Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ trong chứng minh bất đẳng thức

KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1) a2  b2  c2  ab  bc  ca , a,b,c  R  a  b 2 2) a b   2  , a,b  0    a  b .

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1) a2  b2  c2  ab  bc  ca , a,b,c  R  a  b 2 2) a.b    , a,b     a  b  c 3 3) a.b.c    , a,b    1 4)  a  b      , a, b >   a b 5) 1 a b  , a, b > 12)  a  b  c 2  3 ab  bc  ca  ,a,b  R 13) a3  b3  aba  b,a,b  14) a4  b4  ab  a  b2 ,a,b  ab 1 6)  a  b  c       , a, b, c >   a b c 7) a  1    , a, b > b c abc a2  b2  a  b 2 8)   ,a,b  R   a3  b3  a  b 3  9)  ,với a,b    an  bn  a  b n 10)   ,với a,b  , n  N *  a  b  c   a,b  R 11) a2  b2  c2  , 15) a5  b5  a2b2 a  b,a,b  16) a2  ab  b2   a  b 2 ,a,b  R a2  ab  b2  ,a,b  R, a2  b2  2 a  ab  b 18) (1 a)(1 b)  1 ab ,a,b  17)     19) (1 a)(1 b)(1 c)  1 abc ,a,b, c 0 20) 1 a2   , với ab  1 b2 1 ab CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài Cho x , y , z  Chứng minh rằng: x2  xy  y2  y2  yz  z2  z2  xz  x2  Giải  Ta ln có bất đẳng thức: a2  ab  b2  3 a  b 2 ,a,b (*) x  y  z  Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Thật (*)  4a  4ab  4b  a  2ab  b  a  2ab  b    a  b 2 (luôn đúng)   0 Dấu “=” xảy  a  b  Áp dụng (*) ta có:  x  x  y 2 y x2  xy  y2   z  x Tương tự ta có: y2  yz  z2   y  z  z2  zx  x2  2  Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có:  x2  xy  y2  y2  yz  z2  z2  xz  x2  x  y Dấu “=” xảy   y  z  x  y  z z  x 2x  2y  2z   x  y  z , (đpcm) Bài Cho a, b, c  thỏa    Chứng minh rằng: a b c b2  2ab  4a2 4c2  6bc  9b2 9a2  3ac  c2    ab bc ca Giải b2  2ab  4a2 4c2  6bcbc  9b2b2 9b2a2  3ac  c2   Ta có VT  a2b2 b2c2 c 2a       6bc  9b2  9b2   a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2  Đặt x ; y  ; z   x, y, z  Ta có: VT  x2  xy  y2  y2  yz  z2  z2  xz  x2 a b c Theo ta có: x2  xy  y2  y2  yz  z2  z2  xz  x2  Mặt khác x  y  z   sử dụng  bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Chuyên đề: Kỹ thuật  a b c 3 xy 1 3 3.1 Do VT   VP, (đpcm) z      Dấu “=” xảy 12 a  x  y  z 3    a b c          b a b c 1 a b  c  c   1     a b c y2 2x2z2  2y2 xy  yz  zx  xyz Chứng minh rằng: xy yz Bài Cho x , y , z  x  2z 22 zx  Giải a  b  c 2  Ta ln có bất đẳng thức: a2  b2  c2   , a,b (*)  2 2 2 Thật (*)  3a  3b  3c  a  b  c  2ab  2bc  2ca   a  2ab  b 2    b  2bc  c   c  2ca  a      a  b 2   b  c 2   c  a (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a  b  c   y  x  x 2 y2  2x2 Áp dụng (*) ta có: xy z2  y2 Tương tự ta có:  yz y2  x2  x2 xy zx  yx  3xyz  xy x2  2z2 zx y  2x  3xy yz  2xz  3xyz xy  2zy  3xyz Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có:  x2  2z2 y2  2x2  z2  y2  xy yz zx 3 xy  yz   yz  2xz zx  2yx xy  2zy     zx  xyz xyz xyz  3 xyz   3xyz 3.xyz  (đpcm)  x  y  x  y  z  Dấu “=” xảy  y   z  z  x  xy  yz  zx  xyz Bình luận: Nếu khơng có giả thiết xy  yz  zx  xyz bất đẳng thức trở thành:  z2  2y2  x2  2z2 3  xy  yz  zx Đến tùy theo sáng tạo người đề ta có xy yz zx xyz nhiều toán thú vị y2  2x2 1) Hướng 1: Rút gọn mẫu vế bất đẳng thức đơn giản  xy  yz  zx  1  2) Hướng 2: Biến   x    xyz đổi  1 y 3) Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ    x y z xyz 4) Hướng 4: Cho thêm điều kiện x  y  z  1; xyz  3; Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài (Chuyên tốn tỉnh Gia Lai 2020) Cho số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y2  2x2 xy  z2  y2 x, y, z thỏa  yz x2  2z2 zx xy  1  2020  yz zx Giải 2  Ta ln có bất đẳng thức: a  b  c  a  b  c 2 ,a,b (*)   2 2 2 Thật (*)  3a  3b  3c  a  b  c  2ab  2bc  2ca   a  2ab  b 2    b  2bc  c   c  2ca  a      a  b 2   b  c 2   c  a (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a  b  c  y  x  x 2  Áp dụng (*) ta có: y2  2x2  y2  x2  x2    y 2x 2 y2  2x2  xy y 2x  3xy  31 2    x y x2  2z2        z  zx  z2  y2      Chứng minh tương tự ta có:  P  y yz 31 2 2       x y y z z x   P  33 3    x y z   P   1 1 3     x y z 1 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức a  b  ab Hay   a b 11 4a  dấu “=” xảy a  b ta b 2020  Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606   Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức    11        1  Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  xy y z zx Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 4x Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức y  2020  4040 y z xy Từ 1 x z   yz zx  11  x  1  z  y   x  y  z x yz Bài Cho5 x, y, z  Chứng minh rằng: x 2 xyz 2  P  4040 Dấu "  " xảy  Vậy giá trị nhỏ P 4040 , 4040 4040  1  3yz zx xy  y3  z3          3 3 x y z x y z     Giải +) Ta ln có bất đẳng thức: a3  b3  ab(a  b),a,b  (*)  2 Thật (*)   a  b  a  ab  b   ab(a  b)   (a  b) a  2ab  b2     a  b  a  b 2  (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a  b +) Áp dụng (*) ta có:    x3  y3  xy(x  y) y3  z3  yz(y  z) z3  x3  zx(z  x)  x  y3  z3   xy(x  y)  yz( y  z)  zx(z  x),(**) Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có: +) Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có: x33   y  +) Nhân vế theo vế (**) (***) ta có: x  y3  z3 z    x y z 1 x3   y3  3 x  y  z 3  xyz , (***) 1  xy(x  y)  yz( y  z)  zx(z  x)  xyz z3   1   y  z z  x x  y    x3  y  z     2  x y z , (đpcm) x y z     +) Dấu “=” xảy  x  y  z Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 3 3    x  y  xyz y  z  xyz z  x  xyz xyz Giải +) Ta ln có bất đẳng thức: a3  b3  ab(a  b),a,b  (*)  2 Thật (*)   a  b  a  ab  b   a  b  a  b 2 0   ab(a  b)   (a  b) a  2ab  b2   (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a  b  c +) Áp dụng (*) ta có: Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  13  a  b 2 10  b 12   a 12  (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a  b  b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn P x Thật (**)  xy  xy a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: 1   a2  ab  3b2 1 b2  bc  3c2 1 c2  ca  3a2 1  Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: P   Ta ln có bất đẳng thức:  y  4   a  5b  b  5c  c  5a  , x, y > (**) xy  (x  y)2  4xy  x2  2xy  y2   (x  y)2  0, (luôn đúng) xy Dấu “=” xảy  x  y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 1   a  5b  a  b  4b 1   b  5c  b  c  4c 1   c  5a  c  a  4a Từ 1 , 2 , 3 ta có: 1 2 3   1 P  11 1       a  b  b  c  c  a    a b c      ***  Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 1 1 1  1           ab2 ab 44a b 2       4  1 1 111 1       1 bc2 4bc 2 44b c 2       5 1 1 111 1       1 ca2 4ca 2 44c a 2 6 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức       Từ *** , 4 , 5 , 6 ta được: P 3     3    a b c  8 đạt a  b  c 1 Vậy giá trị lớn P Bài 11 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3(b  c)  2a 4a  3c 3b 12(b  c)  2a  3c Giải  Ta ln có bất đẳng thức:  x Thật (**)  xy xy y   , x, y > (*) xy  (x  y)2  4xy  x2  2xy  y2   (x  y)2  0, (luôn đúng) xy Dấu “=” xảy  x  y  Ta có:  3b  3c     4a  3c    12b 12c  P  11  2a 2a  3c 2    3b         (4a  3b  3c)   2a  3b  2a  4c     4  16   (4a  3b  3c)  16  2a  3b 2a  3c 4a  3b  3c   3  Vậy P nhỏ , dấu xảy chẳng hạn (a,b,c)  ,1,1      Áp dụng (*) ta có: P  11  (4a  3b  3c)  Bài 12 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị nhỏ a3  b3 P a2  ab  b2 b33  c  c3  a3  b2  bc  c2 c2  ca  a2 Giải x2  xy  y2  Ta ln có bất đẳng thức: x2  xy  y2 x2  xy  y2    ,x; y; z  (*)  Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Thật (*) 2 x2  xy  y2 3 x   xy  y y)  x  xy  y  2(x   0, (luôn đúng) Dấu “=” xảy  x  y Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 a3  b3 a2  ab  b2  (a  b)  (a  b)  Áp dụng (*) ta có: a  ab  b2 a  ab  b2 b3  c3 Tương tự ta có: c3  a3 b  bc  c  (c  a)  c2  ca  a2 (b  c) a3  b3 b33  c c3  a3 P   c) a2  ab  b2 Từ kết ta có: 2  (a  b b  bc  c2 c2  ca  a2 2 (a  b  c)  33 abc  33   P  3 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b  c Dấu “=” xảy    a  b  c  abc   Vậy P  (a,b, c)  (1,1,1) Bài 13 (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b số dương thỏa mãn điều kiện ab  1 Chứng minh rằng: a  1 1  2020ab  2021 b Giải  Ta ln có bất đẳng thức:  1 a 1 ab , (*)  1 b Thật (*)  2ab 1 a1 b 2 2    2  a  b 1 1 ab ab   21 a1 b ab  a  a ab  b ab   2a  2b  2ab b       0  ab  2ab  a ab  a  b ab  b    a    (ln a , b  0; ab 1) b ab 1   Áp dụng (*) ta có:  1  2020ab  1 1  b a Đặt ab  t 0  t  1 Ta cần chứng minh  2020ab 1ab  2020t2  2021 1 t Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  t 12020t2  4040t  2019  (luôn đúng) Dấu "  " xảy t  hay a  b  BÀI TẬP ÁP DỤNG 1   Bài 14 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau:    3    a b c  a  2b b  2c c  2a  1    Bài 15 Cho a ,b,c > thỏa abc  Tìm giá trị nhỏ P   bc a2b  a2c  ac b2a  b2c   ab c2a  c2b Bài 16 (Chun tốn Ninh Bình 2020) Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a2 a2  b2  b2  c2  c2  a2  2021 Chứng minh rằng: x x 5  y  y 5 b2  c2 bc ac ab Bài 17 (Chuyên tốn Hải Phịng 2020) Cho ba số dương Chứng minh  x, y, z thỏa mãn:  12021 22 xy  yz  zx  3z  6bc  z  5 Bài 18 (Chuyên toán Phú Thọ 2020) Cho x, y, z  Chứng minh bất đẳng thức xy 1yz   yz 1xy xy yz 2 Bài 19 (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với số thực dương a b thay đổi, tìm giá trị lớn 1     biểu thức: S   a  b  a2  ab  2b2 b2  ab  2a2   Bài 20 (Chuyên toán Đồng Nai)   Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 ... 3) Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ    x y z xyz 4) Hướng 4: Cho thêm điều kiện x  y  z  1; xyz  3; Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài (Chuyên... Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 3 3    x  y  xyz y  z  xyz z  x  xyz xyz Giải +) Ta ln có bất đẳng thức: ... phụ để chứng minh bất đẳng thức    11        1  Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  xy y