phuơng pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 3

Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.. Từ đó dẫn đến mô tả cho Kerf... Tìm Imf và Kerf.. Tìm Kerf và Imf.

Bài tập đại số tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính Dạng 1 Chứng minh một ánh xạ là ánh xạ tuyến tính

Phương pháp f : VV1là ánh xạ tuyến tính u, v V : f (u v) f (u) f (v)

k R, u V : f (ku) kf (u)





Ví dụ 1 Cho f : 3 2, f (x, y, z)(xy, zx) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

Giải Xét u(x, y, z), v(x , y , z )1 1 1  3;k Ta có u v (xx , y1 y , z1 z )1

f (uv)(xx )1 (yy ),(z1 z ) (x1  x )1   (xy)(x1y ),(z1 x)(z1x )1 

(xy, zx)(x1y , z1 1x )1 f (u)f (v)(1)

ku(kx, ky, kz)f (ku)(kxky, kzkx)k(xy, zx)kf (u)(2)

Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính

2

f : P  ,f (ax bx  c) (a c, b) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

Giải Xét pax2bxc,qa x1 2b x1  c1 P , k2  Ta có p q  (a a )x1 2 (b b )x1  (c c )1 Suy ra

2

f (p q) f ((aa )x  (b b )x (c c ))((aa ) (c c ), b  b )((a c) (a c ), bb )

 (a c, b)(a1c , b )1 1 f (p)f (q)(1)

2

kpkax kbxkc suy ra f (kp)f (kax2kbxkc)(kakc, kb)k(ac, b)kf (p)(2)

Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 3 Cho f : M ,f a b (a b c,d, )

c d

 

3

2 0 Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

Giải Xét A a b ;B a b M , k

c d

c d

2

Ta có A B a a b b

c c d d

Suy ra

a a b b

f (A B) f ((a a ) (b b ) (c c ),(d d ), ) (a b c,d, ) (a b c ,d , )

c c d d

f (A) f (B)

  (1)

kA f (kA) f (ka kb kc, kd, ) k(a b c,d, ) kf (A)

Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính

Dạng 2 Tìm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f : VV1

Phương pháp Tìm Kerf : Giả sử u Kerf f (u)  Từ đó dẫn đến mô tả cho Kerf

Tìm Imf : Xét một cơ sở Uu , u , , u1 2 ncủa không gian nguồn V Khi đó ImfL f (u ),f (u ), ,f (u ) 1 2 n 

Ví dụ 1 Cho f : 3 2,f (x, y, z)(xz, yz)

Tìm Imf và Kerf

Giải Tìm Kerf: Giả sử u (x, y, z) Kerf f (u) (x z, y z) ( , ) x z u (z, z, z), z

y z





Vậy Kerf u(z, z,z) | z  

Tìm Imf: Xét cơ sở u1( , , );u1 0 0 2( , , );u0 1 0 3( , , )0 0 1 của  3 Ta có f (u )1 f ( , , )1 0 0 ( , )1 0 v ;1

f (u )2 f ( , , )0 1 0 ( , )0 1 v ;f (u )2 3 f ( , , )0 0 1  ( 1 1, )v3 Vậy Imf L v ,v ,v 1 2 3

Nhận xét: Do Imf là không gian con của 2và dễ thấy dimImf 2 nên Imf  2

Ví dụ 2 Cho f : 2 3, f (x, y)(xy, y, x)

Tìm Kerf và Imf

Giải Tìm Kerf: Giả sử u(x, y)Kerf f (u)  (xy, y, x)( , , )0 0 0     x y 0 u ( , )0 0

Vậy Kerf u( , )0 0

Tìm Imf: Xét cơ sở u1( , ), u1 0 2( , )0 1 của  2 Ta có f (u )1 f ( , )1 0 ( , , )1 0 1 v ;f (u )1 2 f ( , )0 1 ( , , )1 1 0 v2 Vậy Imf L(v ,v )1 2

Ví dụ 3 Cho f : P  3, f (ax2bx  c) (a b, b c,c a) 

Giải Tìm Kerf: Giả sử

a b

a c

p ax bx c Kerf (a b, b c,c a) ( , , ) b c

b c

c a

 



 







2

0

0

p cx cx c

   2 

Vậy Kerf p cx2cxc | c 

Tìm Imf: Xét cơ sở p  ;p x;p x2

1 1 2 3 của P2 Ta có f (p )1 f ( )1 ( ,0 1 1 , )v ;f (p )1 2 f (x)( , , )1 1 0 v ;2

f (p )f (x )2 ( , , )v

3 1 0 1 3 Vậy Imf L(v ,v ,v )1 2 3

Ví dụ 4 Cho f : P  2, f (ax2bx   c) (a b c,c)

Giải Tìm Kerf: Giả sử

a b

a b c

p ax bx c Kerf (a b c,c) ( , ) b

c

c

 



  



0 0

0

0

p bx bx

   2

Vậy Kerf p bx2bx | b 

Tìm Imf: Xét cơ sở p  , p x, p x2

1 1 2 3 của P2 Ta có f (p )1 f ( )1 ( , )1 1 v ,f (p )1 2 f (x)( , )1 0 v ,2

f (p )f (x )2 ( , )1 0 v Vậy Imf L(v ,v )

Ví dụ 5 Cho f : M ,f a b (a b, b c,c d)

c d

 

3

Giải Tìm Kerf: Xét

a d

a b

c d

d

 



 



 

0

0

Vậy Kerf A d d | d

d d



Tìm Imf: Xét cơ sở A  , A  , A  , A  

0 0 0 0 1 0 0 1 của M2 Ta có

f (A )1 ( , , )1 0 0 v ,f (A )1 2  ( 1 1 0, , )v ,f (A )2 3 ( ,0 1 1 , )v ,f (A )3 4 ( , , )0 0 1 v4 Vậy Imf L(v ,v ,v ,v )1 2 3 4

Dạng 3 Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f : VV1trong cơ sở Uu , u , , u1 2 ncủa V và U1s ,s , ,s1 2 m

của V1

Phương pháp Tìm ảnh của các véc tơ trong cơ sở U: f (u )1 v ,f (u )1 2 v , ,f (u )2 n vn

Khi đó ma trận A có cột thứ i là

  U i

v

1

Ví dụ 1 Cho f : 3 2,f (x, y, z)(xz, xy)

Tìm ma trận của f trong cơ sở

U u1( , , ), u1 2 1 2 ( , ,0 1 1 ), u3( , , )0 1 0 của 3 và U1s1( ,1 2 );s2  ( 1 3, )của 2

Giải Ta có f (u )1 f ( , , )1 2 1 ( ,2 1 ) v ,f (u )1 2 f ( , ,0 1 1    ) ( 1 1, ) v ,f (u )2 2 f ( , , )0 1 0 ( ,0 1 ) v3 Xét

v k s k s ( , ) k ( , ) k ( , ) ( , ) (k k , k k )

Vậy  

U

v  

  

 

1

1

5

3 Tương tự

  U

v  

  

 

1 1

3

4 , v U  

  

 

1 1

1

1 .Ma trận cần tìm là A

5 3 1

3 4 1

Ví dụ 2 Cho f : P  3,f (ax2bx   c) (a b c,ab,c)

U p x2 x , p x2 x, p  x

1 1 2 2 3 2 1 của P2và U1s1( , , ),s2 1 0 2( , , ),s1 1 1 3( , , )1 0 0 của  3

Giải Ta có f (p )f (x2  x ) ( , , ) v ,f (p )f (x2 x)( , , )v ;f (p )f ( x ) ( , , )v

Xét v1k s1 1k s2 2k s3 3( , ,1 2 1 ) k ( , , )1 2 1 0 k ( , , )2 1 1 1 k ( , , )3 1 0 0 ( , ,1 2 1 ) ( k2 1k2k , k3 1k , k )2 2

Vậy v  U

 

 

  

 

 

1 1

3 1 4 Tương tự v  U ; v U

Ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở đã cho là A

3 3 1

1 0 1

4 3 0

Ví dụ 3 Cho f : M ,f a b (a c, b d,d)

c d

 

3

2 Tìm ma trận của f trong cơ sở

U A   , A  , A  , A  

U1 s1( , , ),s1 2 3 2( , ,0 1 2 ),s3( , , )1 1 6 của 3

Giải Ta có f (A )1 ( ,1 1 0 , )v ,f (A )1 2  ( 1 1 0, , )v ,f (A )2 3 ( ,1 1 1  , ) v ,f (A )3 4 ( , , )0 1 1 v4

Xét v1k s1 1k s2 2k s3 3( ,1 1 0 , )(k1k , k3 2 1k2k , k3 3 12k26k )3

  U

v

  

1 1

10 12 9 Tương tự v  U , v U , v U

Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở trên là A

10 10 11 3

12 12 3 4

Dạng 4 Tìm giá trị riêng của ma trận

Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình | A  I | 0

Ví dụ 1 Tìm các giá trị riêng của ma trận A

2 2 10

8 2 20

Giải Xét phương trình

       2                  3 2     2

  2    1 4         0 1 2 2 1 3 4 Vậy A có 3 giá trị riêng là 2 1 4 , ,

Ví dụ 2 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau

Đáp số: A: , , ;B: , , ;C: , , ;D: , ,1 2 3 3 1 4 1 1 2 2 2 1 