phuơng pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 3

Bài tập đại số tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính Dạng Chứng minh ánh xạ ánh xạ tuyến tính u, v  V : f (u  v)  f (u)  f (v) Phương pháp f : V  V1 ánh xạ tuyến tính   k  R,u  V : f (ku)  kf (u) Ví dụ Cho f :  , f (x, y, z)  (x  y, z  x) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Giải Xét u  (x, y,z), v  (x1 , y1 ,z1 )  ;k  Ta có u  v  (x  x1 , y  y1 ,z  z1 )  f (u  v)   (x  x1 )  (y  y1 ),(z  z1 )  (x  x1 )    (x  y)  (x1  y1 ),(z  x)  (z1  x1 )   (x  y,z  x)  (x1  y1 ,z1  x1 )  f (u)  f (v) (1) ku  (kx,ky,kz)  f (ku)  (kx  ky,kz  kx)  k(x  y,z  x)  kf (u) (2) Từ (1) (2) suy f ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho f : P2  ,f (ax  bx  c)  (a  c,b) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Giải Xét p  ax  bx  c,q  a1x  b1x  c1  P2 ,k  Ta có p  q  (a  a1 )x  (b  b1 )x  (c  c1 ) Suy f (p  q)  f ((a  a1 )x  (b  b1 )x  (c  c1 ))  ((a  a1 )  (c  c1 ),b  b1 )  ((a  c)  (a1  c1 ),b  b1 )  (a  c,b)  (a1  c1 ,b1 )  f (p)  f (q) (1) kp  kax  kbx  kc suy f (kp)  f (kax  kbx  kc)  (ka  kc,kb)  k(a  c,b)  kf (p) (2) Từ (1) (2) suy f ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho f : M  a b ,f      (a  b  c,d, 0) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính  c d  a1 b1  a b Giải Xét A     M ,k   ;B   c d  c1 d1   a  a1 Ta có A  B    c  c1 b  b1   Suy d  d1    a  a1 b  b1   f (A  B)  f      ((a  a1 )  (b  b1 )  (c  c1 ),(d  d1 ), 0)  (a  b  c,d, 0)  (a  b1  c1 ,d1 , 0)   c  c1 d  d1    f (A)  f (B) (1)   ka kb    ka kb  kA     f (kA)  f      (ka  kb  kc, kd, 0)  k(a  b  c,d, 0)  kf (A) (2)  kc kd    kc kd   Từ (1) (2) suy f ánh xạ tuyến tính Dạng Tìm nhân ảnh ánh xạ tuyến tính f : V  V1 Phương pháp Tìm Kerf : Giả sử u  Kerf  f (u)   Từ dẫn đến mô tả cho Kerf Tìm Imf : Xét sở U  u1 ,u , ,u n  không gian nguồn V Khi Imf  L  f (u1 ),f (u ), ,f (u n )  Ví dụ Cho f :  ,f (x, y,z)  (x  z, y  z) Tìm Imf Kerf x  z Giải Tìm Kerf: Giả sử u  (x, y, z)  Kerf  f (u)    (x  z, y  z)  (0, 0)    u  (z, z,z), z   y  z Vậy Kerf  u  (z, z,z) | z   Tìm Imf: Xét sở u1  (1, 0, 0);u  (0,1, 0);u  (0, 0,1) Ta có f (u1 )  f (1, 0, 0)  (1, 0)  v1; f (u )  f (0,1, 0)  (0,1)  v2 ;f (u )  f (0, 0,1)  ( 1,1)  v3 Vậy Imf  L v 1,v 2,v  Nhận xét: Do Imf không gian Ví dụ Cho f :  dễ thấy dimImf  nên Imf  , f (x, y)  (x  y, y, x) Tìm Kerf Imf Giải Tìm Kerf: Giả sử u  (x, y)  Kerf  f (u)    (x  y, y, x)  (0, 0, 0)  x  y   u  (0, 0) Vậy Kerf  u  ( 0, 0)  Tìm Imf: Xét sở u1  (1, 0),u  (0,1) Ta có f (u1 )  f (1, 0)  (1, 0,1)  v1;f (u )  f (0,1)  (1,1, 0)  v Vậy Imf  L(v 1,v 2) Ví dụ Cho f : P2  , f (ax  bx  c)  (a  b,b  c,c  a) Tìm Kerf Imf a  b   a  c  Giải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  (a  b, b  c,c  a)  (0, 0, 0)  b  c    b  c c  a    p  cx  cx  c Vậy Kerf  p  cx  cx  c | c   Tìm Imf: Xét sở p1  1;p2  x;p3  x  P2 Ta có f (p1 )  f (1)  (0, 1,1)  v1;f (p2 )  f (x)  (1,1, 0)  v ; f (p3 )  f (x )  (1, 0,1)  v3 Vậy Imf  L(v 1,v 2,v 3) Ví dụ Cho f : P2  , f (ax  bx  c)  (a  b  c,c) Tìm Kerf Imf a   b a  b  c    b  Giải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  (a  b  c,c)  (0, 0)   c  c    p  bx  bx Vậy Kerf  p  bx  bx | b   Tìm Imf: Xét sở p1  1,p2  x,p3  x  P2 Ta có f (p1 )  f (1)  (1,1)  v1 ,f (p2 )  f (x)  (1, 0)  v2 , f (p3 )  f (x )  (1, 0)  v3 Vậy Imf  L(v 1,v 2) Ví dụ Cho f : M  a b ,f      (a  b, b  c,c  d) Tìm Kerf , Imf  c d a   d a  b   a b  d d    b  d Giải Tìm Kerf: Xét A   A   Kerf  (a  b, b  c,c  d)  (0, 0, 0)  b  c     c d  d d  c  d  c  d   d    d d   Vậy Kerf  A   | d   d d         1 0 0 1 0 0  0    Tìm Imf: Xét sở A1    , A2    , A3    , A4     M Ta có  0 0 0 0 1 0     f (A1 )  (1, 0, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (0, 1,1)  v3 ,f (A )  (0, 0,1)  v Vậy Imf  L(v 1,v 2,v 3,v 4) Dạng Xác định ma trận ánh xạ tuyến tính f : V  V1 sở U  u1 ,u , ,u n  V U1  s1 ,s2 , ,s m  V1 Phương pháp Tìm ảnh véc tơ sở U: f (u1 )  v1 ,f (u )  v2 , ,f (u n )  Khi ma trận A có cột thứ i viU  Ví dụ Cho f :  ,f (x, y,z)  (x  z, x  y) Tìm ma trận f sở U  u1  (1, 2,1),u  (0,1, 1),u  (0,1, 0) U1  s1  (1, 2);s2  (1, 3) Giải Ta có f (u1 )  f (1, 2,1)  (2, 1)  v1 ,f (u )  f (0,1, 1)  (1, 1)  v ,f (u )  f (0, 1, 0)  (0, 1)  v3 Xét k  k  k  v1  k1s1  k 2s2  (2, 1)  k1 (1, 2)  k (1, 3)  (2, 1)  (k1  k , 2k1  3k )    2k1  3k  1 k   5  3   1  3 1 Vậy v1U     Tương tự v1U     , v1U     Ma trận cần tìm A    1  3  4   1  4 1 Ví dụ Cho f : P2  ,f (ax  bx  c)  (a  b  c,a  b,c) Tìm ma trận f sở U  p1  x  x  1,p2  x  2x,p3  2x  1 P2 U1  s1  (2,1, 0),s2  (1,1,1),s3  (1, 0, 0) Giải Ta có f (p1 )  f (x  x  1)  (1, 2, 1)  v1 ,f (p2 )  f (x  2x)  (3, 3, 0)  v ;f (p3 )  f (2x  1)  (3, 2,1)  v3 Xét v1  k1s1  k 2s2  k 3s3  (1, 2, 1)  k1 (2,1, 0)  k (1,1,1)  k (1, 0, 0)  (1, 2, 1)  (2k1  k  k ,k1  k ,k ) 2 k  k  k   k   3 3 1           k1  k   k  1 Vậy v1 U1    1  Tương tự v2 U1     ; v3 U1     k  1 k  4  4   3  0         3  3 1   Ma trận ánh xạ f cặp sở cho A   1   4 3    Ví dụ Cho f : M  a b ,f      (a  c, b  d,d) Tìm ma trận f sở  c d    1  1 0   0   U  A1    , A2    , A3    , A4     M  0   1   1     U1  s1  (1, 2, 3),s2  (0,1, 2),s3  (1,1, 6) Giải Ta có f (A1 )  (1, 1, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (1, 1, 1)  v ,f (A )  (0, 1, 1)  v Xét v1  k1s1  k 2s2  k3s3  (1, 1, 0)  (k1  k , 2k1  k  k , 3k1  2k  6k )  k1  k  k1  10  10   10   11   3             2k1  k  k  1  k  12  v1 U1    12  Tương tự v2 U1    12  , v3 U1    3  , v 4 U1     3k  2k  6k  k  9  9     10  3            10 10 11 3    Vậy ma trận ánh xạ f cặp sở A   12 12 3   9 10   Dạng Tìm giá trị riêng ma trận Các giá trị riêng ma trận A nghiệm phương trình | A  I |  2 10    Ví dụ Tìm giá trị riêng ma trận A   2 20   2    Giải Xét phương trình 2   10 2   20 10 10 | A  I |  2   20   (2  )   0 2 9 2   2   20 2 9  (2  )(2  7  22)  8(2  2)  (20  10)   3  5  2    (  2)(  3  4)   (  2)(  1)(  4)   1  2, 2  1, 3  Vậy A có giá trị riêng 2, 1, Ví dụ Tìm giá trị riêng ma trận sau  1 2 6    A   2 4  2 6    10 2    B   11 9   3 4    Đáp số: A: 1, 2, 3;B: 3, 1, 4;C: 1, 1, 2;D: 2, 2, 1  1 2 2    C   1 1    2 0   D   4 1 2   