Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— NGÔ THỊ THO PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— NGÔ THỊ THO PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội - 2015 Mục lục Lời cảm ơn 2 Lời mở đầu 3 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 5 1.1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1.1 Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert 6 1.1.2 Toán tử chiếu 8 1.1.3 Tính liên tục của hàm lồi 14 1.1.4 Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi 16 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 18 1.2.1 Các khái niệm 18 1.2.2 Các ví dụ minh họa 20 1.2.3 Sự tồn tại nghiệm 26 Chương 2 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh 28 2.1 Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường 29 2.2 Phương pháp chiếu cơ bản cải biên 36 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu Thầy là người đã hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp và nay là hướng dẫn luận văn thạc sĩ cho em Hai chặng đường đã qua, thầy luôn tận tình hướng dẫn và chỉ bảo nghiêm khắc, thầy cũng cung cấp nhiều tài liệu quan trọng cũng như giành nhiều thời gian giải đáp những thắc mắc trong suốt quá trình làm việc cùng thầy Em xin gửi tới các thầy, cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã giảng dạy lớp Cao học Toán khóa 2013 - 2015, lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ của các thầy, các cô trong hai năm qua Đặc biệt, em muốn gửi lời cảm ơn tới các thầy dạy chuyên ngành nhóm Toán Ứng Dụng Mặc dù nhóm chỉ có tám thành viên nhưng các thầy luôn lên lớp với cả nhiệt huyết và những chuyên đề hay, sâu sắc Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn, các anh, các chị của lớp cao học Toán khóa 2013 - 2015 và giành riêng lời cảm ơn cho gia đình Toán Ứng Dụng Là em út của nhóm, nên luôn được mọi người quan tâm nhiều hơn Thời gian học cùng các anh chị đã cho em những kỷ niệm đẹp, được học những điều hay cũng như những kiến thức thú vị Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn Hà Nội, ngày 3 tháng 10 năm 2015 Học viên Ngô Thị Tho 2 LỜI MỞ ĐẦU Năm 1966, Hatman và Stampacchia đã công bố những nghiên cứu đầu tiên của mình về bài toán bất đẳng thức biên phân, liên quan tới việc giải các bài toán biến phân, bài toán điều kiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng Năm 1980, Kinderlehrer và Stampacchia cho xuất bản cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", giới thiệu bài toán biến phân trong không gian vô hạn chiều và ứng dụng của nó Năm 1984, cuốn sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" của C Baiocci và A Capelo đã áp dụng bất đẳng thức biến phân và tựa biến phân để giải các bài toán không có biên Hiện nay bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thành nhiều dạng khác nhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học Vì mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vực trong toán học cũng như thực tế như tối ưu hóa, bài toán bù, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giao thông, cân bằng di trú Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải Dựa trên tính chất của kiểu đơn điệu G Cohen đã nghiên cứu phương pháp nguyên lý bài toán phụ Ngoài ra còn có phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp chiếu, phương pháp điểm trong Những phương pháp này khá hiệu quả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng sự hội tụ của chúng chỉ được đảm bảo trên cơ sở các giả thiết khác về tính chất đơn điệu Có nhiều phương pháp chiếu khác nhau, như là: phương pháp chiếu cơ bản, phương pháp chiếu dưới đạo hàm, và phương pháp chiếu siêu phẳng Mỗi phương pháp giải quyết một lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân nhất định Do đó sự hội tụ của thuật toán được đảm bảo Luận văn trình bày phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường và chiếu cơ bản cải biên để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Các phương pháp này tạo ra một dãy hội tụ của các điểm lặp dễ dàng tính được Chúng đều hội tụ 3 tới nghiệm duy nhất của bài toán Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân, được chia làm hai phần: Phần 1: Nhắc lại một số kiến thức trong Giải tích hàm và Giải tích lồi, như là: hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert, toán tử chiếu, tính liên tục của hàm lồi, đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi Phần 2: Phát biểu bài toán, trình bày một số khái niệm và mô hình minh họa cho bài toán Sau đó, chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán Chương 2: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Nội dung chính của chương là trình bày hai thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăng cường và thuật toán chiếu cơ bản cải biên để giải bài toán V I(K; F) Phát biểu và chứng minh các định lý về sự hội tụ của dãy lặp tạo bởi các thuật toán đó Đưa ra một số ví dụ chứng minh rằng các điều kiện của định lý tồn tại nghiệm là cần thiết Nếu bỏ đi một trong các điều kiện đó, dãy lặp sẽ không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán 4 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả của Giải tích hàm có liên quan tới sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu của một dãy số Nhắc lại một số khái niệm và định lý cơ bản của Giải tích lồi, như là: định nghĩa và tính chất của toán tử chiếu, tính liên tục, đạo hàm và dưới vi phân của một hàm lồi, Định lý tách, Định lý Moreau-Rockafellar Phần sau ta sẽ giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và nhấn mạnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Chỉ ra các ví dụ về bài toán bất đẳng thức biến phân thường gặp trong thực tế cũng như trong các mô hình toán học Cuối chương phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán Nội dung chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3], [6], [10] Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert thực trang bị một tô pô yếu, với tích vô hướng :; : và chuẩn tương ứng của nó là jj:jj 5 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Giả sử H là không gian tuyến tính thực, với mọi x 2 H xác định một số gọi là chuẩn của x ( kí hiệu jjxjj) thỏa mãn ba tiên đề sau: 1 Xác định dương: 8x 2 H jjxjj 0; 2 Thuần nhất dương: 8x 2 H; 8l 2 R 3 Bất đẳng thức tam giác: 8x; y 2 H Định nghĩa 1.1.2 Giả sử H là không gian tuyến tính thực, cặp (H; ; ) với ; :H H!R (x; y) 7!x; y 1 Xác định dương: 2 Đối xứng: x; y 3 Song tuyến tính: 8 được gọi là không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert, đầy đủ được gọi là không gian Hilbert, kí hiệu là H Ví dụ 1.1.1 n 1 H = R ; x = (x1; x2; ; xn); y = (y1; y2; ; yn) 2 H tích vô hướng và chuẩn n trên R được xác định bởi x; y = åxiyi; 6 2 H = C[a;b] là không gian các hàm liên tục Khi đó với mọi x; y 2 H tích vô hướng chuẩn được xác định bởi Giả sử H là không gian Hilbert thực, H là không gian đối ngẫu của H và f 2 H Kí hiệu j f : H ! R là các phiếm hàm tuyến tính j f (x) = f (x) Khi f chạy khắp H ta có một họ ánh xạ (jf )f 2H Định nghĩa 1.1.3 Tô pô yếu trên H được định nghĩa bởi tô pô sinh bởi họ ánh xạ (jf )f 2H Kí hiệu s(H; H ) Như vậy tô pô yếu s(H; H ) là tô pô yếu nhất trên H đảm bảo cho tất cả các phiếm hàm f 2 H đều liên tục Định nghĩa 1.1.4 1) Ta nói dãy fxkg hội tụ mạnh đến x ( kí hiệu xk ! x) nếu 2) Dãy fxkg hội tụ yếu đến x ( kí hiệu xk * x) nếu fxkg hội tụ về x theo tô pô yếu s tức là 8f2H f (xk) ! f (x): Mệnh đề 1.1.1 Giả sử fxkg H và f fkg H Khi đó a) xk * x , xk; y ! x; y ; 8y 2 H: b) Nếu xk ! x thì xk * x: c) Nếu xk * x thì fxkg bị chặn và jjxjj d) limk!¥jjxkjj: Nếu x e) Nếu xk * x và fk ! f thì fk(xk) ! f (x): Khi H là không gian hữu hạn chiều thì tô pô yếu và tô pô thông thường trên H trùng nhau Đặc biệt, một dãy hội tụ mạnh khi và chỉ khi nó hội tụ yếu k trong đó a, b là các hằng số dương Cho fu g là dãy lặp tạo ra bởi Thuật k toán 2.2.1 Khi đó, dãy fu g hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất u của bài toán Hơn nữa, các sai số tiên nghiệm và hậu nghiệm là jjuk+1 và jjuk+1 đúng với mọi k 2 N Ở đây m= Chứng minh Vì 0 < a lk b< 2 2 [1 + lk(2g lkL )] [1 + a(2g bL )] > 1; 8k 2 N: Theo Mệnh đề 2.2.1 ta có 2 k+1 [1 + lk(2g lkL )] jju Suy ra 2 k+1 [1 + a(2g bL )] jju Do đó k+1 jju u jj 2 2 m jju k 2 u jj ; Suy ra 2 k 1 m jju m k+1 0 jju u jj u jj: 38 Ta có m 2 (0; 1) nên m k+1 ! 0 Suy ra jju k+1 hội tụ tuyến tính tới u Mặt khác k jju Suy ra Do đó Suy ra định lý được chứng minh Chú ý 2.2.1 bản cải biên trở thành phương pháp chiếu cơ bản và m trở thành Kh Ta có l 2 m như một hàm của l 2 L m := p Chú ý 2.2.2 Ngoài ra giá trị m có thể được xem như một hàm m = m(a; b) của biến (a; b) thuộc miền (a; b) 2 R2 : 0 < a b < L2 Đặt b = ta; với t 2 [1; + ¥) cố định, tương tự như trên ta tính được hàm m(a; b) = m(a;ta) đạt giá trị nhỏ nhất là 2 L +g 2 min 39 Vậy suy ra Do đó, giá trị nhỏ nhất của m là m = (a ;b 2 L Chú ý 2.2.3 Ước lượng sai số trong Định lý 2.2.1 là hữu ích trong việc áp dụng Thuật toán 2.2.1 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh.Ví dụ, m k+1 k+1 1 0 công thức jju u jj 1 m jju u jj cho phép chúng ta ước tính số lượng bước lặp cần để đạt được một độ chính xác nhất định Cụ thể, với e > 0 bất m k+1 kỳ, nếu 1 m jju1 0 u jj k+1 e thì ta có jju u jj e Hệ quả 2.2.1 Trong các kí hiệu của Định lý 2.2.1, nếu F là đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên K thì dãy fukg tạo ra bởi Thuật toán 2.2.1 hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F) và các ước tính sai số nêu trên được thỏa mãn Ví dụ 2.2.1 Cho H = l2 là không gian Hilbert thực mà các thành phần là các dãy bình phương khả tổng của các vô hướng thực Ví dụ H = fu = (u 1; u2; ; ui; ) : ¥ i=1 å ui jj g 2 < +¥ Định nghĩa chuẩn của hai vectơ bất kỳ Cho a; b 2 R sao cho b > a > trong đó a; b là các tham số Dễ thấy S(Ka ; Fb ) = f0g Hàm Fb là liên tục Lipschitz và giả đơn điệu mạnh trên Ka Thật vậy, với u; v 2 Ka bất kỳ, jjFb (u) Fb (v)jj = jj(b jj ujj)u (b jj vjj)vjj = jjb (u v) jj ujj(u v) (jjujj jj vjj)vjj b jju vjj+ jjujj jju vjj+ j jjujj jj vjj j jjvjj b jju vjj+ a jju vjj+ ajju vjj = (b + 2a)jju vjj: 40 Do đó Fb là liên tục Lipschitz trên Ka với hằng số Lipschitz L := b + 2a Cho u; v 2 Do đó b Ka sao cho F 2 = gjju vjj ; ở đây g := b a > 0 Suy ra Fb là giả đơn điệu mạnh trên Ka Hơn nữa Fb không thể đơn điệu mạnh cũng không thể đơn điệu trên Ka Thật vậy, ta chọn u = (a; 0; ; 0; ) 2 Ka Ta có 0 Lấy u 2 Ka bất kỳ, và l 2 k k 2 N Theo Định lý 2.2.1, dãy fu g được tạo bởi Thuật toán 2.2.1 hội tụ tuyến tính tới 0 Hơn nữa, k+1 jju với mọi k 2 N, trong đó 1 m= b + 2a Theo Chú ý 2.2.1 giá trị nhỏ nhất của m là m = p 2 tại điểm (b a) + (b + 2 2a) ] l =l= b a (b + 2a)2 Nếu các độ dài bước tạo thành một dãy không khả tổng của các số thực dương thì Thuật toán 2.2.1 cũng tạo ra một dãy lặp hội mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán Ta có: Định lý 2.2.2 Cho K là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và F : K ! H là một ánh xạ giả đơn điệu mạnh trên K với mô-đun g và liên tục 41 Lipschitz trên K với hằng số L Giả sử flkg là một dãy các vô hướng dương với å lk = +¥; k=0 k Dãy lặp fu g được tạo thành từ Thuật toán 2.2.1 sẽ hội tụ mạnh tới u là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F) Hơn nữa, tồn tại một chỉ số k0 2 N 2 sao cho với mỗi k k0; lk(2g lkL ) > 0, và jjuk+1 2 Chứng minh Vì lk ! 0; nên tồn tại k0 2 N sao cho lkL < l với mọi k k0 Do đó với mọi k k0: Vì thế, từ [1 + lk(2g Vậy k Tiếp theo, ta sẽ chứng minh dãy fu g hội tụ theo chuẩn tới u Với mỗi k 2 N, đặt và viết lại công thức (2.6), ta được jjuk+1 42 2 Vì ak = lk(2g lkL ) > glk với mỗi k k0; nên å ak = +¥ Do đó k+1 khi k ! ¥: Vì thế, jju k u jj ! 0, hay dãy fu g hội tụ theo chuẩn tới u Định lý được chứng minh Hệ quả 2.2.2 Cho flkg như trong Định lý 2.2.2 Cho F là đơn điệu mạnh trên k K với mô-đun g và liên tục Lipschitz trên K với một hằng số L Thì dãy fu g bất kỳ được tạo ra từ Thuật toán 2.2.1 hội tụ theo chuẩn tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F) và tồn tại một chỉ số k0 2 N sao cho k+1 jju đúng với mỗi k k0: Ví dụ 2.2.2 Cho H = l2; a; b 2 R sao cho b > a > b > 0 Đặt 2 ; trong đó a b là các tham k k Cho fu g là một dãy lặp được tạo bởi Thuật toán 2.2.1 Suy ra dãy fu g hội tụ mạnh tới 0 là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K a ; Fb ) Đặt k0 = lk(2g k+1 jju 2 lkL ) > 0; với mọi k (b + 2a)2 2(b a) , thì k0 Ta có 0jj Chúng ta sẽ xét xem điều gì sẽ xảy ra nếu bỏ điều kiện (2.4) và (2.5) lần lượt được đưa ra ở Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2 thông qua ví dụ sau: Ví dụ 2.2.3 Đặt K = R và F(u) = u: Rõ ràng F liên tục Lipschitz, đơn điệu 0 mạnh trên K và S(K; F) = 0 Chọn u = 1 2 K và lk = 43 Từ đó lim lk = 0 và k!¥ k 0 lặp u được tạo bởi Thuật toán 2.2.1 với u = 1 được cho bởi u k+1 k k k = PK (u lkF(u )) = u k lku = (1 k lk)u : Do đó, k k+1 u = Õ(1 i=0 li) =Õ1 = k Vậy lim u = 1 k Nghĩa là fu g không hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán k!¥ 2 VI(K; F) Vậy các điều kiện (2.4) và (2.5) không thể bỏ đi, nếu không dãy lặp sẽ không hội tụ tới nghiệm của bài toán cần tìm Ví dụ ¥ điều kiện å lk k=0 Để chứng minh fukg hội tụ tuyến tính đến 0, ta cần chứng minh: k Vì lim = 0 và u = 0 với mọi k k ¥ l k ! k Vậy fu g không hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K; F) k Ví dụ trên cho thấy rằng dãy fu g được xét trong Định lý 2.2.2 có thể không hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K; F) Mặt khác, trong một so sánh với dãy lặp được tạo Định lý 2.2.1, công thức lặp trong Định lý 2.2.2 có tốc độ hội tụ chậm hơn Như vậy, bên cạnh những ưu điểm nêu trên, thì phương pháp chiếu cải biên không có hằng số tiên nghiệm cũng có những nhược điểm về tốc độ hội tụ 44 ... chứng minh 27 Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Chương này, trình bày thuật tốn chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh V I(K; F) Phần... lại toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu manh sau: Định nghĩa 2.0.6 Cho K H tập đóng, khác rỗng, F : K ! H toán tử giả đơn điệu mạnh K Bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. .. biến phân tựa biến phân để giải tốn khơng có biên Hiện toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất