Bài toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức

BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG BÀI TỐN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ PYTHAGORE ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC Định lý Pythagore định lý đẹp hình học sơ cấp thể mối quan hệ độ dài cạnh tam giác vng Ta ứng dụng định lý Pythagore vào việc chứng minh quan hệ hình học, đặc biệt chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lý Pythagore Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng ABC vng A  BC  AB  AC Chú ý: Nếu đặt BC  a ; AC  b ; AB  c ta có a  b2  c Định lý Pythagore đảo Nếu tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn BC  AB  AC tam giác ABC vuông đỉnh A Chú ý Để vận dụng có hiệu định lý Pythagore, cần trang bị số kiến thức sau: a) Các đẳng thức học đại số: a  b  a  2ab  b a  b  a  2ab  b a  b   a  b  a  b  b) Tính chất hình học: Hai đoạn thẳng song song chắn hai đường thẳng song song chúng c) Tính chất hình học: Nếu ABC vng A B  60 BC  AC II CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A Gọi M trung điểm AB Kẻ MH vng góc với BC  H  BC  Chứng minh CH  BH  AC Lời giải TOÁN HỌC SƠ ĐỒ Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông MCH MBH ta được: CH  CM  MH 1 BH  BM  MH  2 Trừ 1 cho   : CH  BH  CM  BM Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ACM ý AM  BM ta điều phải chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có AB  12cm ; AC  18cm Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM  5cm Chứng minh rằng: AMB  2C Lời giải Áp dụng định lý Pythagore vào ta BM  AB2  AM  122  52  169  BM  13cm Mặt khác AC  18cm ; AM  5cm nên MC  13cm Vậy tam giác BMC cân M Từ MBC  C Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có AMB  MBC  C  2C Ví dụ Cho tam giác ABC, D điểm trong tam giác Gọi H, I, K hình chiếu D lên BC, CA, AB Chứng minh rằng: BH  CI  AK  CH  AI  BK Lời giải Nối DA, DB, DC Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông BDH CDH ta được: DH  BD2  BH  CD2  CH Suy ra: BH  CH  BD2  CD2 1 Tương tự ta có: CI  AI  CD2  AD2 AK  BK  AD  BD  2 ;  3 Cộng đẳng thức 1 ,    3 ta được: BH  CH  CI  AI  AK  BK  Từ đó: BH  CI  AK  CH  AI  BK TOÁN HỌC SƠ ĐỒ Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh AB  AC BC AM    * Lời giải Kẻ AH  BC  H  BC  Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABH, ACH AHM ta được: AB  BH  AH 1 AC  CH  AH  2 Cộng vế đẳng thức 1   : AB  AC  BH  CH  AH   BM  HM    BM  HM   AH 2  HM  AH  BC BC  AM  2 AB  AC BC  Từ đó: AM  Chú ý: 1) Hệ thức * cho phép tính độ dài đường trung tuyến tam giác thông qua độ dài cạnh tam giác Người ta gọi * công thức trung tuyến 2) Nếu tam giác ABC vng A, AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Để ý BC 2 2 AM  * , thay vào hệ thức ta được: Từ AM  BC AB  AC  BC   Ta có tính chất quen thuộc: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền dài nửa cạnh huyền Ví dụ Cho tam giác ABC cân a A, có AB  AC  b BC  a Kẻ hai đường cao AH BK Chứng minh: a2 a) AH  b  ; TOÁN HỌC SƠ ĐỒ a4 b) BK  a  4b Lời giải a) Theo tính chất tam giác cân: BH  CH  a ; Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABH vuông H: AB  AH  BH  AH  AB  BH  b  Vậy AH  b  a2 a2 b) Đặt KC  x  AK  b  x Áp dụng định lý Pythagore cho hai tam giác AKB tam giác CKB ta có: BA2  AK  BC  KC   BK   b2   b  x   a  x2  x  a2 2b Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác BCK vng K, ta có BC  BK  KC  BK  BC  CK  a  Vậy BK  a  a4 4b a4 4b Ví dụ Chi hình vẽ có AB  CD  2cm , DE  3cm , BC  1cm Chứng minh AE  32cm Lời giải Từ B kẻ đường thẳng song song với CD, từ D kẻ đường thẳng song song với BC, chúng cắt M Áp dụng tính chất hai đoạn thẳng song song bị chắn đường thẳng song song Ta có: BM  CD  2cm MD  BC  1cm Suy ra: AM  EM  4cm Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AME vuông M, ta có AM  BM  AE  AE  42  42  32 Vậy AE  32cm TOÁN HỌC SƠ ĐỒ Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh AB, BC, CA số tự nhiên liên tiếp Kẻ đường cao AH tam giác ABC Chứng minh HC  HB  Lời giải Theo đề ta có AC  BC   AB  Suy AB  AC  2BC Áp dụng định lý Pythagore vào hai tam giác vuông ABH ACH ta có HC  HB  AC  AB   AH    HC  HB  HC  HB    AC  AB  AC  AB    HC  HB  BC  2.2 BC  HC  HB  Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh: a) AH  BH CH ; b) AB  BH BC Lời giải a) Áp dụng định lý Pythagore cho ba tam giác vng ABH, AHC ABC, ta có: AB  AH  BH 1 AC  AH  HC  2 BC  AB  AC  3 Cộng vế với vế ba đẳng thức trên: BC  AH  BH  HC   BH  CH   AH  BH  HC 2  BH  2BH CH  HC  AH  BH  HC  BH CH  AH  4 b) Kết hợp đẳng thức   đẳng thức 1 ta AB  BH CH  HB  BH  CH  HB   BH BC Ví dụ Cho ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh 1   2 AB AC AH Lời giải TOÁN HỌC SƠ ĐỒ Sử dụng kết ví dụ 8, ta có: AB  BH BC AC  CH BC Khi đó: 1 1 CH  BH     2 AB AC BH BC CH BC BC.BH CH 1 BC 1     2 AB AC BC.BH CH BH CH AH III BÀI TẬP Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH  H  BC  Chứng minh 2AH  BH  CH  BC Bài Cho hai điểm A  x A ; y A  B  xB ; yB  mặt phẳng tọa độ Chứng minh: AB   x A  xB    y A  y B  2 Bài Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , đường cao AH, trung tuyến AM Biết AH  40cm ; AM  41cm Chứng minh AB  AC Bài Cho tam giác ABC vuông A, C  30 Chứng minh BC  AB Bài Cho tam giác ABC có A  135 Biết BC  ; AB  Chứng minh C  B Bài Cho tam giác ABC vuông A Một đường thẳng cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E Chứng minh BC  CD2  BE  DE Bài Cho tam giác ABC có A  60 Chứng minh BC  AB  AC  AB.AC TOÁN HỌC SƠ ĐỒ Bài Cho tam giác ABC vuông A, kẻ AH vng góc với BC  H  BC  Trên tia đối tia HA lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho BDE  90 Đường thẳng qua E song song với BC cắt AH F Chứng minh AF  HD Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến BM CN Chứng minh rằng: BC BM  CN  Bài 10 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN vng góc với Chứng minh 5BC  AB  AC Bài 11* Cho tam giác ABC vuông A I giao điểm đường phân giác E F hình chiếu vng góc A xuống BI CI Chứng minh AI  EF Bài 12 Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm tam giác Chứng minh AH  BC  BH  AC Bài 13* Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A song song với MH đường thẳng qua H song song với MA cắt N Chứng minh AH  BC  MN Bài 14* Cho tam giác ABC thoả mãn AC  AB BC   AC  AB  D điểm cạnh BC Chứng minh ABD  ADB BD  3CD Bài 15* Cho tam giác ABC nhọn có A  60 Chứng minh rằng: 1   BC  AC BC  AB AB  BC  CA Bài 16 Cho tam giác ABC vuông cân A, gọi M điểm nằm cạnh BC Chứng minh MB  MC  2MA2 Bài 17 Cho tam giác ABC, từ điểm M nằm tam giác, ta hạ đường vng góc MD  BC , ME  AB , MF  AC Chứng minh AE  BD2  CF  AF  BE  CD2 IV HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (Bạn đọc tự vẽ hình) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AHB AHC ta được: AB  AH  BH 1 ; AC  AH  CH  2 Cộng đẳng thức 1   ý BC  AB  AC ta điều phải chứng minh Bài Thấy tam giác ABH vuông H HA  y A  yB ; HB  xA  xB TOÁN HỌC SƠ ĐỒ Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABH cho ta điều phải chứng minh Bài Vì AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ABC nên theo nhận xét ví dụ ta có MA  MB  MC  41cm Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AHM ta tính HM  9cm Từ tính HB  32cm ; HC  50cm Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABH ACH ta có: AB2  AH  BH  402  322  2624 ; AC  AH  CH  402  502  4100 Suy Vậy AB 2624 16   AC 4100 25 AB  hay AB  AC AC Bài Vì tam giác ABC vuông A, C  30 nên B  60 Lại có AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ABC nên MA  MB  MC Từ tam giác MAB Vậy AB  MB  BC hay BC  AB Chú ý: Có thể chứng minh rằng: Một tam giác vng có cạnh góc vng dài nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng 30° Bài Vẽ đường cao CH tam giác ABC Ta có: CHA  180  135  45 ACH có: H  90 ; CAH  45 Vậy ACH vuông cân đỉnh H Áp dụng định lý Pythagore cho ACH ta có: HC  HA  TO�ợc: HB PC AHB ∽ ACP nên: Tương tự: HC PB AH AB Suy ra: HB PB HC PC Suy ra: HB HC Lại có: AB , AC PC AB PB AC AMC ∽ BMP nên: Tương tự: Suy ra: AH AC MB AB MP PB MP PC MB AC MC AB Cộng lại, ta có: MC AC HB HC PB MB nên: PC MC MB MC 122 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ PB PC PB AB PC AC PC AB PB AC AB AC Bài 16 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn O Các đường cao AM, BN, CP tam giác ABC qua điểm H Gọi Q điểm cung nhỏ BC (Q khác B C) Gọi E, F theo thứ tự điểm đối xứng với Q qua AB AC 1) Chứng minh MH MA MP MN 2) Chứng minh ba điểm E, H ,F thẳng hàng 3) Gọi J giao điểm QE AB, I giao điểm QF AC Tìm vị trí điểm Q cung nhỏ AB AC BC để nhỏ QJ QI (Chuyên Toán TP Hà Nội, năm học 2015 - 2016) LỜI GIẢI 1) Dễ dàng thấy tứ giác CNHM, BMHP nội tiếp Cho nên NCH hợp với ACH ABH (cùng phụ với BAC ) ta suy NMH Mặt khác tứ giác ANMB nội tiếp nên MNH NMH NMP HBP , kết HMP (1) MAB (2) Từ (1) (2) ta suy HM MP HMN ∽ PMA dẫn đến MH MA MN.MP 2) Trước hết dễ thấy nên AFC MN MA AQC ACQ ABC ACF (c.c.c) CHM dẫn đến tứ giác AFCH nội tiếp ACH Mặt khác tính chất đối xứng ta có AF hay tam giác AEF cân A để có 123 TỐN HỌC SƠ ĐỒ AQ AE AFH 90 BAC (3) AFE AEF CAQ 90 EAF 90 BAQ AFE hay ba điểm E, H, F thẳng hàng 3) Trước hết thấy AB.QJ AB QJ Và đặt P EAQ BAC 90 Do ta AFH FAQ 90 2S ABQ , AC.QI 2S AQC AC QI Khi áp dụng BĐT Cauchy-Shwarz ta có: AB AB.QJ P AB AC2 AC.QI AC S ABQ S ACQ AB 2 SABQ AB AC S ABC AC2 SACQ SQBC Đẳng thức xảy QI QJ Mặt khác gọi G điểm cung nhỏ BC ln có SQBC Vậy P SGBC , P AB QJ AB S ABC AC SGBC AC nhỏ Q điểm cung nhỏ BC QI Bài 17 Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H nội tiếp đường trịn tâm O Gọi D, E, F tương ứng chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A, B, C Gọi M giao điểm tia AO cạnh BC Gọi N, P tương ứng hình chiếu vng góc M cạnh CA, AB 1) Chứng minh: HE.MN HF.MP 2) Chứng minh tứ giác FENP nội tiếp BD BM 3) Chứng minh rằng: CD.CM AB AC (Trích đề thi vào 10 Chun Tốn, Vĩnh Phúc, năm học 2015 - 2016) LỜI GIẢI 1) Ta có FHE FEH FAH PMN MAN 180 NPM 124 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ A, ... BC  ; AB  Chứng minh C  B Bài Cho tam giác ABC vuông A Một đường thẳng cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E Chứng minh BC  CD2  BE  DE Bài Cho tam giác ABC có A  60 Chứng minh BC  AB... B  2 Bài Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , đường cao AH, trung tuyến AM Biết AH  40cm ; AM  41cm Chứng minh AB  AC Bài Cho tam giác ABC vuông A, C  30 Chứng minh BC  AB Bài Cho... BH CH AH III BÀI TẬP Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH  H  BC  Chứng minh 2AH  BH  CH  BC Bài Cho hai điểm A  x A ; y A  B  xB ; yB  mặt phẳng tọa độ Chứng minh: AB   x