Kỹ thuật gán độ dài trong chứng minh hình học phẳng

KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài Bài 1: Hình vuông ABCD Gọi M điểm đoạn thẳng BC IM AN cắt DC kéo dài P N BN cắt PM J Chứng minh CJ  BN B A I M D J C N P Cách 1: Hình học túy Menelaus: Về định lý Menelaus mời bạn đọc xem Wikipedia Google  JB MC PN JB MB PC  JN MB PC   JN  MC PN JB MB2 AB2 BC Ta có:      JN MC2 CN2 CN2  IA MN PC   PC  MA  MB  IC MA PN PN MN MC Tới bạn đọc hoàn toàn chứng minh CJ  BN Cách 2: Gọi điểm phụ để chứng minh tứ giác nội tiếp: B A I M D Q C J N Lấy Q cho QC = BM Ta có QIMC tứ giác nội tiếp Do MIC  MQC QC BM AB BC     QCM ∽ BCN Mặt khác MC MC CN CN P KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài Vậy MIC  MQC  CBN  ICJB tứ giác nội tiếp CJ  BN Tuy nhiên khó đoán điểm Q Cách 3: Gán độ dài DC = x, CM = y Ta chứng minh IBJC tứ giác nội y CN CN CM     tan CBN tiếp Thật vậy: BC AB BM x  y Mặt khác: IM2  CM2  CI2  2CM.CI Do đó: cosCIM   y2  x2  xy xy y CI  IM  CM   tan CIM  2CI.IM xy 2y  x2  xy 2 Vậy ta có CBN  CIM  JBIC tứ giác nội tiếp CJ  BN Hay không em? Tiếp nhé! Bài 2: Hình chữ nhật ABCD có BH vuông góc AC Trên tia đối tia BH lấy E cho BE = AC Chứng minh ADE  450 E Về cách sử dụng hình học túy, xin gợi ý gọi F trung điểm DE Về cách gán độ dài, đặt AD  x,CD  y Ta có: AE2  EH2  AH2 AB4  AE2    AC  BH  AC  AE  x2  2xy  2y2 B A I Mặt khác áp dụng theo định lý hàm số cos ta có: H D C DE2  BD2  BE2  2BD.BE.cosDBE =  x  y  Đến dùng định lý hàm số cos cho tam giác ADE ta có đpcm Bài 3: Tam giác ABC vuông A đường cao AH Gọi F đối xứng với H qua A Gọi I trực tâm tam giác FBC Chứng minh I trung điểm AH Đặt BH  x,CH  y  AH  xy B H E I A C D AI2  AB2  BI2  2AB.BIcosABI  AI2  AB2  BI2  2AB.BIcosACF Mặt khác IH2  BI2  BH2 Giả sử: AI  IH2 AC2  CF2  FA2  AB2  BH2  2AB.BI 2AC.CF F KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài  AB BI AC2  CH2  4FA2  FA2 AC CF AB BH  AB2  BH2  AC2  CH2  3HA2 AC 2AH  AB2  BH2     Thay: BH  x,CH  y,AH  xy ,AB  x2  xy ,AC  y2  xy ta thấy đẳng thức Vậy ta có điều phải chứng minh Gợi ý cho bạn thử sức chứng minh hình phẳng: Gọi thêm trung điểm BH Quá khó lường phải không! Bài 4: Tam giác vuông ABC vuông A, trung tuyến AM Lấy D đoạn thẳng MC Gọi E F tâm ngoại tiếp tam giác DAC DAB Chứng minh tứ giác EIMF nội tiếp E A G H F B J I D C K Trước hết dễ dàng chứng minh AHIG hình chữ nhật nên FIE  90 Do ta cần chứng minh FDE  900    Thật vậy, sài tích vô hướng ta có: DFDE   DI  IF DI  IE   DI2  DI.IF  DI.IE   DI  DI.JI  DI.IK   DI  JI  IK  DJ  IK Chẳng khó khăn tý nào, gán BI  IC  x,ID  y x y x y BI  ID x  y IC  ID  ,IK  ID  DK  y   y  2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh LỜI KẾT Trên chứng minh toán hay khó, kinh điển hình học phẳng Hy vọng sau đọc xong viết này, bạn đọc trở nên tỏa sáng với hình học phẳng hình học phẳng Oxy Thân – Casio Man – Đoàn Trí Dũng Ta có: DJ 