(SKKN 2022) rèn kỹ năng sử dụng dữ kiện của đề bài để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho HS lớp 9 ở trường THCS lý thường kiệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GD & ĐT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG DỮ KIỆN CỦA ĐỀ BÀI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHO HỌC SINH LỚP Ở TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT Người thực hiện: Trương Thị Hà Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Lý Thường Kiệt SKKN thuộc mơn: Tốn học HÀ TRUNG, NĂM 2022 MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN NỘI DUNG SKKN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các giải pháp giải vấn đề Bài tập vận dụng 2.4 Hiệu SKKN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Danh mục SKKN xếp loại Tài liệu tham khảo Trang 2 3 3 3 – 14 15 16 17 17 17 19 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Trong chương trình THCS, tốn học môn khoa học tự nhiên chiếm vị trí quan trọng suy nghĩ phương pháp học tập học sinh Toán học giúp cho em phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức Qua đó, em vận dụng hiểu biết vào thực tiễn vào mơn học khác Tốn học chìa khóa ban đầu để em khám phá kho tàng tri thức nhân loại.Từ đó, em có vốn khoa học định để phát triển nhân cách phục vụ cho công tác xây dựng đất nước sau Với vai trò quan trọng việc giúp em thích học, hiểu sau đam mê mơn tốn để em mở rộng nâng cao kiến thức việc làm bắt buộc người dạy toán Tuy nhiên, để em tự học tự tìm tịi định hình đầu em cách giải theo hiểu biết thân mà không nắm thực chất vấn đề nhớ toàn cách giải dạng tốn Với chương trình đại số THCS, học sinh làm quen với bất đẳng thức bắt đầu tập suy luận để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Với yêu cầu kĩ tương đối cao địi hỏi phải có suy luận lơgíc hợp lý, khả sử dụng linh hoạt phép biến đổi, ngơn ngữ xác thơng qua lập luận tập chứng minh Việc làm quen tiếp cận với toán chứng minh bất đẳng thức học sinh THCS nên đại đa số học sinh chưa biết chứng minh đâu Với lý nên chọn đề tài “ Rèn kỹ sử dụng kiện đề để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh lớp Trường THCS Lý Thường Kiệt” Với đề tài mong góp phần nhỏ vào phương pháp giải tốn bất đẳng thức chương trình Tốn THCS, mong gửi đến hội đồng giáo dục xem xét 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài củng cố cung cấp cho học sinh số kĩ suy luận để giải số tốn bất đẳng thức, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức, rèn cho học sinh tư linh hoạt, sáng tạo giải tốn Cũng thơng qua đề tài nhằm giúp học sinh có thói quen tìm tịi học tốn sáng tạo giải tốn Từ đó, tạo cho học sinh có phương pháp học tập đắn, biến học (kiến thức thầy) thành thân, nắm bắt nó, vận dụng nó, phát triển cách hướng Qua giúp em tạo niềm tin, hứng phấn, hứng thú say mê học mơn tốn học Trong khn khổ đề tài, dù biết đề cập hết dạng toán phương pháp giải toán bất đẳng thức được, thân hi vọng tài liệu bổ ích cho học sinh thầy cô giáo tham khảo, đặc biệt vấn đề chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ vấn đề khó người dạy người học toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Các tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN GTNN đề thi HSG cấp huyệnTHCS - Nghiên cứu qua tập tuyển sinh vào lớp 10, lớp 10 chuyên tỉnh thành nước - Nghiên cứu qua học sinh lớp Trường THCS Lý Thường Kiệt 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Điều tra thực trạng học sinh, phân tích kết điều tra - Tổng kết kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy - Tham khảo ý kiến phương pháp đồng nghiệp thông qua buổi sinh hoạt chuyên môn 1.5 Những điểm SKKN Qua đề tài giúp cho thay đổi mặt nhận thức tư toán học học sinh việc sử dụng kiện đề để làm tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hay chứng minh bất đẳng thức Từ đó, giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp dạy học tích cực hiệu NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề: Trong trường THCS mơn tốn coi mơn khoa học trọng môn có nhiều khái niệm trừu tượng Đặc biệt phải khẳng định phần bất đẳng thức có nhiều dạng tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, kiến thức tập lại phong phú, nhiều so với nội dung lý thuyết học Bên cạnh yêu cầu tập lại cao, nhiều toán dạng chứng minh địi hỏi phải suy diễn chặt chẽ lơgíc có trình tự Trong phương pháp chứng minh bất đẳng thức số tài liệu viết chương trình THCS, phương pháp sử dụng kiện đề để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phương pháp giúp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán bất đẳng thức cách nhanh, logic, hệ thống, chặt chẽ có hiệu Hiểu đơn giản hơn, trình thực phương pháp này, học sinh phải trả lời cho câu hỏi theo dạng: “ để chứng minh kết luận ta cần chứng minh gì? Như vậy, muốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A khơng có nghĩa ta chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc sử dụng kiện đề để ta chứng minh bất đẳng thức B ta chứng minh A cách gián phương pháp sử dụng kiện đề Hệ thống tập đa dạng phong phú thể nhiều hình thức, phần lớn tập chứng minh tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, địi hỏi HS phải có phương pháp phân tích, suy luận hợp lí để tìm lời giải cho tốn Vì việc “Rèn kỹ sử dụng kiện đề để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh lớp Trường THCS Lý Thường Kiệt ” quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học phần bớt “căng thẳng” gặp tập chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, học sinh cảm thấy nhẹ nhàng hào hứng, từ dám mạnh dạn tư duy, mạnh dạn chứng minh, suy luận để đạt kết tốt 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 2.2.1 Đối với giáo viên Qua tìm hiểu tơi thấy ngun nhân q trình dạy học số thầy (cơ) giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập, hình thức tổ chức hoạt động dạy học học chưa phong phú nên chưa kích thích học sinh hứng thú học tập Ngồi cịn phận khơng nhỏ giáo viên cịn lúng túng việc phân tích, hướng dẫn cho HS tìm lời giải cho toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ GV thường thấy dạng tốn khó nên việc giảng cho HS hiểu mà nắm thường dành cho đối tượng học sinh giỏi Vì HS khơng hiểu nguyên nhân đưa đến lời giải tốn nên khơng vận dụng vào giải tốn khác, HS khơng biết cách học tốn, cụ thể cách suy nghĩ để tìm lời giải cho toán Đặc biệt toán chứng minh bất đẳng thức, khiến HS tiếp thu cách thụ động, thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết học tập thấp 2.2.2 Đối với học sinh Một thực tế rõ ràng đại đa số học sinh cảm thấy sợ phải “ đối mặt ” với tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Qua tìm hiểu thân tơi thấy số ngun nhân tồn học sinh sau: - Học sinh chưa nắm vững kiến thức số bất đẳng thức thường dùng đẳng thức hay gặp vận dụng bất đẳng thức lơ mơ - Kĩ suy luận, phân tích sáng tạo cịn kém, lười suy nghĩ khơng hiểu đề u cầu điều phải bắt đầu suy luận từ đâu để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ - Các tập mẫu SKG khơng có nên học sinh khơng học hỏi phương pháp, bất đẳng thức bản, cách suy luận từ tập mẫu đẳng thức thường dùng để suy luận chứng minh Qua thực tế khảo sát làm tập chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ trường THCS Lý Thường Kiệt 37 học sinh lớp chưa áp dụng đề tài thu kết sau: Kết kiểm tra Tổng Điểm 9-10 Điểm 7-8,5 Điểm 5-6,5 Điểm < số HS SL % SL % SL % SL % 37 2,7 13,5 24 64,9 18,9 2.3 Các giải pháp giải vấn đề 2.3.1 Sử dụng kiện thường thấy đề để chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức Với a, b, c số thực ta có: (a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc = a(a + b + c) + bc Từ đẳng thức ta có kết sau: Kết 1: Nếu a + b + c = (a + b)(a + c) = a(a + b + c) + bc = a + bc Kết 2: Nếu a + b + c = k (a + b)(a + c) = a(a + b + c) + bc = k.a + bc Kết 3: Nếu ab + bc + ca = (a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc = a2 + Nếu ab + bc + ca = k (a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc = a2 + k Kết 4: Nếu ab + bc + ca = -1 c = - ab + a+b 2.3.2 Các ví dụ cụ thể Ví dụ 1: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: (a + bc)(b + ac)(c + ab) ≥ Cách làm thường thấy học sinh: (a + bc)(b + ac)(c + ab) = (ab + a2c + b2c + abc2)(c + ab) = abc + a2b2 + a2c2 + b2c2 + a3bc + ab3c + abc3 + a2b2c2 Đến học sinh bế tắc trình biến đổi không sử dụng kiện đề cho a + b + c = Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết Do a + b + c = nên a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c) Tương tự: b + ac = b(a + b + c) + ac = (b + a)(b + c) c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) Do đó: (a + bc)(b + ac)(c + ab) = (a + b)2.(b + c)2.(c + a)2 ≥ Vậy bất đẳng thức chứng minh Phân tích làm: Như với cách sử dụng kết ta đưa tích biểu thức a + bc; b + ca; c + ab dạng tích bình phương giải tốn cách nhanh chóng Ví dụ 2: Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: xy + xy + z yz + yz + x zx ≤ zx + y (Trích đề thi vào 10 chuyên Hà Tĩnh 2017 - 2018) Cách làm thường thấy học sinh: x + y + z = ⇔ z = - x - y Khi đó: xy + z = xy + – x – y = x(y - 1) + (1 - y) = (1 - x)(1 - y) xy = xy + z xy 1 x y  ≤  + ÷ 1 - x - y  ( - x) (1 - y) Đến đây, học sinh lại tiếp tục thay – x = y + z; – y = x + z Ta được: xy 1 x y  1 x y  ≤  + + ÷=  ÷ 1 - x - y   y + z x + z  ( - x) (1 - y) xy = xy + z Tương tự: 1 y z  +  ÷ 2 x + z x +y zx 1 z x  ≤  + ÷ zx + y 2 x + y y+ z  yz yz + x Khi đó: ≤  2x 2y 2z  x y z + + + +  ÷= 2 y + z x +z x +y y +z x+z x+y Khi biến đổi đến việc chứng minh VT ≤ khó khăn VT ≤ Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết xy + z = xy + (x + y + z).z = (z + x)(z + y) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xy xy = xy + z xy + z ( x + y + z ) = xy ( z + x) ( z + y) ≤ 1 x y  +  ÷ 2x + z y+z  Chứng minh hồn tồn tương tự, ta có: yz yz + x ≤ 1 y  2 x + y zx 1 z ≤  zx + y 2z + y z  ÷ x+z  x  + ÷ x+y  + Khi đó: VT ≤ 1 x y y z z x  + + + + +  ÷ 2 x + z y +z x +y x+z z +y x +y  x z   y z   x y  + + +  ÷+  ÷ ÷+   x + z x + z   y + z z + y   x + y x + y  ⇔ VT ≤ ×3 = 2 xy yz zx + + ≤ Hay xy + z yz + x zx + y Dấu “ = ” xảy x = y = z = ≤ Phân tích toán: Ở sử dụng BĐT Cauchy ta khéo léo việc nhóm x x+z y để tạo biểu thức rút gọn Trong đó, sử dụng hệ thức y +z làm cho việc chứng minh nhanh không cần biến đổi thay lần phức tạp thêm tốn Ví dụ 3: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: ab bc ca + + P= ab + 2c bc + 2a ca + 2b (Trích đề thi tuyển sinh vào 10) GV : Nhiều học sinh nhanh chóng biết sử dụng kết biến đổi biểu thức kết sau: P= ab ( c + a ) ( c + b ) + bc ( a + b ) ( a + c ) Cachy kết sau + ca ( b + c ) ( b + a ) áp dụng bất đẳng thức  a2 b2 b2 c2 c2 a2  P≤  + + + + + ÷ đến lúng túng sử lý 2 c+a c+b a +b a+c b+c b+a  Do giáo viên khéo léo hướng dẫn học sinh linh hoạt sử dụng cách làm áp dụng bất đẳng thức Cachy để đưa toán dạng đơn giản Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết với k = Vì a + b + c = nên 2c + ab = c.(a +b+c) +ab = (c+a).(c+b) Tương tự : 2a + bc = (a+b) (a+c) 2b +ca = (b+a) (b+c) Do : ab P= ( c + a ) ( c + b ) + bc ( a + b ) ( a + c ) + ca ( b + c ) ( b + a ) 1 > 0; > nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : a+c b+c 1 1 + ≥2 = a+c b+c ( a + c ) ( b + c ) ( a + c ) ( b + c ) Vì a, b, c > nên ⇔  ab ab  ≤  + ÷ ( a + c ) ( b + c )  a + c b + c  ab Tương tự :  bc bc  ≤  + ÷ ( a + b ) ( a + c )  a + b a + c  bc  ca ca  ≤  + ÷ ( b + c ) ( b + a )  b + c b + a  ca Khi đó:  ab ab bc bc ca ca  P≤  + + + + + ÷ 2 a+c b+c a +b a+c b+c b+a  P ≤ a+b+c = 2 Dấu “ = ” xảy a = b = c = Vậy MaxP = a = b = c = Ví dụ 4: Cho a, b, c số dương thỏa mãn thỏa mãn a + b + c = ab bc ac + + ≥ Chứng minh rằng: c + ab a + bc b + ac Cách làm thường thấy học sinh: ab bc ac 1 + + = + + c a b c + ab a + bc b + ac +1 +1 +1 ab bc ac Sử dụng bất đẳng thức Schwars ta được: 1 + + c a b +1 +1 +1 ab bc ac ≥ 3+ a b c + + bc ac ab Khi biến đổi đến việc chứng minh VT ≥ gặp nhiều khó khăn a b c + + ≤ chưa sử dụng kiện bc ac ab toán cho a + b + c = Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết Do a + b + c = nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) Tương tự: b + ac = b(a + b + c) + ac = (b + a)(b + c) a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c) Biến đổi sử dụng bất đẳng thức Schwars ta được: ab bc ac ab bc ac + + = + + c + ab a + bc b + ac ( c + a ) ( c + b) ( a + b) ( a + c) ( b + a ) ( b + c) việc biến đổi để chứng minh ab ( a + b ) + bc ( c + b ) + ac ( a + c ) a ( c + b ) + b ( c + a ) + c2 ( a + b ) = = ( a + b) ( c + a ) ( c + b) ( a + b) ( c + a ) ( c + b) a2 b2 c2 = + + ( a + b) ( a + c) ( b + a ) ( b + c) ( c + a ) ( c + b ) ( a + b + c) c) + ( b + a ) ( b + c) + ( c ≥ (a + b) ( a + ≥ 1+ ( a + b + c) = + a ) ( c + b) = a + bc + b + ac + c + ab Dấu “ = ” xảy a = b = c = ab bc ac + + ≥ c + ab a + bc b + ac Phân tích tốn: Ở đây, từ hệ thức ta cịn thay ngược lại: (a + b)(a + c) = a + bc cách biến đổi để làm cho mẫu thức trở thành đơn giản xuất kiện đề a + b + c = Như vậy, qua ví dụ việc sử dụng kết làm cho toán trở thành đơn giản hơn, cách biến đổi toán nhanh thuận lợi việc triển khai bước biến đổi Sau đây, tơi xin trình bày thêm ví dụ việc sử dụng kết Ví dụ 5: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = 2016 Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c + + P= a + 2016a + bc b + 2016b + ac c + 2016c + ab Vậy (Trích đề thi vào 10 chuyên Hà Tĩnh 2016 - 2017) GV: Qua ví dụ học sinh khéo léo biết vận dụng kết với k=2016 Hướng dẫn cách làm: Ta có: (a a + 2016a + bc = a + + b + c ) a + bc = a + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 ( a + b ) ( a + c ) =  a + b  × c    ( ) ( ) (a + b) ( a + c) ( ) ( ) + a ≥  ( ac + ab ) Suy a + ( a + b ) ( a + c ) ≥ a + ab + ac = a ( a + b + c ) a ≤ 2016a + bc a a + b+ c b+ b ≤ 2016b + ac b a + b+ c c+ c ≤ 2016c + ab c a + b+ c Suy a+ Tương tự: a + b+ c = a + b+ c Dấu “ = ” xảy a = b = c = 672 Vậy MaxP = a = b = c = 672 Ví dụ 6: Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x + y + z = Suy ra: P ≤ x y z Chứng minh rằng: x + x + yz + y + y + zx + z + 3z + xy ≤ (Trích đề thi học sinh giỏi tốn Huyện Chí Linh – Hải Dương) GV: Nhờ ví dụ nhiều học sinh vận dụng cách làm giải nhanh chóng tốn, nhiên ngồi cách cịn có thêm hướng khai thác toán nhờ áp dụng bất đẳng thức Cachy sau: Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết với k = Từ ( x − yz ) ≥ ⇔ x + yz ≥ x yz (*) Dấu “ = ” xảy ⇔ x = yz Ta có: x + yz = ( x + y + z ) x + yz = x + yz + x ( y + z ) ≥ x yz + x ( y + z ) Suy : 3x + yz ≥ x yz + x( y + z ) = x ( y + z ) Khi : x + 3x + yz ≥ x ( x + y + z ) ⇒ Tương tự : y ≤ y + y + xz y x+ y+ z (2); x ≤ x + 3x + yz x (1) x+ y+ z z ≤ z + z + xy z (3) x+ y+ z x y z Từ (1), (2) (3) ⇒ x + 3x + yz + y + y + xz + z + 3z + xy ≤ Dấu “ = ” xảy x = y = z = Ví dụ 7: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : a + bc + b + ca + c + ab ≥ + ab + bc + ca (Trích tạp trí tốn học tuổi thơ năm 2014) GV: Từ ví dụ 6, quan sát yêu cầu đề học sinh khéo léo sử dụng kết áp dụng bất đẳng thức Cachy để suy điều phải chứng minh Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết Ta có ( a + bc = a ( a + b + c ) + bc = a + a ( b + c ) + bc ≥ a + 2a bc + bc = a + bc ) ⇒ a + bc ≥ a + bc Tương tự : b + ca ≥ b + ac c + ab ≥ c + ab Do đó: a + bc + b + ca + c + ab ≥ a + b + c + ab + ac + bc ⇔ a + bc + b + ca + c + ab ≥ + ab + ac + bc Dấu “ = ” xảy a = b = c = Ví dụ 8: Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 11 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 5a + 5b + 2c P= 12 ( a + 11) + 12 ( b + 11) + c + 11 (Trích đề thi vào 10 chuyên Quảng Bình 2015 - 2016) Phân tích tốn: Nhìn vào đề nhiều học sinh bắt tay vào làm sử dụng kết với k = 11 Tuy nhiên, nhiều học sinh không quan sát kĩ tốn, nghĩ a, b, c có vai trị nên lúng túng việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương để sử lý tích ( a + b ) ( a + c ) ; ( b + a ) ( b + c ) ; ( c + a ) ( c + b ) mà không để ý có a b vai trị vai trò c khác a khác b Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết với k = 11 Ta có: a2 + 11 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự: b2 + 11 = b2 + ab + bc + ca = (b + a)(b + c) c2 + 11 = c2 + ab + bc + ca = (c + a)(c + b) Khi đó: 10 P= = 5a + 5b + 2c 12 ( a + 11) + 12 ( b + 11) + c + 11 5a + 5b + 2c 3( a + b) ( a + c) + 3( b + a ) ( b + c) + ( c + a ) ( c + b) ( *) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm, ta có: ( a + b ) ( a + c ) ≤ ( a + b ) + ( a + c ) = 4a + 3b + c ( 1) Tương tự: ( b + a ) ( b + c ) ≤ ( b + a ) + ( b + c ) = 4b + 3a + c ( ) ( c + a ) ( c + b) ≤ 1 ( c + a + c + b ) = ( 2c + a + b ) 2 ( 3) Cộng vế (1), (2) (3) ta được: 15 15 a+ b + 3c ( **) 2 5a + 5b + 2c 5a + 5b + 2c ≥ = = Từ (*) (**) suy P 15 a + 15 b + 3c ( 5a + 5b + 2c ) 2 3 ( a + b ) = a + c  c  a = b = 3 ( b + a ) = b + c a = b = ⇔ ⇔ Dấu “ = ” xảy  c + a = c + b ab + bc + ca = 11 c = ab + bc + ca = 11  Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = 3( a + b) ( a + c) + 3( b + a ) ( b + c) + ( c + a ) ( c + b) ≤ Lưu ý : Khi làm dạng toán này, học sinh cần quan sát vai trò biến để lựa chọn cách làm từ dự đốn kết quả, để từ có hướng làm Ví dụ 9: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 6a + 3b + 2c = abc Tìm giá trị lớn biểu thức: + + B= a2 + b2 + c2 + (Trích đề thi vào 10 chuyên Phú thọ 2014 - 2015) Phân tích toán : Quan sát ban đầu nhiều học sinh chưa nhìn thấy sử dụng kiện để áp dụng phần lý thuyết kết nào, cách làm nào, nhờ tư logic làm toán nhờ hướng dẫn giáo viên ( cần) học sinh biết cách đặt ẩn phụ nhờ sử dụng kiện đề cho 6a + 3b + 2c = abc 2 ⇔ + + = đặt ẩn phụ x = ；； y= z = đó, ta được: bc ca ab a b c xy + yz + zx = Bài tốn có kiện quen thuộc Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết Ta có: 6a + 3b + 2c = abc ⇔ + + = bc ca ab 11 ；； y= z= a b c Khi đó: xy + yz + zx = Đặt x = x Biểu thức B viết lại thành: B = + x2 + y y2 +1 + z z2 +1 Mà xy + yz + zx = nên x2 + = x2 + xy + yz + zx = (x + y)(x + z) x Khi đó: x +1 = x ( x + y) ( x + z) Tương tự y y2 +1 z z +1 = = Ta được: B = y ( y + z) ( y + z ) z ( z + y) ( z + x) x ( x + y) ( x + z) + y ( y + x) ( y + z) + z ( z + x) ( z + y ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm, ta có: x ( x + y) ( x + z) y ( y + x) ( y + z ) z ( z + y) ( z + x) ≤ 1 x x  +  ÷ 2 x + y x + z  ≤ 1 y y  +  ÷ 2 x + y y +z ≤ 1 z z  +  ÷ 2 z + y z + x Cộng vế bất đẳng thức ta được: B= x ( x + y) ( x + z) + y ( y + x) ( y + z) + z ( z + x) ( z + y ) 1 x x y y z z  + + + + +  ÷= 2 x + y x + z x + y y + z z + y z + x  x y   x z   y z  B ≤  + + + ÷+  ÷ ÷+   x + y x + y   x + z x + z   z + y z + y   B≤ B ≤ = 2 3 ；；b = c = 3 Vậy giá trị lớn B Dấu “ = ” xảy a = Ví dụ 10: Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: a + a + b4 + b2 + c + c ≤ + a + b2 + c (Trích tạp trí tốn học tuổi thơ năm 2014) Sai lầm học sinh mắc phải : chưa học dạng toán hầu hết em bình phương vế, đưa biểu thức phức tạp, cồng kềnh chưa có hướng cho bước Để khắc phục sai lầm giáo viên phân tích kiện đề cho để 12 sử dụng kết 1rồi vào điều phải chứng minh để sử dụng bất đẳng thức Cachy Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết a + a = a ( a + 1) = a ( a + ab + bc + ca ) = a ( a + b ) ( a + c ) = ( a + ab ) ( a + ac ) Suy a + a = (a + ab ) ( a + ac ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương a + ab; a + ac ta được: a4 + a2 = ( a + ab ) ( a + ac ) ≤ ⇒ a4 + a2 ≤ a + ab + a + ac 2a + ab + ac Tương tự: 2b + ab + bc 2 2c + ac + cb c4 + c2 ≤ b4 + b2 ≤ Do 2a + ab + ac 2b + ba + bc 2c + ac + cb a +a + b +b + c +c ≤ + + = + a + b2 + c2 2 Dấu “ = ” xảy a = b = c = 4 Vậy a + a + b + b + c + c ≤ + a + b + c Ví dụ 11: Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = - x2 - y2 - z + + ≥6 Chứng minh rằng: x + yz y + zx z + xy GV : Nhờ việc sử dụng kết phần lý thuyết đặt ẩn phụ học sinh đưa toán từ phức tạp thành toán quen thuộc sau : Sử dụng kết với k=1 Từ giả thiết ta được: - x2 ( - x ) ( + x ) ( y + z ) ( x + x + y + z ) ( y + z ) ( x + y ) + ( y + z ) ( x + z ) = = = x + yz ( x + y ) ( x + z ) ( x + y) ( x + z) ( x + y) ( x + z) Hoàn toàn tương tự ta : - y2 ( x + z ) ( x + y ) + ( x + z ) ( y + z ) = y + xz ( x + y) ( y + z) - z2 ( x + y) ( y + z ) + ( x + y) ( x + z) = z + xy ( y + z) ( x + z) Đặt a = (x + y)(x + z); b = (y + z)(y + x); c = (z + x)(z + y) Khi ta viết lại thành: a+b b+c c+a + + c a b ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 13 a b b c a c + ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ b a c b c a Cộng vế bất đẳng thức ta được: a+b b+c c+a + + c a b ≥ Dấu “ = ” xảy a = b = c - x2 - y2 - z + + ≥6 Vậy x + yz y + zx z + xy Dấu “ = ” xảy x = y = z = Ví dụ 12: Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2a 1+ a + b 1+ b + c 1+ c2 (Trích đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Nghệ An năm học 2016 - 2017 ) GV : Nhờ việc quan sát vai trò biến sau rút từ ví dụ học sinh cách làm sau : Sử dụng kết : Theo giả thiết toán: + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c) Tương tự: + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(b + a) + c2 = ab + bc + ca + c2 = (c + a)(c + b) Khi đó: 2a b c P= + + ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a ) ( c + b) ( c + a ) = a.2 ( a + b) ( a + c) + b.2 1 + c.2 4( b + c) ( b + a ) 4( c + b) ( c + a ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 1 ≤ + a+b a+c ( a + b) ( a + c) Hoàn toàn tương tự: 1 2× ≤ + ( b + c) ( b + a ) ( b + c) b + a 2× 1 ≤ + 4( c + b) ( c + a ) 4( c + b) c + a 1   1  Khi đó: P ≤ a  +  + b  + + c + ÷  ÷=  ÷  b + c b + a c + b c + a ( ) ( ) a +b a +c     14 15 15 a = ; b=c= 15 15 Ví dụ 13: : Cho a, b, c số dương thỏa mãn: a + b + c = Vậy GTLN P = a + bc b + ca c + ab + + ≥3 Chứng minh rằng: b + ca c + ab a + bc (Trích đề học sinh giỏi tốn vịng Tĩnh Gia năm học 2014 – 2015) GV: Nhiều học sinh chưa biết sử dụng đề cho nhờ phân tích đặc điểm tốn ta có cách làm sau: Hướng dẫn: Ta có: 3(b + ca ) = b(a + b + c) + 3ca ≤ b( a + b + c) + c + a + ca = a + b + c + ab + bc + ca ⇒ a + bc 3(a + bc ) 3(a + bc) = ≥ b + ca 3(b + ca ) a + b + c + ab + bc + ca Tương tự: b + ca 3(b + ca ) ≥ c + ab a + b2 + c + ab + bc + ca c + ab 3(c + ab) ≥ a + bc a + b + c + ab + bc + ca 3(a + bc) + 3(b + ca) + 3(c + ab) ⇒ VT ≥ =3 a + b + c + ab + bc + ca Ví dụ 14: Cho x, y hai số thực x + y ≠  + xy  Chứng minh rằng: x + y +  ÷ ≥2  x+ y  2 (Trích đề thi học sinh giỏi lớp Thành phố Hồ Chí Minh năm 2015 - 2016) Phân tích tốn : Nhìn vào u cầu đề ta thấy xuất kết phần lý thuyết nên có cách làm sau : Sử dụng kết Từ giả thiết ta đặt: z = - + xy x+ y ⇔ xy + yz + zx = -1 Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x + y + z ≥ Ta có: ( x + y + z) ≥ ⇔ x + y + z ≥ -2 ( xy + yz + zx ) = Vậy bất đẳng thức chứng minh Bằng cách làm tương tự giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh nhiều tập khác cách sử dụng kết Sau đây, xin đưa số toán áp dụng cụ thể cho phương pháp Các toán áp dụng a , b , c Bài 1: Cho số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= a3 b3 c3 + + + 3abc 3a − ab − ac + 2bc 3b − ba − bc + 2ac 3c − ca − cb + 2ab (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hưng Yên năm học 2015 - 2016) 15 Bài 2: Cho a, b, c ba số thực dương có tổng Chứng minh: a − bc b − ca c − ab + + ≤ a + bc b + ca c + ab (Trích đề thi vào 10 Chuyên Thái Bình năm học 2014 - 2015) Bài 3: Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = x y z Chứng minh x + yz + y + zx + z + xy ≤ (Trích đề thi vào 10 Chuyên Phú Thọ năm học 2015 - 2016) Bài : Cho a, b, c số dương thỏa mãn: a+b+c =1 Chứng minh rằng: c + ab a + bc b + ac + + ≥ a+b b+c a+c (Trích đề học sinh giỏi toán Tĩnh Gia năm học 2015 – 2016) Bài : Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = , tìm giá trị lớn biểu thức: Q= x x + x + yz + y y + y + zx + z z + z + xy (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chun Tốn TP Hà Nội, 2014) Bài : Cho x, y,z số dương thỏa mãn xy + yz + zx = y 1 2 x z + + ≥  + + Chứng minh rằng: 2 2  1+ x 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z2   ÷ ÷  ( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên KHTN, 2019-2020) Bài 7: Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: a + a2 + b4 + b2 + c4 + c2 ≥ 2 (a +b +c ) + ( ab + bc + ca ) (Trích tạp trí tốn học tuổi thơ năm 2014) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Với cách đặt vấn đề giải vấn đề truyền thụ cho học sinh, thấy học sinh lĩnh hội kiến thức cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống Học sinh phân biệt nhận dạng dạng tốn bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có liên quan đến kết trên, từ giải tập có liên quan tốn bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, xóa cảm giác khó phức tạp ban đầu khơng có quy tắc giải tổng quát thấy hứng thú với dạng toán Giáo viên phải thấy tầm quan trọng việc hướng dẫn HS phân tích, tìm lời giải tốn bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Từ tuân thủ áp dụng phương pháp vào giảng dạy việc ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 THPT mơn tốn để HS biết cách học tốn, từ tự đọc tự học Nghiên cứu nội dung, chương trình Tốn THCS, xác định rõ chuẩn kiến thức kĩ môn học để từ áp dụng chuyên đề mức độ yêu cầu phù hợp với đơn vị kiến thức Cụ thể kết khảo sát tổ chức giải tập bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho 37 học sinh lớp trường THCS Lý Thường Kiệt sau áp dụng đề tài sau: 16 Kết kiểm tra Điểm 9-10 Điểm 7- 8,5 Điểm 5- 6,5 Điểm < SL % SL % SL % SL % 37 12 32,44 20 54,05 13,51 0 Vì tơi mong cịn tìm nhiều cách giải tốn khác hay Qua toán mong em thực hành cách thành thạo nhất, có nhìn đơn giản dạng tốn bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên số ví dụ sử dụng kiện đề để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng tập mà thân tơi tổng hợp qua q trình giảng dạy Thật tốn ta bắt gặp sách đề thi, nhiên địa phương kinh tế cịn khó khăn nên việc tiếp cận sách tham khảo học sinh hạn chế, việc phân chia dạng tập có tính tương đối dễ tìm Trong tốn tùy theo cách nhìn ta có cách chứng minh tương ứng Việc tìm lời giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khơng phải đơn giản khơng có quy trình sẵn có nên địi hỏi q trình dạy học giáo viên phải thường xuyên ý đến phương pháp hướng dẫn học sinh tìm tịi cách chứng minh tốn Qua đó, rèn kĩ phân tích tổng hợp, tư lơgíc kĩ trình bày giải Đối với học sinh lớp chun đề khó địi hỏi kĩ cao nên giúp cho học sinh bước hoàn thiện dần sau lớp 3.2 Kiến nghị 2.1 Đối với học sinh: - Muốn nâng cao, củng cố kĩ tập trước tiên phải tự chuẩn bị đồ dùng học tập - Học sinh phải tự chủ, độc lập tư duy, phân loại cá dạng tập - Học sinh tổ chức nhóm, đơi bạn học tập để nhận xét, đánh giá kết 3.2.2 Đối với giáo viên môn: - Lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh trình học tập - Giáo viên khơng ngừng học tập nâng cao trình độ chun mơn, đặc biệt lớp bồi dưỡng chuyên đề phòng, sở GD buổi sinh hoạt cụm để có nhiều điều kiện học hỏi kinh nghiệm 3.2.3 Đối với Ban Giám Hiệu: - Mua sắm thêm thiết bị dạy học phục vụ cho mơn tốn 3.2.4 Đối với Phòng Giáo dục đào tạo Hà Trung: - Tổ chức cho giáo viên huyện học tập SKKN đạt giải cấp tỉnh để nhân rộng áp dụng thực tế giảng dạy Trong q trình viết SKKN chắn khơng tránh khỏi thiếu xót Vì vậy, tơi mong Hội đồng giáo dục góp ý SKKN hồn thiện Tôi xin chân thành nhận cảm ơn góp ý Hội đồng giáo dục Tổng số HS 17 Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hà Trung, ngày 10 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Trương Thị Hà DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN 18 Họ tên tác giả: Trương Thị Hà Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Lý Thường Kiệt TT 1 2 Tên đề tài SKKN Rèn kĩ giải dạng tập phương trình bậc hai thơng qua phương pháp phân dạng cho học sinh lớp trường THCS Lý Thường Kiệt Rèn kĩ giải dạng toán tỉ lệ thức thông qua phương pháp phân dạng cho học sinh khá, giỏi lớp trường THCS Lý Thường Kiệt Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Cấp huyện Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) B 2015 –2016 Cấp tỉnh C 2018 –2019 Năm học đánh giá xếp loại TÀI LIỆU THAM KHẢO - Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán cấp huyện - Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán tỉnh nước 19 - Tạp trí tốn học tuổi thơ - Các chủ đề bất đẳng thức ôn thi vào 10 tác giả Nguyễn Ngọc Sơn, Chu Đình nghiệp, Lê Trung Hải, Vũ Quốc Bá Cần - NXB Đại học quốc gia Hà Nội - Phương pháp giảỉ toán bất đẳng thức cực trị dành cho học sinh 8, tác giả Nguyễn Văn Dũng, Võ Qốc Bá Cần, Trần Quốc Anh - NXB Đại học quốc gia Hà Nội 20 21 ... luận hợp lí để tìm lời giải cho tốn Vì việc ? ?Rèn kỹ sử dụng kiện đề để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh lớp Trường THCS Lý Thường Kiệt ” quan trọng để khơi... muốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A khơng có nghĩa ta chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc sử dụng kiện đề để ta chứng minh bất đẳng thức B ta chứng minh. .. chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh lớp Trường THCS Lý Thường Kiệt? ?? Với đề tài mong góp phần nhỏ vào phương pháp giải toán bất đẳng thức chương trình Tốn THCS,