phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 2

Bài tập đại số tuyến tính: Không gian véc tơ Dạng 1 Chứng minh tập hợp S là một không gian véc tơ con của không gian V... 3 Dạng 2 Tìm cơ sở, số chiều của một không gian véc tơ conS.. Ph

Bài tập đại số tuyến tính: Không gian véc tơ Dạng 1 Chứng minh tập hợp S là một không gian véc tơ con của không gian V

Phương pháp Slà không gian véc tơ con của V

S

u, v S u v S

k R, u S ku S

 







S (x, y, z)R | x0 Chứng minh Slà không gian véc tơ con củaR 3

Giải  (0,0,0) S   (1) S

Giả sử u, v S  u (0, y, z); v(0, y , z )1 1 Khi đó u v (0, yy , z1 z ) S1  (2)

Với k R kuk(0, y,z) (0,ky,kz) S (3)

Từ (1),(2) và (3) suy raSlà không gian véc tơ con của 3

R

S (x , x , x )R | x 2x 0 là không gian véc tơ con của R 3

Giải  (0,0,0) S (vì 0 2.0 0) nên S (1)

Giả sử u(x , x , x ); v1 2 3 (y , y , y ) S1 2 3  x12x2 0và y12y20 u v (x1y , x1 2y , x2 3y )3 có

(x y )2(x y )(x 2x )(y 2y )  0 0 0

nên u v S(2)

Với kRthì ku(kx , kx , kx )1 2 3 có (kx )1 2(kx )2 k(x12x )2 0nên ku S (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra Slà không gian véc tơ con của 3

R

2

S p(x)ax bx c P | a b 2c0 là không gian véc tơ con của P 2

Giải  0x20x 0 S(vì 0 0 2.0  0) nên S (1)

Giả sử p(x)ax2bxc;q(x)mx2nx p Sa b 2c0;m n 2p0

2

p(x) q(x)  (a m)x  (b n)x (c p)có (am) (b n)  2(c p)   (a b 2c) (m n  2p)0 Nên p(x)q(x) S (2)

Với kR kp(x)(ka)x2(kb)x (kc) có (ka) (kb) 2(kc)k(a b 2c)0nên kp(x) S (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra Slà không gian véc tơ con của P 2

Ví dụ 4 Chứng minh tập S a b M | a2 b c d

c d

 là không gian véc tơ con của M 2

0 0

   

 S(vì 0 0  0 0) nên S (1)

Giả sử A a b ; B x y S

x y z t

  



   



a x b y

A B

c z d t

 có (ax) (b y)  (a b) (xy)       (c d) (z t) (c z) (d t) nênA B S  (2)

Với kR kA ka kb

kc kd

 có (ka) (kb) k(ab)k(c d) (kc) (kd) nênkA S (3)

Từ (1),(2) và (3) suy raSlà không gian véc tơ con củaM 2

S (x , x , x , x )R | x x x 0, x 2x x 0 là không gian véc tơ con củaR 4

Giải  (0,0,0,0)S(vì 0 0  0 0,02.0 0 0) nênS (1)

Giả sử u(x , x , x , x ); v1 2 3 4 (y , y , y , y ) S1 2 3 4   1 2 4

x 2x x 0



y 2y y 0





u v (x y , x y , x y , x y )có

(x y ) (x y )(x y )(x x x )(y y y )  0 0 0và

(x y )2(x y ) (x y )(x 2x x )(y 2y y )  0 0 0nên u v S(2)

Với kRku(kx ,kx ,kx ,kx )1 2 3 4 có (kx ) (kx )1  2 (kx )4 k(x1x2x )4 k.00

và (kx )1 2(kx ) (kx )2  3 k(x12x2x )3 k.00nên ku S (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra Slà không gian véc tơ con của 4

R

S (x , x , x )R | x x có là không gian véc tơ con của R ? 3

Giải Không Vì u(1,1, 2); v(4, 2,0) S  (1 1 , 4 2  ( 2)2) nhưng u v (5, 1,2) S   

S (x , x , x )R | x x x m là không gian véc tơ con của 3

R

Giải Điều kiện cần: Slà không gian véc tơ nên (0,0,0) S ,suy ra 0 0 0  mm0

Điều kiện đủ: Với m0ta sẽ chứng minh  3 

S (x , x , x )R | x x x 0 là một không gian véc tơ con củaR Việc chứng minh này tiến hành tương tự như các ví dụ trên 3

Dạng 2 Tìm cơ sở, số chiều của một không gian véc tơ conS

Phương pháp Giả sử vlà véc tơ bất kì củaS

Tìm hệ sinhUcủaS

Chứng minhUđộc lập tuyến tính Suy raUlà cơ sở của S

Số chiều của S bằng số véc tơ có trongU

Ví dụ 1 Cho S(x, y)R | x2  y 0 Tìm cơ sở và số chiều củaS

Giải Giả sử v S v(x, x) (xR) Ta có vx(1,1)nênUu(1,1)là hệ sinh của S

u(1,1)  Uđộc lập tuyến tính, và vì vậy Ulà cơ sở của S dimS 1

S (x, y, z)R | x y 2z0 Tìm cơ sở và số chiều của S

Giải Giả sử v S v(y 2z, y, z) (y, zR) Ta có v(y, y,0) ( 2z,0, z)  y(1,1,0) z( 2,0,1)

nên Uu1(1,1,0), u2 ( 2,0,1)là hệ sinh của S

Xét  k u1 1k u2 2  (0,0,0)(k , k ,0)1 1  ( 2k ,0, k )2 2 (0,0,0)(k12k , k , k )2 1 2 k1k20

VậyUđộc lập tuyến tính Do đóUlà cơ sở cho S.dimS2

2

S ax bx c P | a b 3c0 Tìm cơ sở và số chiều củaS

Giải Giả sử p S  2

p (b 3c)x bxc (b,cR)

Ta có p(bx2bx) (3cx 2 c) b(x2x) c(3x 21)nên  2 2 

U p x x, p 3x 1 là hệ sinh của S

Xét  k p1 1k p2 2 2 2

k (x x) k (3x 1)

0x 0x 0 (k 3k )x k x k

       k1k20 Vậy

Uđộc lập tuyến tính Do đóUlà cơ sở cho S.dimS 2

Ví dụ 4 Cho S a b M | a2 b c 2d 0

c d

  Tìm cơ sở và số chiều của S

Giải Giả sửA S A b c 2d b (b,c,d R)

 

b b c 0 2d 0 A

Xét k A1 1 k A2 2 k A3 3 0 0 k1 1 1 k2 1 0 k3 2 0

k k 2k k

    VậyUđộc lập tuyến tính Do đóUlà cơ sở cho S dimS 3

S (x, y, z, t)R | x2y t 0, 2x  y z 0 Tìm cơ sở và số chiều củaS

Giải Xét điều kiện

2 1

5 5

z, t R

  











Giả sử v S v ( z2 1t, z1 2t, z, t) (z, t R)

v ( z, z, z,0) ( t, t,0, t) z( , ,1,0) t( , ,0,1)

      nênU u1 ( , ,1,0), u2 1 2 ( 1 2, ,0,1)

sinh của S

Xét k u1 1 k u2 2 k ( , ,1,0)1 2 1 k (2 1 2, ,0,1) (0,0,0,0) ( k2 1 1k , k2 1 1 2k , k , k )2 1 2

   VậyUđộc lập tuyến tính nên là cơ sở của S.dimS 2

Ví dụ 6 Cho S(x, y, z)R | 2x3   y z 0, x y 0 Tìm cơ sở và số chiều củaS

Giải Xét điều kiện 2x y z 0 x y



  Giả sử v S  v (y, y,3y) (yR) Ta có

vy(1,1,3)nênUu1(1,1,3)là hệ sinh của S Do u1 nên S độc lập tuyến tính và là cơ sở củaU

dimS 1

Dạng 3 Tìm hạng của một hệ véc tơU; Xác định số chiều và cơ sở cho không gian véc tơ sinh L(U)

Phương pháp Xác định ma trận A tương ứng với hệ Utrong cơ sở chính tắc

Tìm hạng của A

dimL(U)r(U)r(A)

Từ dạng hình thang của ma trận A ta sẽ xác định được cơ sở cho L(U) (đó là một tập hợp con củaU)

Ví dụ 1 Cho hệ véc tơ Uu1(1, 2, 2, 1);u 2(2,3,1, 4);u3(1,3,5,1), u4   (1, 1, 7,1)

a) Tìm hạng của hệ U b) Tìm cơ sở và số chiều của L(U)

Giải

a) Xét ma trận tương ứng của hệUtrong cơ sở chính tắc

2 1

A



Vậy r(U)r(A) 3

b) dimL(U)r(U)3 Cơ sở cho L(U) là hệSu , u , u (theo biến đổi trên r(S)3)

Ví dụ 2 Cho hệ véc tơ  2 2 2 2 

U p x  x 2, p 2x 3x 1, p x  x 7, p 3x  x 1 Tìm số chiều và cơ sở cho không gian véc tơ sinh bới hệ U

Giải Xét ma trận tương ứng củaUtrong cơ sở chính tắc

1 2 1 3

2 1 7 1

2 1

3 1







1 2 1 3

0 1 2 4

0 5 5 5

3 2

h  5h



1 2 1 3

0 1 2 4

0 0 5 25

Vậy dimL(U)r(U) r(A) 3 Cơ sở cho L(U) là hệ Sp , p , p1 2 3(theo biến đổi trên r(S)3)

Ví dụ 3 Cho hệ véc tơ U A1 1 2 , A2 1 3 , A3 1 1 , A4 4 6

Tìm cơ sở và số chiều của không gian sinh bởi U

Giải Xét ma trận tương ứng củaUtrong cơ sở chính tắc

A



2 1

3 1

4 1







3 2

4 2







1 1 1 4

0 1 1 2

0 0 0 1

0 0 0 1

4 3

h  h



1 1 1 4

0 1 1 2

0 0 0 1

0 0 0 0

Vậy dimL(U) r(U) r(A) 3 Cơ sở cho L(U) là hệ SA , A , A1 2 4

Ví dụ 4 Cho hệ véc tơ Uu1(1,3, 2, m), u2 ( 2, 2,1,3), u3(3,1,1,0) Tìm m đểdim L(U) nhỏ nhất Giải Gọi A là ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc Do dimL(U)r(A)nên cần tìm m để r(A) nhỏ nhất Xét

t

3 2

2 1

3 1

1 2 3

3 2 1

2 1 1

m 3 0











Vậy r(A) nhỏ nhất bằng 2 khi m3hay m3là giá trị cần tìm

Dạng 4 Chứng minh hệ véc tơ U   u , u , , u1 2 mlà hệ độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính

Phương pháp Cách 1: Chứng minh bằng định nghĩa Xét  k u1 1k u2 2  k um m, dẫn đến hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn k ,k , ,k Hệ này có ma trận hệ số ẩn A 1 2 m

Nếu r(A)mthì hệ U độc lập tuyến tính Nếu r(A)mthì hệ U phụ thuộc tuyến tính.( m là số véc tơ của hệ U)

Cách 2: Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc

Nếu r(A)mthì hệ U độc lập tuyến tính Nếu r(A)mthì hệ U phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 1 Chứng minh hệ véc tơ Uu1(1, 2,3, 1), u 2(2,1,1,3), u3(1,5,1, 6) độc lập tuyến tính

Giải Xét ma trận của U trong cơ sở chính tắc của R : 4

1 2 1

2 1 5

A

3 1 1

1 3 6



t

A  A



1 2 3 1

2 1 1 3

1 5 1 6



2 1

3 1









3 2

h  h





Vậy r(U)r(A) 3nên hệ U độc lập tuyến tính

Ví dụ 2 Hệ Uu1(1,3, 2);u2(1,0,1);u3(2,3,3)độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải Cách 1 Giả sử  k u1 1k u2 2k u3 3  k (1,3, 2)1 k (1,0,1)2 k (2,3,3)3

(0,0,0) (k k 2k ,3k 3k , 2k k 3k )

k k 2k 0 3k 3k 0 2k k 3k 0







(*) Hệ phương trình có ma trận hệ

3 1







r(A) 2 3nên hệ (*) có vô số nghiệm, suy ra hệ véc tơ U là hệ phụ thuộc tuyến tính

Cách 2 Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc:

3 2

2 1

3 1







Vậy r(U)r(A) 2 3nên U phụ thuộc tuyến

tính

U p x  x 1, p  2x 2x3, p x 4x2 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải Cách 1 Giả sử  k p1 1k p2 2k p3 3  k (x1 2  x 1) k ( 2x2  22x 3) k (x3 24x2)

0.x 0.x 0 (k 2k k )x (k 2k 4k )x ( k 3k 2k )

k 2k k 0

k 2k 4k 0

k 3k 2k 0







(*)

3 1







r(A)3nên hệ (*)

có nghiệm duy nhất k k k 0, tức hệ U độc lập tuyến tính

Cách 2 Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc

3 2

2 1

3 1







Vậy r(U)r(A) 3nên U độc lập tuyến tính

Ví dụ 4 Cho hệ véc tơ U A1 1 3 , A2 1 2 , A3 1 1 , A4 1 1

tuyến tính

Giải Xét ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc

2 1

A



3 2

4 2







0 0 6 m 3



4 3

2h  h



0 0 6 m 3

0 0 0 1 m



Hệ U độc lập tuyến tính thì r(U)r(A)  4 m 1

Ví dụ 5 Chứng minh hệ Uu1 (1, 1, 2,1), u2(0,1,1,3), u3(2, 1,5,5), u 4(1, 2,3, m)luôn phụ thuộc tuyến tính với mọi m

Giải Xét ma trận tương ứng với hệ U trong cơ sở chính tắc

2 1

A



Vậy r(U)r(A)  3 4 m nên U luôn phụ thuộc tuyến tính với mọi m

Ví dụ 6 Chứng minh rằng hệ Uu1(1,3,1);u2(m, m 1, 2), u 3(3, m 1, 2m 3);u  4(1,1, m) luôn phụ thuộc tuyến tính với mọi m

Giải Hệ U thuộc không gian R có 3 dimR33nên phụ thuộc tuyến tính

(Ta có định lí: Trong không gian n chiều, mọi hệ gồm n 1 véc tơ trở lên đều phụ thuộc tuyến tính)

Dạng 5 Kiểm tra hệ Uu , u , , u1 2 mcó là cơ sở của không gian véc tơ V?

Phương pháp Nếu dimV m thì U không là cơ sở của V

Nếu dimVm, tìm r(U) Nếu r(U)mthì U sẽ là cơ sở của V (do U lúc này là hệ độc lập tuyến tính)

Ví dụ 1 Hệ Uu1(1, 2,3, 1), u 2(1,0, 2,1), u3(1, 4, 4,1), u4(1,1,1, 1) có là cơ sở của 4

R ?

Giải dimR44nên U sẽ là cơ sở nếu nó độc lập tuyến tính hay r(U)4

Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc của R 4

2 1

A



r(U)r(A)4nên U là cơ sở của 4

R

S p x  x 1, p 2x 3x 1, p 3x 2x 1 là một cơ sở của P ? 2 Giải dimP23nên để chứng minh S là cơ sở ta chỉ cần chỉ ra r(S) 3

Xét ma trận tương ứng của hệ U trong cơ sở chính tắc của P 2

3 2

2 1

3 1







r(S)r(A)3nên S là cơ sở của P 2

Ví dụ 3 Tìm m để hệ U A1 2 1 , A1 1 2 , A1 3 3 , A1 1 0



Giải Xét ma trận tương ứng của U trong cơ sở chính tắc của M 2

2 1

2 4

A







4 3

6h h

2 1 3 1

0 1 3 3

0 0 12 2m 10

0 0 0 2 2m







U là cơ sở của M thì 2 r(U)r(A)dimM2   4 m 1

Ví dụ 4 Cho Uu , u , u1 2 3là một cơ sở của không gian V Chứng minh rằng 3 véc tơ v12u13u2u3

v 2u 3u u , v u u 2u , v u u 3u cũng lập thành cơ sở của không gian V

Giải Xét ma trận tương ứng của Sv , v , vtrong cơ sở U:

3 2

2 1

3 1







r(S)r(A) 3 dim Vnên S là một cơ sở của không gian V

Ví dụ 5 Hệ Uu1(1, 2,3), u2(1,1,0), u3(2,1,3), u4  ( 1,1,1)có là cơ sở của 3

R hay không?

Giải Số véc tơ của hệ U là 3

4dimR 3nên U không thể là cơ sở của R 3

Dạng 6 Xác định tọa độ của véc tơ trong một cơ sở; Ma trận chuyển cơ sở

Trong không gian véc tơ V cho cơ sở Uu , u , , u1 2 n Nếu vVthỏa mãn vk u1 1k u2 2  k un nthì

Tọa độ của v trong cơ sở U là : (k , k , , k ) ; Tọa độ cột của v trong cơ sở U: 1 2 n  

1 2 U

n

k k v

k

 

 

 



 

 

  Xét thêm một cơ sở U1s ,s , ,s1 2 ncủa không gian V Ma trận A chuyển từ cơ sở U sang U được thành lập 1

từ các tọa độ cột:

  U   U   U

s ,s , ,s Cụ thể

  U

i

s sẽ là cột thứ i của ma trận A Khi đó Ax  U 1 x  U

Chú ý: Nếu A chuyển cơ sở U sang U thì 1 A1chuyển cơ sở U sang U, và do đó 1     1

1

A x x

Ví dụ 1 Trong 3

R xét 2 cơ sở Uu1(2,3,1), u2 (1, 2, 1), u 3(3,5,1)và

U1s1(2,1,3),s2(1,1, 2),s3(1,1,1)

a) Cho x(3,3, 4) Tìm x  U b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở U sang U 1

Giải a.Giả sử xk u1 1k u2 2k u3 3(3,3, 4)(2k1k23k ,3k3 12k25k , k3 1k2k )3

3



Vậy   U

5

2

 

 

  

 

 

b Để xác định ma trận A chuyển U sang U ta sẽ phải xác định 1      

s ,s ,s

Giả sử s1k u1 1k u2 2k u3 3(2,1,3)(2k1k23k ,3k3 12k25k , k3 1k2k )3

3

3k 2k 5k 1 k 0



Vậy 1 U  

7

4

 

 

  

 

 

Tương tự

  U   U

    

Vậy

7 1 2

U p 3x 2x2, p x  x 3, p x và

U  s x 3x2,s x  x 1,s x  x 8

Tìm ma trận chuyển từ U sang U 1

Giải Để xác định ma trận A chuyển U sang U ta sẽ phải xác định 1

  U   U   U

s ,s ,s

Giả sử s1k p1 1k p2 2k p3 3 s1 k (3x1 22x 2) k (x2 2  x 3) k x3 2

x 3x 2 (3k k k )x (2k k )x ( 2k 3k )

1

3

11 k 8 3k k k 1

1

4

k 8

 







Vậy  

U

1

11 8 1 s

4 27 8

 

Tương tự

  U

2

1 2

5 2



 

 

 

  

 

 

 

;  

U

3

11 8 7 s

4 11 8



  

 

Vậy

11 1 11

27 5 11





Ví dụ 3 Trong không gian V cho cơ sở Uu , u , u1 2 3 Xét hệ

S s 2u u 2u ,s u u u ,s u 2u 2u a) Chứng minh S cũng là cơ sở của V

b) Biết   U

2

3

 

 

  

 

  Tìm x  S ?

Giải a Tương tự dạng 5 Xét ma trận tương ứng của hệ S trong cơ sở U:

2 1 1

A 1 1 2

2 1 2

.Ta kiểm tra được

r(A)3nên r(S)3hay S độc lập tuyến tính và là cơ sở của V

b Ma trận A chính là ma trận chuyển từ cơ sở U sang S nên ta có Ax  S x  U x  S A x1   U

1

| A |



Vậy   S 1  





U