Ứng dụng tích phân tính diện tích mặt phẳng trong thực tế

CHUN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TỐN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VỚI DỮ KIỆN TỐN THỰC TẾ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lí: Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm đoạn a; b  Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b b S   f  x  dx a Bài toán Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn a; b  Khi diện tích S hình phẳng  D  giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  ; trục hoành Ox ( y  ) hai đường thẳng x  a; x  b b S   f  x  dx a Bài tốn Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  f  x  ; y  g  x  hai đường đường thẳng x  a; x  b S    b a f  x   g  x  dx Lưu ý: 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau:  Giải phương trình f  x   g  x  tìm nghiệm x1 , x , , x n  a; b   x1  x   x n   Tính S   x1 a f  x   g  x  dx    x2 x1 f  x   g  x  dx    x1 b b xn f  x   g  x  dx   f  x  g  x  dx     f  x  g  x  dx a xn Ngoài cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối 2) Trong nhiều trường hợp, tốn u cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  f x  ; y  g x  xn Khi đó, ta có cơng thức tính sau S   f  x  g  x  dx x1 Trong x1 x n tương ứng nghiệm nhỏ nhất, lớn phương trình f  x   g  x  B BÀI TẬP NHỮNG BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HÀM PARABOL Phương pháp Bước Chọn hệ trục tọa độ, xác định parabol Bước Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  đường cho toán Bước Tùy theo thực tế bài, tính diện tích theo yêu cầu Chú ý: Mấu chốt vấn đề tính diện tích parabol nằm khâu chọn hệ trục tọa độ phù hợp Nên chọn hệ trục cho đỉnh parabol nằm trùng với gốc O nằm trục Oy Khi hàm số parabol ln có dạng y  ax  b DẠNG CÁC BÀI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH PARABOL ĐƠN THUẦN Câu Vòm cửa lớn trung tâm văn hóa có dạng hình parabol Người ta dự định lắp cửa kính cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao 8m rộng 8m Hướng dẫn giải Định hướng: Ở toán này, chất việc xác định đồ thị hàm parabol thõa mãn với vịm cửa, sau tính diện tích Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Vịm cửa đồ thị hàm số parabol có dạng:  P y  ax  b Theo đề ra:  4;8   P  nên  16a  b (1)  0;0    P  nên  0a  b (2) Từ (1) (2) suy parabol có dạng y  x Khi đó, vịm cửa giới hạn đường y x , y 8 Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x  x 8   x  4 Diện tích vịm cửa 4   128   S     x  dx   x  x3     4  4  Câu Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá th mét vng 1500000 đồng Tính số tiền bác Năm phải trả Hướng dẫn giải Định hướng: Bài tốn hồn tồn tương tự ví dụ Bản chất tốn tính diện tích phần hình phẳng đồ thị hàm số parabol Cách 1:  Gắn parabol  P  hệ trục tọa độ cho  P  qua O (0; 0) y B  Gọi phương trình parbol (P):  P  : y  ax  bx  c Theo đề ra,  P  qua ba điểm O (0; 0) , A(3; 0) , B (1,5; 2, 25) x Từ đó, suy  P  : y   x  x O  Diện tích phần Bác Năm xây dựng: S    x  x dx  9  Vậy số tiền bác Năm phải trả là: 1500000  6750000 (đồng) Cách 2: A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Đỉnh I  0;2,25  Oy ,  P  qua A(1,5;0) Gọi phương trình parbol (P):  P  : y  ax  b Dễ dàng tìm y   x  2,25 Từ ta tính diện tích hình phẳng bình thường Bài tập tương tự Câu Một người làm cổng cổ xưa có dạng Parabol hình vẽ Hãy tính diện tích cổng? Hướng dẫn giải Phương trình parabol ( P ) có đỉnh I  0;4  qua điểm  0;2  y   x2  Diện tích cổng diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  y   x2    y0   x  2  x  2 Từ ta có S   x 2 Câu 2  dx   x  dx  2 32 (đvdt ) Gọi S diện tích Ban - Cơng ngơi nhà có hình dạng hình vẽ ( S giới hạn parabol  P  trục O x ) Khi Lời giải Tìm phương trình parabol  P  qua ba điểm: đỉnh A 0;1 , B  1;0 C 1;0 giao điểm với trục O x ta  P : y  x2 1 1  x3    Diện tích S    x  dx     x     1 1 DẠNG CÁC BÀI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH XÁC ĐỊNH BỞI HÀM SỐ y  f  x; y  g  x Câu Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính 4m (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với 4m 4m tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường tròn (phần tô màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) Hướng dẫn giải Định hướng: Bản chất tốn tính diện tích phần không tô màu, (được giới hạn bời nửa đường trịn, đồ thị hàm parabol) Ta chuyển tốn tính diện tích hình phẳng hai đồ thị hàm số f  x  , g  x  trục Ox việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường trịn y  R2  x2  2   x  20  x Phương trình parabol  P  có đỉnh gốc O có dạng y  ax Mặt khác  P  qua điểm M  2;4  đó:  a  2   a  Phần diện tích hình phẳng giới hạn  P  nửa đường trịn.( phần tơ màu) Ta có cơng thức S1   2  20  x  x dx  11,94m2 Vậy phần diện tích trồng cỏ Strongco  S  S1  19, 47592654 hinhtron Vậy số tiền cần có S trongxo  100000  1.948.000 (đồng).đồng Câu Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1 m2  rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm trịn đến hàng nghìn) Hướng dẫn giải Định hướng: Bài tốn quy tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y  f  x  hai đường thẳng x  a; x  b trục Ox Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Trong A  2,5;1,5 , B  2,5;1,5 , C 0;2 Giả sử đường cong phía Parabol có dạng y  ax  b , với a ; b ; c   Do Parabol qua điểm B  2,5;1,5 , C 0;2 nên ta có hệ phương trình  a  2,5  b  1,5 a    25  b  b  Khi phương trình Parabol y   2 x 2 25 Diện tích S cửa rào sắt diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 x  , trục hoành hai đường thẳng x   2, , x  2, 25 2,5 2,5  x3  55    2x   Ta có S     x   dx    25   25  2,5 2,5  Vậy ông An phải trả số tiền để làm cửa sắt S  700000  55  700000  6.417.000 (đồng) Câu Một mảnh vườn tốn học có dạng hình chữ nhật, chiều dài 16 m chiều rộng m Các nhà Toán học dùng hai đường parabol, parabol có đỉnh trung điểm cạnh dài qua mút cạnh dài đối diện; phần mảnh vườn nằm miền hai parabol (phần gạch sọc hình vẽ minh họa) trồng hoa Hồng Biết chi phí để trồng hoa Hồng 45.000 đồng/1m2 Hỏi nhà Toán học tiền để trồng hoa phần mảnh vườn đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 16 Hướng dẫn giải Định hướng: Bài tốn quy tính diện tích hình phẳng giới hạn hai hàm sô y  f  x  , y  g  x  Vì hai đồ thị hàm số đối xứng, nên ta chuyển tốn dạng tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  Lời giải trình bày theo cách thứ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Hàm số có đồ thị y  f  x  có dạng y  ax Vì O  0;0  M  8;8  thuộc  P  nên ta có: y  x Tương tự ta tìm đồ thị hàm số y  g  x    x  Diện tích phần trồng hoa diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình: x   x2  8  x  32  x   32 Diện tích phần trồng hoa : 32 S   32 32 1  x   x dx    x  8dx 8  32 32  x3        x  dx     x    12   32  32 96 32   32  32  m  Số tiền để trồng hoa : 96 32   32  45000  2715290 (đồng) Bài tập tương tự Câu Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình vng có cạnh m (như hình vẽ) Phần diện tích trồng hoa, phần diện tích Sl , S2 dùng để S3 , S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có hàm số dạng y  ax  bx  c có đỉnh gốc tọa độ qua điểm B 2;2 nên có phương trình y  x Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính OB  2 nên có phương trình x2  y2  Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh y   x2   Vậy diện tích phần S1     x  x  dx  2    Do đó, diện tích trồng hoa S1  S2     x  x  dx  15, 233  2  Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:   15, 233  150.000   2    15, 233  100.000  3.274.924 đồng Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng Câu Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật  H  có cạnh nằm trục hồnh, có hai đỉnh đường chéo A 1;0 C a ; a , với a  Biết đồ thị hàm số y  x   chia hình  H  thành hai phần có diện tích nhau, tìm a Hướng dẫn giải Gọi ABCD hình chữ nhật với AB nằm trục O x , A 1;0 C a ; a   Nhận thấy đồ thị hàm số y  x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ qua   C a ; a Do chia hình chữ nhật ABCD làm phần có diện tích S1 , S2 Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x trục O x , x  0, x  a S2 diện tích phần cịn lại Ta tính S1 , S2 a Tính diện tích S1   xdx Đặt t  x  t  x  2tdt  dx ; Khi x   t  0; x  a  t  a a Do S1   a  2t  2a a 2t dt      0 Hình chữ nhật ABCD có AB  a 1; AD  a nên S2  SABCD  S1  a  a  1  2a a  a a a 3 Do đồ thị hàm số y  x chia hình  H  thành hai phần có diện tích nên : S1  S2  Câu 2a a  a a  a  a a  a  a  (Do a  ) 3 Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC  m , chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN  m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m2 Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó? Hướng dẫn giải - Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm O MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN parabol có phương trình y   x  208   - Khi diện tích khung tranh S     x   dx  m  2  - Suy số tiền là: Câu 208  900.000  20.800.000 đồng Ơng B có khu vườn giới hạn đường parabol đường thẳng Nếu đặt hệ tọa độ Oxy hình vẽ bên parabol có phương trình y  x đường thẳng y  25 Ông B dự định dùng mảnh vườn nhỏ chia từ khu vườn đường thẳng qua O điểm M parabol để trồng loại hoa Hãy giúp ông B xác định điểm M cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ Hướng dẫn giải Gọi điểm H có hồnh độ a,  a   hình chiếu vng góc điểm M trục Ox Khi ta có pt đường thẳng OM có dạng y  tan  x , ( với  )  tan     MOH MH a   a  y  ax OH a Vậy diện tích mảnh vườn cần tính là: a a  ax x3  a3 a3 S    ax  x  dx         a  3 6  0 Suy OM  32  92  10 Câu Trong đợt hội trại “Khi 18 ” tổ chức trường THPT X, Đoàn trường có thực dự án ảnh trưng bày pano có dạng parabol hình vẽ Biết Đồn trường u cầu lớp gửi hình dự thi dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD , phần cịn lại trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn 200.000 đồng cho m bảng Hỏi chi phí thấp cho việc hoàn tất hoa văn pano (làm trịn đến hàng nghìn)? A B D C 4m 4m Hướng dẫn giải Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, phương trình đường parabol có dạng: y  ax  b y A B 4m D 2 O x C 4m Parabol cắt trục tung điểm  0;  cắt trục hoành  2;0  nên: b  a  1   b  a.2  b  Do đó, phương trình parabol y   x  Diện tích hình phẳng giới hạn đường parabol trục hoành là: S1   2  x3  32 x  d x     4x     2  Gọi C  t ;0   B  t ;  t  với  t  Ta có CD  2t BC   t Diện tích hình chữ nhật ABCD S2  CD.BC  2t   t   2t  8t Diện tích phần trang trí hoa văn là: S  S1  S2  32 32   2t  8t   2t  8t  3  t   0;   32 3 Xét hàm số f  t   2t  8t  với  t  Ta có f   t   6t      t     0;   Bảng biến thiên: x f  x f  x – 96  32  Như vậy, diện tích phần trang trí nhỏ việc hoàn tất hoa văn pano là: 96  32 m , chi phí thấp cho 96  32 200000  902000 đồng NHỮNG BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ELIP Phương pháp Bước Chọn hệ trục tọa độ, xác định Elip Bước Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x  đường cho toán Bước Tùy theo thực tế bài, tính diện tích theo yêu cầu Chú ý Mấu chốt vấn đề tính diện tích Elip.nằm khâu chọn hệ trục tọa độ phù hợp Nên chọn hệ trục cho tâm Elip nằm trùng với gốc O Khi hàm số elip ln có dạng x2 y2   a b2 Câu Anh Tồn có ao hình elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé 100m 80m Anh chia ao hai phần theo đường thẳng từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục bé (Bề rộng không đáng kể) Phần rộng anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống Biết lãi nuôi cá lấy thịt lãi nuôi cá giống năm 20.000 đồng/m2 40.000 đồng/m2 Hỏi năm anh Tồn có tiền lãi từ ni cá ao nói (Lấy làm trịn đến hàng nghìn) Hướng dẫn giải Định hướng: Bản chất tốn tính diện tích phần tơ màu,đen (được giới hạn bời elip, đồ thị đường thẳng) Ta chuyển tốn tính diện tích hình phẳng hai đồ thị hàm số f  x  , g  x  trục Ox việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình elip x2 y2  1 a b2 Phương trình Elip có tâm Elip trùng với gốc tọa độ.( Elip có tính đối xứng nên ta xét góc phần tư thứ Elip phương trình góc phần tư thứ Elip y 2 502   40 x  a   bx   a 50 Từ ta tìm diện tích 50 S1   ao là: 502   40 x  dx  500  m2  50 Sau tìm diện tích tồn phần ao ta tính diện tích phần ni cá Diện tích tồn ao S  π 40.50  2000π  m  Diện tích phần nuôi cá giống S1  S  S  OAB  500 π  1000  m  Diện tích phần ni cá thịt S2  S  S1  1500π  1000  m2  Tiền lãi từ nuôi cá 40000.S1  20000.S2 137080000 Câu Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m chiều rộng 30m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền ngồi viền đường hai đường elip chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí để làm m2 làm đường 500.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) Hướng dẫn giải Định hướng: Bài tốn quy tính diện tích hình phẳng giới hạn hai elip đồng tâm ( tâm trùng với gốc tọa độ) y  f1  x  y  f  x  x2 y2 Gọi S diện tích elip  E  :   ta có S   ab a b a  x2 x2  Chứng minh S   b        ab  a a  a  Xét hệ trục tọa độ Oxy cho trục hoành trục tung trục đối xứng hình chữ nhật trục hồnh dọc theo chiều dài hình chữ nhật Gọi  E1  elip lớn,  E2  elip nhỏ ta có:  E1  : x2 y    Diện tích S1  .25.15  375 252 152  E2  : x2 y    Diện tích S2  .23.13  299 232 132 Diện tích đường 375  299  76 Do số tiền đầu tư 76 *500.000  119320000 Câu Người ta cần trồng hoa phần đất nằm phía ngồi đường trịn tâm gốc toạ độ, bán kính phía Elip có độ dài trục lớn Trong đơn vị diện tích cần bón 100 2 1  2 trục nhỏ (như hình vẽ) kg phân hữu Hỏi cần sử dụng kg phân hữu để bón cho hoa? y O x Hướng dẫn giải Diện tích hình phẳng giới hạn elip đường trịn diện tích hình elip trừ diện tích hình trịn y O 2 x 2 x y  Phương trình elip có trục lớn a  2 , trục nhỏ 2b   E :   Áp dụng cơng thức diện tích Selip   ab ta Seip    Phương trình đường trịn  C  tâm O 0;0 bán kính R  Áp dụng cơng thức diện tích S hình trịn   R   1  C  : x  y  2 * Vậy diện tích hình phẳng S  S elip  S hình trịn      100  Do khối lượng phân cần bón      50    2  1  x2 y2 + Chứng minh cơng thức diện tích elip: Selip   ab với  E  :   a b b  2  y  a a  x ,  y  0   y   b a2  x2 ,  y  0  a a Do tính đối xứng nên Selip  b a2  x2 dx  a0    I    x  a  sin u   u  Đặt x  a sin u  dx  a cos udu ; đổi cận   x   sin u   u    2 I   a  a sin u a cos udu  a  0    a2 1  cos 2u  du  sin u cos u du  a  cos udu  0 2 a2  2 a  u  sin 2u   Vậy Selip   ab  0 Câu Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng ( hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng / m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất (số tiền làm trịn đến hàng nghìn) Hướng dẫn giải Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường elip tâm O x2 y2   Khi diện tích mảnh vườn cần tìm chia làm qua trục lớn, gọi diện tích 64 25 phần S Khi diện tích S mảnh vườn lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y  f  x  hai đường thẳng x  4; x  4  S   36  x dx  S  3  25  4 25 x dx  38, 2644591 64 Do số tiền cần dùng 100000.2.38, 2644591  7653000 đồng NHỮNG BÀI TỐN THỰC TẾ SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRỊN Phương pháp 2 Bước Xác định Phương trình đường tròn :  x  a    y  b   R Diện tích tồn phần đường trịn : S   R2 Bước Trọn hệ trục tọa độ để đặt đường trịn phác họa phần mặt phẳng cần tính diện tích giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  đường tròn Bước Ta sử dụng cơng thức tính diện tích v   f  x   g  x  dx u để tính diện tích phần cần tính Bước Tùy thuộc vào câu hỏi để kết luận đưa kết toán Câu Một bồn hoa “Hội hoa xuân” thiết kế hình vẽ bên Bồn hoa giới hạn hai nhanh đường cong gồm parabol đường trịn Nếu xét hệ trục ta có phương trình hai đường y  x y   x Diện tích bồn hoa A   B   C Lời giải   D   Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm: x   x  x   x  x   x  1 Diện tích hình phẳng cần tìm S   1   x  x dx  A   x dx  A  1 Đặt x  sin t  dx  cos tdt Đổi cận: x  1  t      ; x 1 t      sin 2t  Ta có: A   cos tdx   1  cos 2t  dx   t     1 2       Vậy S  Câu  1 4    3 Một logo quảng cáo hình trịn sơn hai màu Hãy tính diện tích phần sơn màu hình vẽ Biết logo thiết kế lớn hình trịn có bán kính 2m có hai phần giới hạn parabol giống tiếp xúc đỉnh hình vẽ, parabol cắt đường trịn điểm cách 2m A   B 2  C   Lời giải Chọn C D 2  Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ ta có phương trình đường trịn x  y  parabol phía y  x (do qua điểm 1;1  1;1 ) Diện tích hình phẳng cần tìm bằng: S    2  2 1  x  x dx  2  A   x dx  2   A 1   Đặt x  sin t  dx  cos tdt Đổi cận: x  1  t      ; x 1 t      sin 2t  Ta có: A   cos tdx   1  cos 2t  dx   t     1 2       Vậy S  2  Câu 4      1    3 2  Một cổng chào thiết kế gồm hai cung trịn có bán kính có tâm cách 3m Phần chân cổng đường thằng qua tâm cung trịn nhỏ vng góc với đoạn nối tâm hai cung trịn (tham khảo hình vẽ) Tính diện tích phần bề mặt cổng A 9, 61 B 9, 63 C 19, 22 Lời giải Chọn A D 18, 22 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có hai đường trịn chứa hai cung trịn có phương trình x   y  3  25 x  y   y  Giải hệ  ta có x  4  x   y  3  25 Nửa đường trịn nhỏ bên có diện tích  Nửa đường trịn  C1  có phương trình y  3  25  x Diện tích hình phẳng cần tìm S    3   25  x dx  4  Dùng máy tính để tìm kết ta có S  9, 61 Câu Một khoảng đất trồng cỏ có dạng hình trịn bán kinh 3m Một bò cột sợi dây dài cọc cách tâm khoảng đất trồng cỏ đoạn 4m , biết bò vươn người hết cỡ cách cọc khoảng 2m Hỏi diện tích cỏ bị bò ăn bao nhiêu?(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ) A 3,98 B 3,9 C 1, 99 Lời giải Chọn C D 1, 94 Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có phương trình hai đường trịn  C1  : x  y   C2  : x   y     x  y  15 Giải hệ phương trình  ta có x    x   y    Nửa đường trịn phía  C1  có phương trình y   x Nửa đường trịn phía  C2  có phương trình y    x 15 Diện tích hình phẳng cần tìm S       x    x dx 15 Dùng máy tính để tìm kết ta có: S  1, 99 Câu Cho  H  hình phẳng giới hạn hai parabol y  x2 ; y  x , cung trịn có phương trình y   x (với  x  ) (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích  H  A  B  C 2   Lời giải Chọn B Xét phương trình hồnh độ giao điểm với  x  D 2   x2 x4   x2    x2  x2   x  x   x2  3x   x  x   x  Diện tích hình phẳng cần tìm 1  x3 x3    x2  x2     S    x   dx     x   dx   3 9          3 1  x dx      9     3 6    x dx   x2 dx   x dx Đặt x  2sin t  dx  2cos tdt Đổi cận: x   t    ; x 3t      3    cos 2t   sin 2t  Ta có: S   cos 2tdx         dx   t              Câu Cho  H  hình phẳng giới hạn đường thẳng y   x  2 ; cung trịn có phương trình y   x (với  x  ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích  H  A   B   C  Lời giải Chọn D  D   Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng tiếp tuyến cung trịn điểm có hồnh độ Diện tích hình phẳng cần tìm S  2  2   x dx   A Đặt x  2sin t  dx  2cos tdt Đổi cận: x   t    2 4  ; x2t      cos 2t   sin 2t    1  Ta có: A   cos 2tdx     dx   t          1 2   2        Vậy S     1   2  Câu Cho tam giác vuông cân ABC A có BC  Gọi H chân đường cao hạ từ A , dựng đường trịn đường kính AH Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường tròn nằm tam giác A   B   C   2 D   2 Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có đường trịn có phương trình x   y  1  ; cạnh AC nằm đường thẳng có phương trình y   x  Do tính đối xứng hình vẽ ta cần tính lần phần diện tích bên phải trục tung Nửa đường trịn có phương trình y    x Phương trình hoành độ giao điểm   x   x   x  Diện tích hình phẳng cần tìm  1  S    x     x dx    x  x     x dx   A 0 Đặt x  sin t  dx  cos tdt Đổi cận: x   t  ; x   t       sin 2t     cos 2t   Ta có: A   cos tdx    d x t     2 0  0 Vậy S   Câu  Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m2 Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị) 6m O Hướng dẫn giải Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường trịn tâm O x  y  36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình y  36  x  f  x  Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y  f  x  hai đường thẳng x  3; x  3  S   36  x dx  18  12 3 Do số tiền cần dùng 70000.S  4821322 đồng _ TOANMATH.com _ ... họa phần mặt phẳng cần tính diện tích giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  đường tròn Bước Ta sử dụng cơng thức tính diện tích v   f  x   g  x  dx u để tính diện tích phần cần tính Bước... xác định Elip Bước Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x  đường cho toán Bước Tùy theo thực tế bài, tính diện tích theo yêu cầu Chú ý Mấu chốt vấn đề tính diện tích Elip.nằm khâu...  50 Sau tìm diện tích tồn phần ao ta tính diện tích phần ni cá Diện tích tồn ao S  π 40.50  2000π  m  Diện tích phần nuôi cá giống S1  S  S  OAB  500 π  1000  m  Diện tích phần ni