SKKN phương pháp giải và các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường gặp trong chương trình toán THCS

MỤC LỤC Trang 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài ……………………………………………………… .1 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………………….1 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………… .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu …………………………………… 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ………………………….….… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghi ệm …….… … 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử d ụng đ ể gi ải quy ết vấn đề ………………………………………………………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, v ới thân, đồng nghiệp nhà trường ………………………………………… .15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận………………………………………………………………… 15 3.2 Kiến nghị ………………………………………………………………….15 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………16 1.MỞĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn trường THCS , chương trình sách giáo khoa khơng đề cập đến nhiều dạng tốn “ Tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ biểu thức” kì thi HSG b ậc THCS kì thi tuyển sinh vào trường THPT , đặc biệt thi vào tr ường THPT chuyên thường gặp toán yêu cầu tìm GTLN,GTNN c bi ểu thức Vì Tốn cực trị có ý nghĩa em HS THCS Ở b ậc học chưa có lí thuyết đạo hàm nên phải cách giải thơng minh, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với kiến thức toán h ọc bậc THCS HS hiểu Với ý nghĩa vậy, việc hướng dẫn cho em nắm phương pháp giải, dạng điều vô quan tr ọng Qua th ực tế giảng dạy, thân cố gắng tìm tịi nghiên c ứu tài li ệu, tích lũy số kinh nghiệm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Phương pháp giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá tr ị nhỏ nh ất thường gặp chương trình Tốn THCS” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Thơng qua đề tài, giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên c ứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu, hoàn thiện kiến thức chun mơn Từ giúp học sinh giải Toán cực trị từ dễ đến khó Rèn cho học sinh khả dự đốn , tính sáng tạo , tính tự giác, tích c ực 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp giải dạng Tốn tìm giá tr ị l ớn nh ất , giá trị nhỏ thường gặp chương trình Tốn THCS - Nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài - Tổng kết kinh nghiệm giảng dạy học sinh lớp 8,9 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Điều tra thực tế học sinh hứng thú học Toán - Điều tra mức độ tiếp thu học sinh - Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tài liệu tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, Toán tuổi thơ… - Điều tra, khảo sát, thử nghiệm tổng kết kinh nghiệm dạy giáo viên qua năm giảng dạy NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: * Những kiến thức lí thuyết liên quan đến đề tài: a Giá trị lớn , nhỏ hàm số: Cho hàm số f(x) xác định miền (D) a)M gọi giá trị lớn f(x) miền (D) hai ều kiện sau đồng thời thỏa mãn: ∃ ∈ (x,y, ) (D) f(x,y, ) ≤ M , ) (D) ∀ ∈ (x , y Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) với (x,y, ) (D) 0 cho f(x0, y0 ) = M ∈ b) M gọi giá trị nhỏ f(x) miền (D) hai điều kiện ∀ ∈ sau đồng thời thỏa mãn: ∃ ) ≥ M∈với (x,y, ) (D) (x0, y0, ) (D) cho f(x 0, y0 )∈= M Ký 1.f(x,y, hiệu : M = Min f(x,y, ) với (x,y, ) (D) ∀∈ ∈ ⇒ b Các kiến thức cần dùng: b.1 Lũy thừa : a) x2 ≥ x | x2k ≥ x |R, k z - x2k ≤ R quát : [f (x)]2k ≥ 2k x |R, z - [f (x)]2k ≤ z k ∀ ∈ ∈⇒ Từ suy : ∀∈ ∈ [f (x)] + M - [f (x)]2k ≤ M x≥0 ( √x )2k ≥ x≥0 ; k z a) √x ≥ biểu thức) ∀ ⇒ Tổng quát : ( ) 2k ≥ A ≥0 (A ∀ ∈ trị tuyệt đối: b.2 Biểu thức chứa dấu ∀ giá a) |x| ≥ x |R x.y ≥ 0 ∀∈ ⇔ b) |x+y| ≤ |x| c) |x-y| ≥ |x| - |y| ; dấu"=" xảy x.y ≥ |x| ≥ |y| ⇔ b.3 Bất đẳng thức côsy: Dấu "=" xảy : ∀n∈N, n ≥2 ∀x≥0;i= a = a = = a n ∀∈ Tổng ⇒ m≥m x |R, k + |y| ; d ấu "=" xảy b.4 Biểu ⇔ thứ cB unhia co pxki : Với n cặp số a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta có : (a1b1+ a2b2 + +anbn)2 ≤ ( b Dấu "=" xảy ) i = Const (i = ⇔ Nếu b = xem b.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a ≥ : ⇔ (1+a)n ≥ 1+na n N ∀∈ Dấu "=" xảy a = Một số bất đẳng thức thường gặp suy từ (A+B) ≥ i nh = a a2 + b2 ≥ 2ab b (a + b)2 ≥ 4ab c 2( a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 a b ≥2 (ab > ) d e b + a 1+1≥ b a a+b 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua kết khảo sát chất lượng thấy học sinh không hứng thú với dạng tốn đặc biệt học sinh biết tiếp cận dạng toán cách thực Chất lượng làm học sinh thấp Đơn vị Lớp 8;9 Hứng thú với Biết cách tiếp dạng toán cận dạng toán Tổng số 150 học sinh 50 học sinh 30 T ỷ s ố% 100% 33.3 % 20 % Tiềm học sinh mơn tốn chưa khai thác hết Thực tế chương trình Tốn THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh nội dung phương pháp số dạng Tốn khó, thường mang tính chất giới thiệu chưa sâu Nhiều học sinh lúng túng muốn tìm hiểu thêm tài li ệu tham khảo Việc tìm hiểu giáo viên số đề tài chưa tập trung tài liệu cụ thể, làm nhiều thời gian 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3 a Các phương pháp để giải tốn tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá trị nhỏ biểu thức, hàm số: 2.3.a.1 Phương pháp bất đẳng thức: 1.Để tìm Max f(x,y, ) miền(D) ta : cho f(x0,y0, ) = M Để tìm Min f(x,y, ) miền D ta : cho f(x 0,y0, ) = m Các ví dụ minh họa: Ví dụ1:Tìm giá trị nhỏ A1 = x2 + 4x + ⇒ ⇔ ⇔ Giả i Ta có : A1 = x2 + 4x + = x2 + 4x + + = (x + 2)2 + ≥ (x + 2)2 ≥0 A1 = x + = x = -2 Vậy A1 = x = -2 ⇔ Ví dụ 2: Cho a > b > Tìm GTNN B1 = a + b(a−b) Giải : 1 b (a−b) b(a−b) Ta có : B1 = a + = b + (a-b) + b(a−b) ≥3 b (a−b) b(a−b) Côsi) ⇔ {a=2¿¿¿¿ B1 ≥ ⇒ B1 = ⇔ b = a-b = √ (theo Vậy : B1 = 2.3.a.2 Phương phá p đặ t ẩ nphụ : {a=2¿¿¿¿ ⇔ Bằng cách đặt biến phụ sử dụng phép biến đối tương đương Sử dụng bất đẳng thức ta chuyển biến thức cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Tìm GTNN C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 Giải : C1 = x + 6x + 13x + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 - (x2 + 3x + 5) + 17 ∀a Đặt : x2 + 3x + = a 2 C1 = a - 6a + 17 = a + 6a + + C1 = (a-3)2 + 8≥ (a-3)2≥ {x=−1¿¿¿¿ ⇒C1min = ⇔ a - = ⇔ a = ⇔ x2 + 3x + = ⇔ {x=−1¿¿¿¿ x y2 x y ( + y x Vậy : C1min = ⇔ Ví dụ 2: Tìm GTNN C2 = (xy + xy ) Đặt : ( y = a ≥2 (xy ⇒ + 2 + x y 2 ) x ) Giải : -5 = a2 - )+6 với x,y> = 2 - 2) - 5a + = 2a2 - 5a + (a Ta thấy : a ≥ C2 = 2a2 - 5a + ≥ C = ⇒ Vậy : C2min = x=y>0 2.3.a.3 Phương pháp miền giá trị hàm số: Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta có th ể sử dụng kiến thức miền giá trị hàm số để giải thấy hi ệu Đường lối chung : ∈ ⇒ C ⇒ ⇔ ⇔⇔ a=2 x= y> f(x) = y có nghiệm Sau giải Giả sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá tr ị (D) G ọi y giá trị f(x) với x (D) Điều có nghĩa phương trình phương trình f(x)=y0 (x biến, coi y0 tham số), điều kiện có nghiệm thường đưa đến bất đẳng thức sau: m ≤ y ≤M Từ đó⇒ Min f(x) = m với x ∈ D Max f(x) = M với x D ⇒ Các ví ∈ dụ minh ho : Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN f(x) = Gọi y giá trị f(x) x +4 x +6 x +2 x+3 Giải : ⇔ x +4 x +6 Ta có : y = x2+2 x+3 (y - 1)x + (y - 2).x yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = ⇔ * Nếu y = ⇒ x = + 3y - = (có nghiệm) Δ' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) ≥ * Nếu y ≠ ⇔ y - 4y + ⇒ - 2y2 + 5y + ≥ ⇔ 2 ≤ y ≤1 ⇔ Ta thấy : Do : - 3y2 + 3y + 6y - ≥ b b Vì (x + 2a )2 ≥ a (x + 2a )2≥0 b 2a khơng có GTLN Do đó: P(x) ≥ k MinP = k x = b) Nếu a < b b Vì (x + 2a )2 ≥ a (x + 2a )2≤0 b 2a khơng có GTNN Do đó: P(x) ≤ k MaxP = k x = Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x2 – 6x + Giải: Ta có: A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – - Nên minA = - x – = hay x = Vậy minA = -1 x = Với dạng tốn ta hướng dẫn học sinh phân tích để xuất đẳng thức đối tượng học sinh trung bình ta vận dụng tốn tổng qt học sinh th ực hi ện đ ược dễ dàng từ em tự tin thân từ em có hứng thú dạng tốn Dạng 2.2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức đa thức nhi ều bi ến Dạng nhìn thấy đề học sinh thường thấy khó khăn đa thức có nhiều biến khơng biết tiến hành Do giáo viên c ần hướng a b2 dẫn học sinh cách chọn biến vận dụng đẳng thức a b Bài toán tổng quát: f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f (a,b,c,e,f số a.b ) Ta có f(x) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f x =a (cy d )x a (cy d ) 4a 2 x = …… = a (cy d ) 2 - 4a (cy d ) by ey f m( y q) p 2a (cy d ) y = - q.) Suy GTNN, GTLN f(x,y) ( x = Ví dụ2: Tìm GTNN biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 Giải C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10 = x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 = (x + – y)2 + (y + 1)2 + 10 10 x y x Nên minC = 10 y y Vậy minC = 10 x = -3, y = -1 Dạng 3: Đa thức bậc cao: Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ1 : Tìm GTNN A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y - 36 ¿ -36 ⇔ ⇔ minA = -36 y=0 x2 – 7x + = ⇔ x1 = 1, x2 = Dạng 4: Phân thức: a Phân thức có tử số, mẫu tam th ức b ậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = x−5−9 x2 Giải : A = −2 x−5−9 x = x −6 x +5 = Ta thấy (3x – 1)2 ¿ nên (3x – 1) +4 theo tính chất a ¿ b a −2 −2 Do (3 x−1) +4 −2 ¿ ¿ (3 x−1)2+4 (3 x 1) ¿ b với a, b dấu) ⇒ A ¿ ¿ 3x – = ⇔ x = b Phân thức có mẫu bình phương nhị thức minA = - ⇔ x −8 x+6 x2−2 x+1 Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm 2x2 A= 2x x2 4x x2 2x ( x−2) = + ( x−1)2 ¿ 10 minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : 3( y 1) 8( y 1) y 12 y 1 A= y 3y2 6y 8y y2 2y 2y y2 y -1)2 + x–1=1 minA = y=1 c Các phân thức dạng khác: =3- 3y22y + y =( ⇔ ⇔ ⇔ x=2 3−4 x Ví dụ : Tìm GTNN GTLN A = x +1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : 3−4 x x −4 x+4−x −1 A = x2+1 = x +1 Min A= -1 x = 3−4 x ( x−2) 2 = -1 x +1 2 x +4−4 x −4 x −1 = −1 x2+1 Tìm GTLN : A = x2+1 ¿ -1 (2 x +1) =4- x +1 ¿ Max A= x = Dạng 5: Biểu thức có chứa thức: f (x) x x Tìm giá trị x để f(x) đạt Giá Ví dụ 1: Cho biểu thức: trị lớn Giải : Biểu thức f(x) có nghĩa Cách 1: khi: x x x 0 fx2 Trong điều kiện ta có f(x) nên f(x) đạt GTLN đạt GTLN Ta có: f x 2 x x 2 x x2 x1 x Do Vậy fx x 2 x x đạt GTLN x thức Cách 2: f(x) = x x Điều kiện để f(x)xác định x f (x) x 2 GTLN biểu 12 29 11 23 = + x x x Với điều kiện (*) f(x) bình phương vế (* ) 11 fx2 ( x 1)(2 x) =x+1+2-x+2 =3+2 ( x 1)(2 x) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm (x + 1) (2 - x) ta có ( x 1)(2 x) = (x + 1) + (2 – x ) 2 Dấu “=” xảy x + = - x x = f(x) nên ta fx2 Suy ra: Max f(x) = x= Ví dụ : Cho biểu thức: x f (x) Tìm giá trị x để f(x) đạt GTNN x Giải x Biểu thức f(x) có nghĩa khi: f(x) Ta biến đổi: f (x) Do đó: mà x nên x x x x x1 x1 ( x 2)( x 2) n x x x1 đạt GTNN fx nê x x đạt GTNN Vậy f(x) đạt GTNN x x đạ t GTNN x Dạng 6: Cực trị có điều kiện ( biến bị ràng bu ộc thêm b ởi m ột hệ thức cho trước Ví dụ : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = (sử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A) A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Cách 1: sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A ⇒ x+y=1 x2 + 2xy + y2 = (1) (x – y) ¿ Mà Hay: x2 - 2xy + y2 ¿ (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) ¿ x = y = ⇒ x +y ¿ 2 minA = Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x 1 Thay y = x – vào A ta có: A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 x = y = )2 + ¿ 2 minA = Cách Sử dụng điều kiện cho để dưa biến mớ i Đặt x = + a y = - a Biểu thị x2 + y2 ta : 12 1 + a)2 + ( x2 + y = ( 2 - a)2 = +2 a2 ¿ => MinA = ⇔ a =0 ⇔ x=y = Ví dụ :Cho xy + xz + yz = Tìm GTNN B3 = x4 + y4 + z4 ⇔ √ Giải : Do xy + xz + yz = 16 = (xy + xz + yz) 2≤ (x2+y2+z2) (x2+y2+z2) ⇒ 16 16 ⇔ (Theo Bunhiacôpxk i) 16 ≤ (x2+y2+z2)2≤ (x4 + y4 + z4) (12+12+12) 4 z4 ⇒ B = x + y +16 Vậy : B3min = Ví dụ 3: Cho x +y ⇔ =52 ≥ Tìm GTLN A = 2x + 3y 3 ⇒ B 2√3 = x=y=z=± x=y=z=± Giải : Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có: ( 2x + 3y )2 ¿ ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ¿ 13.13.4 x 3y ⇒ 2x + 3y ¿ 26 Vậy maxA = 26 ⇔ 2x 3y x Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y ¿ Với x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ¿ Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = * Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau - Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang * Một số sai lầm thường gặp giải toán cực trị : Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khác Ví dụ 1: cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN c bi ểu thức : A= x Giải sai y Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số khơng âm x , y ta có: x x y xy y xy (1) Lại có: 2 (2 ) 13 Từ (1) (2) suy : A= x y xy 48 Vậy Min A = Phân tích sai lầm: Đẳng thức xảy (1) x 4x y y Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Lo ại x + y = 1) Có bạn đến kết luận khơng có giá trị nhỏ k ết lu ận sai A = x+y Giải đúng: Vì x + y = nên y 4x y y x x 4x ,y y x Ta có : Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm 4x y y x 4x y 4x y y x y 2x y x x y Dấu “=” xảy x y Sai lầm không sử dụng hết điều kiện tốn: Ví dụ 2: cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN c BT : y x 12 A = x+ 12 y x y x, Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số khơng âm Ta có: x+ x x x (1) x y, Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y+ y y y Ta có: (2) y Từ (1) (2) =>A => Min A = x x x2 Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) y y2 y Đẳng thức sảy (2) Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x+y xyxy xy 2 2 1 Ta có : A=4+x +y + x y Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy - = (1) 14 12 28 xy 25 x y (2) Từ (1) (2) =>A + +4 = 25 =>Min A = x=y = x2 y2 Sai lầm chứng minh điều kiện 1: A= Ví dụ 3:: Tìm GTLN bt: Lờ2 i giải sai: A đạt2 Max x x 17 x x 6x 17 x x 17 8 đạt Min Ta có : x 6x 17 x Do Min Vậy Max A = x Phân tích sai lầm: Kết lập luận sai chỗ cho “ A có tử khơng đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đưa nh ận xét tử mẫu số dương x x 17 x 8 Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét nên tử mẫu A dương Sai lầm chứng minh điều kiện 2 Ví dụ 4: Tìm GTNN bt: A = x x + x Lời giải sai : x + x = +2 x 1 4 x 1 4 Vậy: Min A = Phân tích sai lầm: Sau chứng minh f(x) x chưa trường hợp xảy (vơ lí ) f(x)= x x x x Lời giải đúng: ĐKTT : A = x + => Min A = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường : Sau đưa tốn hướng dẫn cho học sinh, tơi khảo sát thu lại kết sau: Đơn vị Lớp 8;9 Hứng thú với Biết cách tiếp dạng toán cận dạng toán Tổng số 150 học sinh 100 học sinh 80 T ỷ s ố% 100% 66,6 % 53.3% Qua bảng bảng khảo sát ban đầu ta thấy chất lượng học sinh tăng lên cách rõ rệt: Hứng thú với dạng toán: tăng từ 50 HS lên 100 HS ( 33,3% lên 66.6%) Biết cách tiếp cận dạng toán: tăng từ 30HS lên 80HS ( 20% lên 53.3%) 15 Thông qua bảng số liệu cho thấy sáng kiến có tính ứng dụng mang lại hiệu cho việc học tập học sinh KẾT LUẬN , KIẾN NGHỊ : 3.1 Kết luận: Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn THCS nói chung Tốn , nói riêng tơi nhận thấy dạng Tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng Tốn hay, khó, phổ biến thường xuất nhiều đề thi HSG Vì tơi tìm tịi nghiên cứu đưa m ột số ph ương pháp hướng dẫn cho học sinh tiếp cận dạng tốn này.Tơi nhận thấy học sinh ứng thú học tập hiệu Qua việc nghiên cứu đề tài giúp thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu Ngồi cịn giúp thân nâng cao phương pháp tự học , tự nghiên cứu, t ự bồi dưỡng, để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học Trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi sai sót hạn chế mong chia sẻ thơng cảm q bạn đọc, mong góp ý chân thành đồng nghiệp để đề tài ngày hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 3.2 Kiến nghị : Sau ứng dụng đề tài để dạy học lớp 8,9 thấy phần lớn em trở nên hứng thú với dạng tốn tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá trị nhỏ Và nhiều em sâu tìm hiểu say mê với mơn Tốn Vì v ậy tơi mong góp ý chân thành đồng nghiệp nhà quản lý giáo dục để đề tài hoàn thiện hơn, để phổ biến rộng rãi cho đồng nghiệp tỉnh nước Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết khơng chép nội dung người khác Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày / / 2018 Người viết Nguyễn Thị Huyền 16 Tài liệu tham khảo Toán nâng cao chuyên đề đại số NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển toán NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển toán NXB Giáo Dục 225 toán chọn lọc Đại số NXB Đại học quốc gia Một số tạp chí tốn học tuổi thơ NXB Giáo Dục Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ NXB Giáo Dục Thực hành giải toán NXB Giáo Dục Một số đề thi học sinh giỏi 17 ... kinh nghiệm với đề tài ? ?Phương pháp giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá tr ị nhỏ nh ất thường gặp chương trình Tốn THCS? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu: Thơng qua đề tài, giúp giáo viên nâng cao lực... trường THCS , chương trình sách giáo khoa khơng đề cập đến nhiều dạng tốn “ Tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ biểu thức” kì thi HSG b ậc THCS kì thi tuyển sinh vào trường THPT , đặc biệt thi vào tr... năm giảng dạy mơn Tốn THCS nói chung Tốn , nói riêng tơi nhận thấy dạng Tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng Tốn hay, khó, phổ biến thường xuất nhiều đề thi HSG Vì tơi tìm tịi nghiên cứu đưa