Thông tin tài liệu
Bài tập đại số tuyến tính: Ma trận – Hệ phương trình Dạng Thực phép toán ma trận Tính chất thường dùng: (AB)t Bt At ;AB AC A(B C) ; AA t ma trận đối xứng 1 2 Ví dụ Cho ma trận A B 6 2 1 7 Tính A2 ;AAt ;AB;Bt At ;BA 1 1 2 Giải A A.A 19 24 15 15 13 25 1 1 1 7 13 3 AA 29 20 ; AB 32 18 5 1 1 20 30 1 15 14 1 t 13 3 13 32 t t t B A (AB) 32 18 5 18 15 14 1 3 5 Chú ý AB BA 2 Ví dụ Cho ma trận A ; 5 t 2 t Giải AB 5 15 14 (Chú ý) ; BA 1 7 1 13 29 15 19 11 1 8 11 1 4 B 2 ; C Tính ABt ;BAt ;A2 AC 2 6 6 17 25 17 11 2 17 25 t t t 3 13 ; BA (AB ) 3 13 3 1 11 1 19 25 13 19 11 1 19 t 2 A AC A(A C) 5 2 Ví dụ Cho ma trận A 1 a Đặt C AB Tìm c32 1 1 1 1 1 1 4 1 2 8 5 7 7 6 B 1 8 2 1 b Đặt D AAt Tính d 43 d34 7 Giải a Ta có c32 1 1.(7) 2.6 6.3 8.4 55 3 4 b Ta có AA t A A t t t t AA t nên D ma trận đối xứng Vậy d 43 d34 1 d 43 5.1 1.2 7.6 2.8 65 suy d43 d34 2d43 2.65 130 6 8 Dạng Định thức ma trận tính chất liên quan Chú ý tính chất: | A t || A |;| A k || A |k ;| A 1 | ; | kA | k n | A | (n cấp ma trận A); | AB || A || B | |A| 2 3 Ví dụ Cho ma trận A 1 Tính | A |,| 2A |;| 4At |;| 2A5 |;| (2A)1 | 1 1 Giải Khai triển theo cột 1, ta được: | A | 1 1 3 2.(3) 1.(5) 1.4 2 1 | 2A | 23 | A | 23.3 24 ; | 4At | 43 | At | 43 | A | 43.3 192 ; | 2A5 | (2)3 | A5 | (2)3 | A |5 (2)3 35 1944 ; | (2A)1 | 1 1 | 2A | | A | 24 2 2 Ví dụ Cho ma trận A B 2 Tính | A |,| B|,| AB|,| A t B2 |;| ABA 1 | ; | (2AB)t | 0 13 Giải Khai triển theo hàng 3, ta | A | 1 13 7 13 ; Do B ma trận chéo nên | B | 2.1.4 Vậy: | AB|| A | | B| 6.8 48 | At B2 || At || B2 || A | | B|2 6.82 384 | ABA 1 || A || B.A 1 || A | | B | | A 1 || A | | B | | B | |A| | (2AB)t || 2AB| 23 | AB| 23 | A | | B| 23.6.8 384 1 1 Ví dụ Cho A 3 3 Giải Ta có 1 1 0 | A | 3 3 1 0 Tính | A |;| 2A |;| 3A t | 1 5 5 3 2 13 4 8 5 3 2 h 2h1 13 3 2 3 2 h 3h1 13 5 8 8 13 h 3h 4 8 5.58 7.(22) 4.14 192 | 2A | 24 | A | 24.(192) 3072 | 3At | 34 | At | 34.| A | 34.(192) 15552 Dạng Ma trận khả nghịch toán liên quan Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo: P Bước 1: Tính | A | , | A | A ma trận khả nghịch (tức có ma trận nghịch đảo), chuyến bước Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A t Từ A t xác định ma trận phụ hợp A* A A* có từ A t cách thay phần tử A t phần bù đại số tương ứng * Bước 3: Ma trận nghịch đảo A 1 A |A| P2 Dùng phép biến đổi sơ cấp A | I I | A 1 Bài toán giải phương trình ma trận: Nếu A khả nghịch AX B X A1B XA B X BA1 3 Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A 1 Giải | A | 1 3 ( 1) 2.( 1) ( 1) 3 | A | nên A ma trận khả nghịch 3 1 Xét ma trận chuyển vị A t 1 Ma trận phụ hợp A* 3 1 * 10 Vậy A 1 A | A | 3 3 3 1 10 3 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 10 7 3 3 1 2 3 Ví dụ Cho ma trận A a Tìm m để A khả nghịch m 5 Giải a Ta có | A | B Với m , tìm A 1 3 3 2(15 2m) (5 3m) 3.(7) m m m A khả nghịch | A | m b Với m | A | nên A khả nghịch Ta có 3 A t Ma trận phụ hợp A* 5 13 2 7 * 1 A A 1 1 |A| 3 8 1 13 8 2 3 5 1 3 1 13 2 7 1 1 1 7 1 2 1 Ví dụ Cho ma trận A 1 1 B 1 0 a Tìm X để AX B b Tính 1 4 2 |X| c Tìm Y để YAt Bt Giải a Ta có | A | 1 4 nên A khả nghịch Vậy AX=B X=A 1B 1 1 2 1 Ma trận chuyển vị A 1 Ma trận phụ hợp 1 t 1 1 A* 1 1 6 1 1 1 6 4 7 5 1 1 1 1 6 4 1 * 1 Vậy X A B 0 A B 7 |A| 2 1 1 0 2 1 6 5 12 10 1 7 19 7 18 19 2 2 1 1 2 b Ta có | B| 1.2.(2) 4 Suy | X || A 1B || A 1 || B | c Ta có YA t Bt YA t Bt t t 7 AY t B Y t A 1B X Y X t 6 19 5 4 Ví dụ Cho ma trận A 1 2 a Tìm X để XA B Giải a | A | | B | 4 2 |A| 2 B 3 4 b Tìm Y để YA A 2B 1 4 4 2 8 3.(5) 2.10 8.5 nên A khả nghịch 2 2 1 8 Vậy XA B X BA Xét A 1 Ma trận phụ hợp 4 2 1 t 1 A* 2 4 2 2 4 2 * 1 X BA B A (BA* ) | A | | A | 1 1 4 5 10 2 12 26 11 4 2 1 1 5 10 3 12 26 11 2 1 1 1 4 5 6 6 1 0 1 1 1 b YA A B Y (A B)A AA BA I X 0 1 6 16 12 12 23 14 9 1 4 1 4 2 8 11 2 2 0 Ví dụ Cho ma trận A B Tìm X để AX B 4 1 Giải | A | 2.( 4) 11 nên A khả nghịch Vậy AX B X A 1B 4 2 * Ma trận chuyển vị A t Ma trận phụ hợp A 4 4 1 3 9 1 X A 1B A* B 11 11 |A| 11 3 1 11 4 5 11 11 11 4 11 Dạng Hạng ma trận r(A) : Hạng ma trận A Phương pháp: Dùng phép biến đổi sơ cấp A B (dạng hình thang) Khi r(A) r(B) Trường hợp đặc biệt A ma trận vuông cấp n tìm hạng A dựa vào kết r(A) n | A | 4 Ví dụ Tìm hạng ma trận A 1 4 4 h h Giải Cách 1: Ta có biến đổi A 5 17 5 17 B Vậy r(A) r(B) 0 5 0 22 h 3h h h1 Cách 2: Ta có | A | 1 4 4 3 1 110 nên r(A) 7 1 3 1 Ví dụ Tìm hạng ma trận A 3 1 11 13 1 1 1 5 1 5h3 8h2 5 1 h4 2 h3 5 1 h h1 Giải Ta có A B h 3h1 5h4 6 h2 0 36 37 0 36 37 h h1 12 16 0 72 74 0 0 Vậy r(A) r(B) 3 m 6 Ví dụ Tìm m để hạng ma trận sau nhỏ A 1 2 1 2 2 1 1 3 1 3 1 3 h2 2 h1 2 6 m h3 2 h1 0 m h h3 0 m c1 c4 Giải Ta có A h h1 1 3 3 3 1 1 1 2 3 0 0 1 3 3 1 h h3 B Nếu m r(A) r(B) Nếu m r(A) r(B) 0 0 m 2 0 0 Vậy m hạng A nhỏ Dạng Giải hệ phương trình tuyến tính a11 x1 a12 x a1n x n b1 a x a x a x b 21 22 2n n Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn: a m1 x1 a m x a mn x n b m a1n b1 a11 a 12 a 1n a11 a12 a a 22 a n a a 22 a n b2 Chú ý: Ma trận hệ số ẩn A 21 , ma trận bổ sung B 21 a mn a mn b m a m1 a m a m1 a m Sử dụng phương pháp khử ẩn Gauss: Xét ma trận bổ sung B hệ Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa B dạng hình thang Khi hệ phương trình cho tương đương với hệ phương trình có ma trận hình thang thu Ta có kết sau: Nếu r(A) r(B) : Hệ cho vô nghiệm Nếu r(A) r(B) n (n số ẩn): Hệ cho có nghiệm Nếu r(A) r(B) r n (n số ẩn): Hệ cho có vô số nghiệm với n r nghiệm tự 2 x y z t Ví dụ Giải hệ phương trình sau 3x y 12z t 1 x y 10z 9t 9 Giải Xét ma trận bổ sung 4 4 1 1 4 1 1 1 1 h2 3h1 h3 h2 B 12 1 1 21 14 14 21 14 14 h h1 1 10 9 9 21 14 14 0 0 0 1 1 4 3 2 2 r(A) r(B) nên hệ có vô số nghiệm với nghiệm tự 0 0 0 h2 h2 x 2z t 2 x y z t Hệ cho tương đương với hệ y 3z t y 3z t 2 z, t Vậy nghiệm hệ (x, y,z, t) (2z t 1, 3z 2t 2,z, t) (z, t ) x 3y z 2 x y z 11t 9 Ví dụ Giải hệ phương trình sau 4 x y 3z 15t 17 3x y 2z 17t 15 1 1 h 2 h1 1 1 11 9 h3 h1 7 3 11 13 h3 11h2 Giải Xét ma trận bổ sung B 3 15 17 h 3h1 11 7 15 25 h 11h2 21 3 2 17 15 11 17 1 1 1 h 1h 7 3 11 13 3 8h h3 16 7 3 11 13 7 3 11 13 0 16 16 32 0 16 16 32 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 r(A) r(B) nên hệ có vô số nghiệm với nghiệm tự x 5t x 3y z y 2 t Hệ cho tương đương với hệ 7 y 3z 11t 13 z t 2 z t t Vậy nghiệm hệ (x, y,z, t) (5t 3, 2t 1, t 2, t) (t ) 3x y 5z 7 x y 3z 7t Ví dụ Giải hệ phương trình sau 2 x y 5t 4 x 5y 6z 19t 7 1 5 7 1 5 3h h1 7 3h3 h1 14 21 Giải Xét ma trận bổ sung B 2 1 3h h1 5 10 15 5 19 3 19 38 57 19 1 5 7 1 5 7 3 h3 h2 3 r(A) r(B) nên hệ có vô số 3 h3 h2 0 0 3 0 0 0 nghiệm với nghiệm tự x z t 3x y 5z Hệ cho tương đương với hệ y 2z 3t y 2z 3t z, t h2 h2 h h h4 h4 19 Vậy nghiệm hệ phương trình (x, y,z, t) (z t 2, 2z 3t 1,z, t) (z, t ) x y z 2t 2 x y z t Ví dụ Giải hệ phương trình sau x y 3z t 1 x 3y z 3t 1 1 1 1 1 h 2 h1 3 1 1 h3 h1 5 5 5h3 3h2 Giải Xét ma trận bổ sung B 2 2 1 h h1 3 4 2 5h4 2 h2 1 3 1 1 1 1 1 5 5 h h3 5 5 r(A) r(B) nên hệ cho vô nghiệm 0 17 5 10 0 17 5 10 0 17 5 5 0 0 x y z t 2 x 3y z t Ví dụ Giải hệ phương trình sau x y 3z t 3x y z t 1 3 Giải Xét ma trận bổ sung B 1 3 1 1 1 5 1 1 h2 2 h1 h3 h1 5h3 h 5 1 3 10 h3 3h1 13 5h4 h2 6 1 2 4 9 1 1 1 1 h h3 5 1 3 10 5 1 3 10 r(A) r(B) nên hệ có nghiệm 0 18 0 18 9 45 45 0 9 17 35 0 25 25 x y z t x 5y z 3t 10 y Hệ cho tương đương với hệ 18z 9t 45 z 25t 25 t Vậy nghiệm hệ phương trình (x, y,z, t) (1,1, 2,1) Dạng Biện luận hệ phương trình tuyến tính Kiến thức sử dụng: Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn: Có nghiệm r(A) r(B) n Có vô số nghiệm r(A) r(B) n Vô nghiệm r(A) r(B) Có nghiệm r(A) r(B) Đặc biệt hệ cho có số phương trình số ẩn hệ có nghiệm | A | x 3y z t Ví dụ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 x y 3z t x y 2z mt Giải Xét ma trận bổ sung 1 1 1 1 1 1 h2 h1 h3 h B 1 1 3 5 3 3 h h1 5 2 m 7 4m 1 0 4m Hệ có nghiệm r(A) r(B) 4m m x 3y z t Ví dụ Tìm m để hệ sau vô nghiệm x 2y 2z 3t x 8y t m Giải Xét ma trận bổ sung 1 1 1 1 1 1 h h1 h3 h2 B 1 2 3 1 2 1 2 h h1 1 m 1 2 m 1 0 0 m 4 Hệ vô nghiệm r(A) r(B) m m 2 x y z t Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm 3x y z 2t x y 3z 4t m Giải Xét ma trận bổ sung 1 1 1 1 1 1 h2 3h1 h3 h2 B 2 1 7 14 7 14 h h1 4 3 m 7 5 m 0 0 m 18 Hệ có nghiệm r(A) r(B) 2m 18 m
Ngày đăng: 07/09/2016, 20:44
Xem thêm: phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 1, phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 1