(SKKN CHẤT 2020) kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM GM trong chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong mơn tốn trường phổ thơng nói chung đại số lớp nói riêng phần chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số giữ vai trị, vị trí quan trọng Bất đẳng thức tìm cực trị đại số chun đề khó chương trình tốn phổ thơng Qua thực tế nhiều năm giảng dạy, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận nhiều học sinh, kể học sinh giỏi tiếp cận với tốn dạng ngại Ngồi số lượng bất đẳng thức tên tuổi nhiều kỹ thuật khó, chưa kể phải kết hợp nhuần nhuyễn chúng lại với Phải người có tư tốt nhiều kinh nghiệm xử lý Trong chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số cấp THCS bất đẳng thức AM – GM (hay gọi bất đẳng thức Cauchy) sử dụng nhiều Chính q trình giảng dạy mơn tốn lớp bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 9, tơi mạnh dạn chọn đề tài: “Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM - GM chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số" Tơi hi vọng đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh giỏi, rèn luyện cho học sinh lực từ kiến thức quen biết, nhận dạng đưa tập chưa biết cách giải dạng tập quen biết biết cách giải, có hệ thống tập để nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt ôn luyện cho học sinh giỏi thi vào trường THPT chuyên 1.2 Điểm mới của đề tài “Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM - GM chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số” nhiều người nhắc đến Tuy nhiên nêu chung chung chưa khái quát sai lầm cụ thể, chưa đưa phương pháp cụ thể để khắc phục sai lầm cho học sinh Vì thế, đề tài này, với kinh nghiệm thân đúc kết qua trình nghiên cứu thực tế giảng dạy, cố gắng phân tích, sai lầm học sinh, đề giải pháp cụ thể thơng qua ví dụ minh họa giúp học sinh tránh sai lầm sau Mong đề tài đồng nghiệp em học sinh đón nhận 1.3 – Đối tượng phạm vi nghiên cứu download by : skknchat@gmail.com * Đối tượng nghiên cứu: Như nói trên, đề tài tập trung vào đối tượng: - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn THCS Đặc biệt GV giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi 8, lớp - Học sinh giỏi lớp lớp * Phạm vi nghiên cứu: - Trong sáng kiến nêu số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM - GM mà thường hay gặp tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số chương trình tốn THCS download by : skknchat@gmail.com – PHẦN NỘI DUNG 2.1 – Thực trạng củủ̉a nội dung cần nghiên cứu Thực tế cho thấy Toán học tảng cho ngành khoa học, chìa khố vạn để khai phá thúc đẩy phát triển cho ngành khoa học, kinh tế, quân sống Chính việc dạy học mơn tốn nhà trường đóng vai trị vơ quan trọng Dạy tốn chiếm vị trí số môn học nhà trường, giáo viên, dạy tốn niềm tự hào song thử thách vơ lớn Để dạy tốn học tốn tốt Thầy Trị khơng ngừng rèn luyện đầu tư trí lực vào nghiên cứu học hỏi Học dạy tốn với chương trình khó, xong dạy học tốn đào tạo mũi nhọn lại vô gian truân, việc học dạy không dừng việc người học người dạy phải có trí tuệ định mà thầy trị phải dày cơng đầu tư vào nghiên cứu dạng tốn, thuật tốn vận dụng hợp lý tính chất toán học nhà toán học nghiên cứu vào giải tốn, ngồi người dạy học tốn phải tự rèn luyện nghiên cứu để có cơng trình tốn riêng góp sức để đưa mơn tốn ngày phát triển Qua trình giảng dạy nhiều năm gần thân tơi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho tốn dạng tốn cơng việc khó Đứng trước toán người thầy chưa hiểu, chưa có hướng giải ta hướng dẫn học sinh nào, thật khó tình người thầy vai trò chủ đạo việc dạy học sinh, cịn học sinh khơng giải toán lại niềm tin thầy cảm thấy việc học tốn cực hình, khó vơ học Khảo sát thực tế 15 học sinh giỏi trường THCS tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số (khi chưa áp dụng sáng kiến) có kết sau: TSHS Giỏi SL 15 download by : skknchat@gmail.com Khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số, đa số học sinh thường ngại, không làm Với dạng toán khác mà triển khai đến bước phải chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số học sinh thưởng giải sai lúng túng Trong đề thi HSG thi vào THPT chuyên thường có dạng chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số mà phần lớn áp dụng bất đẳng thức AM GM, nên học sinh nắm phần khơng tốt khó để đạt điểm cao Trong q trình dạy học đơi giáo viên mắc sai lầm, tơi xin mạnh dạn đưa số giải pháp sau để góp phần tránh sai lầm cho học sinh 2.2 Các giải pháp thực 2.2.1 Giới thiệu bất đẳng thức AM - GM Bất đẳng thức có tên gọi xác bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, hay gọi tắt bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean) Ở nước ta, bất đẳng thức gọi theo tên nhà toán học người pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức bất đẳng thức Cauchy Thực ra, cách gọi tên khơng xác Cauchy người đưa cách chứng minh hay khơng phải người phát bất đẳng thức Dạng tổng quát bất đẳng thức AM – GM sau: Cho số thực khơng âm, ta có: Dạng 1: Dạng 2: Dạng 3: Dấu đẳng thức xảy * Một số dạng đặc biệt bất đẳng thức AM – GM: +) với download by : skknchat@gmail.com +) với +) +) với với * Một số bất đẳng thức suy từ bất đẳng thức AM – GM: Với số thực khơng âm, ta có: +) +) +) +) +) 2.2.2 Giải pháp 1: Kỹ thuật xác định “điểm rơi” Khi đánh giá bất đẳng thức, ta hay quên cần phải bảo tồn dấu đẳng thức xảy mà ta hay gọi bảo toàn “điểm rơi” Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho bất đẳng thức định đến nửa thành cơng cho cơng việc tìm lời giải Ý tưởng chọn điểm rơi việc xác định dấu đẳng thức xảy để sử dụng đánh giá hợp lý Trong trình chứng minh bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm áp dụng bất đẳng thức AM - GM mà quên dấu đẳng thức xảy đâu Để hiểu rõ “điểm rơi”, ta xét số toán sau Bài toán 1: Cho số thực Tìm giá trị nhỏ của: Sai lầm thường gặp là: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Vậy giá trị nhỏ A download by : skknchat@gmail.com Nguyên nhân sai lầm: Giá trị nhỏ A khơng xảy theo giả thiết Điều Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy giá trị a tăngthì A tăng, ta dự đốn A đạt giá trị nhỏ giá trị nhỏ “điểm rơi” GM cho hai số tách Khi ta nói A đạt Ta khơng thể áp dụng bất đẳng thức AM – khơng thỏa mãn dấu đẳng thức xảy Vì ta phải để áp dụng bất đẳng thức AM – GM thỏa mãn dấu đẳng thức xảy Giả sử ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho cặp số “điểm rơi” cho Ta có sơ đồ sau: Khi ta ta có lời giải sau Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Đẳng thức xảy Chú ý: Ngồi cách chọn cặp số hoặc Bài tốn 2: Cho số thực Vậy giá trị nhỏ A ta chọn cặp số sau: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: download by : skknchat@gmail.com Sơ đồ điểủ̉m rơi: Sai lầm thường gặp là: Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù giá trị nhỏ A đáp số cách giải mắc sai lầm đánh giá mẫu số: sai Lời giải đúng: Đẳng thức xảy Vậy giá trị nhỏ A Bài toán 3: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: biểu thức Tìm giá trị nhỏ Phân tích: Dự đốn dấu đẳng thức xảy GM ta có: Theo bất đẳng thức AM – Khi ta có điểm rơi sau: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Do ta download by : skknchat@gmail.com Đẳng thức xảy Vậy giá trị nhỏ A 2.2.3 Giải pháp 2: Kỹ thuật hạ bậc – khử mẫu - Kỹ thuật “hạ bậc” tức chứng ta đưa biểu thức có bậc cao biểu thức có bậc nhỏ Ví dụ , hạ bậc x, để áp dụng giả thiết đề cho Còn “khử mẫu” biến đổi cho biểu thức khơng cịn chứa mẫu Trong kỹ thuật “hạ bậc – khử mẫu” nhiều phải thêm bớt vài đại lượng cho thỏa mãn “điểm rơi” bất đẳng thức AM – GM Để cụ thể ta xét số toán Bài toán 4: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn Chứng minh rằng: Phân tích: Dự đốn “điểm rơi” bất đẳng thức Nếu ghép cặp và bị ngược dấu Nên ta tìm cách hạ bậc x y để áp dụng giả thiết Với ý “điểm rơi” bất đẳng thức nên ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho cặp số 9, để thỏa mãn điểm rơi Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương, ta có: Dấu đẳng thức xảy Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài toán 5: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: Phân tích: Dự đốn “điểm rơi” bất đẳng thức Ở toán này, vừa áp dụng “hạ bậc”, phải “khử mẫu” áp dụng giả thiết Vì “điểm rơi” bất đẳng thức download by : skknchat@gmail.com nên ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho cặp số dương: ; ; Vì phải áp dụng bất đẳng thức AM – GM với cặp số Ta có nên ta phải sử dụng cặp số ? để thỏa mãn “điểm rơi” Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho cặp số dương ; và ; , ta có: Dấu đẳng thức xảy Vậy bất đẳng thức chứng minh 2.2.4 Giải pháp 3: Kỹ thuật khử Bài toán 6: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: download by : skknchat@gmail.com Sai lầm thường gặp: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Cách chứng minh hồn tồn sai Vậy nguyên nhân sai lầm gì? Nguyên nhân sai lầm: Dấu đẳng thức xảy Điều trái với giả thiết Phân tích: Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời câu hỏi sau: - Đẳng thức xảy đâu? - Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số? Đó số nào? Do vai trò a, b, c biểu thức nên ta dự đoán điểm rơi bất đẳng thức , từ ta có Vì bất đẳng thức chứa bậc hai nên để phá ta sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số , … Từ ta có lời giải sau Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng: cho hai số khơng âm, ta có: 10 download by : skknchat@gmail.com Dấu đẳng thức xảy Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài toán 7: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: Phân tích: Dự đốn “điểm rơi” bất đẳng thức Ở cần tìm GTLN nên ta áp dụng đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Ta khử dấu biểu thức Q Lời giải: Ta có: Tương tự ta có: Cộng bất đẳng thức vế theo vế, ta có: Dấu đẳng thức xảy 2.2.5 Giải pháp 4: Kỹ thuật tách ghép đối xứng Trong nhiều toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật “tách ghép đối xứng” để toán trở nên đơn giản Ở sau: toán bất đẳng thức, thông thường hay gặp hai dạng * Dạng 1: Chứng minh 11 download by : skknchat@gmail.com Ý tưởng 1: Nếu ta chứng minh Sau tương tự ta có: ; (nhờ tính chất đối xứng toán) Cộng bất đẳng thức vế theo vế rút gọn cho 2, ta có: Ý tưởng 2: Nếu ta chứng minh Sau tương tự ta có: ; (nhờ tính chất đối xứng toán) Cộng bất đẳng thức vế theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh * Dạng 2: Chứng minh với Ý tưởng: Nếu ta chứng minh Sau tương tự ta có ; (nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau nhân ba bất đẳng thức vế theo vế lấy bậc hai, ta có: Chú ý số cách ghép đối xứng: Phép cộng: Phép nhân: Bài toán 8: Cho ba số thực dương Chứng minh rằng: Phân tích: Bài tốn có dạng Để ý hai biểu thức , đó: đối xứng với b (tức vai trò a c nhau) Do ta sử dụng kỹ thuật tách ghép để chứng minh 12 download by : skknchat@gmail.com Dự đốn: Do vai trị thức là nên “điểm rơi” bất đẳng Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Tương tự ta có: ; Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta Dấu đẳng thức xảy Bài toán 9: Cho Vậy bất đẳng thức chứng minh độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi Chứng minh rằng: Phân tích: Từ giả thiết ta nhận thấy ý đến số dương Do ta nghĩ đến đánh giá Mà vai trị bình đẳng nên ta tương tự cho bất đẳng thức lại Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Dấu đẳng thức xảy Bài toán 10: Cho Bất đẳng thức chứng minh số thực dương thỏa mãn Phân tích: Để ý theo bất đẳng thức AM – GM ta có Chứng minh Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta lại có: 13 download by : skknchat@gmail.com Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Tương tự ta có: ; Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta có: Cũng theo bất đẳng thức AM – GM ta lại có: Áp dụng tương tự ta có: ; Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta có: Do ta có: Ta cần chứng minh: Thật vậy, ta có: (do ) Dấu đẳng thức xảy Vậy bất đẳng thức chứng minh 2.2.6 Giải pháp 5: Kỹ thuật AM – GM ngược dấu Trong trình tìm lời giải cho toán bất đẳng thức, sai lầm thường gặp sau loạt đánh giá ta thu bất đẳng thức ngược chiều Điều làm khơng người cảm thấy nản lịng Lúc ta bình tĩnh suy nghĩ chút thấy với đánh giá ngược chiều cách ta thêm vào trước 14 download by : skknchat@gmail.com dấu âm đánh giá chiều Sử dụng ý tưởng tương tự kỹ thuật thêm bớt, chí có phần khéo kéo hơn, kỹ thuật AM – GM ngược dấu chứng tỏ đột phá đơn giản đem lại hiệu bất ngờ đến ngạc nhiên giải lớp bất đẳng thức khó Ta xét số tốn cụ thể sau Bài toán 11: Cho số thực dương thỏa mãn rằng: Chứng minh Phân tích: Dự đoán “điểm rơi” bất đẳng thức Quan sát bất đẳng thức khơng bạn đánh giá Áp dụng tương tự ta bất đẳng thức Tuy nhiên bất đẳng thức thu lại bị ngược chiều Đến bị lúng túng cách giải Ta phải đánh giá mẫu thêm dấu âm trước đánh giá tốt Để giải vấn đề đó, cần thực phép biến đổi sau: Đến đánh giá mẫu mà khơng sợ bị ngược chiều Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: Hồn tồn tương tự ta có: ; Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: Dấu đẳng thức xảy chứng minh Bài toán 12: Cho 15 download by : skknchat@gmail.com Phân tích: Chúng ta sử dụng kỹ thuật AM – GM ngược dấu Tuy nhiên đơn giản tìm giá trị lớn 2P Lời giải: Biến đổi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Áp dụng tương tự, ta có: ; Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế, ta có: Dấu đẳng thức xảy * Hiệu củủ̉a sáng kiến Qua trình áp dụng giảng dạy, áp dụng sáng kiến đem lại hiệu lớn Các em học sinh yêu thích đam mê toán chứng minh bất đẳng thức cực trị đại số Học sinh tò mò muốn chiếm lĩnh, khám phá toán vốn kiến thức Sau áp dụng sáng kiến, em có nhiều tiến rõ rệt Kết khảo sát lại 15 em học sinh giỏi trường THCS có áp dụng sáng kiến cho kết sau: TSHS Giỏi SL 15 16 download by : skknchat@gmail.com KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa củủ̉a đề tài Như vậy, qua số giải pháp mà đưa nhằm giúp cho học sinh có nhìn tổng qt hơn, sâu rộng tránh nhiều sai lầm đáng tiếc sử dụng bất đẳng thức AM – GM để chứng minh bất đẳng thức hay giải tốn tìm cực trị đại số Giúp cho học sinh lớp có kiến thức chắn hơn, kỷ thành thạo tự tin học phần giúp cho em có thêm kinh nghiệm để chuẩn bị tốt cho kỳ thi HSG, thi tuyển sinh THPT thi vào trường chuyên Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy q trình ơn thi HSG cấp tỉnh thi vào trường chuyên, chắn học sinh đạt kết cao hơn, đề tài góp phần nâng cao cho học sinh khả chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số, nội dung khó chương trình tốn THCS 3.2 Kiến nghị, đề xuất Kính mong thầy giáo thảo luận thêm đề tài buổi sinh hoạt chuyên môn tổ, tăng thêm thời lượng tiết tự chọn tạo điều kiện để tơi thực đề tài cách có hiệu đến với học sinh Kính đề nghị nhà trường tạo điều kiện để thực tốt đề tài Nội dung kiến thức bất đẳng thức AM - GM sâu rộng phong phú Tơi cố gắng tìm tịi vận dụng vào thực tế giảng dạy, nhiên chăc chăn se không tranh khoi thiêu sot Kinh mong quy thây cô va cac đông nghiêp gop y đê đê tai se co hiêu qua nưa qua trinh giang day Tôi xin chân cam ơn ! 17 download by : skknchat@gmail.com ... áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho cặp số dương: ; ; Vì phải áp dụng bất đẳng thức AM – GM với cặp số Ta có nên ta phải sử dụng cặp số ? để thỏa mãn “điểm rơi” Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM. .. cho bất đẳng thức lại Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Dấu đẳng thức xảy Bài toán 10: Cho Bất đẳng thức chứng minh số thực dương thỏa mãn Phân tích: Để ý theo bất đẳng thức AM – GM. .. tìm cực trị đại số học sinh thưởng giải sai lúng túng Trong đề thi HSG thi vào THPT chuyên thường có dạng chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đại số mà phần lớn áp dụng bất đẳng thức AM GM, nên