phương pháp giải và các dạng bài tập đại số tuyến tính chương 1

Phương pháp: Dùng các phép biến đổi sơ cấp ABdạng hình thang... Vậy m2 thì hạng của A nhỏ nhất.. Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa B về dạng hình thang.. Khi đó hệ phương trình đã cho

Trang 1

Bài tập đại số tuyến tính: Ma trận – Hệ phương trình Dạng 1 Thực hiện các phép toán về ma trận

Tính chất thường dùng: (AB)t B A ; AB ACt t  A(B C) ; AA luôn là ma trận đối xứng t

Ví dụ 1 Cho các ma trận

Tính 2 t t t

A ;AA ;AB;B A ;BA

Giải A2 A.A

1 2 1

3 4 2

2 1 5



1 2 1

3 4 2

2 1 5



19 24 15

15 13 25



t

AA 

1 2 1

3 4 2

2 1 5



1 3 2

2 4 1

1 2 5

 

9 29 20

1 20 30



; AB

1 2 1

3 4 2

2 1 5



2 4 7

6 1 3

1 1 2



13 5 3

32 18 5

15 14 1



  

B A (AB) 

t

13 5 3 13 32 15

32 18 5 5 18 14



      

(Chú ý) ; BA

2 4 7

6 1 3

1 1 2



1 2 1

3 4 2

2 1 5



0 13 29

15 19 11

8 8 11



Chú ý ABBA

2 1 3

3 2 5

;

1 3 4

3 1 6

  

;

1 1 4

2 2 6

  

Tính AB ;BA ;At t 2AC

Giải ABt 

2 1 3

4 1 0

3 2 5

1 2 3

3 5 1

4 1 6



17 4 25

7 3 13

11 1 19

   

; BAt(AB )t t

t



      

2

A ACA(A C)

2 1 3

4 1 0

3 2 5

1 1 0

1 0 1



   

   



a Đặt C AB Tìm c32 b Đặt t

DAA Tính d43d34

Giải a Ta có c   ( )



 

 

 

32

7 6

1 2 6 8 1 7 2 6 6 3 8 4 55

3 4

b Ta có    t t t t t t

AA  A A AA nên D là ma trận đối xứng Vậy d43d34

 

 

 

43

1 2

5 1 7 2 5 1 1 2 7 6 2 8 65

6 8

suy ra d43d342d432 65 130 

Trang 2

Dạng 2 Định thức của ma trận và các tính chất liên quan

Chú ý các tính chất: t k k 1 1

| A | | A |;| A | | A | ;| A |

| A |



   ; | kA | k | A | n (n là cấp của ma trận A); | AB | | A || B |

Ví dụ 1 Cho ma trận

2 1 3

1 2 1

  

Tính | A |,| 2A |;| 4A |;| 2A |;| (2A) |t  5 1

Giải Khai triển theo cột 1, ta được: | A | 2 1 1 1.1 3 1 1 3 2.( 3) 1.( 5) 1.4 3



| 2A | 2 | A | 2 3  24; | 4A | 4 | A | 4 | A | 4 3 192t  3 t  3  3  ;

| 2A | ( 2) | A | ( 2) | A |      ( 2) 3  1944; 1

| (2A) |

| 2A | 2 | A | 2 3 24

2 1 4

1 0 13

và

2 1 3

0 0 4

  

Tính | A |,| B |,| AB |,| A B |;| ABA |t 2 1 ; | (2AB) | t

Giải Khai triển theo hàng 3, ta được | A | 1.1 4 13.2 1 7 13 6

      ; Do B là ma trận chéo nên

| B | 2.1.4 8  Vậy: | AB | | A | | B | 6.8  48

| A B | | A || B | | A | | B |t 2  t 2  26.82 384

| ABA | | A || B.A | | A | | B | | A | | A | | B | 1 1 1 1 | B | 8

| A |

| (2AB) | | 2AB | 2 | AB | 2 | A | | B | 2 6.8 384t   3  3  3 

Ví dụ 3 Cho

1 2 3 1

2 1 3 0 A

3 1 4 1

3 2 1 5



Tính | A |;| 2A |;| 3A | t

Giải Ta có

h 3h

 



  5.58 7.( 22) 4.14 192

      

| 2A | 2 | A | 2 ( 192)    3072 | 3A | 3 | A | 3 | A | 3 ( 192)t  4 t  4  4   15552

Dạng 3 Ma trận khả nghịch và các bài toán liên quan

Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo:

2

P 1 Bước 1: Tính | A | , nếu | A | 0 thì A là ma trận khả nghịch (tức là có ma trận nghịch đảo), chuyến bước 2

Bước 2: Lập ma trận chuyển vị t

A Từ Atxác định ma trận phụ hợp *

A của A

*

A có được từ t

A bằng cách thay mỗi phần tử của A bởi phần bù đại số tương ứng của nó t Bước 3: Ma trận nghịch đảo 1 1 *

| A |

 

2

P 2 Dùng phép biến đổi sơ cấp A | II | A1

Trang 3

Bài toán giải phương trình ma trận: Nếu A khả nghịch thì AX  B X A B1

XA  B X BA1

Ví dụ 1 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A

 

2 1 3

3 0 1

1 1 3

Giải | A |2.0 13.1 3  ( 1)1 3 2.( 1) 3 0  ( 1 1)  3

1 3 1 3 0 1 | A |0 nên A là ma trận khả nghịch

Xét ma trận chuyển vị At



2 3 1

1 0 1

3 1 3

Ma trận phụ hợp A*



   

10 9 7

Vậy A A*

| A |



3



   

10 9 7



0

3

Ví dụ 2 Cho ma trận A

m

2 1 3

1 3 2

a Tìm m để A khả nghịch B Với m1, hãy tìm A1

2 3 2 1 1 3 31 3 2 15 2  5 3 3   7 4

A khả nghịch | A |  0 m 4

b Với m 1 | A |   4 1 3 0 nên A khả nghịch Ta có

t

A

 

2 1 3

1 3 1

3 2 5

Ma trận phụ hợp A*



13 2 7

*

| A |

 1 1 1

3

 

13 2 7

 



a Tìm X để AXB b Tính | X | c Tìm Y để t t

YA B

Trang 4

Giải a Ta có | A |      



1 1 1 1 nên A khả nghịch Vậy AX=B X=A B



Ma trận chuyển vị At

  

2 1 1

1 1 0

3 1 6

Ma trận phụ hợp

*

A



Vậy X A B A B*

| A |



 1  1  1

2

 

  

1 0 1

0 2 4

0 0 2

   



    

1

b Ta có | B |1 2 .(  2) 4 Suy ra | X | | A B | | A || B | | B |

| A |

 1  1   4  

2 2

 

1

3

2 2

19 1 5

2 2



a Tìm X để XAB b Tìm Y để YA A 2 B

Vậy XA  B X BA1

Xét At

  

3 2 8

1 1 3

4 1 2

Ma trận phụ hợp

Trang 5

A



5 10 5

12 26 11

| A | | A |

5

  

2 1 0

2 1 3

4 2 5

 

5 10 5

12 26 11



     



6 7 3

1 0 0

0 0 1



6 7 3



16 23 8

12 14 11

Ví dụ 5 Cho các ma trận A   B  

3 4 1 1 2 Tìm X để AX B Giải | A |2.( 4) 3 1   11 0 nên A khả nghịch Vậy AX  B X A B1

Ma trận chuyển vị At  

 



2 3

1 4 Ma trận phụ hợp

*

A       

    

*

| A |



3 2 11

  

2 1 0

1 1 2

  

    

11

11 11 11

Dạng 4 Hạng của ma trận

r(A) : Hạng của ma trận A

Phương pháp: Dùng các phép biến đổi sơ cấp AB(dạng hình thang) Khi đó r(A)r(B)

Trường hợp đặc biệt A là ma trận vuông cấp n có thể tìm hạng của A dựa vào kết quả r(A) n | A |0

Ví dụ 1 Tìm hạng của ma trận A



1 2 4

3 1 5

1 7 1

Trang 6

Giải Cách 1: Ta có biến đổi A hhhh h h B

    

3

Vậy r(A)r(B) 3

Cách 2: Ta có | A |  

11 532 4 12 4  1100

7 1 7 1 1 5 nên r(A)3

Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận A





1 4 11 13

Giải Ta có hh hh

h h

A 



2 1

2 3

0 6 12 16

h h



3 2

5 8

5 6

0 0 36 37

0 0 72 74

h  h

4 2 3

B

0 0 36 37

Vậy r(A)r(B) 3

Ví dụ 3 Tìm m để hạng của ma trận sau nhỏ nhất A m





Giải Ta có Ac1c4 m



h h



23 11

2

h  h

m



Nếu m 2 r(A)r(B)2 Nếu m 2 r(A)r(B)3

Vậy m2 thì hạng của A nhỏ nhất

Dạng 5 Giải hệ phương trình tuyến tính

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn:

n n

a x a x a x b











Chú ý: Ma trận hệ số ẩn

n

a a a

a a a A

, ma trận bổ sung

n

B

Sử dụng phương pháp khử ẩn Gauss: Xét ma trận bổ sung B của hệ Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa B về dạng hình thang Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình có ma trận hình thang thu được

Ta có kết quả sau: Nếu r(A)r(B): Hệ đã cho vô nghiệm

Nếu r(A)r(B)n(n là số ẩn): Hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Nếu r(A)r(B) r n(n là số ẩn): Hệ đã cho có vô số nghiệm với nrnghiệm tự do

Trang 7

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau

x y z t

   



     



     



Giải Xét ma trận bổ sung

h h

2 3 2

h  h

2 2

1

7

 

r(A)r(B) 2 4 nên hệ có vô số nghiệm với 2 nghiệm tự do

Hệ đã cho tương đương với hệ

x z t

x y z t

y z t

z, t

  



   

     



Vậy nghiệm của hệ (x, y, z, t)( z2  t 1 3, z 2t 2, z, t) (z, t )

x y z

x y z t

  



     



     



    



h h

B







2 4 3





3 2

7 11

1

r(A)r(B) 3 4 nên hệ có vô số nghiệm với 1 nghiệm tự do

x t

x y z

z t

t

 



  

     

5 3

2 1

2 2

Vậy nghiệm của hệ là (x, y, z, t)( t5   3 2, t 1, t2, t) (t )

x y z

x y t

   



    



   



    



Trang 8

h h

B







3

3 2

3 4









1

7

5 1

19



h h



3 2

r(A)r(B) 2 4 nên hệ có vô số

nghiệm với 2 nghiệm tự do

x z t

x y z

z, t

  



  

    



2

2 3 1

2 3 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x, y, z, t)     (z t 2 2, z 3t 1, z, t) (z, t )

x y z t

   



    



     



    



2 1

h h

B



2

h h





3 2

5 3

5 2

h  h

r(A) 3 r(B)4 nên hệ đã cho vô nghiệm

x y z t

   



    



    



    



5

h h

B



2 3

h h





3 2

5 2 5

h  h

2

r(A)r(B)4 nên hệ có nghiệm duy nhất

Trang 9

       

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x, y, z, t)( , , , )1 1 2 1

Dạng 6 Biện luận hệ phương trình tuyến tính

Kiến thức sử dụng: Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn: Có nghiệm duy nhất khi r(A)r(B)n

Có vô số nghiệm khi r(A)r(B)n

Vô nghiệm khi r(A)r(B)

Có nghiệm khi r(A)r(B)

Đặc biệt nếu hệ đã cho có số phương trình bằng số ẩn thì hệ có nghiệm duy nhất | A |0

Ví dụ 1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

x y z t

x y z mt

   



    



    



h h

B



2 4

Hệ có nghiệm thì r(A)r(B)4m   4 0 m 1

Ví dụ 2 Tìm m để hệ sau vô nghiệm

x y z t

x y t m

   



    



   



8 Giải Xét ma trận bổ sung

h h

B



Hệ vô nghiệm thì r(A)r(B)    m 4 0 m 4

Ví dụ 3 Tìm m để hệ sau có nghiệm

x y z t

   



     



    



h h

B



2 3 2

Hệ có nghiệm thì r(A)r(B)2m18  0 m 9

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	386,46 KB