Bài tốn cân bằng EP(f, C) với nhiều ứng dụng trực tiếp như lý thuyết trị chơi khơng hợp tác, mơ hình cân bằng Nash-Counot, thị trường điện, các vấn đề về mạng và các lĩnh vực khác. Trong thời gian gần đây, nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu các phương pháp giải bài tốn EP(f, C), hầu hết các phương pháp này đều xây dựng dựa trên nguyên lý điểm bất động của ánh xạ nghiệm S(u). Với mỗi r > 0, P.L.Combettes và S.A. Hirstoaga giới thiệu ánh xạ nghiệm Sr : H ! C của bài tốn EP(f; C) như sau:
Sr(u) Iv 2 C : f(v,t) + -{t — v,v — ui > 0,8t 2 C} . (1.3) ở đây, song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau
(i) f đơn điệu;
(ii)với mỗi u,v,t 2 C, lim f (kt + (1 — k)u, v) < f (u, v);
k!0
(iii) với mỗi u 2 C, v ! f (u, v) là hàm lồi và nửa liên tục dưới, khi đĩ với
mọi u 2 H, tồn tại v 2 C thỏa mãn
f (v,t) + -ht — v,v — ui > 0,8t 2 C.
Hơn nữa, ánh xạ Sr : H ! C được định nghĩa bởi (1.3) là ánh xạ đơn trị và thỏa mãn tính đơn điệu mạnh ngược
\\Sr(u) — Sr(v)||2 < (Sr(u) — Sr(v),u — vi,8u,v 2 H,và u* 2 C là nghiệm của bài tốn
EP(f, C) nếu và chỉ nếu nĩ là điểm bất
động của ánh xạ Sr.
Đặt f(u,v) = {F(u),v — u) với mọi u,v 2 C, ở đây ánh xạ F : C ! H. Khi đĩ, bài tốn EP(f, C) được viết dưới dạng bài tốn bất đẳng thức biến phân VI(F, C). Trong nghiên cứu, K. Taji và M. Fukushima đã giới thiệu một ánh xạ nghiệm S : C ! C của bài tốn VI(F, C). Anh xạ nghiệm được xác định với mọi u 2 C, S(u) là nghiệm duy nhất của bài tốn tồn phương lồi mạnh
min {(F(u),v — u) + I(v — u, G(v — u)i : v 2 C Vu 2 C,
ở đây G là ma trận vuơng, xác định dương cấp n. Khi đĩ u* 2 C là nghiệm của bài tốn VI(F; C) nếu và chỉ nếu u* là điểm bất động của ánh xạ S.
Dựa trên ý tưởng của K. Taji và M. Fukushima, chúng tơi giới thiệu một ánh xạ nghiệm mới khi giải bài tốn cân bằng EP(f, C) trong khơng gian Hilbert thực H. Khi đĩ, chúng tơi sẽ nghiên cứu tính chất của ánh xạ nghiệm S(u) như là tính co, tính khơng dãn và tính co chặt dưới giả thiết song hàm f đơn điệu bằng cách lựa chọn các tham số chính quy phù hợp.
Ký hiệu tập các điểm bất động Fix(S) của ánh xạ S. Nhắc lại định nghĩa một số tính chất của ánh xạ S. Anh xạ S : C ! C được gọi là
(i) khơng dãn, nếu
IIS(u) — S(v)II < \\u — v||, Vu, v 2 C;
(ii) tựa khơng dãn, nếu Fix(S) = 0 và
IIS(u) — u*|| < \\u — u*||, V(u,u*) 2 C X Fix(S);
(iii) tựa co, nếu Fix(S) = 0 và tồn tại fì 2 (0,1) thỏa mãn
IIS(u) — u*|| < p\\u — u*||, V(u,u*) 2 C X Fix(S);
(iv)nứa co, nếu Fix(S) = 0 và tồn tại fì 2 [0,1) thỏa mãn
Xét bài tốn EP(f, C) thỏa mãn với mỗi u 2 C, hàm F(u, •) là lồi và khả dưới vi phân trên C. Anh xạ nghiệm S xác định bởi cơng thức
S (u) = argminÁf (u, v) + - hv — u, G(v — u)i : v 2 C} ; (1.4)
với G là ma trận vuơng, xác định dương cấp n. Bổ đề dưới đây chứng minh nghiệm của bài tốn cân bằng EP(f, C) cũng chính là điểm bất động của ánh xạ nghiệm S .
Bổ đề 1.3 Xét bài tốn EP(f, C), song hàm F(u, •) là lồi, khả dưới vi phân
và ánh xạ S được xác định bởi (1.4). Khi đĩ, u* 2 C là nghiệm của bài tốn
EP(f, C) nếu và chỉ nếu u* là điểm bất động của ánh xạ S.
Chứng minh. Giả sử u* là nghiệm của bài tốn EP(f, C). Vì G là ma trận
vuơng xác định dương cấp n, ta cĩ
hv — u*, G(v — u*)i > 0,8v 2 Rn,
và do đĩ
F(u*,v) + iư — u*, G(v — u*)i > 0,8v 2 C.
2
Theo điều kiện cân bằng f (u,u) = 0 nên u* là nghiệm của bài tốn min {F(u*, v) + -hv — u*, G(v — u*)i : v 2 C} ,
và do đĩ u* = S(u*).
Từ kết quả của Bổ đề 1.3, ta chứng minh tính tựa co và tựa khơng dãn của ánh xạ nghiệm S(u) được phát biểu trong các định lý tiếp theo.
Định lý 1.6 Cho C là tập con, lồi, đĩng, khác rỗng của khơng gian Hilbert
thực H. Song hàm f : C X C ! R là giả đơn điệu mạnh với hằng số ^ trên
C, liên tục kiểu Lipschitz với hằng số C1 > 0 và c2 > 0 là hàm lồi và khả
dưới vi phân trên C. Với mỗi u 2 C, xét ánh xạ nghiệm
S(u) = argmỉn^Xf (u, v) + IIv — u\2 : v 2 C} .
ỗ = , 1 ==.
-ự1+2A(7-C2)
Chứng minh. Theo điều kiện của cực trị cĩ điều kiện, thì
S (u) = argmỉn^Xf (u, v) + 2 II v — u\\2 : v 2 C
nếu và chỉ nếu
0 < N (Xf (u,v) + 1 ||v - u||2^ (S(u) + NC(S(u))).
\ 2 /
Mặt khác, theo định lý Moreau-Rockafellar, ta cĩ
0 2 S(u) — u + X2F(u, S(u)) + NC(S(u)).
Do đĩ
0 = S (u) — u + Xu1 + w2, (1.7) trong đĩ u1 2 @2f (u, S(u)) và w2 2 NC(S(u)).. Theo định nghĩa nĩn pháp tuyến, ta cĩ
hw2, v — S(u)i < 0, Vv 2 C.
Kết hợp với (1.7), ta được
Thay v = u* 2 C, ta được
hu — S(u),u* — S(u)i < Aộu1,u* — S(u)). (1.8)
Từ định nghĩa u12 @2f (u, S(u)), nên
f (u,t) — f (u, S(u)) > hw1;t — S(u)i,8t 2 C. Thay t = u*, ta được
f (u, u*) — f (u, S(u)) > hu1, u* — S(u)). (1.9) Từ (1.8) và (1.9), suy ra
hu — S(u),u* — S(u)i < A [f(u,u*) — f(u — S(u))]. (1.10)
Theo giả thiết, song hàm f liên tục kiểu Lipschitz với hằng số c1> 0, c2> 0 trên C và u* 2 C, u 2 C, nên ta cĩ
f (u,u*)—f (u, S(u)) < f (S(u),u*)+c1|u—S(u)||2+c2||S(u) —u*||2. (1.11) Vì u* là nghiệm duy nhất của bài tốn EP(f, C) và S(u) 2 C, do đĩ
F(u*, S(u)) > 0. Mặt khác, theo giả thiết song hàm f là giả đơn điệu mạnh nên
f (S(u),u
*) < -7HS(u) - u*||2. (1.12) Thay (1.12) vào (1.11), ta được
f(u, u*) — f (u, S(u)) < —7IIS(u) — u*||2 + c1|u — S(u)||2 + c2||S(u) — u*||2
- (7 - c2)||S(u) - u*||2 + c1 ||u - S(u) 112. Kết hợp điều này với (1.10), ta cĩ
hu — S(u),u* — S(u)i < A [—(7 — c2)||S(u) — u*||2 + c1|u — S(u)||2] . Từ giả thiết A 2 (0, 27) và 7 > c2, suy ra
[1 + 2A(7 - c2)] ||S(u) - u*||2< ||u - u*||2- (1 - 2Ac1)||S(u) - u||2
< Hu - u*||2;
và do đĩ |S(u) — u*|| < ớ||u — u*||, với ỗ = , 1 ==.
Như vậy, ta đã chứng minh tính tựa co của ánh xạ nghiệm S của bài tốn cân bằng EP(f, C) dưới điều kiện song hàm f đơn điệu mạnh và liên tục kiểu Lipschitz. Tuy nhiên, những điều kiện này phụ thuộc vào tham số 7 > 0 và 7 > c2. Chính vì thế, ta xét ánh xạ nghiệm
S(u) = argmin Ị\Xf (tu,v) + IIIv — u\\2 : v 2 C} , (1-13) trong đĩ
tu= argmin Ị\Xf (u, v) + -||v — u 112 : v 2 C} -
Từ đĩ, ta chứng minh được tính tựa khơng dãn của ánh xạ S với giả thiết song hàm f giả đơn điệu và liên tục kiểu Lipschitz.
Định lý 1.7 Cho C là tập con, lồi, đĩng, khác rỗng của khơng gian Hilbert
thực H. Song hàm f : C X C ! R là giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitz
với hằng số C1 > 0,c2 > 0 và f (u, •) là hàm lồi, khả dưới vi phân với mỗi u 2 C. Khi đĩ, S được xác định bởi cơng thức (1.13) là tựa khơng giãn trên C.
Chứng minh. Theo điều kiện của cực trị cĩ điều kiện, thì
S(u) = argmin Ị\Xf (tu,v) + -||v — u||2 : v 2 C} , nếu và chỉ nếu
0 2 @2^Xf (tu,v) + 1||v - u||2^ (S(u) + NC(S(u))-
X 2 /
Theo định lý Moreau-Rockafellar, ta cĩ
0 2 tu - u + X2f (tu, S(u)) + NC(S(u))- Điều này chỉ ra
0 = tu— u + XtW + w2,
với w1 2 @2f (tu, S(u)) và w2 2 NC(S(u)). Theo định nghĩa nĩn pháp tuyến thì
và
hu — S(u) — Aw1, v — S(u)i < 0,8v 2 C.
. Do đĩ
(S(u) — u, v — S(u)i > Ahw1, S(u) — v),8v 2 C. . Thế v = u* 2 C, ta được
(S(u) — u, u* — S(u)i > A(w1, S(u) — u*). (1.14) Vì W1 2 @2f (tu, S(u)), nên
f (tu,v) - f (tu,S(u)) > hw1,v - S(u)i,8v 2 C. (1.15) Cho v = u* 2 C, bất đẳng thức (1.15) cĩ dạng
f (tu,u*) - f (tu,S(u)) > hw1,u* - S(u)i (1.16) Từ (1.14) và (1.16), suy ra
hS(u) - u,u* - S(u)i > A [f (tu,S(u)) - f (tu,u*)]. (1.17) Vì u* 2 Sol(f, C) nên F(u*,v) > 0,8v 2 C. Mặt khác, theo giả thiết f là giả đơn điệu trên C nên f (v,u*) < 0,8v 2 C Do đĩ f (tu,u*) < 0. Khi đĩ, từ (1.17) ta được
hS(u) — u, u* — S(u)i > Af (tu, S(u)). (1.18) Mặt khác, theo giả thiết, song hàm f liên tục kiểu Lipschitz nên
f (tu,S(u)) > f (u,S(u)) - f (u,tu) - Ci||u - tuk2 - C2^tu - S(u)||2. (1.19) Thế (1.19) vào (1.18), ta cĩ
(S(u)-u,u,-S(u)i > A(f (u,S(u))—f(u,t„)-ci|u-t„|2-c2||t„-S(-u)ll2).
(1.20) Theo cách đặt
nên ta cĩ
A [f (u, v) - f (u, tu)] > htu - U;tu- v) ; w 2 C. Thay v = S(u) 2 C, ta được
A [f (u,S(u)) - f(u,tu)] > (tu - U;tu - S(u)). (1.21) Kết hợp (1.20), (1.21) và
2(S (u) — u, u* — S (u)i = ||u — u*||2 — IIS (u) — u 112 — ||S (u) — u*||2, ta được
I\u — u*||2— ||S (u) — u||2— ||S (u) — u*||2
> 2(tu - u,tu - S(u)i - 2Aci||u - tu||2 - 2Ac2I\tu - S(u)||2. Theo giả thiết A 2 (2^-; 210, từ bất đẳng thức trên, ta được
||S(u) - u*||2< ||u - u*||2- ||S(u) - u||2- 2(tu - u,tu - S(u)i + 2Aci||u - tu ||2+ 2Ac2||tu - S(u)II2
= ||u - u*||2- ||(S(u) - tu) + (tu - u) 112- 2(tu - u,tu - S(u)i + 2Aci||u - tu ||2+ 2Ac2||tu - S(u)II2
= ||u - u*||2- ||S(u) - tu|2- ||tu - u||2
+ 2Aci||u - tu|2+ 2Ac2||tu - S(u)II2
= ||u - u*||2- (1 - 2Aci)||u - tu|2- (1 - 2Ac2)||tu - S(u)||2
Chương 2