P 2(x  y  z) y = th ức: P x o số thực x, y, z ∈ 0; 4 BT 70 Cho + x, y, z ∈ 0; 1 thỏa mãn ⋅ điều kiện: x + y + z = ⋅ Tìm x, y, z th ỏ a: x + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P = (x2 − xy + y2 )(y2 − yz + z2 )(z2 − zx + x2 ) BT 68 Cho số thực dương x, y, z ∈ 1; +∞) ( x + ) ( y − y2 − z t h ứ c : P C h = + ) ( z giá trị lớn của: P = x2 + y + z BT 71 Cho số thực x, y, z thỏa: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ của: P = (x + 2)(y + 2)(z + 2) BT 72 Cho số thực x, y, z ∈ 1; 3 thỏa: x + y + 2z = Tìm giá trị lớn của: P = x + y + 5z BT 73 Cho x, y, z > thay đổi thỏa: 5(x2 + y2 + z2 ) = 6(xy + yz + zx) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn 1 1 biểu thức: P = (x + y + z) + + ⋅ x y z  BT 74 Cho x, y, z > thỏa: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 3(x2 + y2 + z2 ) + 4xyz Bx, thỏa x + xy Tìm Ty, đồng giá y+ + 7z thời trị yz z= 5> nhỏ + điều zx C kiện: = h o 3  1 1 n + z ) + +  ⋅ h ấ t c ủ a bi ể u t h ứ c: P = ( x + y x y z BT 76 Cho x, y, z > thỏa: (x + y + z)3 = 32xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = ⋅ ( BT 77 Cho số thực x, y, z không đồng thời x2 + y2 + z2 = 2(xy + yz + Tìm giá thỏa: zx) t r ị l n x + y + z n h + ⋅ ấ t v g i t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a b i ể u t h ứ c : P = BT 78 Cho x, y, z thỏa: x+y+z=0 x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ P = x2 y z BT 79 Cho x, y, z ≥ thỏa: x2 + y2 + z2 ≤ 3y Tìm giá trị nhỏ của: P = + (x y + z)(x + ⋅ (x + 1)2 (y + 2)2 (z + 3)3 B x th y + z = x(y2 T , ỏa + z2 ) Hãy y mã tìm giá trị , n nhỏ z điề biểu u thức: C ≥ kiệ h n: o P= + + + (x + 1)(y⋅ + 1)(z + 1) (x + 1)2 (y + 1)2 (z + 1)2 BT 81 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: ≤ z ≤ y ≤ x ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x2 (y − z) + y2 (z − y) + z2 (1 − z) BT 82 Cho số khôn g âm BT 84 Cho số thực không âm x, y, z thỏ a: x y z x + y + z = khơng có hai số Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = (x + y + 3)(z + 1) + nhỏ biểu thức: P = + + ⋅ BT 93 Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu x + ( thức: P = y z + ⋅ ( + z BT 85 Cho x, y, z > Hãy tìm giá y + z z + x x + y+z thỏa mãn điều trị lớn BT 94 Cho x, y, z ≥ kiện: x2 + y2 + (x + y)z biểu + 4z = thỏa: x + y + z = Tìm x(y + z)2 y(x + z)2 giá trị nhỏ thức: P = + − ⋅ biểu thức: P = x3 + y3 + x+z y+z z 15 z3 + xyz 1  1 BT 86 Cho số thực: x, + + BT 95 Cho a, b, c ≥ mãn: a + b + c = Tìm y, z ∈  ; 1 ⋅ Tìm giá trị lớn ⋅ biểu thức: P = (x + giá trị lớn y + z)  biểu thức: P = ab + 3ac 2   + 5ac y z BT x, x2 + Tìm BT 87 Cho ≤ x ≤ y ≤ z ≤ Tìm 96 y, z y2 + giá giá trị lớn biểu thức sau: Cho thỏ z2 + trị P = z2 (1 − z) + (x2 − y2 )(y − z) ba số a 2xy ≤ nhỏ thực điề ≤ 2(x + dươn u 2x ≤ + 2y 2z g kiện y + +(z − z) : ≤ x)2 + ⋅ biểu BT 88 dương Cho số thực x y + z z + x x + thức: P = x2 + y2 y z Chứng minh y  y z  x(x x +3z) rằng: + 2z + BT 89 Cho x, y, z ≥ thỏa: x + y 40 + z = Tìm giá trị nhỏ 40 biểu thức: P = x + y2 + z2 + ⋅ x, x Tìm giá y, + trị lớn z y thỏ + giá trị a z nhỏ điề = u kiệ n: biểu thức: P = x(y − z)3 + y(z − BT 90 Cho x, y, z > x)3 + z(x − y)3 thỏa: x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu BT 83 Cho x, y, z > thức: P = thỏa: 21xy + 2yz + 8zx ≤ 12 Tìm giá trị 2 P= − ⋅ BT 92 Cho y + ⋅  z số thực dương x, z  xx  yx z y, z Tìm giá trị ⋅ y z nhỏ biểu x thức: P = + y+z BT 97 Cho x2 x, y, z x + + số thực y2 ⋅ dương thỏa + mãn điều z2 kiện: BT 91 Cho x, y, z > thỏa: xyz + = xy yz x + z = y Tìm giá trị nhỏ của: x y + Tìm giá trị lớn ynhất 3z  2x biểu + thức: ⋅ P + − z2 + x2 24x3z3 ... (xy − 1) § BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ ≤ (1 + x2 )(1 + xy) (1 + y )(1 + xy) (1 + x2 )(1 + y2 )(1 + xy) Từ (1), (2), suy ra:  1x2  y2 + ≤ , ∀x; y ∈  0;1 Dấu đẳng thức ... (x + y)(xy + 1) Tìm giá trị nhỏ x + y 4(xy − 1)2  y 2 của: P = (x2 + y2 ) ⋅ + +  ĐS: P = 55 ⋅ 3(x + xy2 x y) § BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BA BIẾN SỐ  I Ba biến đối xứng Đặt ẩn phụ... z2 yz + y + z)  xyz(x Đặt: a = xy; b = yz; c = zx bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca : theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.) zx c Chứng minh: ∀ x; y; z ∈ ℝ