Một số phương pháp giải bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập
2.4 Bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài tốn cân bằng
tốn cân bằng
Phương pháp chiếu dưới đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất động đưa ra thuật tốn để tìm nghiệm bài tốn VIEP(F,f,C) trên cơ sở kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường, theo P.N. Anh [3].
2.4.1 Đặt bài tốn
Giả sử C là tập con, lồi, đĩng, khác rỗng của một khơng gian Hilbert thực H, song hàm f : C X C ! R và hàm giá F : C ! H. Bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài tốn cân bằng, ký hiệu
VIEP(F,f,C), là bài tốn:
Tìm u* 2 Sol(f, C) và (F(u*), v — u*i > 0,8v 2 Sol(f, C), (2.4.1) ở đây Sol(f, C) là tập nghiệm bài tốn cân bằng, ký hiệu EP(f, C)
2.4.2Thuật tốn ([3])
Bước 0. Chọn x0 2 C, k = 0,p., A, các dãy số dương {Xk}, ■{■)/.}, {Ệk} và {ek} thỏa mãn 8 / Oớ\ 1 1 M2 í0,L?),Wk} c(0, 1],P<1; PPk =1; v 7 k=0 k=0 1 < P ik < 1, {Ệk} c (0, 1); k=0 ek& 0 khi k ! 1, ,Ă = inf{Ak : k = 0,1,...} > 0. Bước 1. Tính wk 2 dỹ f (uk, uk ), < yk =max{ Ak,\\wk||},«k = ệ, vk= Prc (uk - akwk), uk+1= Prc [vk - tékF(vk)].
Bước 2. Cho k = k + 1, và đi đến Bước 1.
Trong trường hợp f (x, y) = 0 bài tốn VIEP(F, f, C) là bài tốn VI(F, C)
2.4.3Định lý hội tụ
Để chứng minh sự hội tụ của thuật tốn này, ta nhắc lại một số bổ đề sẽ được sử dụng trong phần tiếp theo.
Bổ đề 2.1 Cho {ak} và {ỗk} là các dãy số thực khơng âm thỏa mãn
ak+1 E a
k+ ỗk, 8k
E.0
ở đây dãy {ỗk} thỏa mãn 1=0ỗk< 1. Khi đĩ, tồn tại giới hạn limk!1 ak.
(A1) Với mỗi u 2 C, f (u, •) hàm lồi, nửa liên tục dưới trên C. Nếu {uk} c C bị chặn và ek& 0 khi k ! 1 thì dãy {wk} bị chặn với wk 2@2 f (uk,uk), trong đĩ @2k f (uk ,uk) là dưới vi phân với sai số e của hàm lồi f (uk, uk) theo biến thứ hai tại uk:
@2kf (uk,) = {w 2 H : f(uk;u) — f(uk,uk) > (w,u — uki — ek 8u 2 Cg = {w 2 H : f (uk, u) + ek> hw, u — uki 8u 2 Cg;
(A2) f là giả đơn điệu trên C với mọi nghiệm u* của bài tốn VIEP(F, f; C) và thỏa mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt
v 2 C; f (v
;u*) = f (u
*,v) = 0 ) y 2 Sol(f; C); (A3) Với mỗi u 2 C, f (•, u) là nửa liên tục trên trên C; (A4) Tập nghiệm Sol(f, C) của bài tốn VI(F, C) khác rỗng;
(A5) F là liên tục Lipschitz với hệ số L và đơn điệu mạnh với hệ số fì.
Dễ dàng nhận thấy, nếu hàm giá F của bài tốn VI(F, C) là liên tục và đơn điệu mạnh trên tập con, lồi, đĩng, khác rỗng C c H thì bài tốn VI(F,C) cĩ nghiệm duy nhất. Khi f là giả đơn điệu và Sol(f,C) = 0,
Sol(f, C) lồi thì dưới điều kiện (A2), (A4) và (A5), bài tốn VIEP(F, f, C)
cĩ nghiệm duy nhất.
Định lý 2.4 Trong khơng gian Euclide Rn, ánh xạ F : C ! Rn và song hàm f : C X C ! R thỏa mãn các giả thiết (A1)-(A5). Khi đĩ, dãy {ukg
và {vkg sinh bởi thuật tốn 2.4.2 hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài tốn
VIEP (F,f,C).
Chứng minh. Giả sử u* là nghiệm duy nhất của bài tốn VIEP(F,f,C).
Chứng minh định lý trên được chia thành 4 bước sau.
Bước 1. Chứng minh l|uk+1 - u’||2< 2||u* - u’||2+ 2Af (uk,u-) + Sk, (1) A với T = 1 - p I - p.(2^ - ///.2 2 (0, 1] ;lk = 1 - T<k; Sk = ‘2ễ^^k + A2?k +
Chứng minh. Với mỗi u 2 C, đặt gk(u) = u — ỆkIF(u) với mọi k = 0,1,... Theo Bổ đề 2.1, ta cĩ
\\gk(u) - gk(v)|| < (1 - C')\\u - VII, 8u,v 2
C.
Sử dụng tính chất khơng giãn của phép chiếu và bất đẳng thức tam giác, ta
được
||uk+1 - u’|| = \\Prc [vk - rìkF(vk)] - u’||
= \\Prc [vk -uí.kF(vk)] - Prc(u’)k < \\gk(vk) - gk(u*) - tâkF(u
*)|| < \\gk(vk) -gk(u*)||-Kk\\F(u*)|| < ẽk\\vk - u*|| + rìkF(u*)||. Điều này cho thấy
lluk+1 - u*|| < <kllvk - u*ll +KkF(u*)|| = ì1 - -■)|vk - u*w+ỆkT (I HF (u *)| )' < (1 - íkT)||vk- ul2+ ||F(u*)||2. (2) Từ vk= Prc(uk — akwk) và u* 2 Sol(F, f, C) c C, ta cĩ II vk - u*||2= HPrc(uk - akWk) - Prc(u*)||2 < Huk — akwk — u*||2 = Huk — u*||2 — 2akhwk,uk — u*i + ak Wwk ||2 < Huk - u*||2 - 2«k(f (uk,u*) - f (uk,uk) + Ck) + Oík72 = Huk - u*||2 - 2akf (uk,u*) + 2akCk + PỈ < ||u‘ - u’112+ 2^kf (uk, «•) + 2^k^^ + Vl A A
Mặt khác, vì u* 2 Sol(F,f,C) c Sol(f,C),f(u*,u) > 0 với mọi u 2 C,uk 2 C, theo tính chất giả đơn điệu của song hàm f theo u*, ta cĩ f(uk,u*) < 0. Khi đĩ, theo cách đặt Ệk 2 (0,1] và (1) ta được
|u‘+1 - u’112 < lk||u‘ - •■■■'' + 2^ỉ-f (ukX) + Sk
Khi đĩ, ta cĩ: ak+1< ak + ỗk, Vk > 0, với ak= \\uk— u*\\2 và ỗk= Sk.
Theo giả thiết Bước 0 của thuật tốn, ta cĩ
11 1
^2^k < ^x^t' k < 1^Ệk < 1;
k=0 k=0 k=0
1
và do đĩ Sk< 1 và sử dụng Bổ đề 2.1, tồn tại iim^oo ||uk — u*||2= c.
k=0
Bước 2. Chứng minh limsupk!1f (uk,u*) =0 và limk!1\\vk — uk|| =0
Chứng minh. Vì u* 2 Sol(F,f,C) và song hàm f là giả đơn điệu nên
—f (uk,u*) > 0. Mặt khác, theo chứng minh Bước 1 và Ệk2 (0,1] nên với mọi k, ta cĩ
0 < .' [-f u,u»)J < ||uk - u’k2- ||uk+1 - u’k2+ Sk. Ă Khi đĩ, 11 Ă X '■ [-f (uk ,u)] < \\u° - u*\\2 +X Sk < 1; Ă k=0 k=0 và do đĩ, 1 X '■ [-f (uk ,u *)] < 1. k=0 1 Vậy, theo pk = 1 và —f (uk— u*) > 0, ta khẳng định rằng k=0 limsup f (uk,u*) = 0. k!1
Mặt khác, theo tính chất khơng giãn của phép chiếu PrC và định nghĩa của dãy {vkg, {ukg 2 C, ta cĩ
\\vk - uk|| = \\Prc(uk - akWk) - Prc(uk)|| < \\uk - akwk - uk|| = ttk ||wk|| < «k7k = ^k ! 0 khi k ! 1. Vậy, lim k \\vk — uk|| = 0.
Bước 3. Giả sử {ukj g là dãy con của {ukg thỏa mãn
limsup f (uk;U*} = lim f(ukj;U*}; (3)
k!i j!1
và u là điểm giới hạn của dãy {ukjg. Khi đĩ, u 2 Sol(f; C).
Chứng minh. Khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử rằng ukjhội tụ
đến u khi j ! 1. Từ f (•; u*) là nửa liên tục trên, theo Bước 2 , ta cĩ f (ũ,u*) > limsup f (ukj, u*) j !1 = lim f (ukj,u*) j!1 = lim sup f (uk; u*) k!i = 0.
Mặt khác, vì f là giả đơn điệu theo u* và f (u*,u) > 0. Vậy f (u,u*) = 0. Khi đĩ theo giả thiết (A2), ta cĩ thể kết luận u là nghiệm của EP(f; C).
Bước 4. Chứng minh dãy {ukg và {vkg hội tụ đến nghiệm duy nhất u* 2
Sol(F;f;C ).
Chứng minh. Theo Bước 2 và Bước 3, nếu dãy con {ukjg hội tụ đến u thì
u 2 Sol(f; C) và vkj* u. Tương tự như Bước 1, ta cũng cĩ
l|uk+1 - u’||2< ĩk|p - u’||2 < lp - u*||2 <||u‘ - u’||2+ 2+ pị. A (4) Kết hợp điều này với lim ||uk — u*||2= c2, ta được
k!i
lim II vkkn — u*|| = c.
Từ vkj*u 2 Sol(f; C) khi j ! 1, cho thấy
Vì F là đơn điệu mạnh với hệ số fì trên C, ta được lim inf hvk — u ,F (vk )>
= lim inf [hvk - u*, F(vk) - F(u*)> + hvk - u\ F(u*)>] > liminf [/3||vk - u*||2 + hvk - u*, F(u*)>]
= c2 + lim v - uk!i *,F(u*)> > Pc2. (5)
Để chỉ ra điều mâu thuần, ta giả sử với c > 0, chọn e = 1 kc2 và từ (5) tồn tại k0 thỏa mãn bất đẳng thức hvk — u”, F(vk)> > /4c2 — e = /4c2— I.tị = ỉfic2> 0 với mọi k > k0. Ta xét, ||uk+1 - u’||2= ||Prc(vk - pkựF(vk)) - Prc(u*)||2 < ||vk - PkpF(vk)) - u’112 = ||vk - u’||2 - 2fikịl{F(vk), vk - -«•> + PỈI,2||F(vk 2 = ||vk - u’||2 - 2 :k{F(vk) - F(u’),vk - «•> - 2^k^(F(u’),vk - -«•> + I3ĨP2IIF(vk)||2
< ||vk - u’||2 - 2Pk,pP||vk - u”||2 - 2Pkk{F(u*),vk - u*>
+ ^V|F(vk 2
< ||vk - u’|2 - 2MF(-«•), vk - u’> + PịM,
với M = sup{^2||F(vk)||2: k = 0,1,...} < 1. Khi đĩ, theo (4), ta được ||uk+1 - u’|2< ||uk - u’|2+ 2^k^^ + Pk - 2Pkp{F(u*),vĂ k - ut> + P2M
< ||uk - u*||2+ 2^k^k + Pk - pk^pc2 + pịM 8k > k0.
A Vậy, ta cĩ thể viết
IP+1_ ul2 - ||„k» - u’||2+ ^.pc2 Xp, < I XPkek + (1 + M) XPl
1
Chuyển qua giới hạn khi k ! 1, ta được Pj < 1. Điều này mâu thuẫn
j=ko
1
với giả thiết Pj = 1 của (1). Vậy, ta cĩ c = 0, uk ! u* và vk ! u*. □
j=ko
Kết luận Chương 2
Trong chương 2 chúng tơi đã trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi, về bài tốn bất đẳng thức biến phân và các tính chất cơ bản của nĩ, về bài tốn cân bằng và mối liên hệ với các bài tốn tối ưu khác. Đồng thời trình bày bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài tốn cân bằng và các phương pháp giải cơ bản làm cơ sở xây dựng các thuật tốn mới về sau.
Kết luận
Trong luận văn này chúng tơi đã thu được những kết quả sau.
1. Trình bày một ánh xạ giả co chặt là một dạng ánh xạ khơng giãn mở rộng. Dựa vào các tính chất như tính co, tính khơng giãn và tính giả co chặt dưới giả thiết đơn điệu của song hàm f bằng cách lựa chọn các tham số chính quy phù hợp để giải bài tốn cân bằng EP(f; C).
2. Trình bày một số thuật tốn giải bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài tốn cân bằng như phương pháp đạo hàm tăng cường, phương pháp chiếu điểm bất động hay phương pháp điểm gần kề.
Bên cạnh những kết quả đã đạt được trong luận văn, một vấn đề cần được đề xuất mở rộng nghiên cứu trong thời gian tới, đĩ là:
3. Mở rộng các thuật tốn trong luận văn để nghiên cứu giải bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài tốn cân bằng hai cấp.
4. Nghiên cứu sai số và đánh giá tốc độ hội tụ của các thuật tốn trong luận văn.