phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 2

Bài tập đại số tuyến tính: Không gian véc tơ Dạng Chứng minh tập hợp S không gian véc tơ không gian V S    Phương pháp S không gian véc tơ V  u, v  S  u  v  S k  R, u  S  ku  S  Ví dụ Cho tập hợp S  (x, y,z)  R | x  0 Chứng minh S không gian véc tơ R Giải   (0,0,0) S  S   (1) Giả sử u, v S  u  (0, y,z);v  (0, y1 ,z1 ) Khi u  v  (0, y  y1 ,z  z1 ) S (2) Với k  R  ku  k(0, y,z) (0,ky,kz) S (3) Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ R Ví dụ Chứng minh tập S  (x1 , x , x )  R | x1  2x  0 không gian véc tơ R Giải   (0,0,0)  S (vì  2.0  ) nên S   (1) Giả sử u  (x1 , x , x3 );v  (y1 , y2 , y3 ) S  x1  2x  y1  2y2  u  v  (x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 ) có (x1  y1 )  2(x  y2 )  (x1  2x )  (y1  2y2 )    nên u  v  S (2) Với k  R ku  (kx1 ,kx ,kx ) có (kx1 )  2(kx )  k(x1  2x )  nên ku  S (3) Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ R Ví dụ Chứng minh tập S  p(x)  ax  bx  c  P2 | a  b  2c  0 không gian véc tơ P2 Giải   0x  0x  S (vì   2.0  ) nên S   (1) Giả sử p(x)  ax  bx  c;q(x)  mx  nx  p S  a  b  2c  0;m  n  2p  p(x)  q(x)  (a  m)x  (b  n)x  (c  p) có (a  m)  (b  n)  2(c  p)  (a  b  2c)  (m  n  2p)  Nên p(x)  q(x)  S (2) Với k  R  kp(x)  (ka)x (kb)x (kc) có (ka)  (kb)  2(kc)  k(a  b  2c)  nên kp(x)  S (3) Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ P2  a b     Ví dụ Chứng minh tập S     M | a  b  c  d  không gian véc tơ M    c d    0 Giải      S (vì    ) nên S   (1)  0 a  b  c  d a b  x y Giả sử A    ;B    S   c d z t  x  y  z  t a  x b  y AB  có (a  x)  (b  y)  (a  b)  (x  y)  (c  d)  (z  t)  (c  z)  (d  t) cz dt  nên A  B  S (2)  ka kb  Với k  R  kA    có (ka)  (kb)  k(a  b)  k(c  d)  (kc)  (kd) nên kA  S (3)  kc kd  Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ M Ví dụ Chứng minh tập S  (x1 , x , x , x )  R | x1  x  x  0, x1  2x  x  0 không gian véc tơ R Giải   (0,0,0,0)  S (vì    0,0  2.0   ) nên S   (1)  x1  x  x  Giả sử u  (x1 , x , x , x );v  (y1 , y2 , y3 , y4 ) S    x1  2x  x   y1  y  y    y1  2y  y3  u  v  (x1  y1 , x  y2 , x  y3 , x  y4 ) có (x1  y1 )  (x  y2 )  (x  y4 )  (x1  x  x )  (y1  y2  y4 )    (x1  y1 )  2(x  y2 )  (x3  y3 )  (x1  2x  x )  (y1  2y2  y3 )    nên u  v  S (2) Với k  R  ku  (kx 1,kx 2,kx 3,kx 4) có (kx1 )  (kx )  (kx )  k(x1  x  x )  k.0  (kx1 )  2(kx )  (kx3 )  k(x1  2x  x3 )  k.0  nên ku  S (3) Từ (1),(2) (3) suy S không gian véc tơ R Ví dụ Tập hợp S  (x1 , x , x )  R | x1  x 22  có không gian véc tơ R ? Giải Không Vì u  (1,1,2);v  (4, 2,0) S (  12 ,4  (2)2 ) u  v  (5, 1,2) S Ví dụ Tìm m để S  (x1 , x , x )  R | x1  x  x  m không gian véc tơ R Giải Điều kiện cần: S không gian véc tơ nên   (0,0,0)  S ,suy    m  m  Điều kiện đủ: Với m  ta chứng minh S  (x1 , x , x )  R | x1  x  x  0 không gian véc tơ R Việc chứng minh tiến hành tương tự ví dụ Dạng Tìm sở, số chiều không gian véc tơ S Phương pháp Giả sử v véc tơ S Tìm hệ sinh U S Chứng minh U độc lập tuyến tính Suy U sở S Số chiều S số véc tơ có U Ví dụ Cho S  (x, y)  R | x  y  0 Tìm sở số chiều S Giải Giả sử v  S  v  (x, x) (x  R) Ta có v  x(1,1) nên U  u  (1,1) hệ sinh S u  (1,1)    U độc lập tuyến tính, U sở S dimS  Ví dụ Cho S  (x, y,z)  R | x  y  2z  0 Tìm sở số chiều S Giải Giả sử v  S  v  (y  2z, y,z) (y,z  R) Ta có v  (y, y,0)  (2z,0,z)  y(1,1,0)  z(2,0,1) nên U  u1  (1,1,0),u  (2,0,1) hệ sinh S Xét   k1u1  k u  (0,0,0)  (k1 ,k1 ,0)  (2k ,0,k )  (0,0,0)  (k1  2k ,k1 ,k )  k1  k  Vậy U độc lập tuyến tính Do U sở cho S dimS  Ví dụ Cho S  ax  bx  c  P2 | a  b  3c  0 Tìm sở số chiều S Giải Giả sử p  S  p  (b  3c)x  bx  c (b,c  R) Ta có p  (bx  bx)  (3cx  c)  b(x  x)  c(3x  1) nên U  p1  x  x,p2  3x  1 hệ sinh S Xét   k1p1  k p2    k1 (x  x)  k (3x  1)  0x  0x   (k1  3k )x  k1x  k  k1  k  Vậy U độc lập tuyến tính Do U sở cho S dimS     a b   Ví dụ Cho S     M | a  b  c  2d   Tìm sở số chiều S c d       b  c  2d b   b b   c   2d  Giải Giả sử A  S  A    (b,c,d  R) Ta có A      c d   0  c 0  d     1  1   0 1 1 1      b , A2   , A3    hệ sinh S   c   d  nên U  A1        0  1  0 1  0 1       k1  k  2k  0 1 1 1   0 Xét   k1A1  k A2  k A3     k1    k2    k3    k2  0  0 1   1   k1  k  k3  Vậy U độc lập tuyến tính Do U sở cho S dimS  Ví dụ Cho S  (x, y,z, t)  R | x  2y  t  0,2x  y  z  0 Tìm sở số chiều S k1   k3   x  z  t   t0  x  2y  t   x  2y    y  z  t Giải Xét điều kiện  5 2x  y  z   5y  z  2t   z, t  R   1 Giả sử v  S  v  ( z  t, z  t, z, t) (z, t  R) Ta có 5 5 1 2 1 2 1   v  ( z, z,z,0)  ( t, t,0, t)  z( , ,1,0)  t(  , ,0,1) nên U  u1  ( , ,1,0), u  ( , ,0,1)  hệ 5 5 5 5 5 5   sinh S 1 2 1 Xét   k1u1  k u    k1 ( , ,1,0)  k ( , ,0,1)  (0,0,0,0)  ( k1  k , k1  k , k1 , k ) 5 5 5 5  k1  k  Vậy U độc lập tuyến tính nên sở S dimS  Ví dụ Cho S  (x, y,z)  R | 2x  y  z  0, x  y  0 Tìm sở số chiều S 2x  y  z  x  y Giải Xét điều kiện  Giả sử v  S  v  (y, y,3y) (y  R) Ta có  x  y  z  3y v  y(1,1,3) nên U  u1  (1,1,3) hệ sinh S Do u1   nên S độc lập tuyến tính sở U dimS  Dạng Tìm hạng hệ véc tơ U ; Xác định số chiều sở cho không gian véc tơ sinh L(U) Phương pháp Xác định ma trận A tương ứng với hệ U sở tắc Tìm hạng A dimL(U)  r(U)  r(A) Từ dạng hình thang ma trận A ta xác định sở cho L(U) (đó tập hợp U ) Ví dụ Cho hệ véc tơ U  u1  (1,2,2, 1);u  (2,3,1,4);u  (1,3,5,1),u  (1, 1, 7,1) b) Tìm sở số chiều L(U) a) Tìm hạng hệ U Giải a) Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc 1  A 2   1 1 1  h  2h1  1  h3  2h1  1  7  h  h1  3   1 0 1 1   3  h3 3h  1  9  h  6h  0   2 0 1  1   3  h3  h  1  0 0    16  0 Vậy r(U)  r(A) 3 b) dimL(U)  r(U)  Cơ sở cho L(U) hệ S  u1 ,u ,u  (theo biến đổi r(S)  ) 1   3  16   0  Ví dụ Cho hệ véc tơ U  p1  x  x  2,p2  2x  3x  1,p3  x  x  7,p  3x  x  1 Tìm số chiều sở cho không gian véc tơ sinh bới hệ U Giải Xét ma trận tương ứng U sở tắc 3 3 1 3 1 1       h  h1 h 5h A   1 1  h  2h1  2 4    2 4   2 7 1  5   0 25        Vậy dimL(U)  r(U) r(A) 3 Cơ sở cho L(U) hệ S  p1 ,p2 ,p3  (theo biến đổi r(S)  )   1 2   3   1  6    Ví dụ Cho hệ véc tơ U  A1    , A2    , A3    , A4     1  2  0      Tìm sở số chiều không gian sinh U Giải Xét ma trận tương ứng U sở tắc 1 1 4 1 1  1   h  2h1    2 3 1 6  h3  h1 h3  h  1    1  A  h4 h2 h  3h1 1 3  1 1  0       9  1 3  0 1  1 h  h3   0  0 1 0 4  2 1  1 4  2 Vậy dimL(U)  r(U) r(A) 3 Cơ sở cho L(U) hệ S  A1 ,A2 ,A4  1  0 Ví dụ Cho hệ véc tơ U  u1  (1,3,2,m),u  (2,2,1,3),u  (3,1,1,0) Tìm m để dimL(U) nhỏ Giải Gọi A ma trận tương ứng U sở tắc Do dimL(U)  r(A) nên cần tìm m để r(A) nhỏ Xét 1  A 2  m 2 3 m  m   m 1 1   A A t   h  2h1   h3  h     2   2m     2m   h  3h1  1  1 0  8 5 3m   0 m          0 Vậy r(A) nhỏ m  hay m  giá trị cần tìm Dạng Chứng minh hệ véc tơ U  u1 , u , , u m  hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Phương pháp Cách 1: Chứng minh định nghĩa Xét   k1u1  k u   k m u m , dẫn đến hệ phương trình tuyến tính m ẩn k1,k , ,k m Hệ có ma trận hệ số ẩn A Nếu r(A)  m hệ U độc lập tuyến tính Nếu r(A)  m hệ U phụ thuộc tuyến tính.( m số véc tơ hệ U) Cách 2: Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc Nếu r(A)  m hệ U độc lập tuyến tính Nếu r(A)  m hệ U phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Chứng minh hệ véc tơ U  u1  (1,2,3, 1),u  (2,1,1,3),u  (1,5,1, 6) độc lập tuyến tính Giải Xét ma trận U sở tắc R : 1  A 3   1 1   A A t  1  6   1   1   1   h 2h1   h3  h   h  h1  1    3 5    3 5   6   2 5   0 7        Vậy r(U)  r(A) 3 nên hệ U độc lập tuyến tính Ví dụ Hệ U  u1  (1,3,2);u  (1,0,1);u  (2,3,3) độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải Cách Giả sử   k1u1  k u  k3u3    k1 (1,3,2)  k (1,0,1)  k (2,3,3) k1  k  2k   (*) Hệ phương trình có ma trận hệ  (0,0,0)  (k1  k  2k ,3k1  3k ,2k1  k  3k )  3k1  3k  2k  k  3k    1 2 1  1    h 3h1   3h3  h   số ẩn: A   3   h  2h1  3 3    3 3  r(A)   nên hệ (*) có vô số nghiệm,  3  1 1  0 0        suy hệ véc tơ U hệ phụ thuộc tuyến tính Cách Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc:  1 2 1  1    h 3h1   3h3  h   A   3   h  2h1  3 3    3 3  Vậy r(U)  r(A)  3 nên U phụ thuộc tuyến  3  1 1  0 0        tính Ví dụ Hệ U  p1  x  x  1,p2  2x  2x  3,p3  x  4x  2 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải Cách Giả sử   k1p1  k p2  k3p3    k1 (x  x  1)  k (2x  2x  3)  k (x  4x  2) k1  2k  k    0.x  0.x   (k1  2k  k3 )x  (k1  2k  4k )x  (k1  3k  2k )  k1  2k  4k  (*) k  3k  2k   2  2   2   2    h  h1   4h3 5h          r(A)  nên hệ (*) Hệ có ma trận hệ số ẩn A     h  h1  1 3   5   0 27        có nghiệm k1  k  k3  , tức hệ U độc lập tuyến tính Cách Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc  2   2   2    h  h1   4h3 5h   A            Vậy r(U)  r(A) 3 nên U độc lập tuyến tính h  h1  1 3   5   0 27         1   1 2   1 1  1    Ví dụ Cho hệ véc tơ U  A1    , A2    , A3    , A4     Tìm m để U độc lập  1  1 0 m      tuyến tính Giải Xét ma trận tương ứng U sở tắc  1 1  2 1 A 1 m  1 0 1 1 1 1   1 1  1 1  1  h 3h1        h3  h1  2  h3  2h  2  c3 c4  2       2 m  1  h  h1  m   h  h  m          2 1 1  0 0 0 1 1  1   1  1      2h4 h3  2  h  2h  2   h4 h2  0 m  3  0 m  3     1  0 0 0 1 m  Hệ U độc lập tuyến tính r(U)  r(A)   m  Ví dụ Chứng minh hệ U  u1  (1, 1,2,1),u  (0,1,1,3),u  (2, 1,5,5),u  (1,2,3,m) phụ thuộc tuyến tính với m Giải Xét ma trận tương ứng với hệ U sở tắc 1  1 A 2  1 1 1  h  h1  1  h3  2h1    h  h1    m 0 1  1    h3 h   1  h 3h    m  1 0 0  1    2h  (m 10)h   0 2    m  10  0 0 1  3 2   0 Vậy r(U)  r(A) 3  m nên U phụ thuộc tuyến tính với m Ví dụ Chứng minh hệ U  u1  (1,3,1);u  (m,m  1,2),u  (3,m  1,2m  3);u  (1,1, m) phụ thuộc tuyến tính với m Giải Hệ U thuộc không gian R có dimR  nên phụ thuộc tuyến tính (Ta có định lí: Trong không gian n chiều, hệ gồm n  véc tơ trở lên phụ thuộc tuyến tính) Dạng Kiểm tra hệ U  u1 ,u , ,u m  có sở không gian véc tơ V? Phương pháp Nếu dimV  m U không sở V Nếu dimV  m , tìm r(U) Nếu r(U)  m U sở V (do U lúc hệ độc lập tuyến tính) Ví dụ Hệ U  u1  (1,2,3, 1),u  (1,0,2,1),u  (1,4,4,1),u  (1,1,1, 1) có sở R ? Giải dimR  nên U sở độc lập tuyến tính hay r(U)  Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc R 1  A 3   1 1 1 1 1  1  h  2h1     h3 3h1  2 1  2h3  h  2    h  h1  1 2  h  h  0     1 0 2  0 1 1   1  h3  h  2  0 0 3    1  0 1  1  1   3  r(U)  r(A)  nên U sở R Ví dụ Chứng minh hệ S  p1  x  x  1,p2  2x  3x  1,p3  3x  2x  1 sở P2 ? Giải dimP2  nên để chứng minh S sở ta cần r(S)  Xét ma trận tương ứng hệ U sở tắc P2  3 1  1    h  h1   h3  h   A       1   1 r(S)  r(A)  nên S sở P2 h  h1  1 1  0  0          1  2  3 1     Ví dụ Tìm m để hệ U  A1    , A1    , A1    , A1     sở M   1   m 4 0 7 1     Giải Xét ma trận tương ứng U sở tắc M 2  A  1 m  3 3 1 2    c2  c4    1 1   1 3  2    6h  h  1   0 12 2m  10     0  2m  1 1 2  2h  h1   2h3  h1  1   m  2h 3h1    4  1   2    3  h3 3h  1 3   2m  1 h  h  0 12 2m  10     5   0 U sở M r(U)  r(A)  dimM2   m  Ví dụ Cho U  u1 ,u ,u  sở không gian V Chứng minh véc tơ v1  2u1  3u  u v1  2u1  3u  u , v2  u1  u  2u , v3  u1  u  3u lập thành sở không gian V Giải Xét ma trận tương ứng S  v1 , v2 , v3 sở U: 2 1 2 1  2 1    2h 3h1   h3  h   A   1     5 1    5 1  r(S)  r(A)   dimV nên S sở 2h  h1  1 3   5   0 6        không gian V Ví dụ Hệ U  u1  (1,2,3),u  (1,1,0),u  (2,1,3),u  ( 1,1,1) có sở R hay không? Giải Số véc tơ hệ U  dimR  nên U sở R Dạng Xác định tọa độ véc tơ sở; Ma trận chuyển sở Trong không gian véc tơ V cho sở U  u1 ,u , ,u n  Nếu v  V thỏa mãn v  k1u1  k u   k n u n Tọa độ v sở U : (k1 ,k , ,k n ) ; Tọa độ cột v sở U: v U  k1    k  2      kn  Xét thêm sở U1  s1 ,s2 , ,sn  không gian V Ma trận A chuyển từ sở U sang U1 thành lập từ tọa độ cột: s1U ,s2U , ,snU Cụ thể siU cột thứ i ma trận A Khi Ax U1   x U Chú ý: Nếu A chuyển sở U sang U1 A 1 chuyển sở U1 sang U, A1x U  x U1  Ví dụ Trong R xét sở U  u1  (2,3,1),u  (1,2, 1),u  (3,5,1) U1  s1  (2,1,3),s2  (1,1,2),s3  (1,1,1) a) Cho x  (3,3,4) Tìm x  U b) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang U1 Giải a.Giả sử x  k1u1  k u  k3u3  (3,3,4)  (2k1  k  3k ,3k1  2k  5k ,k1  k  k ) 2k1  k  3k   k1   5      3k1  2k  5k   k  1 Vậy x  U   1  k  k  k  k  2  2      b Để xác định ma trận A chuyển U sang U1 ta phải xác định s1U ,s U  ,s U  Giả sử s1  k1u1  k u  k3u3  (2,1,3)  (2k1  k  3k ,3k1  2k  5k ,k1  k  k ) 2k1  k  3k   k1  7 1 2          3k1  2k  5k   k  Vậy s1 U    Tương tự s 2U   1 ;s3U    k  k  k    4  0  1       k  4  7 2   Vậy A   1   4 1    Ví dụ Trong P2 xét sở U  p1  3x  2x  2,p2  x  x  3,p3  x  U1  s1  x  3x  2,s2  x  x  1,s3  x  x  8 Tìm ma trận chuyển từ U sang U1 Giải Để xác định ma trận A chuyển U sang U1 ta phải xác định s1U ,s2 U ,s3 U Giả sử s1  k1p1  k p2  k3p3  s1  k1 (3x  2x  2)  k (x  x  3)  k 3x  x  3x   (3k1  k  k3 )x  (2k1  k )x  (2k1  3k ) 11   11   11   1       k1    3k1  k  k         1  7      Vậy s1U  Tương tự s 2U    ; s3U   2k1  k   k      2k  3k  2         27     27   11  k               11   Vậy A      27   1 11    7    11   Ví dụ Trong không gian V cho sở U  u1 ,u ,u  Xét hệ S  s1  2u1  u  2u3 ,s2  u1  u  u ,s3  u1  2u  2u  a) Chứng minh S sở V  2   b) Biết x  U    Tìm xS  ?  3   2 1   Giải a Tương tự dạng Xét ma trận tương ứng hệ S sở U: A   1  Ta kiểm tra  2   r(A)  nên r(S)  hay S độc lập tuyến tính sở V b Ma trận A ma trận chuyển từ sở U sang S nên ta có AxS  xU  xS  A1xU  2  1   1  *       * 1 A   2 3  Xét A   1   A   2 3   A  |A| 1 2  1   1        t Vậy x S  1           A x U   2 3 1    3   1          1