Phương Pháp Giải Và Các Dạng Toán Bất Đẳng Thức

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC  BÀI THU HOẠCH HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM 3 Đề tài: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ CÁC DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Sinh viên thực hiện: Trần Ngọc Hiếu Lớp: Toán 3B Huế, tháng 11/2013 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 Chủ đề 1: SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 2 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2 a. Khái niệm bất đẳng thức: 2 b. Tính chất: 2 c. Phương pháp: 2 2. VÍ DỤ MINH HỌA 3 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 6 Chủ đề 2: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 7 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 7 2. VÍ DỤ MINH HỌA 7 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8 Chủ đề 3: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG 8 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 8 2. VÍ DỤ MINH HỌA 9 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9 Chủ đề 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 10 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 10 2. VÍ DỤ MINH HỌA 10 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 21 Chủ đề 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-A-CỐP-XKI 21 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 21 2. VÍ DỤ MINH HỌA 22 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 26 Chủ đề 6: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH LÀM TRỘI – ƯỚC LƯỢNG 27 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 27 2. VÍ DỤNG MINH HỌA 27 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 30 Chủ đề 7: BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI HỆ SỐ VÀ GIÁ TRỊ ĐA THỨC 31 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 31 2. VÍ DỤ MINH HỌA 31 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 33 Chủ đề 8: PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI 33 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 33 2. VÍ DỤ MINH HỌA 33 3. BÀI TẬP LỰ LUYỆN 37 Chủ đề 9: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 37 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 37 2. VÍ DỤ MINH HỌA 38 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 40 Chủ đề 10: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - HÌNH GIẢI TÍCH 41 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 41 2. VÍ DỤ MINH HỌA 41 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 44 Chủ đề 11: PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM 45 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 45 2. VÍ DỤ MINH HỌA 45 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 1 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm giúp các bạn học sinh cấp 3 có thêm tài liệu để giải các bài toán bất đẳng thức trong các đề thi Đại học – Cao đẳng. Tôi xin giới thiệu tài liệu Phương pháp giải và các dạng toán bất đẳng thức. Nội dung gồm: Chủ đề 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương, các tính chất của bất đẳng thức. Chủ đề 2: Phương pháp quy nạp. Chủ đề 3: Phương pháp phản chứng Chủ đề 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Chủ đề 5: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. Chủ đề 6: Phương pháp phân tích làm trội – ước lượng. Chủ đề 7: Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối hệ số và giá trị đa thức. Chủ đề 8: Phương pháp dùng tam thức bậc hai. Chủ đề 9: Phương pháp lượng giác hóa. Chủ đề 10: Phương pháp tọa độ - hình giải tích. Chủ đề 11: Phương pháp đạo hàm. Tôi đã hệ thống hóa đầy đủ và rõ ràng các khái niệm, tính chất, phương pháp, cùng với đó là một số ví dụ cụ thể cho từng chủ đề từ dễ đến khó. Các ví dụ trong tài liệu khá đa dạng và chọn lọc sát với chương trình thi Đại học – Cao đẳng. Ngoài ra tôi còn có giới thiệu các bài tập tự luyện để cho các em rèn luyện kỹ năng ở cuối mỗi chủ đề. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh tự bồi dưỡng và nâng cao kiến thức để tự tin giải quyết tốt các bài tập trong các kỳ thi quốc gia do Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức. Do thời gian biên soạn có hạn cho nên tài liệu có thể còn những khiếm khuyết. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn học sinh. 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Chủ đề 1 SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ a. Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng “A > B”, “A < B”, “A > B”, “ A < B” được gọi là BĐT với A gọi là vế trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số. Ta có: A B A B 0;A B A B 0         A B A B 0;A B A B 0         b. Tính chất: Tính chất 1: A B A C B C        Tính chất 2: A B A C B C      Tính chất 3: + Với C 0:A B AC BC     + Với C 0:A B AC BC     Tính chất 4: A B A C B D C D          Tính chất 5: A B 0 A.C B.D C D 0          Tính chất 6: * n n A B 0,n N A B      n n A B 0,n N,n 2 A B       Tính chất 7: * 2n 1 2n 1 A B,n N A B       * 2n 1 2n 1 A B,n N A B       c. Phương pháp: Để chứng minh A > B ta sẽ chứng minh A – B > 0 (nghĩa là ta sử dụng định nghĩa, tính chất cơ bản… để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến 3 một BĐT đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng BĐT đúng biến đổi dẫn đến BĐT cần chứng minh). 2. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Chứng minh a. a b 2 ab, a,b 0     (1) (BĐT Cauchy) b. 3 3 2 2 a b ab a b, a,b 0      (2) c. 4 4 3 3 a b ab a b, a,b     (3) Giải: a. (1)   2 2 2 a b a 2ab b 4ab         2 2 2 a 2ab b 0 a b 0        (đúng) Vậy: a b 2 ab, a,b 0     b. (2)     3 3 2 2 2 a 2ab b ab 0 a a b b a b 0                     2 2 2 a b a b 0 a b a b 0 *         Do a, b > 0 => (*) đúng Vậy: 3 3 2 2 a b ab a b, a,b 0      c. (3)         3 3 3 3 a a b b a b 0 a b a b 0              2 2 2 a b a ab b 0        2 2 2 b 3b a b a 0, a,b 2 4                     (đúng) Vậy: 4 4 3 3 a b ab a b, a,b     Ví dụ 2: Chứng minh: 2 2 2 a b c ab bc ca(*), a,b,c       Giải (*) 2 2 2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca             2 2 2 a b b c c a 0        (đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Vậy: 2 2 2 a b c ab bc ca, a,b,c       4 Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ABC  với a < b < c. Chứng minh:   2 a b c 9bc.(*)    Giải: Vì       2 2 2 a b a b c b b c 2b c          Để chứng minh (*) ta sẽ chứng minh:   2 2b c 9bc (1)   Thật vậy: (1) 2 2 4b 4bc c 9bc       2 2b c bc    Ta có:   2 2b c 2b b b 2b c bc 2b c 2c c c               (đpcm) Ví dụ 4: cho a, b, c > 0 thỏa mãn 1 1 1 1 a b c    . Chứng minh: a. 2 2 b 2a b 2a (*) 3    b.       2 2 2 2 2 2 1 1 1 c. b 2a a. c 2b b. a 2c abc (**) 3 3 3       Giải: Giả thiết đã cho có thể viết lại: ab + bc + ca = abc a.   2 2 2 2 2 2 2 b 2a (*) b 2a 3b 6a b 4ab 4a 3              2 2 2 2 a 2ab b 0 a b 0        (đúng) Vậy: BĐT (*) đpcm. b. Sử dụng câu a.   2 2 2 2 b 2a 1 b 2a b 2a c. b 2a c 3 3 3              (1) Tương tự:   2 2 1 c 2b a. c 2b a 3 3          (2) 5   2 2 1 a 2c b. a 2c b 3 3          (3) Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta được: VT(**) > ab + bc + ca = abc Vậy: BĐT (**) đã được chứng minh. Ví dụ 5: Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh: 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a Giải: Ta có:     2 2 2 2 a 1 1 a 1 b 0 1 a b a b b 1              (1) Mặt khác: 2 3 2 3 3 3 0 a 1 a a a b a b 0 b 1 b b                    (2) (1) và (2) => 1 + a 2 b > a 3 + b 3 Tương tự: 1 + b 2 c > b 3 + c 3 (4), 1 + c 2 a > c 3 + a 3 (5) Cộng (3), (4) và (5) theo vế => đpcm. Ví dụ 6: Cho x, y > 0 thỏa mãn xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất của: 4 2 2 4 x y A x y x y     (Đề chuyên Toán Tin – ĐHSP Hà Nội năm 1997-1998) Giải: Ta có:   2 2 4 2 2 x y 0 x y 2x y      4 2 2 x x 1 x y 2x y 2     (1) Tương tự: 2 4 y 1 x y 2   (2) Cộng (1), (2) theo vế, ta được: A < 1 Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1 Vậy: maxA = 1. Ví dụ 7: Chứng minh: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 a b c 2. 4 (*) b c c a a b       Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. (Trích đề trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004) 6 Giải: Ta có:   3 3 3 1 b c b c 4    (1) Thật vậy: (1)   3 3 3 3 2 2 4 b c b c 3b c 3bc           3 3 2 2 2 2 b c b c bc 0 b b c c b c 0                   2 2 2 b c b c 0 b c b c 0         (2) (2) đúng => (1) đúng. Tương tự:   3 3 3 1 c a c a 4      3 3 3 1 a b a b 4    Do đó: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 a b c a b c 4 b c c a a b b c c a a b                  (3) Mà: a b c 2a 2b 2c b c c a a b 2(b c) 2(c a) 2(a b)            2a 2b 2c 2 b c a c a b a b c           (4) (do: a + b > c; b + c > a; c + a > b) Từ (3) và (4) => đpcm. 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Chứng minh: (ax + by) 2 < (a 2 + b 2 ) (x 2 + y 2 ), x,y,a,b   R Bài tập 2: Cho x > y, a > b. Chứng minh: ax by a b x y . 2 2 2     Bài tập 3: Cho x > 0, y > 0. Chứng minh: 3 2 2 x 2x y x xy y 3     Bài tập 4: Cho x, y, z > 0. Chứng minh: 2 x y z x y z 4     Bài tập 5: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: 3 3 3 a b a b 2 2          7 Chủ đề 2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để chứng minh một bất đẳng thức (*) đúng với n p   (với (*) phụ thuộc vào số tự nhiên n, p là hằng số và p  N * ) ta tiến hành các bước sau: Bước 1: Kiểm tra (*) đúng với n = p Bước 2: Giả sử (*) đúng với n k p,k    N * Bước 3: Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1 Bước 4: Kết luận bất đẳng thức (*) đúng với mọi n > p 2. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: n n n a b a b (*), n 2 2            N * Giải:  Với n = 1: a b a b 2 2    . Vậy: (*) đúng với n = 1.  Giả sử (*) đúng với n = k > 1, k  N * , tức là: k k k a b a b 2 2           Chứng minh (*) đúng với n = k + 1, nghĩa là ta chứng minh: k 1 k 1 k 1 a b a b 2 2             Thật vậy: k 1 k k k a b a b a b a b a b . . 2 2 2 2 2                                 k 1 k k k 1 k 1 k 1 k k k 1 k 1 a ab a b b a b ab a b a b 4 2 4                     k k k 1 k 1 k 1 k 1 k k a b a b a b a b (do(a b)(a b ) 0) 2 4 2               Vậy: BĐT (*) đã được chứng minh. [...]... một trong các BĐT sau là đúng a2 + 2bc > 0, b2 + 2ac > 0, c2 + 2ab > 0 Bài tập 5: Chứng minh: Không có 3 số x, y, z nào đồng thời thỏa mãn ba BĐT sau: x  y  z , y  z  x , z  x  y Chủ đề 4 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm 2  ab a b  Nếu a > 0, b > 0 thì  ab  hay a  b  2 ab,ab      2  2     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi... n > 2n + 1 Bài tập 2: Chứng minh: Với n nguyên dương và mọi số thực   1 Ta có (1  ) n  1  n (BĐT bec-nu-li) Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu   0 hoặc n = 1 Bài tập 3: Chứng minh: (2n)! < 22n (n!)2, n  N* Bài tập 4: Chứng minh: n 1 n  1  n n, n N, n > 2 Chủ đề 3 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để chứng minh bài toán có dạng A => B Ta tiến hành như sau: Giả sử điều trái với... x)(1  y) Tương tự: (3) Nhân (1), (2) và (3) theo vế, ta được: 1 8xyz  (1  x)(1  y)(1  z) (1  x)(1  y)(1  z) Hay: xyz  1 8 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 2 Ví dụ 12: Cho a > b và a.b = 1 Chứng minh: a 2  b2  2 2 (*) ab Giải: Ta có: (a  b) 2  2ab 2 2 VT(*)   (a  b)   2 (a  b) 2 2 ab ab ab (BĐT Cauchy) a  b  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  ab  1,a  b  2  ... w  2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Cách 2: Gọi A  a b c   bc ca ab  a   b   c  Ta có: A    1    1    1  3 bc  ca  ab  1 1   1  (a  b  c)    3 bc ca ab  1 1 1 1    (b  c)  (c  a)  (a  b)  3 2 bc ca a b 1 1 1 1 3  3 3 (b  c)(c  a)(a  b).3 3 3 2 bc ca a b 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 12 b Cách 1:... (a  b)     a ab  4 a b a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b b Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 1 1 1 1 x  y  z  3 3 xyz ,    3 3 x y z xyz 1 1 1 1 Suy ra: (x  y  z)      9 3 xyz.3 3 9 xyz x y z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 4 Chứng minh: ab bc ca   1 a  b  2c 2a  b  c a  2b  c Giải: Gọi A  ab bc ca   a  b  2c... Cho a, b > 0 và thỏa mãn a2 + b2 = 9 Chứng minh: ab 3 2 3  a b 3 2 Chủ đề 6 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH LÀM TRỘI – ƯỚC LƯỢNG 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Muốn so sánh tổng hữu hạn S = a1 + a2 + … + an (1) hoặc tính hữu hạn S = a1.a2…an (2) với một số - Ta giả sử tìm được một hàm f và một hàm g, phân tích được số hạng tổng quát ak về dạng:  ak = f(k) – f(k + 1) nếu gặp dạng (1)  ak  g(k  1) nếu gặp dạng (2) g(k)... 1 Cộng các đẳng thức trên lại vế theo vế, được: S  1  1  1, n  N n 1 Vậy: BĐT đã được chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh: 1 1 1  2   2  1, n  N, n > 2 2 2 3 n Giải: Gọi S  1 1 1  2   2 2 2 3 n Với k  N,k  2, ta có: 1 1 1 1    2 k (k  1)k k  1 k Cho k = 2, 3, …, n: 1 1 1 2 2 2 1 1 1   32 2 3 ……………………………… ……………………………… ……………………………… 1 1 1   2 n n 1 n Cộng các bất đẳng thức trên... khi a = b  Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm Nếu a1 > 0, a2 > 0, an > 0 thì a1  a 2   a n n  a1.a 2 a n n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an Lưu ý: Khi sử dụng BĐT Cauchy từ 4 số không âm trở lên, bạn đọc nên chứng minh lại 2 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Chứng minh: 1 1 a (a  b)     4, a,b  0 a b  1 1 1 b (x + y + z)      9, x, y,z  0 x y z 10 Giải: a Áp dụng... + a1).(a + a2)… (1 + a2007) > 22007 Bài tập 5: Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1 Chứng minh:  1  1  1  1   1   1    64  a  b  c Chủ đề 5 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-A-CỐP-XKI 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ + Cho 2 bộ số (a1, a2), (b1, b2) Ta luôn có: 2 2 (a1b1  a 2 b2 ) 2  (a1  a 2 2 )(b1  b2 2 )  b  ta i (i  1,2) Đẳng thức chỉ xảy ra khi tồn tại t:  i a i  tbi (i  1,2) + Cho 2... Giải: Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: 2  1.a  1.b  2 a 2  b2  2  a 2  b 2 (1) Và 1.a 2  1.b 2  2 a 4  b 4  2  a 4  b 4  2 (2) Kết hợp (1) và (2)  2 a 4  b 4  2  a 4  b 4  2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 Ví dụ 5: Cho x > 0, y > 0 và xyz = 1 Chứng minh: x2 y2 z2 3    yz zx xy 2 Giải: x2 y2 z2 Gọi A    yz zx xy Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho 2 bộ số:   x . 6 Giải: Ta có:   3 3 3 1 b c b c 4    (1) Thật vậy: (1)   3 3 3 3 2 2 4 b c b c 3b c 3bc           3 3 2 2 2 2 b c b c bc 0 b b c c b c 0                   2 2. b b a b 0 a b a b 0              2 2 2 a b a ab b 0        2 2 2 b 3b a b a 0, a,b 2 4                     (đúng) Vậy: 4 4 3 3 a b ab a b, a,b . Giải: Giả thiết đã cho có thể viết lại: ab + bc + ca = abc a.   2 2 2 2 2 2 2 b 2a (*) b 2a 3b 6a b 4ab 4a 3              2 2 2 2 a 2ab b 0 a b 0        (đúng) Vậy: