0

phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 2

10 2,714 181
  • phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 2

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 07/09/2016, 20:44

Bài tập đại số tuyến tính: Không gian véc tơ Dạng Chứng minh tập hợp S không gian véc tơ không gian V S    Phương pháp S không gian véc tơ V  u, v  S  u  v  S k  R, u  S  ku  S  Ví dụ Cho tập hợp S  (x, y,z)  R | x  0 Chứng minh S không gian véc tơ R Giải   (0,0,0) S  S   (1) Giả sử u, v S  u  (0, y,z);v  (0, y1 ,z1 ) Khi u  v  (0, y  y1 ,z  z1 ) S (2) Với k  R  ku  k(0, y,z) (0,ky,kz) S (3) Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ R Ví dụ Chứng minh tập S  (x1 , x , x )  R | x1  2x  0 không gian véc tơ R Giải   (0,0,0)  S (vì  2.0  ) nên S   (1) Giả sử u  (x1 , x , x3 );v  (y1 , y2 , y3 ) S  x1  2x  y1  2y2  u  v  (x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 ) có (x1  y1 )  2(x  y2 )  (x1  2x )  (y1  2y2 )    nên u  v  S (2) Với k  R ku  (kx1 ,kx ,kx ) có (kx1 )  2(kx )  k(x1  2x )  nên ku  S (3) Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ R Ví dụ Chứng minh tập S  p(x)  ax  bx  c  P2 | a  b  2c  0 không gian véc tơ P2 Giải   0x  0x  S (vì   2.0  ) nên S   (1) Giả sử p(x)  ax  bx  c;q(x)  mx  nx  p S  a  b  2c  0;m  n  2p  p(x)  q(x)  (a  m)x  (b  n)x  (c  p) có (a  m)  (b  n)  2(c  p)  (a  b  2c)  (m  n  2p)  Nên p(x)  q(x)  S (2) Với k  R  kp(x)  (ka)x (kb)x (kc) có (ka)  (kb)  2(kc)  k(a  b  2c)  nên kp(x)  S (3) Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ P2  a b     Ví dụ Chứng minh tập S     M | a  b  c  d  không gian véc tơ M    c d    0 Giải      S (vì    ) nên S   (1)  0 a  b  c  d a b  x y Giả sử A    ;B    S   c d z t  x  y  z  t a  x b  y AB  có (a  x)  (b  y)  (a  b)  (x  y)  (c  d)  (z  t)  (c  z)  (d  t) cz dt  nên A  B  S (2)  ka kb  Với k  R  kA    có (ka)  (kb)  k(a  b)  k(c  d)  (kc)  (kd) nên kA  S (3)  kc kd  Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ M Ví dụ Chứng minh tập S  (x1 , x , x , x )  R | x1  x  x  0, x1  2x  x  0 không gian véc tơ R Giải   (0,0,0,0)  S (vì    0,0  2.0   ) nên S   (1)  x1  x  x  Giả sử u  (x1 , x , x , x );v  (y1 , y2 , y3 , y4 ) S    x1  2x  x   y1  y  y    y1  2y  y3  u  v  (x1  y1 , x  y2 , x  y3 , x  y4 ) có (x1  y1 )  (x  y2 )  (x  y4 )  (x1  x  x )  (y1  y2  y4 )    (x1  y1 )  2(x  y2 )  (x3  y3 )  (x1  2x  x )  (y1  2y2  y3 )    nên u  v  S (2) Với k  R  ku  (kx 1,kx 2,kx 3,kx 4) có (kx1 )  (kx )  (kx )  k(x1  x  x )  k.0  (kx1 )  2(kx )  (kx3 )  k(x1  2x  x3 )  k.0  nên ku  S (3) Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ R Ví dụ Tập hợp S  (x1 , x , x )  R | x1  x 22  có không gian véc tơ R ? Giải Không Vì u  (1,1,2);v  (4, 2,0) S (  12 ,4  (2)2 ) u  v  (5, 1,2) S Ví dụ Tìm m để S  (x1 , x , x )  R | x1  x  x  m không gian véc tơ R Giải Điều kiện cần: S không gian véc tơ nên   (0,0,0)  S ,suy    m  m  Điều kiện đủ: Với m  ta chứng minh S  (x1 , x , x )  R | x1  x  x  0 không gian véc tơ R Việc chứng minh tiến hành tương tự ví dụ Dạng Tìm sở, số chiều không gian véc tơ S Phương pháp Giả sử v véc tơ S Tìm hệ sinh U S Chứng minh U độc lập tuyến tính Suy U sở S Số chiều S số véc tơ có U Ví dụ Cho S  (x, y)  R | x  y  0 Tìm sở số chiều S Giải Giả sử v  S  v  (x, x) (x  R) Ta có v  x(1,1) nên U  u  (1,1) hệ sinh S u  (1,1)    U độc lập tuyến tính, U sở S dimS  Ví dụ Cho S  (x, y,z)  R | x  y  2z  0 Tìm sở số chiều S Giải Giả sử v  S  v  (y  2z, y,z) (y,z  R) Ta có v  (y, y,0)  (2z,0,z)  y(1,1,0)  z(2,0,1) nên U  u1  (1,1,0),u  (2,0,1) hệ sinh S Xét   k1u1  k u  (0,0,0)  (k1 ,k1 ,0)  (2k ,0,k )  (0,0,0)  (k1  2k ,k1 ,k )  k1  k  Vậy U độc lập tuyến tính Do U sở cho S dimS  Ví dụ Cho S  ax  bx  c  P2 | a  b  3c  0 Tìm sở số chiều S Giải Giả sử p  S  p  (b  3c)x  bx  c (b,c  R) Ta có p  (bx  bx)  (3cx  c)  b(x  x)  c(3x  1) nên U  p1  x  x,p2  3x  1 hệ sinh S Xét   k1p1  k p2    k1 (x  x)  k (3x  1)  0x  0x   (k1  3k )x  k1x  k  k1  k  Vậy U độc lập tuyến tính Do U sở cho S dimS     a b   Ví dụ Cho S     M | a  b  c  2d   Tìm sở số chiều S c d       b  c  2d b   b b   c   2d  Giải Giả sử A  S  A    (b,c,d  R) Ta có A      c d   0  c 0  d     1  1   0 1 1 1      b , A2   , A3    hệ sinh S   c   d  nên U  A1        0  1  0 1  0 1       k1  k  2k  0 1 1 1   0 Xét   k1A1  k A2  k A3     k1    k2    k3    k2  0  0 1   1   k1  k  k3  Vậy U độc lập tuyến tính Do U sở cho S dimS  Ví dụ Cho S  (x, y,z, t)  R | x  2y  t  0,2x  y  z  0 Tìm sở số chiều S k1   k3   x  z  t   t0  x  2y  t   x  2y    y  z  t Giải Xét điều kiện  5 2x  y  z   5y  z  2t   z, t  R   1 Giả sử v  S  v  ( z  t, z  t, z, t) (z, t  R) Ta có 5 5 1 2 1 2 1   v  ( z, z,z,0)  ( t, t,0, t)  z( , ,1,0)  t(  , ,0,1) nên U  u1  ( , ,1,0), u  ( , ,0,1)  hệ 5 5 5 5 5 5   sinh S 1 2 1 Xét   k1u1  k u    k1 ( , ,1,0)  k ( , ,0,1)  (0,0,0,0)  ( k1  k , k1  k , k1 , k ) 5 5 5 5  k1  k  Vậy U độc lập tuyến tính nên sở S dimS  Ví dụ Cho S  (x, y,z)  R | 2x  y  z  0, x  y  0 Tìm sở số chiều S 2x  y  z  x  y Giải Xét điều kiện  Giả sử v  S  v  (y, y,3y) (y  R) Ta có  x  y  z  3y v  y(1,1,3) nên U  u1  (1,1,3) hệ sinh S Do u1   nên S độc lập tuyến tính sở U dimS  Dạng Tìm hạng hệ véc tơ U ; Xác định số chiều sở cho không gian véc tơ sinh L(U) Phương pháp Xác định ma trận A tương ứng với hệ U sở tắc Tìm hạng A dimL(U)  r(U)  r(A) Từ dạng hình thang ma trận A ta xác định sở cho L(U) (đó tập hợp U ) Ví dụ Cho hệ véc tơ U  u1  (1,2,2, 1);u  (2,3,1,4);u  (1,3,5,1),u  (1, 1, 7,1) b) Tìm sở số chiều L(U) a) Tìm hạng hệ U Giải a) Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc 1  A 2   1 1 1  h  2h1  1  h3  2h1  1  7  h  h1  3   1 0 1 1   3  h3 3h  1  9  h  6h  0   2 0 1  1   3  h3  h  1  0 0    16  0 Vậy r(U)  r(A) 3 b) dimL(U)  r(U)  Cơ sở cho L(U) hệ S  u1 ,u ,u  (theo biến đổi r(S)  ) 1   3  16   0  Ví dụ Cho hệ véc tơ U  p1  x  x  2,p2  2x  3x  1,p3  x  x  7,p  3x  x  1 Tìm số chiều sở cho không gian véc tơ sinh bới hệ U Giải Xét ma trận tương ứng U sở tắc 3 3 1 3 1 1       h  h1 h 5h A   1 1  h  2h1  2 4    2 4   2 7 1  5   0 25        Vậy dimL(U)  r(U) r(A) 3 Cơ sở cho L(U) hệ S  p1 ,p2 ,p3  (theo biến đổi r(S)  )   1 2   3   1  6    Ví dụ Cho hệ véc tơ U  A1    , A2    , A3    , A4     1  2  0      Tìm sở số chiều không gian sinh U Giải Xét ma trận tương ứng U sở tắc 1 1 4 1 1  1   h  2h1    2 3 1 6  h3  h1 h3  h  1    1  A  h4 h2 h  3h1 1 3  1 1  0       9  1 3  0 1  1 h  h3   0  0 1 0 4  2 1  1 4  2 Vậy dimL(U)  r(U) r(A) 3 Cơ sở cho L(U) hệ S  A1 ,A2 ,A4  1  0 Ví dụ Cho hệ véc tơ U  u1  (1,3,2,m),u  (2,2,1,3),u  (3,1,1,0) Tìm m để dimL(U) nhỏ Giải Gọi A ma trận tương ứng U sở tắc Do dimL(U)  r(A) nên cần tìm m để r(A) nhỏ Xét 1  A 2  m 2 3 m  m   m 1 1   A A t   h  2h1   h3  h     2   2m     2m   h  3h1  1  1 0  8 5 3m   0 m          0 Vậy r(A) nhỏ m  hay m  giá trị cần tìm Dạng Chứng minh hệ véc tơ U  u1 , u , , u m  hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Phương pháp Cách 1: Chứng minh định nghĩa Xét   k1u1  k u   k m u m , dẫn đến hệ phương trình tuyến tính m ẩn k1,k , ,k m Hệ có ma trận hệ số ẩn A Nếu r(A)  m hệ U độc lập tuyến tính Nếu r(A)  m hệ U phụ thuộc tuyến tính.( m số véc tơ hệ U) Cách 2: Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc Nếu r(A)  m hệ U độc lập tuyến tính Nếu r(A)  m hệ U phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Chứng minh hệ véc tơ U  u1  (1,2,3, 1),u  (2,1,1,3),u  (1,5,1, 6) độc lập tuyến tính Giải Xét ma trận U sở tắc R : 1  A 3   1 1   A A t  1  6   1   1   1   h 2h1   h3  h   h  h1  1    3 5    3 5   6   2 5   0 7        Vậy r(U)  r(A) 3 nên hệ U độc lập tuyến tính Ví dụ Hệ U  u1  (1,3,2);u  (1,0,1);u  (2,3,3) độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải Cách Giả sử   k1u1  k u  k3u3    k1 (1,3,2)  k (1,0,1)  k (2,3,3) k1  k  2k   (*) Hệ phương trình có ma trận hệ  (0,0,0)  (k1  k  2k ,3k1  3k ,2k1  k  3k )  3k1  3k  2k  k  3k    1 2 1  1    h 3h1   3h3  h   số ẩn: A   3   h  2h1  3 3    3 3  r(A)   nên hệ (*) có vô số nghiệm,  3  1 1  0 0        suy hệ véc tơ U hệ phụ thuộc tuyến tính Cách Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc:  1 2 1  1    h 3h1   3h3  h   A   3   h  2h1  3 3    3 3  Vậy r(U)  r(A)  3 nên U phụ thuộc tuyến  3  1 1  0 0        tính Ví dụ Hệ U  p1  x  x  1,p2  2x  2x  3,p3  x  4x  2 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải Cách Giả sử   k1p1  k p2  k3p3    k1 (x  x  1)  k (2x  2x  3)  k (x  4x  2) k1  2k  k    0.x  0.x   (k1  2k  k3 )x  (k1  2k  4k )x  (k1  3k  2k )  k1  2k  4k  (*) k  3k  2k   2  2   2   2    h  h1   4h3 5h          r(A)  nên hệ (*) Hệ có ma trận hệ số ẩn A     h  h1  1 3   5   0 27        có nghiệm k1  k  k3  , tức hệ U độc lập tuyến tính Cách Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc  2   2   2    h  h1   4h3 5h   A            Vậy r(U)  r(A) 3 nên U độc lập tuyến tính h  h1  1 3   5   0 27         1   1 2   1 1  1    Ví dụ Cho hệ véc tơ U  A1    , A2    , A3    , A4     Tìm m để U độc lập  1  1 0 m      tuyến tính Giải Xét ma trận tương ứng U sở tắc  1 1  2 1 A 1 m  1 0 1 1 1 1   1 1  1 1  1  h 3h1        h3  h1  2  h3  2h  2  c3 c4  2       2 m  1  h  h1  m   h  h  m          2 1 1  0 0 0 1 1  1   1  1      2h4 h3  2  h  2h  2   h4 h2  0 m  3  0 m  3     1  0 0 0 1 m  Hệ U độc lập tuyến tính r(U)  r(A)   m  Ví dụ Chứng minh hệ U  u1  (1, 1,2,1),u  (0,1,1,3),u  (2, 1,5,5),u  (1,2,3,m) phụ thuộc tuyến tính với m Giải Xét ma trận tương ứng với hệ U sở tắc 1  1 A 2  1 1 1  h  h1  1  h3  2h1    h  h1    m 0 1  1    h3 h   1  h 3h    m  1 0 0  1    2h  (m 10)h   0 2    m  10  0 0 1  3 2   0 Vậy r(U)  r(A) 3  m nên U phụ thuộc tuyến tính với m Ví dụ Chứng minh hệ U  u1  (1,3,1);u  (m,m  1,2),u  (3,m  1,2m  3);u  (1,1, m) phụ thuộc tuyến tính với m Giải Hệ U thuộc không gian R có dimR  nên phụ thuộc tuyến tính (Ta có định lí: Trong không gian n chiều, hệ gồm n  véc tơ trở lên phụ thuộc tuyến tính) Dạng Kiểm tra hệ U  u1 ,u , ,u m  có sở không gian véc tơ V? Phương pháp Nếu dimV  m U không sở V Nếu dimV  m , tìm r(U) Nếu r(U)  m U sở V (do U lúc hệ độc lập tuyến tính) Ví dụ Hệ U  u1  (1,2,3, 1),u  (1,0,2,1),u  (1,4,4,1),u  (1,1,1, 1) có sở R ? Giải dimR  nên U sở độc lập tuyến tính hay r(U)  Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc R 1  A 3   1 1 1 1 1  1  h  2h1     h3 3h1  2 1  2h3  h  2    h  h1  1 2  h  h  0     1 0 2  0 1 1   1  h3  h  2  0 0 3    1  0 1  1  1   3  r(U)  r(A)  nên U sở R Ví dụ Chứng minh hệ S  p1  x  x  1,p2  2x  3x  1,p3  3x  2x  1 sở P2 ? Giải dimP2  nên để chứng minh S sở ta cần r(S)  Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc P2  3 1  1    h  h1   h3  h   A       1   1 r(S)  r(A)  nên S sở P2 h  h1  1 1  0  0          1  2  3 1     Ví dụ Tìm m để hệ U  A1    , A1    , A1    , A1     sở M   1   m 4 0 7 1     Giải Xét ma trận tương ứng U sở tắc M 2  A  1 m  3 3 1 2    c2  c4    1 1   1 3  2    6h  h  1   0 12 2m  10     0  2m  1 1 2  2h  h1   2h3  h1  1   m  2h 3h1    4  1   2    3  h3 3h  1 3   2m  1 h  h  0 12 2m  10     5   0 U sở M r(U)  r(A)  dimM2   m  Ví dụ Cho U  u1 ,u ,u  sở không gian V Chứng minh véc tơ v1  2u1  3u  u v1  2u1  3u  u , v2  u1  u  2u , v3  u1  u  3u lập thành sở không gian V Giải Xét ma trận tương ứng S  v1 , v2 , v3 sở U: 2 1 2 1  2 1    2h 3h1   h3  h   A   1     5 1    5 1  r(S)  r(A)   dimV nên S sở 2h  h1  1 3   5   0 6        không gian V Ví dụ Hệ U  u1  (1,2,3),u  (1,1,0),u  (2,1,3),u  ( 1,1,1) có sở R hay không? Giải Số véc tơ hệ U  dimR  nên U sở R Dạng Xác định tọa độ véc tơ sở; Ma trận chuyển sở Trong không gian véc tơ V cho sở U  u1 ,u , ,u n  Nếu v  V thỏa mãn v  k1u1  k u   k n u n Tọa độ v sở U : (k1 ,k , ,k n ) ; Tọa độ cột v sở U: v U  k1    k  2      kn  Xét thêm sở U1  s1 ,s2 , ,sn  không gian V Ma trận A chuyển từ sở U sang U1 thành lập từ tọa độ cột: s1U ,s2U , ,snU Cụ thể siU cột thứ i ma trận A Khi Ax U1   x U Chú ý: Nếu A chuyển sở U sang U1 A 1 chuyển sở U1 sang U, A1x U  x U1  Ví dụ Trong R xét sở U  u1  (2,3,1),u  (1,2, 1),u  (3,5,1) U1  s1  (2,1,3),s2  (1,1,2),s3  (1,1,1) a) Cho x  (3,3,4) Tìm x  U b) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang U1 Giải a.Giả sử x  k1u1  k u  k3u3  (3,3,4)  (2k1  k  3k ,3k1  2k  5k ,k1  k  k ) 2k1  k  3k   k1   5      3k1  2k  5k   k  1 Vậy x  U   1  k  k  k  k  2  2      b Để xác định ma trận A chuyển U sang U1 ta phải xác định s1U ,s U  ,s U  Giả sử s1  k1u1  k u  k3u3  (2,1,3)  (2k1  k  3k ,3k1  2k  5k ,k1  k  k ) 2k1  k  3k   k1  7 1 2          3k1  2k  5k   k  Vậy s1 U    Tương tự s 2U   1 ;s3U    k  k  k    4  0  1       k  4  7 2   Vậy A   1   4 1    Ví dụ Trong P2 xét sở U  p1  3x  2x  2,p2  x  x  3,p3  x  U1  s1  x  3x  2,s2  x  x  1,s3  x  x  8 Tìm ma trận chuyển từ U sang U1 Giải Để xác định ma trận A chuyển U sang U1 ta phải xác định s1U ,s2 U ,s3 U Giả sử s1  k1p1  k p2  k3p3  s1  k1 (3x  2x  2)  k (x  x  3)  k 3x  x  3x   (3k1  k  k3 )x  (2k1  k )x  (2k1  3k ) 11   11   11   1       k1    3k1  k  k         1  7      Vậy s1U  Tương tự s 2U    ; s3U   2k1  k   k      2k  3k  2         27     27   11  k               11   Vậy A      27   1 11    7    11   Ví dụ Trong không gian V cho sở U  u1 ,u ,u  Xét hệ S  s1  2u1  u  2u3 ,s2  u1  u  u ,s3  u1  2u  2u  a) Chứng minh S sở V  2   b) Biết x  U    Tìm xS  ?  3   2 1   Giải a Tương tự dạng Xét ma trận tương ứng hệ S sở U: A   1  Ta kiểm tra  2   r(A)  nên r(S)  hay S độc lập tuyến tính sở V b Ma trận A ma trận chuyển từ sở U sang S nên ta có AxS  xU  xS  A1xU  2  1   1  *       * 1 A   2 3  Xét A   1   A   2 3   A  |A| 1 2  1   1        t Vậy x S  1           A x U   2 3 1    3   1          1
- Xem thêm -

Xem thêm: phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 2, phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 2, phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 2