Một số phương pháp giải các bài toán trong chủ để giải phương trình vô tỷ

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN  BÀI THU HOẠCH RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN III ĐỀ TÀI: Một số phương pháp giải toán chủ để giải phương trình vơ tỷ Sinh viên thực hiện: Võ Hồng Sơn Lớp toán 3b Mã sv: 11s1011090 Huế, 10/2013 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I A B C PHƯƠNG PHÁP NÂNG LUỸ THỪA PHƯƠNG PHÁP VÍ DỤ BÀI TẬP 4 A B C PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH PHƯƠNG PHÁP VÍ DỤ BÀI TẬP 8 II III A B PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC ĐỂ XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG TRỤC CĂN THỨC ĐỂ ĐƯA VỀ HỆ TẠM C BÀI TẬP IV A B C D E V A B PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỐI VỚI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Dạng Dạng ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC ĐỐI VỚI BIẾN Dạng Dạng PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cách Cách BÀI TẬP SỬ DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ BÀI TẬP 10 10 10 10 13 15 17 17 17 19 21 21 23 23 24 24 25 27 32 32 34 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI NÓI ĐẦU Việc giải mơt phương trình vơ tỷ nội dung quan trọng trọng cấu trúc đề thi đại học- cao đẳng, ứng dụng giải toán thực tiển Đây đề tài hấp dẫn đại số, lôi nhiều người, đồng thời nội dung phát triển tốt tư cho học sinh Tuy nhiên, việc giải tốn Phương trình vơ tỷ khơng đơn giản Để giải tốn Phương trình vơ tỷ ta cần có Phương pháp giải cách khoa học Trong việc giải Phương trình vơ tỷ có nhiều Phương pháp giải, tốn dung Phương pháp để giải mà dung Phương pháp khác có nhiều Phương pháp để giải tốn Tuy nhiên cần có nhìn tổng quan để áp dụng Phương pháp cách thích hợp nhất, làm cho làm trở nên ngắn gọn, dể hiểu, khoa học Nhất kì thi tuyển sinh đại học vấn đề quan trọng thí sinh, em học khơng tốt Để giúp bạn học sinh lớp 10, thí sinh tham gia kì thi tuyển sinh đại học tiếp cận khái quát lại phần Phương trình vơ tỷ tài liệu xin trình bày lại số Phương pháp giải phương trình vơ tỷ thường gặp: phương pháp nâng luỹ thừa phương pháp biến đổi tích phương pháp trục thức phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp sử dụng biến thiên hàm số Ngồi cịn nhiều phương pháp giải phương trình vơ tỷ khác hay độc đáo tài liệu xin phép khơng trình bày khơng phổ biến như: phương pháp đánh giá; phương pháp lượng giác hố; phương pháp tính chất vecter; Phương pháp đưa Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối Cấu trúc tài liệu xin trình bày lí thuyết Phương pháp giải tốn Phương trình vơ tỷ, sau số ví dụ để người đọc hiểu (thường bạn chưa làm quen với Phương pháp này) nhìn lại cách khái quát cách giải toán Phương trình vơ tỷ (thường bạn thí sinh) Sau số tập từ đến nâng cao, có lịng vào số để thi đại học để bạn làm thử Một số sẻ có hướng dẩn, đáp số cho bạn qua phần tập hi vọng sẻ giúp người đọc rèn luyện kỉ nhìn nhận, đánh giá giải toán cách linh hoạt Bài tập phân dạng để bạn rèn luyện kỉ trước, hy vọng sẻ giúp ích cho bạn đọc Đồng thời hy vọng người đọc cảm nhận thêm vẻ đẹp tốn học qua tốn Phương tình vơ tỷ Mặc dù có nhiều cố gắng, cịn nhiều thiếu sót Hy vọng người đọc thơng cảm góp ý, làm cho tài liệu ngày tốt MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP NÂNG LUỸ THỪA A PHƯƠNG PHÁP: Áp dụng cho dạng` n A  B ( A,B nhị thức) n bậc chẳn ta có cách làm sau: Cách Biến đổi tương đương B  pt   từ giải hệ ta có nghiệm hệ nghiệm Phương trình A  B Cách Ta sử dụng Phương trình hệ quả, muốn ta đặt điều kiện A  giải Phương trình sau: A  B Sau đối chiếu nghiệm Phương trình sau, thoả mãn điều kiện A  nghiệm Phương trình cho, dạng Phương trình hay gặp đề thi đại học A  B (ví dụ trường hợp f ( x)  g ( x) ta biển đối hệ Phương trình  f ( x)   pt   g ( x)   f ( x)  g ( x)  A  B  C (A.B.C.D nhị thức) A  B  C  D (A.B.C.D nhị thức) Ta bình phương hai vế khơng âm để đưa phương trình đơn giản Đơi ta phải sử dụng phương trình hệ Nếu phương trình có A+B=C+D nên đưa dạng phương vế giải phương trìnhh hệ A  C  D  B Bình B VÍ DỤ Vd1 Giải phương trình sau: x   3x   x  x  Giải: Điều kiện: x  pt  x   x   x  x   x   x   (3 x  1)(2 x  2)  x  x   x( x  3)  (3 x  1)(2 x  2)  x( x  3)  x 1 Thử lại ta có x=1 ngiêm phương trình Vd2 Giải phương trình sau: x3   x   x2  x   x  x3 Giải: Điều kiện: x    x   Khi đó: x3   x   x2  x   x  x3 x3   x   x2  x   x  x3 x 1   x   x   x  x   x   x3  x3 x3    x   x2  x3  x2  x     x  1 Thử lại ta có x   nghiệm phương trình Vd3 Giải Phương trình x  x   (1) Giải: Đk: x  Khi (1)  x  x   x  x   x2  2x    x 3 Vậy Phương trình có nghiệm x=3 Vd4 Giải phương trình: x   x  (1) x   x  x   x3   x   x   (x  1)  x  3x  Giải: (1)   Vậy Phương trình có nghiệm x=3 Vd5 Giải phương trình: x  x   Giải:Ta có: x  x    x   x x  x    2 2 x   x x  2x   x      x  1  x   x   Vậy Phương trình có nghiệm x=3 Vd6 Giải phương trình: Giải: Ta có: x    x  1 2x x    x   x  x    2x   x 1  x    1  x    x    x   x  (1  x)(1  x)  x    x    2 x   2 x   x  3x   2  (2 x  1)  x  3x    1  1  x2   x    x0  x  x  7x      x  7  Vậy Phương trình có nghiệm x=0 C BÀI TẬP Bài Giải phương trình a) x  3x   x  b) c) x  x  3x  d) ( x  3) x   x  e) x    x  2x  f) g) ( x  3) x  x   x  x  15 3x2  x   x  x    x   2x h) ( x  4) 10  x  x  x  x i)  3x    x x j) 3x  2  4x    x 4x  Bài Giải phương trình a) x  3x   x  x   x  x  b) x  3x   x  x   x  x  c) x  x   x  x   x  x  Bài Giải phương trình a) x   x   x  11 c) x   x   3x  HD: x  (Phải thử , loại nghiệm) b) x   x 1  5x Bài Giải phương trình a) x  x   x   x   HD: Bình phương lần nghiệm x  b) c) x   x  16  x   x  HD: Bình phương lần nghiệm x  x   3x   x  x  II PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH A PHƯƠNG PHÁP Ta đưa phương trình cho phương trình tích giải Phương trình thừa số Thường áp dụng cho dạng phương trình U  V   UV  (U  1)(1  V )  AU  BV  AB  UV  (U  B)( A  V )  Trong U,V biểu thức theo biến x B VÍ DỤ Vd1 Giải phương trình sau: x  x   x2  x  Giải: Điều kiện: x  Khi đó: x   x 1  (     x 1 x  1) ( x2  x  x  (1  x)  x  1)  x 1 x    x 1 1 x  Thử lại ta có nghiệm phương trình x=0 x=1 Vd2.( đề dự bị khối D năm 06) Giải phương trình sau: x  x 1   x  x 1   x2  8x   Giải: Điều kiện:  x  x  x 1   x  x 1   x2  8x    x  1( x   2)   x (2  x  1)   ( x   2)( x    x )   x 1  x    x   x 1   x  Thử lại ta thấy x=5 x=4 nghiệm phương trình cho Vd3 Giải phương trình sau: x 1  x2  x  x2  x  Điều kiện: x  Ta có x   x2  x  x2  x   x  1(1  x )  x ( x  1)  Cách 1:  (1  x )( x   x )  3 x 1   x 1  x 1  x   Thử lại ta thấy x=1 nghiệm phương trình Cách 2: ta thấy x=0 khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế cho ta có: 3 x x 1  x2  x  x2  x   x 1  x  1 x 1 x x 1  1)(1  x )  x  x 1  (3 Thử lại ta có x=1 nghiệm phương trình C BÀI TẬP Bài Giải phương trình a) x   x x   x  x  x  HD: Phương trình  ( x   x )( x   1)   x  0; b) x3  4x x3 4 x c) x   x  x  HD PT  ( x   x )   x  HD : PT  (1  x  3)2  x  x  1; 5  97 18 Bài Giải phương trình a) x  10 x  21  x   x   b) x  x  15  x   x   c) x  x   ( x  1) x  x  x  d) x2  x  4 x x2 III PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC A CƠ SỞ Áp dụng đẳng thức a  b  ( a  b)(a  b) a  b3  ( a  b)( a  ab  b ) B PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC ĐỂ XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG Từ phương trình ban đầu ta nhẩm có nghiệm x=a suy biến đổi phương trình dạng (x-a)A(x)=0 Từ giải Phương trình tích Vd1 Giải Phương trình x   3x   x3 (1) Giải: Điều kiện x  / (ta thấy vế trái có mối quan hệ đặc biệt với vế phải nên trục thức thích hợp nhất) Ta có: x3 x3 x3   4x   3x  ( v ìx   ) 4x 1   3x   4x 1  x   5(2 ) Dùng phương pháp nâng luỹ thừa ta có: 4x 1   x    x   12 x  x   25 12 x  x   13  7x 49 x  91 x  169, voi _ x  26 /  x  342( loai ) x2   86 x  171    x   12 x  x   Vậy Phương trình có nghiệm x=2 10 Suy u cầu toán thoả mản 1  m  1/ 3 Vd2 Giải phương trình x  x   x  (1) Giải: điều kiện x  x   x( x  4)  x  Khi x  x   x3   x   x  x( x  4) Đặt u  x , u   ta có phương trình  v  x  4, v   u  u v  2u  3uv          v v u u  v v 1   v u  u   v   x  x2     x  2(tm) x2  x   Thử lại ta thấy Phương trình có nghiệm x=2 22 Dạng Dạng Phương trình au  bv  mu  nv Bình Phương vế ta đưa Phương trình dạng Vd1 Giải phương trình x  x   x  x  (1) Điều kiện: x   x  u  x   Khi đặt  Khi ta có Phương trình: v  x    u  3x  u  v (2) (đây Phương trình dạng 2)  u  9v  6uv  u  v  10v  uv   x2 1  v     x  1(tm) 10v  6u 10 x   6 x  Vậy Phương trình có nghiệm x  1 C PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN PHƯƠNG PHÁP: Ta đặt ẩn phụ t theo biến x, xuất Phương trình có biến, ta coi x tham số, t ẩn, từ ta giải t, lại theo x ta có Phương trình đơn giản theo x mà việc giải để tiến hành Vd1 Giải phương trình x  x   ( x  3) x  (1) Giải: đặt t  x   t   x  t  Khi (1) viết lại: t   ( x  3)t  3x  (ở ta ngầm hiểu Phương trình bậc theo ẩn t ta khôn ghi vào làm để lập luận cách chặt chẻ, mặt khác ta tiến hành tính ∆ mà ta thấy khơng thể khai ∆ ta nên thử giải toán Phương pháp t  khác Thí dụ ta có   ( x  3)2  nên ta có  ) Do t  x t   ( x  3)t  x   (t  3)(t  x)   x2   t     x   x  2 2(tm)  x   x(vn ) t  x  Vậy Phương trình có nghiệm x  2 Vd2 Giải phương trình ( x  1) x  3x   x  (1) Với x đặt t  x  x  3, t  Ta có x  x   t  có nghiệm  '  t   Suy điều kiện t  t  Khi (1) viết lại 23 ( x  1)t  t  x   t  ( x  1)t  2( x  1)  (t  2)  (t  ( x  1)    x2  x   t     x  1 t  x   x  x   x  1(vn)  Thử lại ta thấy x   nghiệm Phương trình D ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP: ta tiến hành đặt ẩn phụ ta làm xuất hệ Phương trình dể dàng giải từ ta giải Phương trình cho Cách Đưa Phương trình hệ đối xứng loại gần đối xứng thương áp dụng cho dạng Phương trình: x n  b  a n ax  b ta đặt t  n ax  b ta có hệ Phương trình  x n  at  b   x n  t n  a(t  x ) n t  ax  b  Vd1 Giải phương trình x3   x  (1) Đặt t  x  ta có hệ:  x3  2t    x  t  2(t  x) 3 t  2x 1     t  3t  ( x  t )( x  xt  t  2)   ( x  t )  x     2  2    0  x t   x  x    ( x  1)( x  x  1)   ( x  1)( x  1 1 )( x  )0 2  x   1  x    x   1   24  x   1 Thử lại ta thấy Phương trình có nghiệm phân biệt  x    x   1   Vd2.(D-06) Giải phương trình Điều kiện x  1/ Khi 2x   x2  3x   (1) Đặt t  x  1, t   t  x  ta có hệ Phương trình t  x   (đây hệ Phương trình gần đối xứng)   x  3x   t   x  t  x  t  ( x  t )( x  t  1)  t   x  t  x t  x  x2  2x    x  1 t   x đk  x   x   (1  x)  x  x    x   2(loai )   x   2(tm)  Vậy Phương trình có nghiệm x=1 x   ta giải tốn cách khác sau: t  x  1, t  Đặt x t 1 Phương trình trở thành: t  4t  4t    (t  1) (t  2t  1)  t  x 1   t    x   2 Cách Đặt ẩn phụ đưa hệ Phương trình thơng thường thường áp dụng cho Phương trình có dạng a n a  f ( x)  n b  f ( x)  c 25 u  n a  f ( x)  Ta đặt  suy hệ Phương trình v  n b  f ( x )  u  v  c  n n u  v  a  b  x  x   x  x  (1) Vd Giải phương trình u   x  x u  11 /  ta có hệ Phương trình:  0  v  /  v   x  x  Giải: đặt   u  v  u   v u     2 u  v   2v  2v   v    x2  x    x  Thử lại ta có x  1 1 nghiệm Phương trình b Dạng Phương trình a( n f ( x)  n g ( x))  c n f ( x) g ( x)  b Đặt u  n f ( x)   v  n g ( x)  Vd Giải phương trình 2  x 2    x     x   x   u    x 2  Giải: đặt  ta có hệ Phương trình: v     x   u  v  uv  u  v  uv      3 2 u  v  (u  v)(u  v  uv)    u  v  uv  9  3uv    u  v  u  v  uv  u  2; v    u  v  u  1; v  7  x   x 1 Với u=2; v=1 ta có  2  x  2  x   x 1 7  x  Với u=1; v=2 ta có  Vậy Phương trình có nghiệm x=1 26 c Dạng Phương trình a f ( x)  b g ( x)  c u  f ( x)  Đặt   v  g ( x)  Vd (A-09) giải phương trình 3x    x   Điều kiện x  /   u  x  5u  15 x  10    5u  3v  v   x 3v  18  10 x v   x ; v      2u  3v  ta có hệ Phương trình  5u  3v  u  3 x   Đặt    2u v   3 5u  3v    15u  4u  32u  40   (u  2) (15u  26u  20)    u  2, v  6  5x  16  x  2 3x   8 dó  E BÀI TẬP Bài Giải phương trình a) ( x  1)( x  4)  x  x  28 b) c) x  10 x    x  x (4  x )(6  x )  x  x  12 d) x ( x  5)  x  x   Bài Tìm để phương trình có nghiệm a)  x  x  (3  x )(1  x )  m  HD m  [  1;11] b) 2 x  x  (3  x )(1  x )  m  HD m  [  1; 41  56 ] Bài Giải phương trình : a) x  x  2x  4 2x 27 b) x  x  2x  7 2x Bài Giải phương trình a) x   x   3x  2 x  x   b) x   x   49 x  x  42  181  14 x c) x   x   x  12  x  16 d) HD: Nghiệm 25  17 3x   x   x   3x  x  Bài (B – 2011) Giải phương trình :  x   x  4  x  10  x HD: Đặt t   x  2  x Nghiệm x  Bài Tìm m để phương trình có nghiệm a)  x   x   x2  x   m b) HD: m  [ 9 ;3]  x   x  (3  x )(6  x )  m c) 3(  x   x )  m  x   x  x Bài Giải phương trình a) x  x  x x    x  b) ( x  1) x  x   x  c) x   x x  x 2 d) 3x  x  48  (3x  10) x  15 2 e) 2( x  1) x  x   x  x  2 f) x  x  ( x  2) x  x  15  39 3 g) (4 x  1) x   x  x  2 h) (1  x) x   x  x  3 i) x  x   ( x  2) x  x  Bài Giải phương trình 28 a) ( x  2) x  x   x HD: bình Phương chia cho x , ta đặt t  x  x  t  0;5  x  b) x  3x   x  x   x HD Chia cho x  x2 c) x   x  x   x HD: Chia cho x đặt t  x  x  x  4; Bài Giải phương trình a) 2( x  2)  x  b) x  14 x   x  x  20  x  HD: Chuyển vế, bình phương rút gọn ta x2  x   ( x  x  20)( x  1)  2( x  x  5)  3( x  4)  ( x  4)( x  x  5) x2  x  x2  4x  5  61 2 3  x  8; x4 x4 c) x  25 x  19  x  x  35  x  HD: Chuyển vế, bình phương ta : 3( x  x  14)  4( x  5)  ( x  x  14)( x  5) Chia vế cho ( x  5)  Nghiệm  7; 61  11137 18 Bài 10 giải Phương trình sau: a) 2( x  2)  x  HD: Đặt a  x  1; b  x  x  PT  2a  2b2  5ab  x   37 b) x  x   x  HD: Đặt u  x  1; v  x  x  PT  3u  2v  7uv  x   Phương trình cho có dạng a.u  b.v  c.uv thường  uv c) x  x   x  x  HD: Cách : Đặt a  x ; b  x  PT  a  3b  a  b nghiệm : x  1 Cách : Đặt a  x , thay vào PT ta 36a  136a  200a  100   a  d) x  14 x   x  x  20  x  29 HD: Chuyển vế, bình phương rút gọn ta x2  x   ( x  x  20)( x  1)  2( x  x  5)  3( x  4)  ( x  4)( x  x  5)  x  8;  61 e) x  25 x  19  x  x  35  x  HD: Chuyển vế, bình phương ta : 3( x  x  14)  4( x  5)  ( x  x  14)( x  5) Nghiệm :  7; 61  11137 18 Bài 11 Giải phương trình : HD: Điều kiện : x  x x2  x  x   3x  x  1 Bình phương vế ta có :  x   x  1  x   x  x   x  1   x  x    x  1  1 v u  u  x  x 2 Ta đặt :  ta có hệ : uv  u  v    v  2x 1 1  v u   1 1 v  x2  x  Do u , v  nên u   x  1 2     1      1  1    Vậy phương trình cho vơ nghiệm  2x2   x   '   Bài 12 Giải phương trình : x2  5x   x2  x   x   x2  5x   a   a, b   ta có : HD: Đặt  2 x  x   b  a  b a  b  a  b   a  b  a  b  1    a  b  1   4 x2  5x   x2  x  x  x     2  4x  5x   x  x    x  2   4x  5x    x  x    Bài 13 Giải phương trình : x  x  ( x  2)3  x  30 HD: Đặt y  x  ta phương trình : x  3x  y  x   x3  y  3x( x  2)  x  y  x3  xy  y     nghiêm x  2; 2-2  x  2 y Bài 14 Giải phương trình x   x   (2 x  1)( x  4)   u  x   HD: Đặt   2v  u  (1) v  x   Thay vào phương trình có : 3u  6v  uv   (2) Thay (1) vào (2) rút gọn (2v  u )(u  v  3)   x  Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình) a) 3x    x   (A – 2009) b) 3x    x  16  c) x  17  x  x 17  x  d) x 35  x ( x  35  x )  30 e) 1  2 x 2 x f) x3   x  Nghiệm x  2 Nghiệm x  2 Nghiệm x  1; Nghiệm x  ; Nghiệm x  1; 1  Nghiệm x  1; 1  g) x3   3 3x  Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt) a) x   x2  x  PT vô nghiệm b) 4x   x2  x 28 Đặt 4x   y 28 c) x   x  x  10 Đặt x2 y3 d) x   x  12 x  Đặt 2x   y  31 V SỬ DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ Dạng 1: f(x)=m Ta chứng minh f(x) hàm số đơn điệu tập xác định D tồn x0 cho f(x0 )= m x0 nghiệm Phương trình Hay ta thực theo bước sau: Bước 1: Xét hàm số y  f ( x ) Bước2: Nhận xét: Với x  x0  f ( x)  f ( x0 )  m x0 nghiệm   x  x0  f ( x)  f ( x0 )  m  x  x0  f ( x)  f ( x0 )  m Với    x  x0  f ( x)  f ( x0 )  m  x  x0  f ( x)  f ( x0 )  m phương trình vơ nghiệm Bước 3: kết luận ssVậy x0 nghiệm phương trình  Vd1 Giải phương trình x   x3  (1) Giải: điều kiện x  2 , đồng thời (1) có nghĩa x    x  Khi đó: Đặt f ( x)  x   x3  x  [ 4, ) ta có: f ' ( x)   3x  suy hàm f(x) nghich biến [ 4, ) x2 Mặt khác f(2) =0 nên x=2 nghiệm phương trình cho Vd2 tìm m để Phương trình có nghiệm x  mx   x  Giải: x2  mx   2x   x  1 /  x  1 /      3x2 1 mx  3x  4x  m 4    x  3x  4x   m  x 3x  x  với x  1 / 2, x  ta có f’ (x)>0 nên f hàm x đồng biến, điều kiện toán thoả mản m  min( f )  f (1 / 2)  / Khảo sát hàm số f ( x )  Dạng 2: f(x)=f(y) Phương trình có ngiệm x=y f(t) hàm đơn điệu 32 Vd1: Giải phương trình x  x  5x   x  x  (1) Giải: với x, đặt t  x  x  ta có hệ Phương trình” t  x  x  t  x  x      3  x  x  5x   t t  x  x  x     t  t  x3  x2  4x   t  t  ( x  1)3  ( x  1) Đặt f(y) = y3  y ta có f ' ( x)  y   với  y suy hàm f hàm đồng biến R Phương trình có nhiệm t= x+1 Hay x2  9x   x   x  x   x  3x  3x   x3  x  x    ( x  5)( x  x  1)   1      ( x  5)  x   x  0       Vậy Phương trình cho có nghiệm phân biệt x=5 x  x 1  1     Ví dụ2 : Giải phương trình :  x  1  x  x   x  x   Giải:pt    x  1   x  1      3x    3x     f  x  1  f  3 x    Xét hàm số f  t   t  t  , hàm đồng biến R, ta có x   Ví Dụ 3: Giải phương trình: x6  x2  x3  Giải: nhận thấy x = -2 nghiệm phương trình Đặt f  x   x   x   x  Với x1  x2  f  x1   f  x2  hàm số f(x) đồng biến R Vậy x = -2 nghiệm phương trình 33 B BÀI TẬP Bài Giải phương trình a) x  x   x   x  16  14 HD: x  b) x    x3  x  HD: Chuyển vế, nghiệm x  c) x   x    x HD: Chuyển vế, nghiệm x  Bài a) (CĐ – 2012) Giải phương trình x3  x  ( x  1) x   HD: Nhân vế với biến đổi phương trình  (2 x)3  x  (2 x  1) x   x  Xét hàm số f (t )  t  t  f '(t )  3t    Hàm số ln đồng biến Từ phương trình có f (2 x)  f ( x  1)  x  x   x  b) x(4 x  1)  ( x  3x  1) x  3x  x  0; 1 4 c) x  x  ( x  2) x   x2  x   x  x  Bài Tìm m để phương trình có nghiệm : m  HD: y '   x  , vẽ bảng biến thiên  m [4; ) Bài Tìm m để phương trình có nghiệm : HD: y '   x  0;  x  mx  m  Bài giải Phương trình a) 4x 1  4x2 1 1 d) x 12x  2x2  x3 b) x 1  x3  4x  e) x 1  x   c) x13xx2 f) 2x 1  x2    x 34 KẾT LUẬN Mặc dù có nhiều cố gắng tài liệu trình bày cách sơ đẳng dạng toán Phương pháp giải tốn Phương trình vơ tỷ tốn toán thu hút học sinh người ham học hỏi nghiên cứu Phương pháp giải đa dạng hi vọng bạn đọc thông qua tài liệu nắm chút kỉ giải Phương trình vơ tỷ, có nhìn tổng quan dạng tốn Phương pháp giải thích hợp hi vọng người đọc khơng cịn lúng túng, gặp khó khăn gặp tốn giải Phương trình vơ tỷ đặc biệt bạn thí sinh tham gia mùa cử làm tốt toán Tuy nhiên toán học đường khơng ngừng tìm đến cá mới, tiến hơn, hi vọng thong qua tài liệu này, người đọc cịn tìm tịi để tìm Phương pháp giải Phương trình vơ tỷ cách tốt hơn; khơng nên q gị bó việc giải Phương trình vơ tỷ theo cách theo kiểu rập khn máy móc Do thời gian có hạn kinh nghiệm cịn hạn chế nên q trình viết khó tránh sai sót cách trình bày hệ thống tâp đưa hạn chế , chưa đầy đủ, chưa khoa học mong bạn đọc bỏ qua có thể cho ý kiến để tài liệu trở nên tốt Trong trình làm làm hy vọng thí sinh khơng mắc phải lỗi sơ đẳng làm như: thiếu điều kiện số Phương trình Hoặc đặt điều kiện lại khơng thử lại nghiệm Phương pháp nâng luỹ thừa, người đọc nên nắm thật hai Phương pháp biến đổi hệ biến đổi tương đương, tránh sử dụng nhầm lẩn Phương pháp biến đổi tích, người đọc cần ý muốn tách biểu thức dấu bậc chẳn cần xem xét điều kiện để biểu thức có nghĩa Dùng Phương pháp trục căng thức người đọc cần đoán dạng tốn đúng, thường dạng tốn ta nhẫm nghiệm đặc biệt Phương trình Sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ, Phương pháp thường sử dụng, độc đáo đa dạng nó, sử dụng cách Phương pháp này, người đọc cần ý đối chiếu điều kiện ẩn ẩn củ Phương pháp sử dụng hàm số, thường sẻ sử dụng sau ta sử dụng phương pháp khác( ý, Phương pháp khác với việc khảo sát hàm số từ đồ thị hàm số ta giải nghiệm phương trình số ta dùng Phương pháp đặt ẩn phụ) Chúc bạn thành công 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Sách đại số 10 nâng cao Do giáo dục đào tạo ban hành Bộ sách tập đại số 10 nâng cao Do giáo dục đào tạo ban hành Tài liệu internet (violet.vn; Vnmath.vn;hocmai.com ) Một số sách tham khảo luyện thi đại học Báo toán học tuổi trẻ Các đề thi đại học năm trước 36 ... trình vơ tỷ ta cần có Phương pháp giải cách khoa học Trong việc giải Phương trình vơ tỷ có nhiều Phương pháp giải, tốn dung Phương pháp để giải mà dung Phương pháp khác có nhiều Phương pháp để. .. ĐẦU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I A B C PHƯƠNG PHÁP NÂNG LUỸ THỪA PHƯƠNG PHÁP VÍ DỤ BÀI TẬP 4 A B C PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH PHƯƠNG PHÁP VÍ DỤ BÀI TẬP 8 II III A B PHƯƠNG PHÁP... gặp: phương pháp nâng luỹ thừa phương pháp biến đổi tích phương pháp trục thức phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp sử dụng biến thiên hàm số Ngồi cịn nhiều phương pháp giải phương trình vơ tỷ khác