Hàm lồi toán tử, bất đẳng thức ma trận và một số vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ BÍCH KH HÀM LỒI TỐN TỬ, BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 62.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - 2018 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Quy Nhơn Tập thể hướng dẫn: PGS TS ĐINH THANH ĐỨC TS ĐINH TRUNG HOÀ Phản biện 1: PGS TS Phạm Tiến Sơn Phản biện 2: TS Hồ Minh Toàn Phản biện 3: PGS TS Lê Anh Vũ Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Trường Đại học Quy Nhơn, vào lúc: ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia Việt Nam Trung tâm Thông tin tư liệu Trường Đại học Quy Nhơn LỜI CAM ĐOAN Luận án thực hồn thành Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức TS Đinh Trung Hồ Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết trình bày luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Bình Định, năm 2018 Tác giả Võ Thị Bích Khuê i Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình PGS TS Đinh Thanh Đức, TS Đinh Trung Hoà nhiều người khác suốt năm nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp này, tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn đến người giúp đỡ Đầu tiên, tơi trân trọng bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS TS Đinh Thanh Đức, thầy dành nhiều thời gian quý báu để trao đổi với vấn đề tốn học, tìm gửi cho tơi tài liệu tham khảo liên quan đến vấn đề nghiên cứu Mặc dù bận rộn nhiều với công việc quản lý, thầy cố gắng nhiệt tình thu xếp thời gian để tơi có thoải mái làm việc hiệu Trường Đại học Quy Nhơn Nếu khơng có hỗ trợ nhiệt tình thầy, tơi khó hồn thành luận án Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Đinh Trung Hoà, người thầy, người bạn, người đồng hành kiên trì, ln động viên tơi hành trình làm nghiên cứu sinh Thầy người động thân thiện, đồng thời nghiêm túc việc nghiên cứu khoa học Thầy tạo hội cho tham dự hội thảo tiếp xúc với nhà nghiên cứu giỏi lĩnh vực nghiên cứu, tạo động lực say mê làm việc cho Lời cảm ơn chân thành gửi đến giáo Hiroyuki Osaka, Trường Đại học Ritsumeikan, Nhật Bản, đồng tác giả báo tơi, hỗ trợ giúp tơi có hội tham dự báo cáo hội thảo quốc tế tổ chức Trường Đại học Ritsumeikan, động lực khuyến khích tơi đường nghiên cứu Lời cảm ơn đặc biệt đến giảng viên khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn Cảm ơn thầy cô gần gũi nhiệt tình giúp đỡ tơi chun mơn, tạo điều kiện tốt cho nghiên cứu sinh xa nhà Cảm ơn thành phố biển Quy Nhơn hiền hồ thân thiện, giúp tơi có thoải mái vui tươi suốt thời gian học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo thầy Trường Đại học Tài - Marketing, đặc biệt thầy Bộ mơn Tốn - Thống kê, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành nghiên cứu sinh Cảm ơn tất người bạn nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt người em gái Dư Thị Hoà Bình đến từ miền Bắc xa xơi, hỗ trợ giúp đỡ q trình tơi học nghiên cứu sinh Sau có ý nghĩa nhất, tơi muốn cảm ơn gia đình tơi ln bên cạnh tơi, khuyến khích, hỗ trợ giúp đỡ tơi Cảm ơn mẹ ủng hộ định, bên lúc đau ốm Cảm ơn chồng ln san sẻ khó khăn với em Và lời cảm ơn đặc biệt dành cho thiên thần nhỏ tôi, cảm ơn đến với mẹ Luận án quà mẹ dành cho Bình Định, 2018 Võ Thị Bích Kh ii Mục lục Bảng ký hiệu iv Lời giới thiệu Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Các dạng hàm lồi toán tử bất đẳng thức liên quan 2.1 2.2 Các hàm (p, h)-lồi toán tử 2.1.1 Một số tính chất hàm (p, h)-lồi toán tử 2.1.2 Bất đẳng thức dạng Jensen ứng dụng 10 2.1.3 Mô tả hàm (p, h)-lồi toán tử 10 Hàm (r, s)-lồi toán tử 11 2.2.1 Bất đẳng thức dạng Jensen dạng Rado 12 2.2.2 Một số điều kiện tương đương cho tính (r, s)-lồi tốn tử 12 Chương 3: Bất đẳng thức ma trận tính chất hình cầu 13 3.1 Bất đẳng thức trung bình cộng - nhân ngược tổng quát 13 3.2 Các bất đẳng thức ngược cho trung bình ma trận Heinz 13 3.2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng - Heinz - nhân chuẩn bất biến unita 13 3.2.2 Bất đẳng thức ngược cho trung bình ma trận Heinz chuẩn Hilbert-Schmidt 14 Tính chất hình cầu cho trung bình tốn tử 14 3.3 Kết luận 16 Tài liệu tham khảo 18 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án 23 iii Bảng ký hiệu Mn H B(H) In , On x, y Cn A∗ Hn H+ n Pn |A| λ(A) σ(A) s(A) ||A|| |||A||| x≺y x ≺w y A tB AB A∇B A!B A:B Mp (A, B, t) opgx(p, h, K) A+ , A− : Không gian ma trận phức cấp n : Không gian Hilbert : Đại số tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert H : Ma trận đơn vị ma trận khơng tương ứng : Tích vơ hướng véctơ x y : Khơng gian tuyến tính n số phức : Chuyển vị liên hợp ma trận A : Tập tất ma trận Hermiteian cấp n : Tập tất ma trận nửa xác định dương : Tập tất ma trận xác định dương : Ma trận nửa xác định dương (A∗ A)1/2 : Giá trị riêng ma trận A : Phổ ma trận A : Tập giá trị kỳ dị ma trận A : Chuẩn toán tử ma trận A : Chuẩn bất biến ma trận A : x làm lớn y : x làm lớn yếu y : Trung bình nhân có trọng số t hai ma trận A B : Trung bình nhân hai ma trận A B : Trung bình cộng hai ma trận A B : Trung bình điều hoà hai ma trận A B : Tổng song song ma trận A B : Trung bình luỹ thừa A B : Lớp hàm (p, h)-lồi toán tử K : Phần dương phần âm tương ứng ma trận A iv Lời giới thiệu Ngày nay, tầm quan trọng lý thuyết ma trận biết đến nhiều lĩnh vực kỹ thuật, xác suất thống kê, thông tin lượng tử, giải tích số, sinh học khoa học xã hội Đặc biệt, ma trận xác định dương xuất điểm liệu khác đa dạng cài đặt: ma trận hiệp phương sai thống kê [20], yếu tố khơng gian tìm kiếm lập trình lồi nửa xác định dương [1] ma trận trù mật thông tin lượng tử [72] Trong vài thập kỷ qua, giải tích ma trận trở thành chủ đề độc lập toán học số lượng lớn ứng dụng [5, 7, 17, 24, 25, 26, 27, 34, 41, 46, 85] Chủ đề giải tích ma trận thảo luận đại số ma trận, tương đương, đại số toán tử tuyến tính khơng gian Hilbert hữu hạn chiều Đại số tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert hữu hạn chiều đẳng cấu với đại số ma trận có số chiều với số chiều khơng gian Hilbert tương ứng Một cơng cụ giải tích ma trận định lý phổ trường hợp hữu hạn chiều Khá nhiều kết giải tích ma trận chuyển sang cho tốn tử tuyến tính mà khơng gặp khó khăn Đồng thời, nhiều kết quan trọng trước cho ma trận khơng cho tốn tử khơng gian vô hạn chiều Gần đây, nhiều lĩnh vực giải tích ma trận nghiên cứu kỹ lưỡng lý thuyết hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận, lý thuyết trung bình ma trận, lý thuyết phân hố thơng tin lượng tử, Đặc biệt, cộng đồng vật lý toán học ý nhiều chủ đề bất đẳng thức ma trận hàm ma trận tính ứng dụng hữu ích chúng lĩnh vực khác toán học vật lý Năm 1930, von Neumann giới thiệu hệ tiên đề toán học học lượng tử sau: (i) Mỗi hệ lượng tử hữu hạn chiều gồm n phần tử liên kết với không gian Hilbert 2n chiều; (ii) Mỗi đại lượng quan sát hệ lượng tử tương ứng với ma trận Hermite có kích thước; (iii) Mỗi trạng thái lượng tử liên kết với ma trận trù mật (là ma trận nửa xác định dương có vết 1) Do đó, lý thuyết ma trận, giải tích ma trận lý thuyết toán tử trở thành tảng học lượng tử, số vấn đề học lượng tử diễn giải theo cách khác ngôn ngữ ma trận Mặt khác, thập kỷ gần với phát triển mạnh mẽ lý thuyết thông tin lượng tử, giải tích ma trận trở nên phổ biến quan trọng Nhắc lại λ1 , λ2 , · · · , λk giá trị riêng ma trận Hermite A A biểu diễn dạng k A= λ j Pj , j=1 với Pj phép chiếu trực giao không gian sinh véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λj Và với hàm f xác định λi , ma trận f (A) định nghĩa theo định lý phổ k f (A) = f (λj )Pj (0.0.1) j=1 Trong lý thuyết lượng tử, hầu hết đại lượng lượng tử quan trọng định nghĩa với vết T r kinh điển Một đại lượng quan trọng entropy lượng tử Entropy lượng tử ma trận trù mật A giá trị −T r(A log(A)), với ma trận log(A) xác định (0.0.1) Nhận xét hàm log t đơn điệu ma trận (0, ∞), hàm t log t lồi ma trận (0, ∞) Nhắc lại hàm f đơn điệu toán tử (0, ∞) tf (t) lồi toán tử (0, ∞) Hàm đơn điệu toán tử lần K Loewner nghiên cứu báo [66] ông năm 1930 Trong thập kỷ, F Krauss giới thiệu hàm lồi toán tử [60] Ngày nay, lý thuyết hàm nghiên cứu mạnh trở thành chủ đề quan trọng lý thuyết ma trận ứng dụng rộng lớn chúng lý thuyết ma trận lý thuyết lượng tử [72] Một hàm liên tục f xác định K ⊂ R gọi là: • đơn điệu ma trận cấp n với ma trận Hermite A B cấp n có phổ K A≤B =⇒ f (A) ≤ f (B) • lồi ma trận cấp n với ma trận Hermite A B cấp n có phổ K f (λA + (1 − λ)B) ≤ λf (A) + (1 − λ)f (B) Nếu hàm f đơn điệu ma trận (hay lồi ma trận) với ma trận cấp gọi đơn điệu tốn tử (hay lồi tốn tử tương ứng) Một ví dụ quan trọng hàm đơn điệu toán tử lồi toán tử f (t) = ts Loewner chứng minh hàm đơn điệu toán tử R+ luỹ thừa s ∈ [0, 1], f lồi toán tử (0, ∞) s ∈ [−1, 0] ∪ [1, 2] Bây đề cập đến lý thuyết trung bình vơ hướng, lý thuyết cho gợi ý cho nghiên cứu luận án Một trung bình M hai số không âm hàm từ R+ × R+ đến R+ cho: 1) M (x, x) = x, với x ∈ R+ ; 2) M (x, y) = M (y, x), với x, y ∈ R+ ; 3) Nếu x < y, x < M (x, y) < y; 4) Nếu x < x0 y < y0 , M (x, y) < M (x0 , y0 ); 5) M (x, y) liên tục; 6) M (tx, ty) = tM (x, y) với t, x, y ∈ R+ Một hàm hai biến M (x, y) thoả 6) rút gọn thành hàm biến f (x) := M (1, x) Cụ thể, M (x, y) nhận từ f công thức M (x, y) = xf (x−1 y) Chú ý hàm f tương ứng với M tăng đơn điệu R+ Mối quan hệ hình thành nên tương ứng 1-1 trung bình hàm tăng đơn điệu R+ Trong vài thập kỷ gần đây, xuất quan tâm việc phát triển lý thuyết trung bình phần tử tập H+ n ma trận nửa xác định dương đại số Mn Từ nghiên cứu kết nối mạch điện, Anderson Duffin [3] giới thiệu phép toán hai A : B, gọi phép cộng song song cho cặp ma trận nửa xác định dương Tiếp theo đó, Anderson Trapp [4] mở rộng khái niệm cho tốn tử tuyến tính dương không gian Hilbert chứng minh quan trọng lý thuyết tốn tử Bên cạnh đó, vấn đề tìm trung bình nhân ma trận tồn lâu tích hai ma trận nửa xác định dương không ma trận nửa xác định dương Năm 1975, Pusz Woronowicz [79] giải vấn đề chứng minh A B := A1/2 (A−1/2 BA−1/2 )1/2 A1/2 - trung bình nhận hai ma trận xác định dương A B - nghiệm phương trình ma trận Riccati XA−1 X = B Năm 1980, Ando Kubo [61] phát triển lý thuyết trung bình toán tử H+ n Một phép toán hai ngơi σ lớp tốn tử dương, (A, B) → AσB, gọi phép nối thỏa mãn điều kiện sau: (i) Tính đơn điệu: A ≤ C B ≤ D AσB ≤ CσD; (ii) Tính chuyển đổi: C ∗ (AσB)C ≤ (C ∗ AC)σ(C ∗ BC); (iii) Tính liên tục: Am ↓ A Bm ↓ B Am σBm ↓ AσB (Am ↓ A có nghĩa dãy Am hội tụ mạnh theo chuẩn đến A) Một trung bình σ phép nối thoả mãn điều kiện chuẩn hoá: (iv) IσI = I (với I phần tử đơn vị Mn ) Kết lý thuyết Kubo-Ando chứng minh tồn đẳng cấu afin từ lớp trung bình tốn tử vào lớp hàm đơn điệu toán tử dương R+ miêu tả công thức Aσf B = A1/2 f (A−1/2 BA−1/2 )A1/2 Công thức lần xác định trung bình nhân theo Pusz Woronowicz định nghĩa cách tự nhiên tương ứng với hàm đơn điệu toán tử f (t) = t1/2 Một trung bình σ gọi đối xứng AσB = BσA với ma trận dương A B Hoặc tương đương, hàm biểu diễn f trung bình đối xứng thoả f (t) = tf (t−1 ), t ∈ (0, ∞) Sau đó, Morozoca va Chentsov[69] nghiên cứu tích đơn điệu theo ánh xạ ngẫu nhiên không gian ma trận metric đơn điệu lý thuyết lượng tử Năm 1996, Petz[78] chứng minh có tương ứng metric đơn điệu trung bình tốn tử theo nghĩa Kubo-Ando, đó, kết nối ba lý thuyết quan trọng lý thuyết thông tin lượng tử giải tích ma trận Lưu ý rằng, với entropy lượng tử trạng thái lượng tử, nhiều đại lượng lượng tử quan trọng khác định nghĩa với trung bình tốn tử, hàm lồi tốn tử vết kinh điển Ví dụ 0.0.1 Cho hai ma trận trù mật A B, entropy tương đối lượng tử [20] A B định nghĩa S(A||B) = −T r(A(log A − log B)) Biên Chernoff lượng tử [10] lý thuyết kiểm nghiệm giả thiết cho biểu thức sau: Cho ma trận nửa xác định dương A, B, Q(A, B) = {T r(As B 1−s )} 0≤s≤1 Một đại lượng quan trọng lý thuyết lượng tử phân kỳ Renyi [20]: Với α ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞), Dα (A||B) = T r(As B 1−s ) log , α−1 T r(A) D1 = T r(A(log A − log B)) T r(A) Tất đại lượng liệt kê trường hợp đặc biệt f -phân kỳ lượng tử lý thuyết lượng tử với f hàm lồi toán tử [45] Vì vậy, lý thuyết hàm ma trận phần quan trọng giải tích ma trận lý thuyết thông tin lượng tử Bây cho σ τ trung bình tốn tử tuỳ ý (khơng thiết trung bình theo nghĩa Kubo-Ando [61]) Chúng giới thiệu tiếp cận chung tính lồi tốn tử sau Một hàm lồi liên tục không âm f xác định R+ gọi στ -lồi với ma trận xác định dương A B, f (AσB) ≤ f (A)τ f (B) (0.0.4) Khi σ τ trung bình cộng, hàm f thoả bất đẳng thức lồi tốn tử Khi σ trung bình cộng τ trung bình nhân, hàm f thoả (0.0.4) gọi log-lồi Các hàm mô tả đầy đủ Hiai Ando [11] hàm tốn tử đơn điệu giảm Trung bình luỹ thừa ma trận ma trận nửa xác định dương A B lần nghiên cứu Bhagwat Subramanian [15] sau Mp (A, B, t) = (tAp + (1 − t)B p )1/p , p ∈ R for Trung bình luỹ thừa ma trận Mp (A, B, t) trung bình Kubo-Ando p = ±1 Tuy nhiên, trung bình luỹ thừa với p > có nhiều ứng dụng quan trọng vật lý tốn lý thuyết khơng gian tốn tử [21] Trong luận án này, chúng tơi sử dụng (0.0.4) để xác định số dạng lồi tốn tử với trung bình luỹ thừa ma trận Mp (A, B, t) Chúng tơi nghiên cứu tính chất hàm chứng minh số bất đẳng thức quen thuộc cho chúng Chúng cung cấp số điều kiện tương đương để hàm lồi toán tử theo nghĩa Bây xem xét cách giải thích hình học trung bình vơ hướng trung bình ma trận Cho ≤ a ≤ x ≤ b Rõ ràng trung bình cộng (a + b)/2 nghiệm toán tối ưu (x − a)2 + (x − b)2 → Và với trung bình vơ hướng M R+ M (a, b) − a ≤ b − a Chúng ta gọi tính chất tính chất điểm Năm 2013, Audenaert nghiên cứu tính chất điểm trung bình ma trận [9] Gần đây, Dinh Trung Hoa, Dumitru Raluca and Franco Jose [49] tiếp tục nghiên cứu tính chất trung bình luỹ thừa ma trận Họ cung cấp vài lời giải riêng cho đoán Audenaert [9] phản ví dụ cho đốn với p > Từ tính chất 3) định nghĩa trung bình vô hướng, rõ ràng a+b b−a − M (a, b) ≤ 2 (0.0.5) a+b với bán kính nửa khoảng cách a b Chúng ta gọi tính chất hình cầu trung bình vơ hướng với khoảng cách Euclid R Chú ý với s ∈ [0, 1] p > 0, trung bình nhân có trọng s M (a, b) = a1−s bs trung bình luỹ thừa (hay trung bình nhị thức) trọng s Mp (a, b, s) = ((1 − s)ap + sbp )1/p thoả mãn tính chất (0.0.5) Mặt khác, M (a, b) nằm bên hình cầu có tâm trung bình cộng Bây giờ, cho A B ma trận xác định dương Hàm khoảng cách Riemann tập ma trận xác định dương định nghĩa: 1/2 δR (A, B) = log (λi (A −1 B)) i Năm 2005, Moakher [67] chứng minh trung bình nhân A B cực tiểu tổng bình phương khoảng cách: 2 δR (X, A) + δR (X, B) → min, X ≥ Chương Các dạng hàm lồi toán tử bất đẳng thức liên quan Là khái niệm giải tích lồi lý thuyết tối ưu, tính lồi hàm nghiên cứu mạnh nhiều nội dung khác toán học tuý toán học ứng dụng Mục đích chương xác định dạng hàm lồi toán tử dựa theo lý thuyết Kubo-Ando trung bình hai ma trận, chí số ma trận [77] Chính xác hơn, chúng tơi sử dụng họ trung bình luỹ thừa ma trận để xác định dạng hàm lồi toán tử gọi hàm (r, s)-lồi toán tử hàm (p, h)-lồi toán tử Nghiên cứu tính chất chúng, chúng tơi chứng minh số bất đẳng thức phổ biến cho chúng Chúng cung cấp mô tả tương tự cho hàm (r, s)-lồi toán tử (p, h)-lồi toán tử Các kết chương trích từ cơng trình [51] [48] 2.1 Các hàm (p, h)-lồi toán tử Trong chương định nghĩa kiểu hàm lồi toán tử gọi (p, h)-lồi toán tử Các kết chương dựa theo cơng trình [51] Nhắc lại cho p số dương tuỳ ý, J tập R+ chứa đoạn [0, 1], K (⊂ R+ ) tập p-lồi R+ (tức [αxp + (1 − α)y p ]1/p ∈ K với x, y ∈ K α ∈ [0, 1]) Chúng định nghĩa lớp hàm (p, h)-lồi toán tử sau Định nghĩa 2.1.1 Cho h : J → R+ hàm nhân tính khác khơng Một hàm không âm f : K → R gọi (p, h)-lồi toán tử (hay thuộc lớp opgx(p, h, K)) với A, B ∈ M+ n với σ(A), σ(B) ⊂ K, với α ∈ (0, 1), f [αAp + (1 − α)B p ]1/p ≤ h(α)f (A) + h(1 − α)f (B) Khi p = 1, h(α) = α, nhận định nghĩa thơng thường hàm lồi tốn tử R+ Chú ý 2.1.1 Một hàm (p, h)-lồi toán tử đơn điệu tốn tử lồi tốn tử Tuy nhiên, có nhiều hàm (p, h)-lồi tốn tử khơng hàm đơn điệu tốn tử mà khơng hàm lồi tốn tử 2.1.1 Một số tính chất hàm (p, h)-lồi toán tử Trong phần này, chúng tơi chứng minh số tính chất hàm (p, h)-lồi toán tử Định lý 2.1.1 Cho opgx(p, h, K) lớp hàm (p, h)-lồi toán tử Khi đó, (i) Nếu f, g ∈ opgx(p, h, K) λ > 0, f + g, λf ∈ opgx(p, h, K); (ii) Cho h1 h2 hàm nhân tính trên, khơng âm, khác khơng xác định khoảng J với h2 ≤ h1 (0, 1) Nếu f ∈ opgx(p, h2 , K), f ∈ opgx(p, h1 , K); (iii) Cho f ∈ opgx(p2 , h, K) cho f hàm đơn điệu toán tử K Nếu ≤ p1 ≤ p2 , f ∈ opgx(p1 , h, K) Định lý 2.1.2 Cho K khoảng R+ cho ∈ K (i) Nếu f ∈ opgx(p, h, K) cho f (0) = 0, f [αAp + βB p ]1/p ≤ h(α)f (A) + h(β)f (B) (2.1.6) với ma trận xác định dương tuỳ ý A, B có phổ thuộc K α, β ≥ cho α + β ≤ 1; (ii) Cho h hàm không âm cho h(α) < 1/2 với α ∈ (0, 1/2) Nếu f hàm không âm thoả (2.1.6) với ma trận A, B có phổ K với α, β > thoả α + β ≤ 1, f (0) = Hệ 2.1.1 Cho s > 0, đặt hs (x) = xs (x > 0), ∈ K ⊂ R+ Với f ∈ opgx(p, hs , K), bất đẳng thức (2.1.6) với α, β ≥ thoả α + β ≤ f (0) = 2.1.2 Bất đẳng thức dạng Jensen ứng dụng Nhắc lại, bất đẳng thức Jensen có trọng số cho hàm f liên tục, lồi khoảng K thỏa n f λ i xi ≤ ∀xi ∈ K, λi ∈ (0, 1), λi f (xi ), λi = i=1 Định lý 2.1.3 Cho h hàm nhân tính trên, khơng âm xác định J f ∈ opgx(p, h, K) Khi với k ma trận tự liên hợp Ai có phổ K với αi (i = 1, 2, , k) thoả ki=1 αi = 1,   1/p k k αi Api f ≤ i=1 h(αi )f (Ai ) (2.1.8) i=1 Cho E tập khác rỗng, gồm hữu hạn ma trận tự liên hợp Ai (i ∈ E) WE = Xác định hàm tập số F sau:   1/p − F(E) = h(WE )f  wi Api h(wi )f (Ai ), WE i∈E i∈E wi , w i > (2.1.9) i∈E Định lý 2.1.4 Cho h : R+ → R+ hàm nhân tính trên, f : K → R+ hàm (p, h)-lồi toán tử Với M E tập khác rỗng, gồm hữu hạn số nguyên dương cho M ∩ E = ∅ Khi F(M ∪ E) ≤ F(M ) + F(E) với wi > (i ∈ M ∪ E), ma trận tự liên hợp dương Ai (i ∈ M ∪ E) có phổ thuộc K 2.1.3 Mơ tả hàm (p, h)-lồi tốn tử Chúng tơi chứng minh bất đẳng thức dạng Hansen-Pedersen cho hàm (p, h)-lồi toán tử Định lý 2.1.5 Cho h : J → R+ hàm nhân tính trên, f : K → R+ hàm (p, h)-lồi tốn tử Khi đó, với ma trận tự liên hợp A, B có phổ K ma trận C, D cho CC ∗ + DD∗ = In , f [CAp C ∗ + DB p D∗ ]1/p ≤ 2h(1/2) (Cf (A)C ∗ + Df (B)D∗ ) 10 Tikhonov [81] mô tả cho hàm lồi tốn tử cách thay đổi vai trò số ma trận bất đẳng thức Jensen Trong định lý sau, đạt vài điều kiện tương đương để hàm (p, h)-lồi toán tử Chứng minh định lý tương tự chứng minh [44] [81] Định lý 2.1.6 Cho f hàm không âm K cho f (0) = 0, h hàm nhân tính trên, khác khơng, khơng âm J thoả 2h(1/2) ≤ α−1 h(α) (α ∈ (0, 1)) Các khẳng định sau tương đương: (i) f hàm (p, h)-lồi toán tử; (ii) Với ma trận co (||V || ≤ 1) ma trận tự liên hợp A có phổ K, f [V ∗ Ap V ]1/p ≤ 2h(1/2)V ∗ f (A)V ; (iii) Với phép chiếu trực giao Q ma trận tự liên hợp A với σ(A) ⊂ K, f [QAp Q]1/p ≤ 2h(1/2)Qf (A)Q; (iv) Với số tự nhiên k, họ tốn tử dương {Ai }ki=1 khơng gian Hilbert hữu hạn chiều H thoả ki=1 αi Ai = IH (toán tử đơn vị H),   1/p k k αi xpi Ai f ≤ i=1 h(αi )f (xi )Ai , ∀xi ∈ K i=1 Chú ý 2.1.3 Ở chúng tơi ví dụ hàm h khác hàm đồng thoả điều kiện Định lý 2.1.3 Dễ dàng kiểm tra hàm h(x) = x3 − x2 + x ∀x, y ∈ [0, 1] h(xy) − h(x)h(y) = xy(x + y)(1 − x)(1 − y) ≥ Do đó, h hàm nhân tính trên [0, 1] Cùng lúc đó, hàm h(x)/x = x2 − x + đạt cực tiểu x = 1/2, 2h(1/2) ≤ h(x)/x với x ∈ (0, 1) Trong hệ sau đạt mối liên hệ hàm (p, h)-lồi toán tử hàm đơn điệu toán tử R+ Hệ 2.1.2 Cho f hàm (1, h)-lồi toán tử R+ cho f (0) = Khi với ma trận xác định dương A ≤ B, A−1 f (A) ≤ 2h(1/2)B −1 f (B) Nếu 2h(1/2) ≤ 1, hàm t−1 f (t) đơn điệu toán tử (0, ∞), hàm f (t) lồi tốn tử 2.2 Hàm (r, s)-lồi toán tử Cho r, s số thực dương Đặt X = (A1 , A2 ) với σ(A1 ), σ(A2 ) ⊂ K and ω1 , ω2 ≥ Đặt W = ω1 + ω2 > Trung bình luỹ thừa r hai ma trận, ký hiệu M [r] (X, W ), định nghĩa [r] M (X, W ) := W 1/r ωi Ari i=1 Định nghĩa 2.2.1 Cho K tập r-lồi R+ Một hàm liên tục f : K → (0, ∞) gọi (r, s)-lồi toán tử f (M [r] (X, W )) ≤ M [s] (f (X), W ) (2.1.16) với X = (A1 , A2 ) W = ω1 + ω2 với ω1 , ω2 ∈ [0, 1] Nếu bất đẳng thức (2.2.16) đảo ngược, f (r, s)-lõm tốn tử Người đọc ý có tương tự ký hiệu với hàm (p, h)-lồi tốn tử Tuy nhiên, nhầm lẫn khơng đáng có, hàm h hàm nhân tính nên khác hàm hằng, r số thực dương 11 2.2.1 Bất đẳng thức dạng Jensen dạng Rado Cho X = (A1 , , Am ) gồm ma trận Hermit, có phổ K W = (ω1 , , ωm ) số không r (X, W ) định nghĩa âm Ký hiệu Wm = ω1 + + ωm > Trung bình luỹ thừa ma trận Mm [r] Mm (X, W ) := Wm 1/r m ωi Ari i=1 Trong định lý sau, chứng minh bất đẳng thức dạng Jensen cho hàm (r, s)-lồi toán tử Định lý 2.2.1 Cho r, s số dương, m số tự nhiên Nếu f hàm (r, s)-lồi tốn tử, với X = (A1 , · · · , Am ) W = (ω1 , · · · , ωm ) [r] [s] f (Mm (X, W )) ≤ Mm (f (X), W ) (2.1.18) Nếu f (r, s)-lõm toán tử bất đẳng thức (2.2.18) đảo ngược Tiếp theo, chứng minh bất đẳng thức dạng Rado cho hàm (r, s)-lồi toán tử Định lý 2.2.2 Cho r s số dương f hàm liên tục K Cho m ∈ N, X = (A1 , · · · , Am ) W = (ω1 , · · · , ωm ), biểu diễn [s] [r] am = Wm Mm [f (X), W ]s − f Mm [X, W ]s Khi khẳng định sau tương đương (i) Nếu f hàm (r, s)-lồi tốn tử {am }∞ m=1 dãy đơn điệu tăng (ii) Nếu f hàm (r, s)-lõm tốn tử {am }∞ m=1 dãy đơn điệu giảm 2.2.2 Một số điều kiện tương đương cho tính (r, s)-lồi tốn tử Định lý 2.2.3 Cho f : K → R+ hàm (r, s)-lồi toán tử Khi với ma trận xác định dương A, B có phổ K ma trận C, D thỏa CC ∗ + DD∗ = I, f ((CAr C ∗ + DB r D∗ )1/r ) ≤ (Cf (A)s C ∗ + Df (B)s D∗ )1/s (2.2.20) Định lý 2.2.4 Cho f hàm không âm K thỏa f (0) = Khi khẳng định sau tương đương: (i) f hàm (r, s)-lồi toán tử; (ii) Với phép co V (||V || ≤ 1) ma trận nửa xác định dương A có phổ thuộc K, (V ∗ Ar V )1/r ≤ (V ∗ f (A)s V )1/s ; (iii) Với phép chiếu trực giao Q ma trận nửa xác định dương A có phổ σ(A) thuộc K, f (QAr Q)1/r ≤ (Qf (A)s Q)1/s ; (iv) Với số tự nhiên k họ toán tử dương {Ai }ki=1 không gian Hilbert hữu hạn chiều H cho ki=1 αi Ai = IH (toán tử đơn vị H) số tuỳ ý xi ∈ K,   1/r 1/s k k αi xri Ai f αi f (xi )s Ai ≤ i=1 i=1 12 Chương Bất đẳng thức ma trận tính chất hình cầu Trong phần đầu chương này, xét bất đẳng thức Cauchy ngược tổng quát cho hai ma trận xác định dương A B chứng minh bất đẳng thức Cauchy ngược tổng quát với điều kiện AB + BA ≥ Hơn nữa, chứng minh bất đẳng thức Cauchy ngược bất đẳng thức Powers-Størmer tổng quát chuẩn bất biến unita với điều kiện AB + BA ≥ Trong phần thứ hai chương, chứng minh bất đẳng thức ngược trung bình Heinz cho ma trận chuẩn bất biến unita Và phần cuối chương tính chất hình cầu cho trung bình ma trận Chương viết dựa vào kết cơng trình [50] [52] 3.1 Bất đẳng thức trung bình cộng - nhân ngược tổng quát Định lý 3.1.1 Cho f hàm đơn điệu toán tử dương ngặt, xác định [0, ∞) với f ((0, ∞)) ⊂ (0, ∞) f (1) = Khi với ma trận nửa xác định dương A B thỏa AB + BA ≥ thì, A + B − |A − B| ≤ 2Aσf B 3.2 Các bất đẳng thức ngược cho trung bình ma trận Heinz Trong [47, Theorem 2.1] tác giả chứng minh rằng, với trung bình tốn tử σ ma trận xác định dương A, B thì, A+B − AσB ≤ A1/2 I − A−1/2 BA−1/2 A1/2 2 (3.2.9) Mục đích phần trình bày bất đẳng thức ngược tổng qt có dạng (3.2.9) chuẩn bất biến unita Chúng đạt bất đẳng thức ngược cho trung bình Heinz 3.2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng - Heinz - nhân chuẩn bất biến unita Nhắc lại chuẩn ||| · ||| Mn gọi bất biến unita |||U AV ||| = |||A||| với ma trận unita U, V ma trận A ∈ Mn Định lý 3.2.1 Với ||| · ||| chuẩn bất biến unita Mn , f hàm đơn điệu toán tử [0, ∞) t thỏa f ((0, ∞)) ⊂ (0, ∞) f (0) = g hàm xác định [0, ∞) cho g(t) = f (t) (t ∈ (0, ∞)) 13 thỏa g(0) = Khi với A, B ∈ Pn , A + B 1/2 I − A−1/2 BA−1/2 A1/2 − A 2 ≤ f (A)1/2 g(B)f (A)1/2 ≤ f (A)g(B) Hệ 3.2.1 Cho A, B ∈ Pn s ∈ [0, 1] Khi đó, A + B 1/2 − A |I − A−1/2 BA−1/2 |A1/2 2 ≤ A1/2 B 1/2 Hệ 3.2.2 Cho A, B ∈ H+ n s ∈ [0, 1] Khi đó, A + B 1/2 − A |I − A−1/2 BA−1/2 |A1/2 2 ≤ As B 1−s + A1−s B s Hệ 3.2.3 Với ma trận Hermite nửa xác định dương A, B thỏa AB + BA ≥ s ∈ [0, 1] thì, |||A + B − |A − B|||| ≤ 2|||A1/2 B 1/2 ||| 3.2.2 |||A + B − |A − B|||| ≤ 2|||As B 1−s + A1−s B s ||| Bất đẳng thức ngược cho trung bình ma trận Heinz chuẩn HilbertSchmidt Rõ ràng với số dương a b, (a + b)2 − |a2 − b2 | ≤ (as b1−s + a1−s bs )2 (3.2.19) Trong phần này, đạt vài bất đẳng thức ngược cho trung bình ma trận Heinz chuẩn Hilbert-Schmidt Định lý 3.2.2 Với ma trận Hermite nửa xác định dương A, B ∈ H+ n ma trận X ∈ Mn , ||AX + XB||22 − ||AX − XB||22 ≤ ||As XB 1−s + A1−s XB s ||22 3.3 Tính chất hình cầu cho trung bình tốn tử Trong phần chúng tơi nghiên cứu tính chất hình cầu cho tốn tử Trong định lý tiếp theo, chúng tơi cung cấp mơ tả trung bình cộng ma trận bất đẳng thức (3.1.6) Định lý 3.3.1 Cho σ trung bình đối xứng tuỳ ý Nếu với chuẩn bất biến unita ||| · ||| Mn A+B − AσB ≤ |||A − B||| với A, B ∈ Pn σ trung bình cộng Trong phần lại luận án, chứng minh thay trung bình theo nghĩa Kubo-Ando trung bình luỹ thừa Mp (A, B, t) = (tAp + (1 − t)B p )1/p với p ∈ [1, 2] bất đẳng thức định lý 3.3.1 mà không cần điều kiện AB + BA ≥ Mặt khác, trung bình luỹ thừa ma trận Mp (A, B, t) thoả mãn tính chất hình cầu chuẩn Hilbert Schmidt 14 Định lý 3.3.2 Cho p ∈ [1, 2] Mp (A, B, t) = (tAp + (1 − t)B p )1/p Khi với ma trận nửa xác định dương A B, A+B − Mp (A, B, t) 2 15 ≤ A−B (3.2.28) Kết luận Các kết luận án Đưa định nghĩa cho lớp hàm (p, h)-lồi toán tử đạt số tính chất lớp hàm lồi toán tử Đây lớp hàm lồi toán tử mới, tổng quát hoá cho nhiều lớp hàm lồi toán tử biết Đưa bất đẳng thức kiểu Jensen cho hàm (p, h)-lồi toán tử, tổng quát hoá cho nhiều dạng bất đẳng thức kiểu Jensen cho lớp hàm lồi toán tử biết Đưa bất đẳng thức kiểu Hansen-Pedersen cho lớp hàm (p, h)-lồi toán tử, chứng minh bất đẳng thức cho hàm tập số lớp hàm Đưa định nghĩa cho lớp hàm (r, s)-lồi toán tử đạt số tính chất cho chúng Đây lớp hàm lồi toán tử mới, tổng quát hoá cho lớp hàm r-lồi biết Đưa bất đẳng thức kiểu Jensen kiểu Rado cho lớp hàm (r, s)-lồi toán tử Đưa vài điều kiện tương đương để hàm (p, h)-lồi toán tử (r, s)-lồi toán tử Đưa chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng-nhân ngược tổng quát trung bình theo Kubo-Ando Đưa vài bất đẳng thức chuẩn ngược trung bình Heinz ma trận Đạt mơ tả trung bình cộng ma trận bất đẳng thức ma trận chuẩn bất biến unita 10 Đưa tính chất hình cầu cho trung bình ma trận chuẩn bất biến unita chuẩn Hilbert-Schmidt Đồng thời, chứng minh trung bình luỹ thừa ma trận thoả tính chất hình cầu chuẩn Hilbert-Schmidt 16 Hướng nghiên cứu tương lai Trong tương lai gần, tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau Chúng tiếp tục mô tả số lớp tính lồi tốn tử số trung bình ma trận phổ biến Cho p, q số thực dương, h hàm thực, không âm, nhân tính Chúng tơi xem xét định nghĩa tổng quát sau: Một hàm f gọi (p, h, q)-lồi toán tử f [αAp + (1 − α)B p ]1/p ≤ [h(α)f (A)q + h(1 − α)f (B)q ]1/q Nếu q = f (p, h, 1)-lồi tốn tử hay nói gọn (p, h)-lồi toán tử Nếu h ≡ id hàm đồng f (p, id, q)-lồi tốn tử, hay gọi tắt (r, s)-lồi tốn tử Chúng tơi dự định tiếp tục nghiên cứu lớp hàm lồi toán tử tổng quát vài trường hợp khác Tính chất hình cầu trung bình ma trận Chúng tơi tin trung bình luỹ thừa ma trận thoả mãn tính chất hình cầu chuẩn p-Schatten với chuẩn bất biến unita Chúng xác định lớp entropy lượng tử liên hệ với lớp hàm lồi tốn tử Điều có ý nghĩa việc nghiên cứu tính chất chúng ứng dụng lý thuyết thông tin lượng tử 17 Tài liệu tham khảo [1] P A Absil, R E Mahony, R Sepulchre (2007), Optimization Algorithms on Matrix Manifolds, Princeton [2] A Aleman (1985), “On some generalizations of convex sets and convex functions", Anal Numer Theor Approx., 14(1), 1-6 [3] W N Anderson, R J Duffin (1969), “Series and parallel addition of matrices", J Math Anal Appl., 26, 576-594 [4] W N Anderson Jr , G E Trapp (1975), “Shorted operators II", SIAM J Appl Math, 28, 60-71 [5] T Ando (1978), Topics on operator inequalities, Lecture Note, Sapporo [6] T Ando (1979), “Concavity of certain maps on positive definite matrices and applications to Hadamard products", Linear Algebra Appl , 26, 203-241 [7] T Ando, C.K Li, R Mathias (2004), “Geometric means", Linear Algebra Appl., 385, 305-334 [8] G W Anderson, M K Vamanamurthy, M K Vuorinen (2007), “Generalized convexity and inequalities", J Math Anal Appl., 335(2), 1294-1308 [9] K M R Audenaert (2013), “In-betweenness, a geometrical monotonicity property for operator means", Linear Algebra Appl., 438(4), 1769-1778 [10] K M R Audenaert, J Calsamiglia, Ll Masanes, R M Tapia, A Acin, E Bagan, F Verstraete (2007), “Discriminating States: The Quantum Chernoff Bound", Phys Rev Lett., 98, 160501 [11] T Ando, F Hiai (2011), “Operator log-convex functions and operator means", Math Ann., 350(3), 611-630 [12] K M R Audenaert, F Hiai (2013), “On matrix inequalities between the power means: Counterexamples", Linear Algebra Appl., 439, 1590-1604 [13] M Bakherad, H Abbas, B Mourad, M S Moslehian (2014), “Operator P -class functions", J Inequal Appl., 451 [14] J Bendat, S Sherman (1955), “Monotone and convex operator functions", Trans Amer Math Soc., 79, 58-71 [15] K V Bhagwat, R Subramanian (1978), “Inequalities between means of positive operators", Math Proc Camb Phil Soc., 83, 393-401 [16] R Bhatia (1997), Matrix Analysis, Springer, New York [17] D A Bini, B Meini, F Poloni (2010), “An effective matrix geometric mean satisfying the Ando-Li-Mathias properties", Math Comput., 79, 437-452 18 [18] R Bhatia, J Holbrook (2006), “Riemannian geometry and matrix geometric means", Linear Algebra Appl., 413(2-3), 594-618 [19] W W Breckner (1978), “Stetigkeitsaussagen fureine Klasse verallgemeinerter knovexer funktionen in topologischen linearen Raumen", Publ Inst Math., 23, 1320 [20] E A Carlen (2010), “Trace inequalities and quantum entropy: An introductory course”, Contemp Math., 529, 73-140 [21] E A Carlen, E H Lieb (1999), “A Minkowski type-trace inequality and strong subadditivity of quantum entropy", Amer Math Soc Transl., 18(2), 59-69 [22] F Chen, X Liu (2013), “Refinements on the Hermite Hadamard Inequalities for r-convex functions", Hindawi Publishing Corporation, J Appl Math., 2013, 1-5 [23] H Chernoff (1952), “A measure of asymptotic efficiency for tests of a hypothesis based on the sum of observations", Ann Math Stat., 4(23), 493-507 [24] M.-D Choi (1974), “A Schwarz inequality for positive linear maps on C ∗ -algebras", Illinois J Math., 18, 565-574 [25] C Davis (1957), “A Schwarz inequality for convex operator functions", Proc Amer Math Soc., 8, 42-44 [26] S S Dragomir (2001), “Refinements of the Hermite-Hadamard integral inequality for log-convex functions", Aus Math Soc Gazette, 28(3), 129-133 [27] S S Dragomir, C E.M Pearce (2000), Selected Topics on Hermite Hadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University [28] S S Dragomir, J Peˇcari´c, L.-Erik Persson (1995), “Some inequalities of Hadamard type", Soochow J Math., 21, 335-341 [29] Z B Fang, R Shi (2014), “On the (p, h)-convex function and some integral inequalities", J Inequal Appl., 45 [30] J I Fujii, M Kian, M S Moslehian (2010), “Operator Q-class functions", Scientiae Mathematicae Japonicae, 73(1), 75-80 [31] J I Fujii, M Nakamura, J Peˇcari´c, Y Seo (2006), “Bounds for the ratio and difference between parallel sum and series via Mond-Pecaric method", Math Inequal Appl., 9(4), 749-759 [32] S Furuichi (2011), “Inequalities for Tsallis relative entropy and generalized skew information", Linear and Multilinear Alg., 59(10), 1143-1158 [33] S Furuichi (2012), “Refined Young inequalities with Specht’s ratio", J Egyptian Math Soc., 20(1), 46-49 [34] S Furuichi, K Yanagi, K Kuriyama (2004), “Fundamental properties of Tsallis relative entropy", J Math Phys., 45(12), 4868-4877 [35] J Jensen (1906), “Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes", Acta Math., 30(1), 175-193 [36] P.M Gill, C.E.M Pearce, Peˇcari´c (1997), “Hadamard’s inequality for r-convex functions", J Math Anal Appl., 215(2), 461-470 19 [37] E K Godunova, V I Levin (1985), “Inequalities for functions of a broad class that contains convex, monotone and some other forms of functions", Numerical Math and Math Phys., 166, 138-142 [38] K Guan (2010), “Multiplicative convexity and its applications", J Math Anal Appl., 362, 156-166 [39] K Guan (2013), “GA-convexity and its applications", Analysis Math., 39, 189-208 [40] E Heinz (1951), “Beitrage zur Storungstheorie der Spektralzerlengung", Math Ann., 123, 415-438 [41] F Hansen (1980), “An operator inequality", Math Ann., 246(3), 249-250 [42] F Hansen (2006), “Extensions of Lieb’s concavity Theorem”, J Stat Physics, 124(1), 87-101 [43] F Hansen, G Ji, J Tomiyama (2004), “Gaps between classes of matrix monotone functions", Bull London Math Soc., 36, 53-58 [44] F Hansen, G K Pedersen (1982), “An inequality for operators and Løwner theorem”, Math Ann., 258(3), 229-241 [45] F Hiai, M Mosonyi, D Petz, C Beny (2011), “Quantum f -divergences and error correction”, Rev Math Phys., 23, 691-747 [46] F Hiai, D Petz (2013), Introduction to Matrix Analysis ans Applications, Springer [47] D T Hoa (2015), “On characterization of operator monotonicity", Linear Algebra Appl., 487, 260-267 [48] D T Hoa, D T Duc, V T B Khue (2017), “A new type of operator convexity", accepted for publication in Acta Mathematica Vietnamica [49] D T Hoa, R Dumitru, J A Franco (2017), “On the monotonicity of weighted power means for matrices", Linear Algebra Appl., 527, 128-140 [50] D T Hoa, V T B Khue, H Osaka (2016), “A generalized reverse Cauchy inequality for matrices", Linear and Multilinear Alg., 64, 1415-1423 [51] D T Hoa, V T B Khue (2017), “Some inequalities for operator (p, h)-convex functions", Linear and Multilinear Alg (http://dx.doi.org/10.1080/03081087.2017.1307914) [52] D T Hoa, V T B Khue, T.-Y Tam (2017), “In-sphere property and reverse inequalities for the matrix Heinz mean", submitted [53] D T Hoa, H Osaka, H M Toan (2013), “On generalized Powers-Størmer’s Inequality", Linear Algebra Appl., 438(1), 242-249 [54] D T Hoa, H Osaka, J Tomiyama (2015), “Characterization of operator monotone functions by Powers-Størmer type inequalities", Linear and Multilinear Alg., 63(8), 1577-1589 [55] T Hawkins (1975), “Cauchy and the spectral theory of matrices”, Historia Mathematica, 2(1), 1-29 [56] R A Horn, C R Johnson (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press [57] R V Kadison (1952), “A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras”, Ann Math 56, 494-503 20 [58] M Kian, M S Moslehian (2015), “Operator Inequalities related to Q-Class functions”, Math Slovaca, 65(1), 179-190 [59] F Kittaneh, Y Manasrah (2010),“Improved Young and Heinz inequality for matrices”, J Math Anal Appl., 361, 262-269 ă [60] F Kraus (1936), Uberkonvexe Matrixfunktionen, Math Z 41, 18-42 [61] F Kubo, T Ando (1980), “Means of positive linear operators”, Math Ann., 246(3), 205-224 [62] M S Moslehian, M Kian (2012), “Jensen type inequalities for Q-class functions”, Bull Aust Math Soc., 85(1), 128-142 [63] H S Lee, Y D Lim, T Yamazaki (2011), “Multi-variable weighted geometric means of positive definite matrices”, Linear Algebra Appl 435, 307-322 [64] E H Lieb (1973), “Convex Trace Functions and the Wigner-Yanase-Dyson Conjecture”, Advances in Math., 11, 267-288 [65] E H Lieb, M B Ruskai (1973), “Proof of the strong subadditivity of quantummechanical entropy, J Math Phys., 14, 1938-1941 ă [66] C Loewner (1934), “ Uber monotone Matrixfunctionen”, Math Z., 38, 177-216 [67] M Moakher (2005), “A differential-geometric approach to the geometric mean of symmetric positive-definite matrices”, SIAM J Matrix Anal Appl., 26(3), 735-747 [68] S R Mohan, S K Neogy (1995), “On invex sets and preinvex functions”, J Math Anal Appl., 189(3), 901-908 [69] E A Morozova, N N Chentsov (1991), “Markov invariant geometry on state manifolds”, J Soviet Math., 56(5), 2648-2669 [70] M S Moslehian, M Kian (2012), “Jensen type inequalities for Q-class functions”, Bull Aust Math Soc., 85, 128-142 [71] M A Naimark (1943), “On a representation of additive operator set functions”, Dokl Akad Nauk SSSR, 41(9), 373-375 (Russian); English translation: C.R (Doklady) Akad Sci USSR (N.S.) 41, 359-361 [72] M A Nielsen, I L Chuang (2011), Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge Univ Press [73] M A Nielsen, D Petz (2005), “A simple proof of the strong subadditivity inequality”, Quantum Inf Comput., 5(6), 507-513 [74] Y Ogata (2011), “A Generalization of Powers-Stømer Inequality”, Let Math Phys., 97(3), 339-346 [75] H Osaka, S Silvestrov, J Tomiyama (2007), “Monotone operator functions, gaps and power moment problem”, Math Scand 100(1), 161-183 [76] CEM Pearce, AM Rubinov (1999), “p-functions, quasi-convex functions and Hadamard-type inequalities", J Math Anal Appl., 240, 92-104 [77] M Pálfia (2016), “Operator means of probability measures and generalized Karcher equations”, Advances in Math., 289, 951-1007 [78] D Petz (1996), “Monotone metrics on matrix spaces”, Linear Algebra Appl 244(1), 81-96 21 [79] W Pusz, S Woronowicz (1975), “Functional calculus for sesquilinear forms and the purification map”, Rep Math Phys 8, 159-170 [80] M B Ruskai (2007), “Another short and elementary proof of strong subadditivity of quantum entropy”, Rep Math Phys., 60(1), 1-12 [81] O E Tikhonov (2006), “A note on definition of matrix convex functions”, Linear Algebra Appl., 416(2-3), 773-775 [82] KL Tseng, GS Yang, SS Dragomir (2003), “ON quasi-convex functions and Hadamard’s inequality", RGMIA Res Rep Collect, 6(3), Article ID [83] M Uchiyama (1993), “Commutativity of selfadjoint operators”, Pac J Math., 161, 385-392 [84] S Varo˘sanec (2007), “On h-convexity”, J Math Anal Appl., 326(1), 303-311 [85] X Zhan (2002), Matrix Inequalities, Springer [86] G Zabandan, A Bodaghi, A Kili¸cmann (2012), “The Hermite-Hadamard inequality for r-convex functions”, J Ineq Appl., 215 [87] K Zhang, J Wan (2007), “p-convex functions and their properties”, Pure Appl Math 23(1), 130-133 [88] X Zhang, G Wang, Y Chu (2009), “Convexity with respect to Hăolder mean involving zero-balanced hypergeometric functions, J Math Anal Appl., 353(1), 256-259 22 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án D T Hoa, V T B Khue, H Osaka (2016), “A generalized reverse Cauchy inequality for matrices", Linear and Multilinear Algebra, 64, 1415-1423 D T Hoa, V T B Khue (2017), “Some inequalities for operator (p, h)-convex functions", Linear and Multilinear Algebra http://dx.doi.org/10.1080/03081087.2017.1307914 D T Hoa, D T Duc, V T B Khue, “A new type of operator convexity", nhận đăng tạp chí Acta Mathematica Vietnamica, 2018 D T Hoa, V T B Khue, T.-Y Tam (2017), “In-sphere property and reverse inequalities for the matrix Heinz mean", gửi đăng ... Nghiên cứu số dạng hàm lồi toán tử trung bình ma trận, tính chất chúng chứng minh số bất đẳng thức tiếng cho chúng Mô tả dạng hàm lồi toán tử bất đẳng thức ma trận Nghiên cứu bất đẳng thức trung... hàm lồi toán tử biết Đưa bất đẳng thức kiểu Hansen-Pedersen cho lớp hàm (p, h) -lồi toán tử, chứng minh bất đẳng thức cho hàm tập số lớp hàm Đưa định nghĩa cho lớp hàm (r, s) -lồi toán tử đạt số. .. dạng hàm lồi toán tử bất đẳng thức liên quan 2.1 2.2 Các hàm (p, h) -lồi toán tử 2.1.1 Một số tính chất hàm (p, h) -lồi tốn tử 2.1.2 Bất đẳng