Ứng dụng tích phân giải bài toán liên quan đến so sánh giá trị hàm số

CHUN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN SO SÁNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ Câu Cho hàm số f  x  liên tục  Đồ thị hàm số y  f '  x  cho hình vẽ bên 19 , tính f   , Biết f  1  12 12 Diện tích hình phẳng  K  ,  H  A f    11 B f     C f    D f    Lời giải Chọn B SK  5 19  f   x  dx  f 0   f  1  12  f 0   12  12  1 S H    f   x  dx   f    f    0 S  1 Câu 2 f   x  dx   f   x  dx  8  f 2      3   f    f  1  f    f   12 13 Cho hàm số y  f  x  liên tục  Đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ y 3 O 2 x Đặt g  x   f  x    x  1 Mệnh đề ? A Min g  x   g 1  3;3 B Max g  x   g 1  3;3 C Max g  x   g  3 3;3 D Không tồn giá trị nhỏ g  x   3;3 Lời giải Chọn B Ta có: g '  x   f '  x    x  1 ; g '  x    f '  x   x  11 Vẽ đồ thị đường thẳng y  x  hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y  f   x  Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y  x  cắt đồ thị hàm số y  f '  x  ba điểm phân biệt  x  3 có hồnh độ 3;1;3 Do 1   x   x  Bảng biến thiên Vậy Max g  x   g 1  3;3 Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Đặt S  f    f   , khẳng định đúng? B S  A S  C S  D S  Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị ta có S1    f   x  dx  f    f    , S2   f   x  dx  f    f    f    f    S1  S2  S1  S2  Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ bên y 3 2 1 O x Xét hàm số g  x    f  t  dt x đoạn  3; 2 Tìm giá trị lớn giá trị g 3 , 2 g  2  , g   , g 1 A g  3 B g  2  C g   Lời giải Chọn D Ta có g   x   f  x  Bảng biến thiên: D g 1 x 3 y   g 1 y Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận max g  x   g 1 x 3;2 Vậy giá trị lớn giá trị g 3 , g  2  , g   , g 1 g 1 Tiếp theo ta xét Bài toán phức tạp Câu Cho hàm số y  f  x Đồ thị hàm số y  f  x hình g  x   f  x    x  1 Mệnh đề đúng? A g  1  g  3  g   B g  1  g  5  g  3 C g    g  1  g  3 D g  3  g  5  g  1 Lời giải Chọn B Ta có g   x    f   x    x  1  ; g   x    f   x   x  Vẽ đường thẳng y  x  hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y  f   x  vẽ Đặt  x  1 Dựa vào đồ thị ta có nghiệm sau:  x   x  Ta có bảng biến thiên Ngồi dựa vào đồ thị ta có   f   x    x  1  dx    x  1  f   x   dx 1  5 1 g   x  dx    g   x  dx  g  x     g  x   1 23  g  3  g  1  g  3  g    g  5  g  1 Vậy g  3  g  5  g  1 + Nhận xét: ta thấy việc nhận định vùng diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f   x  đường thẳng y  x  đường thẳng x  1 ; x  3; x  có vẽ chủ quan Nhưng đa số ý tưởng để giải toán so sánh miền diện tích bảng biến thiên hàm g  x  Câu (TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn  a  b  c  d hàm số y  f  x  Biết hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y  f  x  0;d  Khẳng định sau khẳng định đúng? y a c d b x O A M  m  f  0  f  c  B M  m  f  d   f  c  C M  m  f  b   f  a  D M  m  f  0  f  a  Lời giải Chọn A Gợi ý: Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được: max  f  x   max  f  0 , f  b , f  d  ;min  f  x    f  a  , f  c  0;d  0;d  Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích ta có: b  a a c f   x  dx    f   x  d x  f  c   f  a  b b Tương tự:   f   x  dx   f   x  dx  f    f  b  a c d   f   x  dx   f   x  dx  f  b   f  d  b c Vậy max  f  x    f  0 ;min  f  x    f  c  0;d  0;d  Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Đặt S  f  0  f  6  f  a   f b y a O x b 2 Khẳng định đúng? A S  25  2a  4b B S  26  2a  4b C S  25  2a  4b D S  26  2a  4b Lời giải Chọn C Xét hai đường thẳng y  2; y  a Ta có S  f    f    f  a   f  b    f   x  dx   f   x  dx ; b Ta lại có: b a  f   x  dx   2dx  2 x  f   x  dx   4dx  x b  24  4b b a a  2 a a Suy S  f    f    f  a   f  b    f   x  dx   f   x  dx  25  2a  4b b Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f   x  hình vẽ 1 x  x  x  2018 phát biểu Hàm số có hai điểm cực trị  1; 2 Xét hàm số y  f  x   i) ii) Giá trị nhỏ hàm số g  x   1;  g   iii) g    g 1 iv) Giá trị lớn hàm số g  x   1;1 g  1 Số phát biểu sai A B C D Lời giải Chọn A Ta có g   x   f   x   x3  x  x ; g   x    f   x    x3  x  x Dựng đồ thị hàm số y   x3  x  x hệ trục toạ độ có chứa đồ thị f   x  Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f   x    x3  x  x có bốn nghiệm là: x  1;0;1; 2 Ta có bảng biến thiên hàm số g  sau Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số có hai điểm cực trị  1; 2 Giá trị nhỏ hàm số g  x   1;  g   g    g 1 Hơn ta lại có   g   x  dx  g   x  dx  g  1  g    g 1  g    g  1  g 1 1 Giá trị lớn hàm số g  x   1;1 g  1 Vậy bốn mệnh đề Câu Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm y  f ( x )  đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hồnh điểm a, b, c, d (hình vẽ) Xét mệnh đề sau: (I) f ( a )  f (b) ; (II) f (c )  f ( d ) (III) f ( a )  f (c )  f (b)  f ( d ) ; (IV) f ( a )  f (b ) f (c )  f ( d ) Số mệnh đề sai mệnh đề A B C D Lời giải Chọn C Từ đồ thị f ( x ) suy hàm số f ( x ) nghịch biến ( a; b ),(c; d ) Do f ( a )  f (b ) , f (c )  f (b ) f (c )  f ( d ) Nên mệnh đề (I), (IV) sai, mệnh đề (II) f (b )  f ( a )  f (c ) Cũng từ đồ thị f ( x ) suy c d c d c d        f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx b c b c f ( x)dx  f ( x) b   f ( x) c  f (c )  f (b )  f (c)  f ( d )  f (b )  f ( d ) Nên f ( a )  f (c )  f (b )  f (b )  f ( d ) Vậy mệnh đề (II) Câu 10 Cho hàm số y  f  x  , y  g  x   f   x  , y  h  x   g   x  có đồ thị đường cong hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? y x 2 1 0,5 O 0,5  3 1,5   1 A g  1  h  1  f  1 B h  1  g  1  f  1 C h  1  f  1  g  1 D f  1  g  1  h  1 Lời giải Chọn B + Nếu 1 đồ thị hàm số y  h  x   g   x  g   x   x   0;   g  x  đồng biến  0;  , hai đồ thị cịn lại khơng có đồ thị thoả mãn đồ thị hàm số y  g  x  f  x + Nếu   đồ thị hàm số y  h  x   g   x  g   x   0, x   1,5;1,5   g  x  đồng biến  1,5;1,5  , 1 đồ thị hàm số y  g  x   f   x  f   x   0, x   0;   f  x  đồng biến  0;  ,  3 không thoả mãn đồ thị hàm số y  f  x  + Nếu  3 đồ thị hàm số y  h  x   g   x  g   x   0, x   ;1  g  x  đồng biến  ;1 ,   đồ thị hàm số y  g  x   f   x  1 đồ thị hàm số y  f  x  Dựa vào đồ thị ta có h  1  g  1  f  1 Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm  , đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Hỏi phương trình f  x   có tất nghiệm biết f  a   ? y f'(x) x O A B a b C Lời giải Chọn D Ta có c D Mặt khác b c  f   x  dx   f   x  dx  f  x  a b a c   f  x b b  f b   f  a    f  c   f b   f  a   f c  Mà f  a   nên phương trình vơ nghiệm Câu 12 Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị f   x  hình vẽ y O x Biết f  a  f  b   hỏi đồ thị hàm y  f  x  cắt trục hồnh điểm ? A B C D Lời giải Chọn C Từ đồ thị cho ta có BBT sau :  f  a  f  b    f  a   Vì    f  a   f  b   f  b   b Ta có  a c c f   x  dx    f   x  dx   f   x  dx   f  c   f  a   f  c   b a Ta lại có f  x  liên tục  a; b f  a  f  b    phương trình f  x   có nghiệm thuộc  a; b  , nghĩa đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành điểm có hồnh độ thuộc khoảng  a; b  Tương tự f  x  liên tục b; c  f  b  f  c    phương trình f  x   có nghiệm thuộc  b; c  , nghĩa đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ thuộc khoảng  b; c   a; b    b; c    , đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hồnh hai điểm Câu 13 Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục đoạn  3; 3 đồ thị hàm số y  f   x hình vẽ bên Biết f 1  g  x   f  x   x  1 Kết luận sau đúng? A Phương trình g  x  có hai nghiệm thuộc  3;3 B Phương trình g  x  có nghiệm thuộc  3;3 C Phương trình g  x  khơng có nghiệm thuộc  3;3 D Phương trình g  x  có ba nghiệm thuộc  3;3 Lời giải Chọn B Ta có: g   x   f   x   x  1 Ta thấy đường thẳng y  x  đường thẳng qua điểm  3; 2 , 1; 2 ,  3; 4 Do f 1   g 1  Từ hình vẽ ta thấy:  f   x dx   f 1  f  3   f  3   g  3  f  3   3  f   x dx   f  3  f 1   f  3   g  3  f  3   Từ đồ thị hàm số y  f   x đường thẳng y  x  với kết ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có phương trình g  x  có nghiệm thuộc  3;3 A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu (THPTQG 2017) Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f ( x ) hình bên Đặt g  x   f ( x)  ( x  1) Mệnh đề đúng? Câu A g  3  g  3  g 1 B g 1  g  3  g  3 C g  3  g  3  g 1 D g 1  g  3  g  3 (THPT Đồng Quan, Hà Nội – 2017) Hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a  b  c hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A f  c   f  a   f  b  B f  b   f  a   f  c  C f  a   f  b   f  c  D f  c   f  b   f  a  Câu (Chuyên Đại học Vinh, lần – 2017) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;    thỏa mãn f 1 , f  x   f   x  x  , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f    Câu B  f  5  C  f    D  f  5  (THPT Phan Bội Châu – Đắk Lắk – Lần – 2017) Hình vẽ bên đồ thị hàm số y  f   x  đoạn  0;4 với f  x  hàm số liên tục đoạn  0;4 , có đạo hàm khoảng  0;  Hỏi mệnh đề sau đúng? A f    f    f   B f    f    f   C f    f    f   D f    f    f   Câu (Chuyên Đại học Vinh, lần – 2017) Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  Đồ thị hàm số y  f   x  cho hình bên Biết f    f  3  f    f   Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn f  x  đoạn  0;5 A f   , f   Câu B f   , f   C f 1 , f  5 D f   , f   Cho hàm số y  f ( x ) Đồ thị hàm số y  f ( x ) hình bên Đặt h( x)  f ( x)  x Mệnh đề ? A h (4)  h ( 2)  h (2) C h (2)  h (4)  h ( 2) Câu B h (4)  h ( 2)  h (2) D h (2)  h ( 2)  h (4) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục R Biết đồ thị hàm số y  f '  x  hình 6 y -1 x O -1 Lập hàm số g  x   f  x   x  x Mệnh đề sau đúng? A g  1  g 1 Câu B g  1  g 1 C g 1  g   D g 1  g   Cho hàm số y  f  x  liên tục  , đồ thị hàm số y  f   x  có dạng hình vẽ bên Số lớn số sau f   , f 1 , f   , f  3 ? A f 1 Câu B f   C f  3 D f   Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đạo hàm f   x  liên tục  Hình bên đồ thị hàm số f   x  đoạn  5; 4 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A f  x   f  5  B f  x   f  4  C f  x   f 1 D f  x   f   x 5;4 x 5;4 Câu 10 Cho hàm số x 5;4 x 5;4 f  x  xác định  \ 1;1 thỏa mãn f ' x   1 1 f  3   f    f     f    Tính T  f  2   f    f    2 2 Biết x 1 A T   ln Câu 11 Cho hàm số B T   ln C T   ln y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x D T   ln hình vẽ bên Đặt g  x   f  x   cos x Mệnh đề đúng?   A g    g    g   2   B g    g    g   2   C g    g    g   2   D g    g    g   2 Câu 12 Cho hàm số y  f ( x ) Đồ thị hàm số y  f '( x ) hình bên Đặt g ( x)  f ( x)  ( x  1) Mệnh đề ? A g (1)  g (3)  g ( 3) C g (3)  g (3)  g (1) B g (1)  g (3)  g (3) D g (3)  g (3)  g (1) Câu 13 Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Đặt g  x   f  x   x Mệnh đề đúng? A g  3  g  3  g 1 B g 1  g  3  g  3 C g 1  g  3  g  3 D g  3  g  3  g 1 Câu 14 Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm  Biết đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Xét hàm số g  x   f  x   x2  x Tìm số lớn ba số g  1 , g 1 , g   ? y -1 O x -1 -3 A g  1 B g 1 C g   D Không so sánh Câu 15 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a  b  c hình vẽ Mệnh đề đúng? A  f  b   f  a    f  b   f  c    B f  c   f  b   f  a  C f  c   f  a   f  b   D f  a   f  b   f  c  _ TOANMATH.com _ ...  4b b Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f   x  hình vẽ 1 x  x  x  2018 phát biểu Hàm số có hai điểm cực trị  1; 2 Xét hàm số y  f  x   i) ii) Giá trị nhỏ hàm số g  x   1;... thiên hàm g  x  Câu (TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn  a  b  c  d hàm số y  f  x  Biết hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số. .. vùng diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f   x  đường thẳng y  x  đường thẳng x  1 ; x  3; x  có vẽ chủ quan Nhưng đa số ý tưởng để giải toán so sánh miền diện tích bảng