Bất đẳng thức tích phân và 1 số bài toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho hàm số y  f  x  y  g  x  có đạo hàm liên tục  a; b Khi đó: Nếu f  x   g  x  với x   a; b  b b  f  x  dx   g  x  dx a a b Nếu f  x   với x   a; b  b  f  x  dx  Hệ quả:  f  x  dx   f  x   a a b b  b Bất đẳng thức Holder (Cauchy – Schwarz):   f  x  g  x  dx    f  x  dx  g  x  dx a a  a  Đẳng thức xảy f  x   kg  x  với k   B BÀI TẬP Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0; 2 đồng thời thỏa mãn điều kiện f    , Câu 1: 2 2  xf  x  dx  ,   f '  x  dx  10 Hãy tính tích phân I   x f  x  dx ? 0 Lời giải Ta có:  2 12 1 2 f x dx x f x x f '  x  dx        0 0 2 Cách 1: Kết hợp   f '  x  dx  10 , 2  x f '  x  dx  2  x f '  x  dx   x dx  32 ta được: 2 25  5.8 25 32 2   0  f '  x   x f '  x   16 x  dx  10   16   0  f '  x   x  dx   f '  x   x 2 2  2 32 Cách 2: 64    x f '  x  dx    x dx   f '  x   dx  10  64 Đẳng thức xảy khi: f '  x   kx 0  2 Vì   x f '  x  dx  k  x dx  0 32 5 k  k   f '  x   x2 4 x3  f 1  Khi thay vào tích phân I   x f  x  dx  Khi đó: f  x   12 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 1  , Câu 2: 1 f  x  dx  ,  1 25 0  f '  x  dx  Hãy tính tích phân I  0 xf  x  dx ? Lời giải 1 1 Ta có:   f  x  dx  xf  x    xf '  x  dx    xf '  x  dx  0 0 25 Cách 1: Kết hợp   f '  x   dx  ,  0 xf '  x  dx   xf '  x  dx  1  x dx  ta được: 25 50 25  f '  x    10 xf '  x   25 x dx        f '  x   x  dx   f '  x   x 2  1  25  25 25    xf '  x  dx    x dx   f '  x   dx   Cách 2: Đẳng thức xảy khi: f '  x   kx 0 3  Vì   xf '  x  dx  k  x dx  k  k   f '  x   x 3 Khi f  x   5x x3 x   I   xf  x  dx    dx  2 2 0  π Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 0;  đồng thời thỏa mãn  2 Câu 3: π π 2  f  x  dx  3π , π  x   sin x  x  f    dx  6π , π f    Hãy tính tích phân I    f   x   dx ? 2 Lời giải π π π  x  x Ta có 3π    sin x  x  f    d      sin x  x  f   x  dx    sin x  x  df  x  2 2 0 π π π 2  3π   sin x  x  f  x    1  cos x  f  x  dx   sin xf  x  dx  0 π Cách 1: Kết hợp  π 2 xf  x  dx  3π π   f  x   8sin  sin 3π 3π f  x  dx  3π ,  sin xf  x  dx   sin xdx  ta được: 16 0 π 2 xf  x   16sin x dx     f  x   4sin x  dx   f  x   4sin x π  π2  π2 2 9π 3π 9π      sin xf  x  dx    sin xdx  f  x  dx  3π  Cách 2: 16  16 16    π Đẳng thức xảy  f  x   k sin x Vậy π 3π 3π   sin xf  x  dx  k  sin xdx  k  f  x   4sin x 16 Khi đó: f  x   4sin x  1  cos x   f   x   4sin x  f   x   8cos x π π Thay vào ta được: I    f   x   dx  512  cos3 xdx  0 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0; 2 đồng thời thỏa mãn điều kiện f    , Câu 4: 2  x f  x  dx  , 15 32 0  f '  x  dx  Hãy tính tích phân I  0 f  x  dx ? Lời giải Ta có 2 12 x3 x3   f  x d  f  x    x3 f   x  dx  30 15 3 Cách 1: Như vậy: 32 0  f '  x  dx  ,  x f   x  dx  32  x f   x  dx  32  x dx  32 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  f '  x    x  x  x  x3 f '  x  Do vậy:   f '  x  2 dx  3 x dx   x3 f   x  dx Mà giá trị hai vế 0 Như tồn dấu xảy tức là: f '  x   x  f  x   x2  I   f  x  dx  2 Cách 2: Ta áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder: 2  2  2  2  1048576     x f   x  dx     x dx    x  f '  x   dx     x dx  625 0  0  0  0    f '  x  dx  1048576 625 Dấu xảy khi: f '  x   kx Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1; 2 đồng thời thỏa mãn Câu 5:  x f  x  dx  31 Tìm giá trị nhỏ tích phân I   f  x  dx ? Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta được: 2 2  2  2 2  2  31    x f  x  dx     x dx    x f  x  dx     x dx  1  1  1  1  2 Đẳng thức xảy f  x   kx nên k  x dx  31  k   f  x   x  f  x  dx   f  x  dx  3875 Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:   f  x  f '  x  1 dx  ; f    1; f 1  Tính giá trị f    ? 2 Lời giải Ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: 1    f  x  f '  x    dx   f  x  f '  x  dx  f  x   f 1  f    0   Như đẳng thức phải xảy tức là: f  x  f '  x     f  x  f '  x  dx   1dx  f  x   x  2C 1 Mà f    1; f 1  nên ta suy f  x   x  Vậy f    2 Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1; 2 đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:  f '  x   3 1 x f  x  dx  21 ; f 1  ; f    Tính giá trị f    ? Lời giải Ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:   f '  x     f ' x    2 42     x  dx      dx     42 x f  x f  x f  x f 1 f    1     Như đẳng thức phải xảy tức là: f ' x f  x  3x   f ' x f  x dx   x dx  f  x   1 3 Vậy f    Mà f 1  ; f    nên ta suy f  x   9 x   45 Câu 8: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Đặt g  x   f  x    x  1 Mệnh đề cho cho tồn số thực m thỏa mãn m     g  x  dx  3 A g 1  m  g  3 B g 1  m  g  3 C 3g 1  m  3g  3 D 3g 1  m  3g  3 Lời giải  x  3     g  x   f  x   x   g  x    f  x    x    x   x  Lập BBT hàm số y  g  x  hình vẽ bên C  x3 Dựa vào bảng biến thiên  g 1 nhỏ giá trị g  3 , g 1 , g  3 Ta có: 3 S1  S2     x   f   x   dx  2  f   x   x  1 dx    g   x  dx   g   x  dx 3 3  g  3  g 1  g  3  g 1  g  3  g  3  min, max g  x   3;3 g 1 , 3 g  3  g 1   g  x  dx  g  3 Mà 3 m  3   g  x  dx   2m  3 g  x  dx  Để phương trình cho có nghiệm  3g 1  m  3g  3 Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:  xf '  x  1 dx  ; f    1; f 1  e Tính giá trị f    ? f  x 2 Lời giải  xf '  x   f ' x f 1 1 dx    xdx  dx  ln Cách 1: Áp dụng Holder:     f  x  f  x f  0   Vậy đẳng thức xảy khi: Vì f ' x f  x  kx Thay vào  xf '  x  dx  ta k  f  x f ' x 1  x  ln f  x   x  C mà f    1; f 1  e nên C  f  x   e2 x  f    e f  x 2 Cách 2: Áp dụng AM – GM:   x Đẳng thức xảy f ' x f  x 1 f ' x f ' x  1 f 1  dx    xdx   dx    ln f  x 20 f x f       x  ln f  x   x  C mà f    1; f 1  e nên C  1 f  x   e2 x  f    e 2 Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;2 đồng thời thỏa mãn điều kiện f    16 ,  xf  x  dx  2 64 1152   f   x   dx  Hãy tính tích phân I   f  x  dx 5 0 Lời giải 2 2  x2  x2 64 x  f  x d    f  x   f   x  dx  32   x f   x  dx  Cách 1: 0 20  2 0 2 Kết hợp   f   x   dx  1152 ; 192  x f   x  dx  2  x dx  192  x f   x  dx  32 ta 2 1152 192 32 2 0   f   x   12.x f   x   36 x  dx   12  36   0  f   x   x    f   x   x 2 2  36864  32 1152 36864 Cách 2:    x f   x  dx    x dx.  f   x   dx   25 5 25 0 0  Dấu "  " xảy  f   x   kx Mà 192 32   x f   x  dx  k  x dx  k  k   f   x   x 5 0 Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 1  , 11 0 x f  x  dx  78  f   x  d  f  x    13 Hãy tính f   ? Lời giải 1 1 x  x 11 x   x f  x  dx   f  x  d    f  x   f   x  dx  Cách 1: 78 6   0 Lại có:  f   x  d  f  x    13    f   x  dx  Kết hợp với 13 1  x f   x  dx  13 12 x dx  ta 13   f   x    x f   x   x12  dx       f   x   x  dx   f   x   x  0   0    13 13 13 1  12 4 Cách 2:    x f   x  dx    x dx.  f   x   dx   169  13 13 169 0  Dấu "  " xảy  f   x   kx Mà 2   x f   x  dx  k  x12 dx   k   f   x   x 13 13 Câu 12: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  0; 2 có bảng biến thiên hình bên Hỏi có giá trị nguyên m để thỏa mãn điều kiện   f  x   m  dx  Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f  x   2  x0;2    5  dx   f  x  dx   7dx  0 min f  x    x0;2 Hay: 10   f  x  dx  14 Mặt khác 2   f  x   m  dx   2m   f  x  dx 0 Như để phương trình có nghiệm  10  2m  14  5  m  Vậy có 13 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu đề Câu 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 1  , 0 x f  x  dx  11 , 1 49 0  f '  x  dx  11 Hãy tính tích phân I  0 f  x  dx ? Lời giải 1 11 1 5   f  x  dx  x f  x    x f '  x  dx   x f '  x  dx   50 11 5 50 55 49 Cách 1: Kết hợp   f '  x   dx  , 11   f '  x  2 10  14 x f '  x   49 x  0 x f '  x  dx  11 10 x dx   x f '  x  dx  11 ta được: 11 49 98 49 dx        f '  x   x  dx   f '  x   x5 11 11 11 1  49  49 49    x f '  x  dx    x10 dx   f '  x   dx   Cách 2: Ta có: 121  11 11 121  Đẳng thức xảy khi: f '  x   kx5 Vì   x f '  x  dx  k  x10 dx  k  k   f '  x   x5 11 11 Khi đó: f  x   x6 x6  f 1  Khi thay vào tích phân I   f  x  dx    dx  6 6 0 ne x1 n  dx  ? x  e Câu 14: Tính giới hạn: lim  Lời giải ex ex ne  nx ne x1 n  ne x1 n      Ta có với x   0;1   ex 2  ex ne nx ne   ne  dx  lim  dx  lim Do đó: lim  0 2  ex 0 1 x 1 n x 1 n  x 1 n n 1  e1 n   e n ne   dx  lim  lim  dx  x  e n  2   1 ne x1 n  ne x1 n  dx  ta suy lim  Vậy  lim  dx  x x 1 e 1 e 0 b Câu 15: Tính giới hạn: lim  1  x  x   x n  dx với  a  b  a Lời giải b Ta có b b b x n 1 1 a x n 1  dx   dx  ln dx x x b x     a a a n  1  x  x   x  dx   a b b x n 1 1 1 a dx  x n 1dx   Vậy lim  1  x  x   x n  dx  ln Mà    1 x 1 b 1 b 1  b  n   a a Câu 16: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1; 2 đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:  f '  x   1 xf  x  dx  24 ; f 1  1; f    16 Tính giá trị f  2  ? Lời giải Ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:   f '  x      16 x  dx  f '  x  dx  16 f x  16 48        1 f  x  xf  x       f  2   f 1  48 Như đẳng thức phải xảy tức là: f ' x f  x  4x   f ' x f  x f  x   x2  C  f  x    x2  C  dx   xdx  Mà f 1  1; f    16 nên ta suy f  x   x Vậy f  2  Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f  x   1 với x   1;1  f  x  dx  Tìm giá trị nhỏ  x f  x  dx ? 1 A  1 B  C  D 1 Lời giải 1 Ta đặt I   x f  x  dx  I  1  x  a  f  x  dx  1 x  a f  x  dx  1 x  a dx a   1 Do ta suy I   x  a dx Đến ta chia toán thành trường hợp sau: a 1 1 2  Trường hợp 1: Nếu a   x  a dx    x  a  dx    2a   a a 0 a 0 3  1 1 1 2  Trường hợp 2: Nếu a   x  a dx    a  x  dx   2a    a a 1 a 1 3  1 1 a  a Trường hợp 3: Nếu a   0;1  x  a dx     x  a  dx    a  x  dx  a a 0;1  1  a  1  x  a   x3 1  x3  a   x  a dx    ax    ax      ax   a a 0;1 3 a    1   a  1  8a a 2   x  a dx    2a    a  a a 0;1 3 1  Kết luận: Như  x  a dx  a 1  x a   a  dx    1 I   I   2 Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn f  x    8;8 với x   0;1  xf  x  dx  Tìm giá trị lớn  x f  x  dx ? 0 A B 31 16 C D 17 Lời giải 1 Ta đặt I   x f  x  dx đó: I  3a  1 x  ax  f  x  dx   x  ax f  x  dx 1    I  3a  8 x3  ax dx a    I  3a  8 x3  ax dx a    I   3a  8 x  ax dx  a 0   1     Trường hợp 1: Nếu a   3a  8 x3  ax dx    3a  8  x  ax  dx     a   a a0 a0 0     1     Trường hợp 2: Nếu a   3a  8 x  ax dx    3a  8  ax  x  dx    7a    a a 1 a 1 0     Trường hợp 3: Nếu a   0;1 ta có đánh giá sau: a     31  3a  8 x  ax dx    3a    ax  x3  dx    x  ax  dx    4a  a     a0;1 a a 0;1  16 0   a     31 31 31  3a  Kết luận: Vậy  3a  8 x3  ax dx    I  Đẳng thức xảy a  ; I  a 12 16   16 Câu 19: Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: max f  x   0;1  x f  x  dx  Giá trị lớn tích phân  x f  x  dx bao nhiêu? 0  2 A B  C 2 16 24 D Lời giải Ta có với số thực a    ax f  x  dx  đó: 1  x f  x  dx    x  f  x  dx   x  ax f  x  dx   x3  ax dx a    x f  x  dx  6 x  ax Do đó: a  ax dx  g  a  Tới ta chia trường hợp sau: a Trường hợp 1: Nếu a  x3  ax  x  x  a   x   0;1 Khi đó: 1 1 a g  a    x  ax dx   x  ax dx      g  a   a  4 3 0 Trường hợp 2: Nếu a  x3  ax  x  x  a   x   0;1 Khi đó: 1 a 1 g  a    x  ax dx   ax  x dx      g  a   a 1  4 0 a 1 Trường hợp 3: Nếu a   0;1 f  a   6 x3  ax dx  6 ax  x3 dx   x  ax dx  0   a  a  4a   3 2  2a  a      g  a   Ta tìm g  a     a 0;1 a 0;1 a 2   Do vậy: 3  x f  x  dx  g  a    x f  x  dx  a  2 4   max 0;1  x f  x  dx   2 4  Câu 20: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x   xf '  x   x 2018 với x   0;1 Giá trị nhỏ tích phân  f  x  dx bằng: 1 C 2018  2021 2018  2019 Lời giải Ta có: f  x   x f '  x   x 2018  3x f  x   x3 f '  x   x 2020 A 2021 2022 B t D 2019  2021 t t 2018   x f  x    x 2020    x3 f  x   dx   x 2020 dx t   0;1  f  t   2021 0 1 x 2018 dx  Giá trị nhỏ tích phân 2021 2019.2021 Khi   f  x  dx    f  x  dx 2019.2021 Câu 21: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  0,   f   x   dx  1  x f  x  dx   55 Tích phân A 1 11 B  f  x  dx C 1 55 D 11 Lời giải 1  x5  x x f x dx f x       5   f   x  dx Suy 0  0 x  dx  Do 11 1  x f   x  dx  11 Hơn ta dễ dàng tính 1 2 5   f   x  dx  2 x f   x  dx    x  dx     f   x   x  dx  0 0 1 Suy f   x   x , f  x   x  C Vì f 1  nên C   Vậy 6  x6  1 f  x  dx   dx  Câu 22: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  0,   f   x   dx  f  x   x  1 A  ln 2 dx  2ln  Tích phân B  f  x  dx  2ln 2 C  4ln 2 D Lời giải f  x 1 1        dx   f  x  d 1  Ta có:    1   f  x     1   f   x  dx    x x x        x     0 0 1   Suy  1   f   x  dx   ln Hơn ta tính được: x 1 0  ln 2  2ln 2 1   1    dx   0  x   0 1  x    x  12 dx   x  ln x    x  1    ln  0   1 2        1 dx  Do   f   x   dx   1   f   x  dx   1   dx     f   x   x 1 x 1 x 1  0 0  , f  x   x  ln  x  1  C Vì f 1  nên C  ln  x 1 1 f  x  dx    x  ln  x  1  ln  1 dx   ln Suy f   x    Ta  Câu 23: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x g  x     f  t  dt Biết g  x   f  x  với x   0;1 Tích phân có giá trị lớn  g  x dx 0 bằng: A B C 2 D Lời giải F  x x Đặt F  x    f  t  dt  g  x    F  x   f  x  x   0;1   F  x   1   x   0;1 t   F  x  dx   t  hàm số đồng biến  0;1 ta có đánh giá:  h t        F t  1  F  x   1   h  x   h   x   0;1   x  1 0   x x   0;1  F  x 1 F  x 1 1  g  x dx  Câu 24: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x g  x    3 f  t  dt Biết g  x   f  x  với x   0;1 Tích phân lớn bằng: A g  x dx có giá trị  B C D Lời giải x Đặt F  x    f  t  dt  g  x    3F  x   f  x  x   0;1  F x 3F  x     x   0;1 t   F x 2  h t       dx  3F  t    t  hàm số nghịch biến  0;1 ta có:   3  3F  x    h  x   h   x   0;1  2 3F  x    t    3F  x    x  x   0;1  3  g  x dx  Câu 25: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x2 g  x     f  t  dt Biết g  x   xf  x  với x   0;1 Tích phân lớn bằng:  g  x dx có giá trị B A C D Lời giải xf  x  x2 Đặt F  x    f  t  dt  g  x    F  x   xf  x  x  0;1   F 2 x    x   0;1  xf  x    dx  ln 1  F  t    t hàm số nghịch biến  0;1 ta có:  h t         1 F  x   t h  x   h   x   0;1  ln 1  F  x    x    F  x   e x x   0;1   g  x dx  Câu 26: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x g  x     f  t  dt Biết g  x    f  x   với x   0;1 Tích phân trị lớn bằng: A B C 3   g  x   dx có giá D Lời giải x Ta đặt F  x    f  t  dt g  x    F  x    f  x   x   0;1 f  x Do F  x   x   0;1   2F  x   2F  x    x   0;1  F  x  3 Xét hàm số: h  t      1 dx   F  t   t  t   0;1 hàm nghịch biến 3  4   2F  x   2 3  0;1 h  t   h   t   0;1   2F  t   t     F  t   t  t  0;1 4 t    Do đó:  g  x     4  x  x   0;1    g  x   dx    x  1dx  3  0    g  x   dx  Chọn A Câu 27: Cho hàm số f có đạo hàm liên tục 1;8 đồng thời thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 3   f x   1   dx   f  x  dx   f  x  dx    x  1 dx 1 Tính tích phân   f   x   dx bằng: A ln 27 B ln 27 C D Lời giải Đặt t  x3  dt  x dx Khi đó:  1 t2  f  t   dt  2 1 t2 2 2 3 1  f  x  dx  21 f  x  dx  1 f  x  dx  1  x  1 dx   f  t   t dt  1 t2  31 t   dt   f t  1 t   t     dt   f  t   t      f   x  dx  8ln Chọn A 27 Câu 28: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện 1 1  f    3  f   x  f  x    dx   9  A f   x  f  x  dx Tính tích phân B  f  x  dx ? C D Lời giải 1  f   x  f  x  dx    f   x  f  x  dx  1dx   Theo bất đẳng thức Holder ta có:   0 2 1 1 1  1  Như vậy:    f   x  f  x    dx    f   x  f  x  dx     f   x  f  x    dx   9  9  0 0 Do đó: f   x  f  x   1  f  x  x 1   f  x  dx  Câu 29: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 1   f  x  dx  A x 0  x  1  x   f   x   dx   Tính tích phân 15 B  f  x  dx  ? D 203 60 Lời giải 1 f  x  dx   f 1   xf   x  dx   xf   x  dx  0 Sử dụng tích phân phần ta có: 53 60 C ;  2 x x f   x    1  x    f   x   x2 x2 1 2 x x f   x   dx   f   x   dx  Tích phân hai vế ta       3 x2 2 x Mặt khác: 1  x   2 1  1   x x Áp dụng Holder:   xf   x  dx      x   x  f   x  dx    x   x  dx  f   x   dx  2 x 2 x 0  0  1 x x2 53   f  x   dx  nên dấu  f  x    x  f  x   x    f  x  dx  Do    2 x 60 0 Câu 30: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f      2 21 x   12  x  1  12 xf  x    f '  x   x   0;1 Tính  f  x  dx  ? A B C 2 Lời giải   2 Ta có 21 x   12  x  1  12 xf  x    f '  x   D   1 1 2 36 24   f  x  d  x  1    f '  x   dx      x  1 f '  x  dx    f '  x   dx 5 0 0    f '  x   3x  3 dx   f  x   x3  x  Chọn đáp án A Câu 31: Cho hàm số f  x có đạo x   f '  x   dx    x  1 e f  x  dx  0 A  e B  e hàm liên tục e2  f 1  Tính C e  0;1 thỏa mãn  f  x  dx  ? D  e Lời giải e 1 x x    x  1 e f  x  dx   f  x  d  x.e     x.e x f '  x  dx Ta có: 0 1 e 1    f '  x   dx    x.e x f '  x  dx    x e2 x dx 0 1 1 1    f '  x   dx   x e x dx   x.e x f '  x  dx     f '  x   x.e x  dx  0 0  f '  x    x.e x  f  x   e x  x  1   f  x  dx   e Chọn đáp án B Câu 32: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện  f '  x   dx  I  f  x  dx  ? Tính tích phân f    0, f 1     x e e  0 A e2 e 1 B e 1 e2 C D  e  1 e   Lời giải 2  f '  x   1  x dx e dx f x dx  '   e  1  Theo bất đẳng thức Holder ta có:        x e e  0 0  f ' x  k e x  f '  x   k e x Vì  f '  x  dx   k  Đẳng thức xảy khi: e 1 ex x x e C e 1 e2 Vậy f  x   Mà f    0, f 1  f  x   Vậy I  Chọn đáp án A e 1 e 1 e 1 Câu 33: Cho hàm số y  f  x  dương liên tục 1;3 thỏa mãn max f  x   2; f  x   1;3 1;3 3 biểu thức S   f  x  dx  A 1 dx đạt giá trị lớn Khi tính f  x B C Lời giải Ta có:   f  x     f  x   1  f  x      f  x   f  x 2  f  x  dx ? D  35  25   f  x   S   f  x  dx    f  x  dx  Ta tìm max S  f  x 2 1   f  x  dx  Câu 34: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 đồng thời f    0, f 1    f '  x   ln  2 ln  2 C ln  2  A 1  x dx     Tính tích phân f  x 1 x dx bằng? 1 ln  2   D   1 ln 1    B  Lời giải Theo bất đẳng thức Holder ta có:   f '  x  2  x dx. Mặt khác  1  x2  dx  ln x   x   ln  Vậy đẳng thức xảy f '  x   x  Vì  f '  x  dx  nên k  ln 1    f    Vì  nên C  Do  f 1  1   k  x2  k  f ' x  Vậy f  x   f  x 1  dx    f '  x  dx   1  x2 0  1  x2  ln     ln x   x  C dx  ln  Chọn đáp án C  x2   Câu 35: Tìm giá trị nhỏ S   x  ax dx với a   ,1 A 2 1 B C 2 D 1 Lời giải Phá dấu trị tuyệt đối ta có S a a 1   x ax   x3 ax  2a3  3a  x  ax dx     x  ax  dx    x  ax  dx          0  3 a  a 2   2 S  f    2 Câu 36: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn  f '  x  f 1  e f    e;    dx  Tìm mệnh đề đung f  x   0 1 1 1 A f    e B f    e C f    e 2 2 2 Lời giải 1 D f      2e f '  x f 1 dx=ln f  x   lnf 1  ln f    ln  ln e  f  x f  0 Ta có  2    f '  x   f '  x  Nên    dx       1dx  f  x  f  x   0     f '  x    f '  x  f '  x  f '  x   dx dx        1  0  f  x   0  f  x   f x f x           1 Vậy: f  x   A.e x Mà f 1  e f    e Nên f  x   e x  f    e 2 b Câu 37: Cho a  b  ab  a  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức I   x   a  b  x  ab dx a A B 12 C D 48 Lời giải Ta có  I  36.a I 4  a  b    4ab 36    ab  4  4ab 36    ab    12  36 123   48 36 b Câu 38: Tìm giá trị nhỏ I   x    m  x  dx a  b hai nghiệm cảu phương a trình x    m  x   A 128 B C D 2 Lời giải I  36a    m 8  36  128 I Câu 39: Tìm giá trị nhỏ S   x3  ax dx với a   ,1 A 2 B C D Lời giải a a  a.x x   x a.x  S    a.x  x  dx    x  a.x  dx        0    a 2 2 a a  1 a a a  1 1 1 S          a     2 8   4  2 a 2 2m Gọi a,b giá trị lớn nhỏ S  Câu 40:  x3  4mx  5m x  2m3 dx với m m  1; 3 Mệnh đề A a  b  41 B a  b  C a  b  21 D a  b  Lời giải 2m S 2m 2m 2   x  m   x  2m  dx     x  m   x  2m  dx     x  m    x  m   m  dx m m m 2m    x  m  m  x  m 3  m4 S     x  m  dx+m   x  m  dx=       12 m m  m 41 Thay m  1; 3 vào ta có a  b  2m 2m Câu 41: Cho A tập hàm số f lien tục đoạn  0;1 nhận giá trị không âm đoạn  0;1 Tìm m nhỏ cho   f 2018 A 2018  x dx  m. f  x  dx f  A B C 2018 2018 D Lời giải Đặt t 2018  x  dx  2018.t 2017 dt nên f 2018  x dx=2018. t 2017 f  t  dt  2018 f  t  dt Tìm m nhỏ nên m  2018 Ta Cm m  2018 số cần tìm Xét f  x   x n ta có 2018  n  1 2018 m  m n  2018 n  n  2018 0 Cho n   ta có m  2018 Vậy m  2018 số nhỏ cần tìm 1 n / 2018 n  x dx  m  x dx  Câu 42: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f '  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  2018 f   Tìm giá trị nhỏ biểu thức M   A ln 2018 B ln 2018 1  f  x   C 2e 2 dx    f '  x   dx D 2018e Lời giải 1   f  x f  x M=   f '  x   dx   ' dx  2 ' dx  ln f  x   ln 2018 f  x f  x f  x 0 0  b Câu 43: Cho a  b  ab  a  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức I    x  a   x  b  dx a A 12 B C 64 D Lời giải b b b 2 S     x  a   x  a    a  b   dx     x  a   x  a  dx   a  b    x  a  dx a a a 49 S 1  a  b    a  b   4ab 12 12  Câu 44: a  b Cho    ab    4ab 12    a2  b2   ab  2  ab    12  12 12   Tìm  giá trị lớn biểu thức b I   x   a  b  x  ab dx a A 16 B 16 C D Lời giải  a  b  a  b I2     a  b  2 1   a  b     a  b   4ab   a  b         a  b 2 2 3 36a 36 36 36 a  b  a  1  Khi  2 2 b  a b a b           Câu 45: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f '  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  e f   Biểu thức 1   f  x    dx    f '  x   dx  Mệnh đề  e  2  e  2 2e B f 1  C f 1  D f 1  e 1 e 1 e 1 Lời giải 2e A f 1  e 1   Viết lại biểu thức cho dạng    f '  x   dx  Dấu xảy f  x 0  1  f '  x    f '  x    1dx   f  x  d  f  x   f  x f  x f  x  xc   f  x   x  c  f    2c f 1  2c  e c Thay x  vào ta có  f  0 e 1 2c  f 1   2c 2e  f  x  2x   f 1  e 1 e 1 Câu 46: Cho A tập hàm số f lien tục đoạn  0;1 1  2018 Tìm m     x f  x  dx   x f  x  dx  f A  0  1 1 2017 A B C 2019 16144 2018 Lời giải Biểu thức cho tam thức bậc ẩn f  x  có hệ số a  x;b   x 2018 ;c  D 1 16140  b x 2017 f x     2a   Nên biểu thức Min  1 4036 4035      x x m   dx   dx   0 4a 4.x x 4036 16144  Câu 47: Cho m tham số thuộc đoạn 1; 3 Gọi a,b giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2m   x  m   x  2m  P dx Tính a  b  m A 31 B 36 C 122 15 D 121 Lời giải P 5 m 1   122  ;  T   30  30 30  30 15 m2  Câu 48: Giá trị nhỏ P   x   m  m  1 x   m3  m  dx S  m A a tối giản Tính T  a  b b B 337 C 25 D 91 Lời giải Ta có : P   m  m  1 3 a ;a,b nguyên dương b 3      T   16  25   16 _ TOANMATH.com _ ... x5 11 11 11 1  49  49 49    x f '  x  dx    x10 dx   f '  x   dx   Cách 2: Ta có: 12 1  11 11 12 1  Đẳng thức xảy khi: f '  x   kx5 Vì   x f '  x  dx  k  x10 dx... 2 019 .20 21 Câu 21: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0 ;1? ?? thỏa mãn f ? ?1? ??  0,   f   x   dx  1  x f  x  dx   55 Tích phân A ? ?1 11 B  f  x  dx C ? ?1 55 D 11 Lời giải 1 ...  0  ? ?1 ? ?1 2 017 A B C 2 019 16 144 2 018 Lời giải Biểu thức cho tam thức bậc ẩn f  x  có hệ số a  x;b   x 2 018 ;c  D ? ?1 1 614 0  b x 2 017 f x     2a   Nên biểu thức Min  1 4036