Giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM o0o NGUYỄN DOÃN MINH GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIÊN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BANG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM o0o NGUYỄN DỖN MINH GIẢI BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIÊN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BANG Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Cán hướng dẫn khoa học Thái Nguyên, năm 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Các tài liệu luận văn trung thực Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Luận văn chưa cơng bố cơng trình Thái Ngun, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN DOÃN MINH XÁC NHẬN XÁC NHẬN CỦA KHOA CHUYÊN MÔN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TAN Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn hướng dẫn hiệu quả, tận tình bảo động viên suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN DOÃN MINH Mục lục Lời mở đâu Lý chọn đề tài Từ năm 1950, Nikaido Isoda đưa khái niệm cân toán học, sau năm 1958 John Nash đưa khái niệm cân trị chơi khơng hợp tác, năm 1972 Ky Fan chứng minh tồn nghiệm bất đẳng thức, người ta gọi toán cân kiểu Ky Fan Từ năm 1994 Blum Oettli phát biểu toán cân cách ngắn gọn sau: Cho C tập hợp cân H, f : C X C ! H, f (u,u) = Bài tốn tìm u* C cho f (u*,u) > 0, Vu C, toán gọi toán cân bằng, u* gọi điểm cân bằng, hàm f gọi song hàm Bài toán bao gồm toán khác lý thuyết tối ưu trường hợp đặc biệt Sau nhà tốn học phát biểu toán cho trường hợp véctơ trường hợp liên quan đến ánh xạ đa trị Trong thực tế nhiều ta gặp trường hợp giải toán tập nghiệm toán khác, toán gọi toán cấp hai Mục đích luận văn viết tổng quan tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân toán cân xây dựng số thuật toán để giải tài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn cân Chính với mong muốn tìm hiểu nhiều vấn đề trên, với gợi ý giúp đỡ nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Xn Tấn, tơi chọn đề tài: "Giải tốn bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân bang" làm luận văn thạc sỹ Mục đích nghiên cứu Mục đích mà đề tài đặt nghiên cứu số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân (i) Đề tài nghiên cứu phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán BVI(F; G; C) với điểm sử dụng tính chất co ánh xạ T\ = I — XF với A > 0, F ánh xạ giá đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược, theo P.N Anh (ii)Kết hợp phương pháp đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất động đưa thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân VIEP(F; f; C) với ánh xạ giá F đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, song hàm f giả đơn điệu thỏa mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt Đối tương phạm vi nghiên cứu Với mục đích đặt trên, đề tài nghiên cứu nội dung sau phương pháp giải toán VIEP(F; f; C): (i) Nghiên cứu xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải toán cân giả thiết song hàm f giả co chặt, đồng thời chứng minh tính tựa không giãn tựa co ánh xạ nghiệm: S(u) = argmỉn^Xf (u, v) + IIIv — u\\2 : v C} ;Vu C (ii)Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, liên tục Lipschitz hàm giá F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu kết liên quan tới toán bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, phương pháp giải toán trên,để điểm mạnh phương pháp giải toán tìm nghiệm tốn VIEP(F; f; C), đưa thuật toán tạo dãy lặp đơn giản với điều kiện song hàm f đơn điệu mạnh ánh xạ giá F đơn điệu, đồng thời chứng minh hội tụ mạnh dãy nghiệm toán VIEP (F; f;C) Dự kiến kết nghiên cứu Đề tài tổng quan kiến thức liên quan tới kết phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Dề tài chia thành chương Chương Viết kiến thức lý thuyết khơng gian Hilbert Các tính chất liên tục, lồi ánh xạ Một số định lý tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân toán cân Chương Viếttập vềnghiệm số thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân2trên toán cân Chương Kiến thức chuẩn bị Khi phát biểu toán, người ta phải quan tâm toán đặt đâu Tức phải quan tâm tới khơng gian tốn Vậy trước hết ta phải nhắc lại số kiến thức liên quan tới khơng gian, sau tới số tính chất chúng Một khơng gian tuyến tính thực (phức) với hàm (•, •) song tuyến tính thực (phức), đối xứng thỏa mãn điều kiện hu, ù) > 0, 8u H, hu, ù) =0 , u = 0, gọi không gian tiền Hilbert thực (phức) Trong không gian tiền Hilbert ta định nghĩa chuẩn u H sau: ||u|| = Vhù, u), ta dễ dàng chứng minh chuẩn H từ chuẩn ta định nghĩa khoảng cách hai điểm u, v sau: p(u, v) = ||u — v||; H, p trở thành không gian định chuẩn Nếu H đầy đủ với chuẩn khơng gian với tích vơ hướng gọi không gian Hilbert Ta dễ dàng nhận thấy không gian Hilbert H, cấu trúc tôpô cấu trúc đại số tương đương nhau, tức phép tính đại số liên tục với tơpơ sinh metric Tiếp theo ta đưa vào khái niệm ánh xạ không gian Hilbert Cho H , H2, H3 không gian Hilbert, phép chuyển T chuyển phân tử từ H vào H2 gọi ánh xạ (hay tốn tử), ta phân loại ánh xạ đưa vào cấu trúc tôpô cấu trúc đại số (i) T(au + fìv} = aT(u) + ->T(v) với a, R,u,v H T gọi ánh xạ tuyến tính; ngược lại T gọi ánh xạ phi tuyến; (ii)T gọi liên tục u ! u T(u) ! T(u); (iii) T có đồ thị đóng gọi ánh xạ đóng; (iv)T chuyển từ tập giới nội thành tập compact tương đối (A c H1, TA compact) T gọi ánh xạ compact Tiếp theo ta nêu số tính chất ánh xạ (i) Cho T ,T liên tục (đóng, compact) T1 + T2 liên tục (đóng, compact); (ii) Cho T liên tục (đóng, compact) a R aT liên tục (đóng, compact); (iii) Cho T : H ! H ,T : H ! H3; T ,T liên tục (đóng, compact) 1 2 2 T T liên tục 1.1Không gian Hilbert số tính chất Trong phần ta nhắc lại định nghĩa không gian Hilbert, số khái niệm thuộc khơng gian Hilbert tính trực giao, hình chiếu, tốn tử compact toán tử bị chặn Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính thực Tích vô hướng xác định H ánh xạ xác định sau: ộ, •) : H X H ! R, , ! (u v) thỏa mãn điều kiện sau: (a) hu,vi = (v,u), 8u,v H; (b) hu + v,t) = (u,t) + hv,t), 8u,v,t H; (c) hXu,v) = X(u,v), XX R, 8u,v H; (d) hu,u) > 0,8u H, hu,u) =0 , u = hu,vi ; 2.1Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Phương pháp đạo hàm tăng cường, theo thuật ngữ G.M Korpelevich, phương pháp hữu hiệu việc giải toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc có cấu trúc đơn giản Phương pháp G.M Korpelevich trình bày giải toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá đơn điệu liên tục Lipschitz Gần đây, P.N Anh nghiên cứu ứng dụng phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F,G,C) 2.1.1 Đặt toán Cho ánh xạ G : H ! H gọi ánh xạ giá, đặt g(u, v) = hG(ù), v — ù) 8'ù, v C Khi đó, tốn BEP(g, F, C) phát biểu: Tìm ù* Sol(G, C) thỏa mãn (F(ù*), ù — ù*) > 0,8ù S(G, C) Bài toán thường gọi toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, ký hiệu BVI(F, G, C), hay toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, Ta ký hiệu tập nghiệm toán BVI(F, G, C) Q Thuật toán ([3]) 2.1.2 Thuật toán để giải toán phát biểu sau: Cho k = 0,m H, < A < L, dẫy số dương {ỗ g, {x g, k k {®kg, Wkg, {^kg {ẽkg thỏa mẫn {a g c [m,n] với m,n (0,1), x < L~,8k > 0, k k < lim ỗk = 0, E ẽk < 1,0 < lim infk!i pk < lim supk!i pk < 1, Ck + pk + 7k = 1,8k > 0, lim Ck = 0, E k!1 < k = k=0 e Bước Nếu ù Sol(BVI) dừng Ngược lại, tính v = Pr (ù k k x G(ù )) t = Pr (ù — x G(v )) k k k c k k k c k — Bước Vòng lặp trong, j = 0,1, Tính Íuk,0 = t _ ỵkF (t ), k k v = Pr (u — ỗj G(u )), u = £j u + /3j u + 7j PrC (u — ỗj G(v ,j)) k;j C k;j k;j k;j+1 Tìm h thỏa mãn \\h k k — k;j k;0 k k;j lim uj!1 II < ẽ đặt u = a u + (1 — a )h k;j k+1 k k k k k Bước Tăng k thêm đến Bước 2.1.3 Định lý hội tụ Sự hội tụ thuật toán khẳng định định lý sau Định lý 2.1 Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Giả sứu ánh xạ F : C ! H đơn điệu mạnh với hệ số p liên tục Lipschitz với hệ số L Sol(G, C) ánh xạ G : H ! H đơn điệu liên tục Lipschitz với hệ số L2 C Khi đó, dãy {u g, {v g {t g k k k xác định thuật toán 1.1 hội tụ mạnh đến nghiệm u* tốn BVI(F,G,C) Hơn nữa, ta có ■ = lim prsoi(G,c)(u ) k k!i 2.2Bài toán bất đẳng thức biến phân ràng buộc điểm bất động tách Phương pháp chiếu - điểm bất động phương pháp kết hợp phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân kỹ thuật Krasanoselskii-Mann tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Phương pháp P.N Anh [4] trình bày giải tốn bất đẳng thức biến phân ràng buộc điểm bất động tách, ký hiệu (BSF) 2.2.1Đăt tốn Tìm u* Q thỏa mãn (F(u*), u — u*i > 0, Vu Q (2.2.1) với Q tập nghiệm toán điểm bất động tách: Tìm u* C thoả mãn u* = Tu*, Au* Q Au* = S(Au*} C, Q hai tập con, lồi, đóng, khác rỗng hai không gian Hilbert H1, H2 F : C ! H1 ánh xạ đơn điệu, ánh xạ T : C ! C, S : Q ! Q ánh xạ khơng giãn 2.2.2Thuật tốn định lý hội tụ Thuật toán hội tụ mạnh dãy lặp trình bày chi tiết định lý sau Định lý 2.2 ([4]) Giả sứ C,Q hai tập con, lồi, đóng, khác rỗng hai khơng gian Hilbert thực H1, H2 tốn tứ A : H1 ! H2 tốn tứ tuyến tính bị chặn với tốn tứ liên hợp A* CHo F : C ! H1 ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số p, liên tục Lipschitz với hệ số L C hai ánh xạ T : C ! C S : Q ! Q ánh xạ không giãn Lấy u C, dãy lặp {a g, {u g, {v g {t g xác định sau k k k k ak = prQ(Au ), k v = k Prc(u + k ôA*(Su k - Au )), k t = Prc(v - XkBF(v )), k k k uk = aku + (1 - ak)T(t ), Vk > 0, +ĩ với ô (0, -piĩ+ĩ) k k , 0,8v Q, (2.3.1) với f, g : C X C ! R hai song hàm Q tập nghiệm tốn cân bằng: Tìm v* Q thỏa mãn f (v*,v) > 0,8v C Thuật toán ([9]) 2.3.2 Thuật toán toán phát biểu sau: Cho u C, {r } {e } dãy số dương n n Bước Tìm u C nghiệm toán n+1 F(u ,v) + c g(u ,v) + r~(u n+1 n n+1 Bước Nếu u n+1 n+1 — u , v — u i > 0,8v C n n+1 = u thuật tốn dừng, u nghiệm Ngược lại, thay n n n n + chuyển Bước đây, coi K hàm đại diện cho hai song hàm f, g Khi đó, f g thỏa mãn điều kiện sau (A1) K(u,u) = với u C; (A2) K đơn điệu, K(u, v) + K(v,u) < với u,v C; (A3) lim (kt + (1 — k)u, v) < K(u, v) với u,v,t C; (A4) với u C, v ! K(u,v) hàm lồi nửa liên tục yếu 2.3.3 Định lý hội tụ Sau định lý hội tụ Thuật toán Định lý 2.3 Giả sứ tập nghiệm Q = 0, với v C, hàm u ! g(u, v) hàm nứa liên tục bị chặn với v Q Giả sứ lim inf r > n 11 r e < +1 Khi n n=0 n I1 X l|u n+1 - u ||' n < +1 n=0 dãy {u } cho Thuật toán 1.2 hội tụ yếu đến điểm thuộc Q n Nếu ||un +1 — u \\ = o(c ), thỉ dãy {un} hội tụ yếu đến nghiệm toán n n (2.3.1) 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Phương pháp chiếu đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất động đưa thuật tốn để tìm nghiệm toán VIEP(F,f,C) sở kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường, theo P.N Anh [3] 2.4.1 Đặt tốn Giả sử C tập con, lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, song hàm f : C X C ! R hàm giá F : C ! H Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân bằng, ký hiệu VIEP(F,f,C), tốn: Tìm u* Sol(f, C) (F(u*), v — u*i > 0,8v Sol(f, C), (2.4.1) Sol(f, C) tập nghiệm tốn cân bằng, ký hiệu EP(f, C) tìm v* C thỏa mãn f (v*,v) > 0,8v C (2.4.2) 2.4.2Thuật toán ([3]) Bước Chọn x C, k = 0,p., A, dãy số dương {X }, ■{■)/.}, {Ệ } k k {e } thỏa mãn k / Oớ\ M < P ik < k=0 ív07,L?),Wk } c(0, 1],P Bước Tính wk dỹ f (uk, uk ), { < yk = max Ak, \\w ||},«k = ệ, k v = Prc (uk - akw ), k uk+1 = k Prc [v k - tékF(vk)] Bước Cho k = k + 1, đến Bước Trong trường hợp f (x, y) = toán VIEP(F, f, C) toán VI(F, C) 2.4.3Định lý hội tụ Để chứng minh hội tụ thuật toán này, ta nhắc lại số bổ đề sử dụng phần Bổ đề 2.1 Cho {a } {ỗ } dãy số thực không âm thỏa mãn k k a dãy {ỗ } thỏa mãn k a k+1 E k =0 +ỗ , k 8k E ỗ < Khi đó, tồn giới hạn lim !1 a k k Bây ta giả sử hàm giá F song hàm f thỏa mãn điều kiện k (A1) Với u C, f (u, •) hàm lồi, nửa liên tục C Nếu {u } c k C bị chặn e & k ! dãy {w } bị chặn với w 2@2 f (u ,u ), k k @2 k f (u ,u ) k k vi k phân với k sai k số e hàm lồi f (u , u ) theo biến thứ hai u : k k k @2 f (u ,) = {w H : f(u ;u) — f(u ,u ) > (w,u — u i k k k k k k — e 8u Cg k = {w H : f (u , u) + e > hw, u — u i 8u Cg; k k k (A2) f giả đơn điệu C với nghiệm u * toán VIEP(F, f; C) thỏa mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt v C; f (v u ; *) = f (u*,v) = ) y Sol(f; C); (A3) Với u C, f (•, u) nửa liên tục trên C; (A4) Tập nghiệm Sol(f, C) toán VI(F, C) khác rỗng; (A5) F liên tục Lipschitz với hệ số L đơn điệu mạnh với hệ số fì Dễ dàng nhận thấy, hàm giá F toán VI(F, C) liên tục đơn điệu mạnh tập con, lồi, đóng, khác rỗng C c H tốn VI(F,C) có nghiệm Khi f giả đơn điệu Sol(f,C) = 0, Sol(f, C) lồi điều kiện (A2), (A4) (A5), tốn VIEP(F, f, C) có nghiệm Định lý 2.4 Trong không gian Euclide Rn, ánh xạ F : C ! Rn song hàm f : C X C ! R thỏa mãn giả thiết (A1)-(A5) Khi đó, dãy {u g k {v g sinh thuật toán 2.4.2 hội tụ đến nghiệm toán k VIEP (F,f,C) Chứng minh Giả sử u* nghiệm toán VIEP(F,f,C) Chứng minh định lý chia thành bước sau Bước Chứng minh l|uk - u’|| < 2||u* - u’|| + 2Af (u ,u-) + Sk, A +1 với 2 = - p I - p.(2^ - /// (0, 1] ;lk = k ^^Ị-||F(u*)|| tồn giới hạn lim !1 ||u — u*|| = c T 2 k (1) k - T với u C,u C, theo tính chất giả đơn điệu song hàm f theo u *, ta có k f(u ,u*) < Khi đó, theo cách đặt Ệ (0,1] (1) ta k k |u‘+1 - u’112 < lk||u‘ - •■■■'' + 2^ỉ-f (u X) + Sk k < Wuk — *112 + u Sk Khi đó, ta có: a < a + ỗ , Vk > 0, k+1 k k với a = \\u — u*\\2 ỗ = S k k k k Theo giả thiết Bước thuật tốn, ta có 11 ^2^k < ^x^t' k < 1^Ệk < 1; k=0 k=0 k=0 S < sử dụng Bổ đề 2.1, tồn iim^oo ||uk — u*|| = c k k=0 Bước Chứng minh limsup !1 f (uk,u*) =0 lim !1 \\vk — uk|| =0 k k Chứng minh Vì u* Sol(F,f,C) song hàm f giả đơn điệu nên —f (u ,u*) > Mặt khác, theo chứng minh Bước Ệ (0,1] nên với k k k, ta có 0< ' [-f u,u»)J < ||u - u’k - ||u k k+1 - u’k + S k Ă Khi đó, 11 Ă X '■ [-f (u ,u)] < \\u° - u*\\2 + X Sk < 1; k Ă k=0 k=0 đó, X '■ [-f (u k *)] ,u < k=0 Vậy, theo p = —f (u — u*) > 0, ta khẳng định k=0 k k limsup f (u ,u*) = k k!1 Mặt khác, theo tính chất khơng giãn phép chiếu PrC định nghĩa dãy {v g, {u g C, ta có k k \\vk - u || = \\Prc(uk - akW ) - Prc(u )|| k k < \\uk - akwk - u || k = ttk ||w || k < «k7k = ^k ! k ! Vậy, lim \\v k k — uk|| = k Bước Giả sử {uk g dãy {ukg thỏa mãn j limsup f (uk;U*} = lim f(u ;U*}; (3) kj !1 k!i j u điểm giới hạn dãy {u g Khi đó, u Sol(f; C) kj Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử u hội tụ kj đến u j ! Từ f (•; u*) nửa liên tục trên, theo Bước , ta có f (ũ,u*) > limsup f (u , u*) kj j !1 = lim f (u ,u*) kj j!1 = lim sup f (u ; u*) k k!i = Mặt khác, f giả đơn điệu theo u* f (u*,u) > Vậy f (u,u*) = Khi theo giả thiết (A2), ta kết luận u nghiệm EP(f; C) Bước Chứng minh dãy {u g {vkg hội tụ đến nghiệm u* k Sol(F;f;C ) Chứng minh Theo Bước Bước 3, dãy {u g hội tụ đến u kj u Sol(f; C) v * u Tương tự Bước 1, ta có kj l|uk - u’|| < ĩk|p - u’|| +1 2 < lp - u*||2 k!1 inf hv — u*; F(u*)i = lim j!1 k kj Vì F đơn điệu mạnh với hệ số fì C, ta lim inf hv — uk ,F (v )> = lim inf [hv - u*, F(v ) - F(u*)> + hvk - u\ F(u*)>] > liminf [/3||vk - u*||2 + hvk - u*, F(u*)>] = c + limk!iv - u*,F(u*)> > Pc (5) Để điều mâu thuần, ta giả sử với c > 0, chọn e = kc từ (5) tồn k thỏa mãn bất đẳng thức hv — u”, F(v )> > /4c — e = /4c — I.tò = ỉfic > với k > k Ta xét, ||u - u’|| = ||Pr (v - pkựF(v )) - Prc(u*)|| < ||v - PkpF(v )) - u’11 = ||v - u|| - 2fi l{F(v ), v - -ôã> + PI, ||F(v k k k 2 k k 2 k+1 k c k k k 2 k k k k k2 = ||v - u’||2 - :k{F(v ) - F(u’),v - ôã> - 2^k^(F(u),v - -ôã> + I3P IIF(v )|| < ||v - u’|| - 2Pk,pP||v - u”|| - 2Pkk{F(u*),v - u*> k k k k k k 2 k k + ^V|F(v < ||v - u| - 2MF(-ôã), v - u> + PM, vi M = sup{^ ||F(vk)|| : k = 0,1, } < Khi đó, theo (4), ta ||u - u’| < ||uk - u’| + 2^k^^ + Pk Ă - 2Pkp{F(u*),v - u > + P2M k < ||u - u*|| + 2^ ^ + Pk - pk^pc + pịM 8k > k A Vậy, ta viết X IP+ _ ul - ||„ » - u’|| + ^.pc X p, < I X Pkek + (1 + M) Pl k2 k k 2 k+1 2 k 2 k k k 2 t J=ko j=ko j=ko Chuyển qua giới hạn k ! 1, ta với giả thiết j=ko j=ko Pj < Điều mâu thuẫn Pj = (1) Vậy, ta có c = 0, uk ! u* vk ! u* □ Kết luận Chương Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở giải tích lồi, toán bất đẳng thức biến phân tính chất nó, tốn cân mối liên hệ với toán tối ưu khác Đồng thời trình bày tốn bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân phương pháp giải làm sở xây dựng thuật toán sau Kết luận Trong luận văn thu kết sau Trình bày ánh xạ giả co chặt dạng ánh xạ không giãn mở rộng Dựa vào tính chất tính co, tính khơng giãn tính giả co chặt giả thiết đơn điệu song hàm f cách lựa chọn tham số quy phù hợp để giải tốn cân EP(f; C) Trình bày số thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân phương pháp đạo hàm tăng cường, phương pháp chiếu điểm bất động hay phương pháp điểm gần kề Bên cạnh kết đạt luận văn, vấn đề cần đề xuất mở rộng nghiên cứu thời gian tới, là: Mở rộng thuật toán luận văn để nghiên cứu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán cân hai cấp Nghiên cứu sai số đánh giá tốc độ hội tụ thuật toán luận văn Tài liêu tham khảo [1] P.N Anh (2015), Các phương pháp tối ưu ùng dụng, NXB Thông tin Truyền thông, H Nội [2] L.D Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, H Nội [3] P.N Anh, J.K Kim, L.D Muu (2012), An emtragradient algorithm for solving bilevel pseudomonotone variational inequalities, J Glob Optim 52, 627 - 639 [4] T.V Anh, L.D Muu (2016), A projection Fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split Fixed point constraints, Optim 65, 1229-1243 [5] E.Blum, W Oettli (1994), From optimization and variational inequality to equilibrium problem, Math Student 63, 127 - 149 [6] H Brezis (1987), Analyse Fontionnelle: Théorie et Application, MASSON [7] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An introducation to variational inequalities and their applications, Academic Press, New York [8] P.E Maingé (2010), Projected subgradient techniques and viscosity methods for optimization with variational inequalities constraints, Eur J Oper Res 205, 501-506 [9] A Moudafi (2010), Proximal methods for a class of bilevel monotone equilibrium problems, J Glob Optim 47, 287-292 ... trị quan trọng việc xây dựng Thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân 1. 2Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng không... thường gọi toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, ký hiệu BVI(F, G, C), hay toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, Ta ký hiệu tập nghiệm toán BVI(F,... u* nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) Sol(F, C) ký hiệu tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) Thông qua giả thiết đơn điệu hàm giá F, việc giải toán bất đẳng thức biến phân